高三数学统练五
高三数学统练试题五含解析 试题
海淀区中国人民大学附属中学2021届高三数学统练试题〔五〕〔含解析〕创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一、选择题{}0,1A =，集合{}B x x a =，假设A B ⋂=∅，那么实数a 的范围是〔 〕A. 1a ≤B. 1a ≥C. 0a ≥D. 0a ≤【答案】B 【解析】试题分析：因为A B ⋂=∅，所以{}0x x a ∉，且{}1x x a ∉，即0a ≥且1a ≥，从而1a ≥，选B.考点：集合的运算.2.各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，那么456a a a =A. 52B. 7C. 6D. 42【答案】A 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，所以a 4a 5a 6＝故答案为考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．【此处有视频，请去附件查看】3.(sin )cos3f x x =，那么()cos10f ︒的值是〔 〕A. 32-B. 12±C.12D.32【答案】B 【解析】 【分析】将()cos10f ︒化为()sin80f ︒和()sin100f ︒，代入计算得到答案. 【详解】因为cos10sin80︒=︒，并且(sin )cos3f x x =，所以()()()1cos10sin80cos240cos 18060cos602f f ︒=︒=︒=︒+︒=-︒=-.因为cos10sin100=︒︒，所以()()cos10sin100cos300f f ︒=︒=︒=()1cos 36060cos602︒-︒=︒=， 应选B.【点睛】此题考察了三角函数的诱导公式和函数值的计算，忽略掉一个答案是容易犯的错误.f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，那么曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为A. －B. 0C.D. 5【答案】B 【解析】试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数()f x 是上以5为周期的可导偶函数，所以因为()f x 是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0考点：导数的定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R 上的偶函数的性质5.函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，那么332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，应选B ．【点睛】此题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．此题较易，注重了根底知识、根本计算才能的考察．6.函数()sin (0)f x x ωω=>，那么“函数()f x 的图象经过点〔4π，1〕〞是“函数()f x 的图象经过点〔,02π〕〞的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先由()f x 的图象经过点π14⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出ω；再由()f x 的图象经过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭求出ω，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】函数()f x 的图象经过点〔4π，1〕时，有sin 14πω=，所以，242k k Z ，ππωπ=+∈， 因为0ω>，所以28k ω=+，,k N ∈函数为：()()sin 28f x k x =+，k N ∈ 当2x π=时，()()sin 28sin 4022f k k ππππ⎛⎫=+⨯=+= ⎪⎝⎭，所以，充分性成立； 当函数()f x 的图象经过点〔,02π〕时，sin02πω=，所以， ,2k k Z πωπ=∈，即2k ω=, k Z ∈，()sin2(0,)f x kx k k Z =>∈， 当4x π=时，sin 2sin 442k f k πππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不一定等于1，所以，必要性不成立． 应选A【点睛】此题主要考察充分条件与必要条件的断定，熟记概念即可，属于常考题型.(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ，假如对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列，那么称()f x 为“保等比数列函数〞．现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x =；④()ln f x x =．那么其中是“保等比数列函数〞的()f x 的序号为 A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】试题分析： 由等比数列性质可得：221.n n n a a a ++=，①2()f x x =，()()()222222211().n n n n n n f a f a a a a f a ++++===，所以正确；②()2x f x =，()()22221()2.22n n n n aa a a n n n f a f a f a +++++==≠，所以错误；③()f x =，()()221()n n n f a f a f a ++===，所以正确；④()ln f x x =．()()222211()ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=所以错误；应选择C 考点：等比数列性质【此处有视频，请去附件查看】8.a ，b 是不相等的两个正数，在a ，b 之间插入两组实数：x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，〔n ∈N *，且n ≥2〕，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，…，y n ，b 成等比数列，给出以下四个式子：①()122n n a b x x x ++++=；②()2121n x x x n+++>2n y ab =22n a by +<.其中一定成立的是〔 〕 A. ①②③ B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，求得12n x x x +++12n y y y ，结合根本不等式，判断③④的真假性.【详解】依题意12,,,,,n a x x x b 成等差数列，令12n n S a x x x b =+++++，那么121n n n S b x x x x a -=++++++，两式相加，利用等差数列的性质化简得()()22n n a b S ++=，所以()()()()1222n n n a b x x x S a b a b +++++=-+=-+()2n a b =+.()1212n a b x x x n++++=，而2=,a b 是不相等的正数，所以242a b =>+，所以()2121(2n x x x n+++>成立，所以②正确. 依题意12,,,,,n a y y y b 成等比数列，设其公比为q ，那么2n y n aq =⋅⋅=当q为负数时，那么n 必为奇数，此时0<，所以③不正确.由③的分析可知，当q 为负数时，那么n 0<，所以22n a by +<；当q 为正数时，12n a q+=⋅===,a b 是不相等的正数，所2a b+<.所以④正确.应选：B【点睛】本小题主要考察等差数列和等比数列的性质，考察根本不等式，考察化归与转化的数学思想方法，考察运算求解才能，属于中档题. 二、填空题 9.函数f 〔x 〕()22143log x x =-+-的定义域为_____.【答案】〔1，2〕〔2，3〕【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，结合对数型函数的定义域，求得()f x 的定义域.【详解】依题意()()()22213013430243120x x x x x x x x x ⎧--<<<⎧-+->⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-+-≠-≠⎩⎩⎪⎩，所以函数()f x 的定义域为()()1,22,3⋃. 故答案为：()()1,22,3⋃【点睛】本小题主要考察函数定义域的求法，考察一元二次不等式的解法，属于根底题. 10.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，假设OA =6，那么MD NC ⋅的值是_____.【答案】26 【解析】 【分析】根据条件，得到60AOD DOC COB ∠=∠=∠=，利用平面向量的线性运算表示出,MD NC ，由此求得MD NC ⋅.【详解】连接,OD OC ，依题意可知60AOD DOC COB ∠=∠=∠=，由于6OA =，,M N 是线段AB的三等分点，所以224AM MO ON NB ====.13MO OD AO OD MD =+=+，13NO OC BO O N CC =+=+，所以MD NC⋅1133AO OD BO OC ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111933AO AO OC OD BO OD OC =-+⋅+⋅+⋅11111136666666932322=-⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯4661826=-+++=故答案为：26【点睛】本小题主要考察平面向量的线性运算，考察平面向量数量积的运算，属于根底题. 11.等差数列{a n }中，a 1>0，S m =S n 〔m ≠n 〕，假设前n 项和中最大值仅为S 7，那么2m +n 最大值为_____. 【答案】27 【解析】 【分析】根据题意求得,m n 的关系式，进而可求得2m n +的最大值.【详解】由于在等差数列{}n a 中，10a >，且前n 项和中的最大值为7S ，所以7181060070a a d a a d >+>⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩.因为()m n S S m n =≠，所以12n m m m n S S a a a ++-=+++()102m n n ma a +-=+=，所以10m n a a ++=，即 ()()1111210a md a n d a m n d +++-=++-=，1102m n a d +-+⋅=. 所以1672m n +-<<，12114m n <+-<，由于,m n N ∈，所以113m n +-=，14m n +=.即14n m =-.所以221414m n m m m +=+-=+，又13m ≤，所以2131427m n +≤+=.故答案为：27【点睛】本小题主要考察等差数列的性质，考察分析、考虑与解决问题的才能，属于中档题. 12.假设直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线()ln 2y x =+的切线，那么b =_______．【答案】22ln 3+ 【解析】 【分析】设出直线与两个曲线相切时的切点坐标，利用导数得到关于切点横坐标的方程，解出它们后可得切线方程，从而得到b 的值．【详解】设直线y kx b =+与曲线ln 3y x =+相切时的切点坐标为()00,3ln x x +， 与直线()ln 2y x =+相切时的切点坐标为()()11,ln 2x x +，所以()010*******3ln ln 21x x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+-+⎪=⎪-⎩，整理得到010122x x x x =+⎧⎨=-⎩，所以012343x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．故切线为322ln 3233y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭即为322ln 23y x =++，故22ln 3b =+， 填22ln3b =+． 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.公切线问题也应转化为切点横坐标的方程组，解这个方程组就可以得到切点的横坐标，从而可求公切线的方程．13.二次函数f 〔x 〕=x 2-mx +6〔m ∈R 〕，假设f 〔x 〕在区间〔1，3〕内恰有一个零点，那么实数m 的取值范围是_____.【答案】}[5，7〕【解析】 【分析】由260x mx -+=别离常数m ，根据x 的取值范围，求得m 的取值范围. 【详解】令()260f x x mx =-+=，当13x <<时，有6m x x =+.令()6g x x x=+，()(2'222661x x x g x x x x--=-==，所以()g x在(上递减，在)上递增，在x =g=()17g =，()35g =.因为()f x 在区间()1,3内恰有一个零点，所以57m ≤<或者m =故答案为：{[)5,7⋃【点睛】本小题主要考察根据零点的分布求参数的取值范围，属于根底题.14.假设数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 的个数为〔a n 〕+，那么得到一个新数列{〔a n 〕+}.例如，假设数列{a n }是1，2，3…，n ，…，那么数列{〔a n 〕+}是0，1，2，…，n ﹣1…对任意的n ∈N +，a n =n 2，那么〔a 5〕+=_____，〔〔a n 〕+〕+=_____.【答案】 (1). 2 (2). n 2 【解析】 【分析】 根据5m a <，而2n a n =，知1,2m =，由此求得()5a +.由()()()()()()()()1234,,,a a a a ++++++++的值，归纳猜测()()na ++.【详解】因为5m a <，而2n a n =，所以1,2m =，所以()52a +=.由于()()()()()()()12345670,1,1,1,2,2,2a a a a a a a +++++++=======，()()()()()()()()891011121314152,2,3,3,3,3,3,3a a a a a a a a ++++++++========，()163a +=，()174a +=，…….即()22,((1),)n a k k n k k N +=<≤+∈ 所以()()()()()()()()12341,4,9,16a a a a ++++++++====，……故()()2n a n ++=.故答案为：(1). 2 (2). n 2【点睛】本小题主要考察新定义的数列的理解和运用，考察分析考虑与解决问题的才能，属于中档题. 三、解答题15.在ABC ∆中，点D 是边AB 上一点，且13AD DB =.记ACD α∠=，BCD β∠=. 〔1〕求证：sin 3sin AC BC βα=； 〔2〕假设6πα=，2πβ=，AB =BC 的长.【答案】〔1〕详见解析；〔2〕3BC =. 【解析】 试题分析：(1)由题意结合正弦定理整理计算即可证得结论；(2)利用题意结合余弦定理，设2AC k =，3BC k =，列方程求解可得3BC =. 试题解析：〔1〕由正弦定理，在ACD ∆中sin sin AC ADADC α=∠，在BCD ∆中sin sin BC BD BDC β=∠，因为ADC BDC π∠+∠=，所以sin sin ADC BDC ∠=∠，因为13AD DB =，所以sin 3sin AC BC βα=. 〔2〕因为6πα=，2πβ=，由〔1〕得sin3223sin 6AC BC ππ==，设2AC k =，3BC k =，0k >，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠得到2221949223cos3k k k k π=+-⋅⋅⋅，解得1k =，所以3BC =. 16.数列{a n }满足：a 1=1，1122nn n a n n a a n n +⎧+-⎪=⎨⎪-⎩，为奇数，为偶数，记()*2N n n b a n =∈.〔1〕求b 1，b 2的值；〔2〕证明：数列{b n }是等比数列； 〔3〕求数列{a n }的通项公式.【答案】〔1〕11,24；〔2〕证明见解析；〔3〕a n 11()221()44212kk n k k n k -⎧=⎪⎪=⎨⎪+-=-⎪⎩，，.【解析】 【分析】〔1〕根据递推关系式，求得12,b b 的值. 〔2〕根据递推关系式，推导出112n n b b -=，由此证得{}n b 是等比数列. 〔3〕由〔1〕求得数列{}n b 通项公式，由此求得2n a 的表达式，进而21n a -的表达式，从而求得数列{}n a 的通项公式.【详解】〔1〕a 1=1，1122nn n a n n a a n n +⎧+-⎪=⎨⎪-⎩，为奇数，为偶数，记()*2N n n b a n =∈.b 1=a 212=a 1+1﹣112=. a 3=a 2﹣412=-472=-. b 2=a 412=a 3+3﹣112=a 3+274=-+214=.〔2〕b n =a 2n 12=a 2n ﹣1+2n ﹣2，n ≥2时，a 2n ﹣1=a 2n ﹣2﹣2〔2n ﹣2〕=a 2n ﹣2﹣4n +4.∴b n 12=a 2n ﹣1+2n ﹣212=〔a 2n ﹣2﹣4n +4〕+2n ﹣212=a 2n ﹣212=b n ﹣1， n =1时，b 212=b 1.∴数列{b n }是等比数列，首项与公比都为12. 〔3〕解：由〔2〕可得：b n 1()2n=. ∴a 2n 1()2n=. 又a 2n 12=a 2n ﹣1+2n ﹣21()2n =. 解得：a 2n ﹣111()2n -=+4﹣4n .综上可得：数列{a n }的通项公式：a n 11()221()44212kk n k k n k -⎧=⎪⎪=⎨⎪+-=-⎪⎩，，，k ∈N *.【点睛】本小题主要考察根据递推关系证明等比数列，考察等比数列的通项公式，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17.函数f 〔x 〕21xx x e++=. 〔1〕求函数y =f 〔x 〕的单调区间；〔2〕假设曲线y =f 〔x 〕与直线y ＝b 〔b ∈R 〕有3个交点，务实数b 的取值范围； 〔3〕过点P 〔﹣1，0〕可作几条直线与曲线y =f 〔x 〕相切？请说明理由. 【答案】〔1〕增区间是〔0，1〕，单调递减区间是〔﹣∞，0〕，〔1，+∞〕；〔2〕1<b 3e<；〔3〕1，理由见解析. 【解析】 【分析】〔1〕利用()f x 的导函数，求得()f x 的单调区间.〔2〕由〔1〕判断出()f x 的极大值和极小值，结合()f x 与y b =有3个交点，求得b 的取值范围.〔3〕设出切点坐标，利用导数求得切线方程，代入点()1,0-，得到切点的横坐标满足的方程，利用导数证得这个方程只有一个解，由此判断出可以作1条切线. 【详解】〔1〕f ′〔x 〕=〔x ﹣x 2〕e ﹣x，由f ′〔x 〕>0，可得0<x<1，f ′〔x 〕<0，可得x <0或者x >1，∴函数的单调递增区间是〔0，1〕，单调递减区间是〔﹣∞，0〕，〔1，+∞〕； 〔2〕由〔1〕，f 〔0〕=1，f 〔1〕3e=， ∵曲线y =f 〔x 〕与直线y =b 〔b ∈R 〕有3个交点， ∴1<b 3e<； 〔3〕设切点为〔m ，n 〕，那么f ′〔m 〕=〔m ﹣m 2〕e ﹣m， ∴切线方程为y ﹣n =〔m ﹣m 2〕e ﹣m 〔x ﹣m 〕， 代入〔﹣1，0〕，整理可得m 3+m 2+1=0， 设g 〔m 〕=m 3+m 2+1，g ′〔m 〕=3m 2+2m ，由g ′〔m 〕>0，可得m 23<-或者m >0，g ′〔m 〕<0，可得23-<m <0， ∴函数g 〔m 〕的单调递减区间是〔23-，0〕，单调递增区间是〔﹣∞，23-〕，〔0，+∞〕；∵g 〔23-〕>0，g 〔0〕>0，∴g 〔m 〕=0有唯一解，∴过点P 〔﹣1，0〕可作1条直线与曲线y =f 〔x 〕相切.【点睛】本小题主要考察利用导数求函数的单调区间，考察利用导数研究函数的切线方程，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
北京市2024-2025学年高三上学期统练五数学试题含答案
统练5（答案在最后）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|13}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤，则A B = （）A.(0,3)B.(1,4)- C.(0,4]D.(1,4]-【答案】D 【解析】【分析】根据并集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合{|13}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤，所以(]1,4A B =- .故选：D.2.在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=（）A.2B.2i- C.D.2i【答案】A 【解析】【分析】根据复数的几何意义求出复数z ，再求出复数z 的共轭复数，最后根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：因为在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，所以1z i =-，所以1z i =+所以()()21112z z i i i ⋅=-+=-=故选：A3.设a ，b ∈R ，且0a b <<，则（）A.11a b< B.b a a b > C.2a b+> D.2b a a b+>【答案】D 【解析】【分析】由0a b <<，可得11a b >，A 错；利用作差法判断B 错；由02a b +<0>，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确．【详解】0a b << ，11a b∴>，故A 错；0a b << ，22a b ∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b∴<，故B 错；0a b << ，02a b +∴<0>，则2a b+<，故C 错；0a b << ，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D4.如图，在ABC V 中，D 是BC 的中点.若AB a =，AD b =，则AC = （）A.32a b- B.2a b- C.2a b-+ D.1122a b + 【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】因为D 是BC 的中点，AB a =，AD b =，所以=+=+=+-AC AD DC AD BD AD AD AB2=-b a .故选：C.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0]-∞上单调递减，(1)1f =-.设2()log (3)g x x =+，则满足()()f x g x ≥的x 的取值范围是A.(,1]-∞-B.[1,)-+∞ C.(3,1]-- D.(3,1]-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （x ）在R 上为减函数以及f （﹣1）＝1，结合对数函数的性质可得g （x ）＝log 2（x +3）的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g （x ）为增函数，设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），易得F （x ）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F （﹣1）＝f （﹣1）﹣g （﹣1）＝1﹣1＝0，进而可得F （x ）≥0⇒﹣3＜x ≤﹣1，据此分析可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减，则f （x ）在[0，+∞）上也是减函数，则f （x ）在R 上为减函数，又由f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝﹣f （1）＝1，又由g （x ）＝log 2（x +3），有x +3＞0，即x ＞﹣3，函数的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g （x ）为增函数，设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），其定义域为（﹣3，+∞），分析易得F （x ）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F （﹣1）＝f （﹣1）﹣g （﹣1）＝1﹣1＝0，F （x ）≥0⇒﹣3＜x ≤﹣1，则f （x ）≥g （x ）⇒F （x ）≥0⇒﹣3＜x ≤﹣1，即不等式的解集为（﹣3，﹣1]；故选C ．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，涉及对数函数的性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．7.在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.8.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知18a =，41a =-，则数列{}n S （）A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项【答案】A 【解析】【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质．【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-，11812(1)1611113212n n n n a q S q ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===--⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为偶数时，161132n n S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，是增函数，即246163S S S <<<< ，当n 为奇数时，161132n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是减函数，即135163S S S >>>> ，所以{}n S 有最大项为1S ，最小项为2S ．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式n S 后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比163大，所有偶数项比163小，这样易确定最值．9.声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：W/m 2）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.106倍B.108倍C.1010倍D.1012倍【答案】B 【解析】【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x ，2x ，根据题意得出1()140f x =，2()60f x =，计算求12x x 的值．【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x ，2x ，1112()10lg 140110x f x -=⨯=⨯，则2110x =，2212()10lg 60110x f x -=⨯=⨯，则6210x -=，所以81210x x =，因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍．10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，π4x =-是函数的一个零点，且π4x =是其图象的一条对称轴.若()f x 在区间ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A.18B.17C.14D.13【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()2πZ 21T k k =∈+，结合2πT ω=，得到21k ω=+（Z k ∈），再由ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，可得ππ1692-≤T ，即π9T ≥，进一步得到8.5k ≤，然后对k 逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得()1πππ+Z 42442k T k ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()2πZ 21T k k =∈+，又2πT ω=，∴21k ω=+（Z k ∈）．∵ππ,96⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，∴ππ1692-≤T ，即π9T ≥，∵2π21T k =+，∴2118k +≤，即8.5k ≤．①当8k =，即17ω=时，17ππ4k ϕ-+=，Z k ∈，∴17ππ4k ϕ=+，Z k ∈，∵||2ϕπ<，∴π4ϕ=，此时()πsin 174f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，∴17ω=不符合题意；②当7k =，即15ω=时，15ππ4k ϕ-+=，Z k ∈，∴15ππ4k ϕ=+，Z k ∈，∵||2ϕπ<，∴π4ϕ=-，此时()πsin 154f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，∴15ω=不符合题意；③当6k =，即13ω=时，13ππ4k ϕ-+=，Z k ∈，∴13ππ4k ϕ=+，Z k ∈．∵||2ϕπ<，∴π4ϕ=，此时()πsin 134f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,96⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴13ω=符合题意，二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11.32-，123，2log 5三个数中最大数的是．【答案】2log 5【解析】【详解】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>，所以2log 5最大.12.已知(0,)απ∈，且有12sin 2cos2αα-=，则cos α=___________.【答案】5【解析】【分析】运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±，而π(0,)2α∈，因此cos 5α=.故答案为：5513.已知正方形ABCD 边长为2，E 为BC 的中点，S 是正方形ABCD 及其内部的点构成的集合，设集合{}2T P S AP AE =∈⋅=，则T 表示的曲线的长度为______.【答案】【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标表示计算数量积得出曲线，从而可计算出长度．【详解】分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(2,1)E ，(0,0)A ，设(,)P x y ，则(,)(2,1)22AP AE x y x y ⋅=⋅=+=，所以P 点轨迹是直线22x y +=在正方形ABCD 内的部分，令0x =得2y =，令0y =得1x =，即P 点轨迹是以(0,2)D 和(1,0)F为端点的线段，CD ==，．14.若实数[],π,παβ∈-，且α，β满足方程组12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧⎪+=，则α=______，β=______.（写出一组值即可）【答案】①.π3-②.0（答案不唯一）【解析】【分析】根据题中的方程组先求解出α，再代入其中一个方程求解β即可得出答案.【详解】()())()222212cos 2cos 12cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin αβαβαβαβ⎧+=+=⎧⎪⎪∴⎨=+=⎪⎩②+①②得，1cos 0αα++=，根据辅助角公式得，π2sin 16α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ππ2π66k α∴+=-或π7π2πZ 66k k α+=+∈，即，π23k απ=-或2ππZk k α=+∈，[]ππ,π,3a a ∈-∴=-，此时，π2cos 12cos 23β⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭2πk β∴=Z k ∈，，又因为[]π,πβ∈-所以可取0β=.故答案为：π3-，0.15.设A 是由实数组成的n 行n 列的数表，其中(),1,2,3,,ij a i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{}1,1ij a ∈-.记(),S n n 为所有这样的数表构成的集合.对于(),A Sn n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积，令()()()11nni j i j l A r A c A ===+∑∑.给出以下四个结论：①存在()4,4A S ∈，使得()0l A =；②存在()9,9A S ∈，使得()0l A =；③若()6,6A S ∈，则()l A 的取值范围是{}12,8,4,0,4,8,12---；④若(),A Sn n ∈，则满足()2l A n =-的数表A 共有!n 个.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】可取第一行都为1-，其余的都取1，即可判断①；用反证法证明：假设存在，得出矛盾，即可判断②；将()l A 变形为6611()(1)(1)ji m ki j l A ===-+-∑∑，即12个1或1-的和，分别列举出来即可判断③；当所有的()i r A 和()j c A 都是1-时()2l A n =-，即n 个元素的排列，其中每个元素可以是1或1-，但必须有奇数个1-，即可判断④.【详解】①：如图所示数表符合要求.1-1-1-1-111111111111故①正确；②：假如存在()9,9A S∈，使得()0l A =.因为(){1,1},(){1,1}(,1,2,,9)i j r A c A i j ∈-∈-= ，所以()()()()()()129129,,,,,,,r A r A r A c A c A c A 这18个数中有9个1，9个1-.令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅ .一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而()99111M =⨯-=-，另一方面，129()()()r A r A r A ⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；则()()()129r A r A r A m ⋅= ，()()()129,,,c A c A c A m = ，从而21M m ==，这与1M =-矛盾，所以不存在()9,9A S∈，使得()0l A =.故②错误；③：当(6,6)A S ∈时，A 是一个66⨯的数表，且每个元素{1,1}ij a ∈-，第i 行各数之积()i r A 第j 列各数之积()j c A 只能是1或1-.若第i 行中有偶数个1-，则()1i r A =；若有奇数个1-，则()1i r A =-.同理，对于第j 列亦如此.设第i 行中有i k 个1-，第j 列中有j m 个1-，则()(1),()(1)jim ki j r A c A =-=-，所以6611()(1)(1)ji m ki j l A ===-+-∑∑，由i k 、j m 为非负整数，(1),(1)jim k --只能取1或1-，所以()l A 是12个1或1-的和.当所有的元素都是1时，()12l A =；当所有的元素都是1-时，()12l A =；当有两行（或两列）的元素是1-，其余元素是1时，()8l A =；当有四行（或四列）的元素是1-，其余元素是1时，()4l A =；当有六行（或六列）的元素是1-，其余元素是1时，()0l A =；当有八行（或八列）的元素是1-，其余元素是1时，()4l A =-；当有十行（或十列）的元素是1-，其余元素是1时，()8l A =-；当有十二行（或十二列）的元素是1-，其余元素是1时，()12l A =-；所以()l A 所有的取值为{12,8,4,0,4,8,12}---.故③正确；④：若(,)A S n n ∈，当所有的()i r A 和()j c A 都是1-时，()2l A n n n =--=-.实际上，每一行和每一列中1-的个数必须为奇数，在n n ⨯的矩阵中选择奇数个1-，使得每行和每列中1-的个数都是奇数，这样的数表对应于n 个元素的排列，其中每个元素可以是1或1-，但必须有奇数个1-，这样的数表数量是!n ，故④正确.故答案为：①③④【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.等差数列{}n a 的前n 项和2231nS n n a =+++，其中a 为常数.（1）求{}n a 的通项公式及a 的值；（2）设()331,2,3,n a nn b a n =+= ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）41n a n =+，=−1（2）()24551693380n n T n n +=++-【解析】【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，可得41n a n =+，2n ≥，再由等差数列2132a a a =+，列式求出a ，并得到通项n a ；（2）由（1）求出n b ，利用分组求和得解.【小问1详解】由2231nS n n a =+++，当2n ≥时，()()2121311n S n n a -=-+-++，141n n n a S S n -∴=-=+，2n ≥，又16a a =+，2132a a a =+，18613a ∴=++，解得1a =-，15a ∴=，满足41n a n =+，41n a n ∴=+，*N n ∈.【小问2详解】由（1）41n a n =+，()413413n n b n +∴=++，12n nT b b b ∴=+++ ()()594135941333n n +=⨯++++++++ ()()()544313463213nn n -+=⨯+-()24551693380n n n +=++-.17.已知函数()()2cos cos 0,f x x x x m m ωωωω=++>∈R .再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个条件作为已知.条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的最大值为32；条件③：函数()f x 的最小正周期为π.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[]()0,0t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，选择①③：由周期得出ω，由1(0)2f =得出m ，进而求出()f x 的解析式；选择②③：由周期得出ω，由()f x 的最大值为32得出m ，进而求出()f x 的解析式；选择①②：由1(0)12f m =+=得12m =-，又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =，与12m =-矛盾，不符合题意．（2）因为[]0,x t ∈，所以πππ2,2666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．【小问1详解】由题可知，2()cos cos f x x x x m ωωω=++311π1sin 2cos 2sin 222262x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，选择①③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=，又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．选择②③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=，又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =．所以π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，选择①②：因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =，与12m =-矛盾，不符合题意．【小问2详解】选择①③：π()sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭因为[]0,x t ∈，所以πππ2,2666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在区间[]()0,0t t >上有且仅有1个零点，所以ππ22π6t ≤+<，所以5π11π1212t ≤<，所以5π11π,1212t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．选择②③：π1()sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭因为[]0,x t ∈，所以πππ2,2666x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在区间[]()0,0t t >上有且仅有1个零点，又1sin 2x =-时，π2π,6x k k =-+∈Z 或7π2π,6x k k =+∈Z ，所以7ππ11π2666t ≤+<，所以π5π26t ≤<，所以π5π,26t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．18.在ABC V 中，222b c a bc +-=.（1）求A ∠；（2）若11cos 14B =，12c =.求ABC V 的面积.【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）结合余弦定理即可求解；（2）由()sin sin C A B =+，求出sin C ，再利用正弦定理求出152b =，最后利用三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】由222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又()0,πA ∈，则π3A ∠=.【小问2详解】由11cos 14B =，则sin 14B ===，又πA B C ++=，且由（1）知π3A =则()πsin sin πsin 3C A B B ⎛⎫⎡⎤=-+=+⎪⎣⎦⎝⎭ππ111sin cos cos sin 332142147B B =+=⨯+⨯=，又sin sin c bC B=4353714=，解得152b =，则11153sin 122222ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 19.已知函数2()xx mf x e -=（其中m 为常数）.（1）若0m =且直线y kx =与曲线()y f x =相切，求实数k 的值；（2）若()y f x =在[]1,2上的最大值为22e，求m 的值.【答案】（1）2；（2）2.【解析】【分析】（1）代入0m =，得到()f x ，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据()f x 在()1,2的单调性求出最大值等于22e ，从而求出m .【详解】（1）0m =时，()222222()()x x x x x x e xe xf x f x e e e --'=⇒==，设切点为0002,x x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线方程为()00000222x x x x y x x e e--=-()0,0点代入，()00000222x x x x x e e --=-化简解得0(0)02k x f '⇒===.（2）22()xx m f x e-++'=，①当24m +≥即2m ≥时，()0f x '>在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递增，()f x 在[]1,2的最大值为2242(2)m f e e-==，故2m =，满足2m ≥；②当22m +≤即0m ≤时，()0f x '<在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递减，()f x 在[]1,2的最大值为222(1)m f e e-==，故22m e =-，不满足0m ≤，舍去；③当224m <+<即02m <<时，由22()0xx m f x e -++'==得22m x +=，22m x +<时()0f x '>，22m x +>时()0f x '<，即()f x 在21,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 的最大值为22222222m m m m mf e e++++-⎛⎫== ⎪⎝⎭，即22222m e e +=，所以2m =，不满足02m <<，舍去，综上所述，2m =.【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到m 的问题.20.设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线.（1）求()f x 的单调区间；（2）求证：l 不经过点()0,0；（3）当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABOS 分别表示ACO △与ABO 面积.是否存在点A 使得6ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：0.69ln20.70<<，1.09ln3 1.10<<）【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解（3）不存在【解析】【分析】（1）利用导数判断单调性；（2）写出切线方程()()()101k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，假设直线l 过点()0,0，将()0,0代入再设新函数()()ln 11tF t t t=+-+，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入6ACO ABO S S =△△得到()275ln 101t tt t ++-=+，再设新函数()()275ln 11t th t t t+=+-+研究其零点即可.【小问1详解】由题可得()11kf x x '=++，1x >-，（0k ≠），当0k >时，有()0f x '>，则()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0k <时，令()0f x '>，得1x k >--，即()f x 在()1,k --+∞上单调递增，令()0f x '<，得11x k -<<--，即()f x 在()1,1k ---上单调递减，综上，当0k >时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0k <时，()f x 在()1,1k ---上单调递减，在()1,k --+∞上单调递增.【小问2详解】由()11kf x x '=++，切线l 的斜率为11k t++，则切线l 方程为()()()101k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭，假设直线l 过点()0,0，将()0,0代入切线方程得()11k f t t t ⎛⎫-=-+⎪+⎝⎭，则()11k f t t t ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，即()ln 111k t k t t t ⎛⎫++=+ ⎪+⎝⎭，整理得()ln 11tt t+=+，()ln 101t t t +-=+，令()()ln 11tF t t t=+-+，则()F t 在()0,∞+上存在零点，()()()22110111t F t t t t '∴=-=>+++，所以()F t 在()0,∞+上单调递增，则()()00F t F >=，所以函数()F t 在()0,∞+上无零点，这与假设矛盾，所以直线l 不过点()0,0.【小问3详解】当1k =时，()()ln 1f x x x =++，则()121011x f x x x+'=+=>++，1x >-，()12ACO S tf t =△，设l 与y 轴交点B 为()0,q ，当0t >时，若0q <，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知，0q ≠，则0q >，则切线的方程为()()111ln 1x t y t t t ⎛⎫--+=+ ⎪⎝-+⎭，令0x =，则()ln 11t y q t t ==+-+，6ACO ABO S S =V V Q ，则()()6ln 11t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦，()275ln 101t t t t +∴+-=+，设()()275ln 11t th t t t+=+-+，()0t >，所以满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.由()()()()()222123211t t t t h t t t ----+-=++'=，0t >，令()0h t '>，得12t <<，即()h t 在()1,2上单调递增，令()0h t '<，得01t <<或2t >，即()h t 在()0,1和()2,+∞上单调递减，又()00h =，()15ln 2450.740.50h =-<⨯-=-<，()25ln 365 1.160h =-<⨯-<，所以函数()h t 在()0,∞+上没有零点，即不存在点A 使得6ACO ABO S S =△△成立.21.设整数集合{}121000,,A a a a =⋅⋅⋅⋅，12100012025a a a ≤<<⋅⋅⋅<≤，且满足：对于任意{},1,2,,1000i j ∈⋅⋅⋅，若i j A +∈，则i j a a A +∈.（1）判断下列两个集合是否满足题设条件，若不满足，请说明理由；()11,2,3,,1000A =⋅⋅⋅，()21,2,3,,996,997,1000,2023,2024A =⋅⋅⋅（2）求证：{}1001,1002,,2000x ∀∈⋅⋅⋅，都有x A ∉；（3）若10002025a =，求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）1A 满足题设，2A 不满足题设（2）证明见解析（3）16【解析】【分析】（1）根据题目条件，对,i j 赋值，分别讨论12,A A 即可；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}1001,1002,,2000,x x A ∈⋯∉，所以集合{2001,2002,,2005}A 中至多5个元素.设10001000m a b -=≤，先通过判断集合A 中前1000m -个元素的最大值可以推出(11000)i a i i m =≤≤-，故集合A 的个数与集合{2001,2002,2003,2004}的子集个数相同，即可求出．【小问1详解】设1,1i j ==，则112,112i j i j A a a A +=∈+=+=∈；设1,2i j ==，则113,123i j i j A a a A +=∈+=+=∈，一般地，对,{1,2,,1000}i j ∀∈ ，有11,i j i j A a a i j A +∈+=+∈，所以1{1,2,3,,1000}A = 满足题设条件.设1,997i j ==，得2998i j A +=∉，所以2{1,2,,996,997,1000,2024}A = 不满足题设条件.【小问2详解】假设存在一个0{1001,1002,,2000}x ∈ 使得0x A ∈，令01000x s =+，其中s ∈N 且1000s ≤≤1，由题意，得1000s a a A +∈，由s a 为正整数，得10001000s a a a +>，这与1000a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{1001,1002,,2000}x ∈ ，x A ∉．【小问3详解】设集合{2001,2002,,2005}A 中有(15)m m ≤≤个元素，1000m a b -=，由题意，得1210002000m a a a -<<<≤ ，100011000210002000m m a a a -+-+<<<< ，由（2）知，10001000m a b -=≤．假设1000b m >-，则10000b m -+>．因为100010001000551000b m m -+≤-+=<-，由题设条件，得10001000m b m a a A --++∈，因为10001000100010002000m b m a a --++≤+=，所以由（2），得100010001000m b m a a --++≤，这与1000m a -为A 中不超过1000的最大元素矛盾，所以10001000m a m -≤-，又1210001m a a a -≤<<< ，i a ∈N ，所以(11000)i a i i m =≤≤-．任给集合{2001,2002,2003,2004}的1m -元子集B ，令0{1,2,,1000}{2005}A m B =- ，以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 000)(1i j ≤≤≤1，则2000i j +≤，若0i j A +∈，则有m i j +≤1000-，所以,i j a i a j ==，从而0i j a a i j A +=+∈，故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{2001,2002,2003,2004}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用反证法证明第二问，假设存在一个0{1001,1002,,2000}x ∈ 使得0x A ∈，首先把0x 拆成01000x s =+是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且1000a 最大是解题的另外一个关键点．。
天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题(含解析)
天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C. D.{}0,1,2{}1,2{}1{}22. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA.B.3()2f x x x =-+2()1xf x x =+C. D.()cos 4f x x x=||()e x x f x =4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b <<b c a<<5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A .3B. 2C. 1D. 06. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 1927. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A .B. C. D.4816+32+8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1 B. 2C. 3D. 49.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211m m f x m m x+-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00011. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +15. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N 求实数的取值范围.m天津市和平区2024-2025学年高三上学期数学统练试题一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N A B = A.B.C.D.{}0,1,2{}1,2{}1{}2【正确答案】D【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为，，{}0,1,2A ={|31,}B x x k k ==-∈N 所以.{2}A B = 故选：D.2. 设，则“”是“”的（ ）x ∈R 0x <20x x ->A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.20x x ->【详解】由，解得或，20x x ->1x >0x <故“”是“”的充分不必要条件.0x <20x x ->故选：A.3. 已知函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（ ）()f x ()f xA. B.3()2f x x x=-+2()1x f x x =+C. D.()cos 4f x x x =||()e x x f x =【正确答案】C【分析】由函数图象的特殊点以及单调性逐一判断可得解.【详解】由图象可知，故BD 不成立；()10f <对于A 选项：，当时，，'2()61f x x =-+'()0f x>x ⎛∈ ⎝当时，，'()0f x<,x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调()fx ,⎛-∞ ⎝⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭递增，不符合图象，故A 不成立；故选：C4.已知奇函数在上是减函数，若，，()f x R 31log 4a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则，，的大小关系为（）()0.82c f -=-a b c A. B. a b c <<a c b <<C. D. c a b<<b c a<<【正确答案】B【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，()3log 4a f =()0.82c f -=-3log 423log 2的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可.0.82--【详解】奇函数在上是减函数，则，()f x R ()()f x f x -=-所以，()()3331log log 4log 44a f f f ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()0.80.822c f f --=-=-因为，，3331log 3log 4log 92=<<=122233332log 2log log 123-⎛⎫<==- ⎪⎝⎭又，所以，0.800221-<<=0.8120--<-<所以，则，0.82334log 22log -<-<()()0.8233log 22log 4f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭故.b c a >>故选：B 5. 在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的{}n a 122,1a a ==21n n n a a a +++={}n a 和为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【正确答案】A【分析】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，1n +21n n n a a a +++=n 321n n n a a a +++=-再利用周期性运算得解.【详解】由题意得，用替换式子中的，得，21n n n a a a ++=-1n +n 321n n n a a a +++=-两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列.3n n a a +=-63n n n a a a ++=-={a n }又，，.12a =21a =34561,2,1,1a a a a ∴=-=-=-=所以数列的前2024项和.{a n }()2024126123373S a a a a a =+++++= 故选：A.6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n 层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（）{a n}A. 241 B. 231 C. 213 D. 192【正确答案】B【分析】依题意写出前几项即可发现规律.【详解】设，1n n n a a b +-=由，，21312a a -=-=32633a a -=-=，…，431064a a -=-=可知为等差数列，首项为2，公差为1，{}n b 故，()211n b n n =+-=+故，11n n a a n +-=+则，，，212a a -=323a a -=434a a -=…，，()12n n a a n n --=≥累加得，()()1122n n n a a -+-=即，显然该式对于也成立，()()1212n n n a -+=+1n =故．212301231a =+=故选：B7. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且FE ABCD -ABCD AB EF ∥，，则五面体的表面积为228AB CD EF BC ====3EA ED FB FC ====FE ABCD -（）A. B. C. D. 4816+32+【正确答案】D【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.【详解】分别取，的中点，，连接，，AD BC G H GH FH过点作的垂线，垂足为，F AB FI I因为，,所以，所以，3FB FC ==4BC =FH BC ⊥FH =根据对称性易得，FBC EAD △≌△所以，11422FBC S BC FH =⨯=⨯=△在中，，所以，Rt FBI △8422BI -==FI ==，1()2FEAB S EF AB FI =+⨯梯形1(48)2=⨯+=又，32ABCD S AB BC =⨯=矩形所以FE ABCD S -22FBC ABCD FEAB S S S =++△矩形梯形32=+故选：D ．8. 若，则（ ）tan 2tan 5πα=3cos()10sin()5παπα-=-A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】C【详解】3cos cos 1052πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,cos sin 255πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以 原式sin sin cos cos sin 555sin cos cos sinsin 555πππαααπππααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，tan tan 3tan 553tan tantan55ππαππα+===-故选C.点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式.9.设函数的最小正周期为，其图象关于直线()()3sin 1f x x ωϕ=++0ω>π2ϕ<π对称，则下列说法正确的是（ ）π3x =A. 的图象过点()f x 30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 在上单调递减()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是()f x 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象()f x 12ϕ3sin 21y x =+【正确答案】D【分析】由周期求出，再由对称轴求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质ωϕ一一判断即可.【详解】函数的最小正周期是，()3sin()10,2πf x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭π所以，则，2π2πω==()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线对称，()()3sin 21f x x ϕ=++π3x =所以，解得，ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈ππ,Z 6k k ϕ=-+∈因为，所以当时，，则，ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0k =π6ϕ=-()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当时，，故A 错误；0x =()3103sin11622πf =-+=-+=-由，所以，2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦206π6,x 7π⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦因为在上不单调，所以在上不单调，故B 错误；sin y x =70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，7π7π3sin 213sin π11012126πf ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以不是的一个对称中心，故C 错误；7π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 因为，将的图象向左平移个单位长度得到：1π212ϕ=()π3sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π12，所以能得到的图象，故D 正确.π3sin 213sin 2126π1y x x ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 21y x =+故选：D.10. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，若()()2211mm f x m m x +-=--(0,+∞)且则的值（ ）,,a b R ∈0,0,a b ab +><()()f a f b +A. 恒等于 B. 恒小于 C. 恒大于 D. 无法判断00【正确答案】C【分析】根据函数是幂函数，且在上为增函数，得到，确定函数为奇函数，(0,+∞)2m =单调递增，故，得到答案.()()()f a f b f b >-=-【详解】函数是幂函数，则，解得或()()2211mm f x m m x +-=--211m m --=2m =.1m =-当时，，在上为减函数，排除；1m =-()1f x x-=(0,+∞)当时，，在上为增函数，满足；2m =()5f x x =(0,+∞)，函数为奇函数，故在上单调递增.()5f x x =R ，故，，故.0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选.C本题考查了幂函数的定义，根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11. 函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A. ，0 B. ，1C. D. ，03-2-31--，2-【正确答案】C【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值k 即可．【详解】函数，可得，2()x f x x e =22()2(2)x x x f x xe x e e x x '=+=+当和时，，当时，，(,2)x ∈-∞-(0,+∞)()0f x '>(2,0)x ∈-()0f x '<则在和上单调递增，在上单调递减．()f x (,2)-∞-(0,+∞)(2,0)-若在上无极值点，则或或，()f x (, 1.5)k k + 1.52k +-…0k …2 1.50k k -<+……，，．时，在上无极值点，(k ∴∈-∞ 3.5][2-⋃- 1.5][0-⋃)∞+()f x (, 1.5)k k +，，时，在上存在极值点．( 3.5k ∴∈-2)( 1.5--⋃0)()f x (, 1.5)k k +因为是整数，故或，k 3k =-1k =-故选：．C 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题．12. 已知函数满足，在区间[a ，2b ]上的最大值为，()e 1x f x =-()()()f a f b a b =≠e 1-则b 为A. ln3B. C. D. l1312【正确答案】C【分析】函数图象结合单调性可解.【详解】,函数在上单调递增，()()0f a f b a b=⇒<<()e 1x f x =-[]0,2b 所以,(2)()()f b f b f a >=所以在区间上的最大值为，解得[],2a b 2(2)e 1e 1b f b =-=-12b =故选：C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13. 若复数，则__________．105i34i 2i z -=+-+z =【正确答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,()()()()()52i 2i 534i 105i34i 5584i 2i 2i 2i 5z ----=+-=+=+=-++-,z ==故14. 若正数，满足，则的最小值为______.x y 35x y xy +=43x y +【正确答案】5【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得.315y x +=13143(43)(5x y x y y x +=++【详解】正数，满足，，x y 35x y xy +=315y x +=1311123143(43)((13)(135555x y x y x y y x y x ∴+=++=++≥+=当且仅当即且时取等号，123x y yx =12x =1y =故的最小值为5.43x y +故515. 定义在R 的函数，如果函数图象上任意一点都在曲线上，则下列结论正y =f (x )2||y x =确的是_________（填上所有正确结论的序号）①；()00f =②函数值域为R ；y =f (x )③函数可能既不是奇函数也不是偶函数；y =f (x )④函数可能不是单调函数；y =f (x )⑤函数y = 的图象与直线y =有三个交点，()f x 12x 【正确答案】①③④【分析】利用奇偶性单调性结合函数图象求解.【详解】①当时所以成立，正确0x =0y =()00f =②函数的图像可能都在轴上方，值域不是R ，故错误()y f x =x ③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶，正确()y f x =④函数可能是增函数，也可能是减函数，也可能不是单调函数，正确()y f x =⑤函数的图像与直线有可能只有一个交点（原点），也可能有两个，也可()y f x =12y x=能有三个交点，错误.故①③④．16. 已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱111ABC A B C -090BAC ∠=11BCC B 2外接球表面积的最小值为________．111ABC A B C -【正确答案】4π【详解】试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为2BC m =11BB m =，所以其比表面积的最小值为.1R =≥4S π=考点：几何体的外接球，基本不等式.17. 已知函数，若函数的零点个数为2，()()11,212,22x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩()()g x x f x a =⋅-则a 的范围为______.【正确答案】或7382a <<54a =-【分析】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.【详解】令，()()h x xf x =当时，，；2x ≤()11f x x =--()22,12,12x x h x x x x ⎧-≤=⎨-<≤⎩当时，，，(]2,4x ∈(]20,2x -∈()()()1123122f x f x x =--=---；()()()2212,23214,342x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩当时，，，(]4,6x ∈(]40,2x -∈()()()1145144f x f x x =-=--；()()()2214,45416,564x x x h x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩当时，，，(]6,8x ∈(]60,2x -∈()()()1167188f x f x x =--=---；()()()2216,67818,788x x x h x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩……作出函数的部分图象如下，()h x因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共()()g x x f x a =⋅-()()h x xf x =y a =点个数为2，由图可知，或.7382a <<54a =-故或7382a <<54a =-18. 在等腰梯形ABCD 中，已知，，，，动点E 和AB DC 60ABC ∠=︒2BC =4AB =F 分别在线段BC 和DC 上，且，，则的最小值为______.BE BC λ= 12DF DC λ=AE BF ⋅【正确答案】13-【分析】由题意可得，，进一步化为，2AB DC =()()AE BF AB BC BC CF λ⋅=+⋅+ 4613λλ+-再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．【详解】由题意，，，2BC =4AB =60ABC ∠=︒所以，，2cos60422CD AB BC =-⋅︒=-=∴2AB DC =又动点和分别在线段和上，且，，所以E F BC DC BE BC λ= 12DF DCλ=，解得，011012λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩112λ≤≤∴()()()()AE BF AB BC BC CF AB BC BC FC λλ⋅=+⋅+=+⋅- 1()[()]()()2AB BC BC DC DF AB BC BC DC DC λλλ=+⋅--=+⋅+- 112()()()()2224AB AB AB BC BC AB BC BC AB λλλλλ-=+⋅+⋅-=+⋅+⋅221212(1)44AB AB BC BCλλλλ--=⋅++⋅+，1212416(1)42cos1204613131344λλλλλλ--=⨯++⨯⨯⨯︒+=+-≥=-当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，46λλ=λ=AE BF ⋅13故．13三、解答题：本题共2小题，共22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.19. 在中，角的对边分别为，已知.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos b C c B a A +=（1）求角；A （2）若，求的值；1cos 3C =cos 2C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）若为的中点，且的面积.a D =AC BD =ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2（3）【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案.（2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案.（3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案.【小问1详解】，由正弦定理，得cos cos 2cos b C c B a A += ，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=()sin sin 2sin cos B C A A A+==，，，()0,πA ∈ sin 0A ≠1cos 2A ∴=π3A =【小问2详解】，21cos 2cos 123C C =-= 22cos 23C =，，()0,πC ∈ π0,22C ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 22C C ∴===πππcos cos cos cos sin sin 2232323C C C C A ⎛⎫⎛⎫∴+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12=-=【小问3详解】中，由余弦定理，得，ABD △22212cos 222b c BD A b c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⋅，224228b c bc ∴+-=中，由余弦定理，得，ABC V 2221cos 22c b a A c b +-==⋅，2228b c bc ∴+-=联立，得，，2222422828b c bc b c bc ⎧+-=⎨+-=⎩23c bc =3b c =代入，解得，224228b c bc +-=6b =2c =的面积.ABC ∴11π1sin 26sin 262232S bc A ==⨯⨯⨯=⨯⨯=20. 已知等比数列是递增数列，且，.{}n a 1310a a +=314S =（1）求通项公式；{}n a （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数1a 2a 11b 1a 11b 2a 2a 3a 、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、21b 22b 2a 21b 22b 3a n a 1n a +n 1n b 、…、，使、、、…、、成等差数列.若2n b nn b n a 1n b 2n b nn b 1n a +，且对恒成立，()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ ()321nn n T n m-⋅<-⋅*n ∈N求实数的取值范围.m 【正确答案】（1）2nn a =（2）93m -<<【分析】（1）由等边数列的通项与前项和列式解出或，再由是递增数n 122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩{}n a 列，得出，即可得出答案；122a q =⎧⎨=⎩（2）若、、、…、、成等差数列，设其公差为，即可得出，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d 1n n b a d =+，结合等差数列前项和得出，即可根据错位相减1nn n b a d +=-n 11232n n nn n b n b b -=+⋅+ 法得出，则，令，则数列为递减数列，即可n T 33232n n n T n -⋅-⨯+=332nn c =-+⨯{}n c 结合已知列不等式得出答案.【小问1详解】设的公比为，{}n a q 由，得：，1310a a +=314S =21121111014a a q a a q a q ⎧+=⎨++=⎩解得或，122a q =⎧⎨=⎩1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩因为是递增数列，{}n a 所以，则，1q >122a q =⎧⎨=⎩所以.1222n nn a -=⨯=【小问2详解】在和之间插入个数、、…、，n a 1n a +n 1n b 2n b nn b 使、、、…、、成等差数列，设其公差为，n a 1n b 2n b nn b 1n a +d此数列首项为，末项为，2n n a =112n n a ++=则，，1n n b a d =+1nn n b a d +=-则11112()(22)3222n n n n n n n n n b a b b n d a d n n +-+-+++++===⋅ 又,()()11212212n n n nn T b b b b b b =+++++++ 则,101332262n n T n -+⋅=⨯+⨯+ 122326322nn n T =⨯+⨯+⋅+ 则，()012132232322n n n T n -=-⨯-+++⋅ ()()12133333123222n n n n n --=--⨯+⋅=-+-则，33232n n n T n -⋅-⨯+=令，则数列为递减数列，332n n c =-+⨯{}n c 由对恒成立，()321n n n T n m -⋅<-⋅*n ∈N 则当为偶数时，对恒成立，则；n 332n m ->+⨯*n ∈N 29m c >=-当为奇数时，对恒成立，则，即，n 332n m ⨯->-+*n ∈N 13m c ->=-3m <综上实数的取值范围为.m 93m -<<。
人大附中2021届高三上学期数学统练5-答案
人大附中2021届高三上学期数学统练52020 .12 .1一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ D ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ C ） A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为 ．-112．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为 ． （答案：21-5）13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-；14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．②④三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分） 设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分 由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分（II ）11()sin 0,sin 222A f A A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 3cos A =, …………………………………………6分 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=22132bc b c bc+=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)分sin bc A ∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以(h 在(,1)-∞-，上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分（Ⅰ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 7分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以g 在，上单调递减，在上单调递增. ………… 10分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)eg g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点.即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点P，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径 的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………4分 （Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为4r =， 故圆心到直线l的距离为d ==所以EF===分所以AB EF⋅===因为211≥t+，所以221(1)21≥tt+++，即221114(1)21≤tt++++．所以1≤AB FE⋅=．…………………………………11分当0t=时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE⋅=，所以AB FE⋅的最大值为1．………………………………12分四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos,()xf x xg x=为()f x的导函数．（Ⅰ）当,42xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f xg x xπ⎛⎫+-≥⎪⎝⎭；（Ⅱ）设nx为函数()()1u x f x=-在区间2,242n nππ⎛⎫π+π+⎪⎝⎭内的零点，其中n∈N，证明20022sin c seonnn xx x-πππ+-<-．（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意有()e(cos sin)xg x x x=-，从而()2e sinxg'x x=-．当,42xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x<，故()()()()(1)()022h'x f'x g'x x g x g'x xππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………….2分因此，()h x在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h fππ⎛⎫⎛⎫≥==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．…….……………………….4分（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)分由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， 因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<=⎪⎝⎭． 又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭， ………………………………….8分 故()()()()()022*******2s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<．所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分。
天津市南开中学2022-2023学年高三上学期数学统练5
南开中学2023届高三数学统练5一、选择题（共9小题;共45分)1.设集合A={x∣x2−4x+3<0} ,B={x∣2x−3>0} ,则A∩B=（)}A.{x∣−3<x<−32}B.{x∣−3<x<32}C.{x∣1<x<32<x<3}D.{x∣32=p(p为常数,n∈N,n≥1),则称{a n}为“等方比数列”.甲:数列{a n}2.若数列{a n}满足a n+12a n2是等方比数列;乙:数列{a n}是等比数列,则A.甲是乙的充分非必要条件B.甲是乙的必要非充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既非充分也非必要条件3.如图,是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图,若由直方图得到的众数,中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为a,b,c,则( )A.b>a>cB.a>b>c>bC.a+c2>aD.b+c2−1)sinx图象的大致形状为( )4.函数f(x)=(21+e x5.比较a=2−3.1,b=0.53,c=log3.14,则a,b,c的大小关系是( )A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.a <b <c6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n =S n n+2(n −1),则数列{1Sn +3n}的前10项和是( )A.25B.920C.511D.10117.已知函数f (x )=2sin (ωx −π12)sin (ωx +5π12)(0<ω<1)的图象关于点(π3,0)对称,将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象,则g (x )的一个单调递增区间是( )A.[−3π2,π2]B.[−π,π]C.[−π2,3π2]D.[0,2π]8.设向量a ⃗ 与b ⃗ 满足|a ⃗ |=2,b⃗ 在a ⃗ 方向上的投影向量为−12a ⃗ ,若存在实数λ,使得a ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 垂直,则λ=( )A.2B.−2C.√3D.−√39.已知函数f (x )={log 12x,x >0a |x +12|−154,x ≤0,函数g (x )=x 2,若函数y =f (x )−g (x )有3个零点,则实数a 的取值范围为( )A.(5,+∞)B.(5,152)C.(5,192)D.(5,192]二、填空题（共6小题;共30分)10.若复数z =(2−3i )2+m (m ∈R ) 为纯虚数,则|m +i |=. 11.(1−x )(1+2x )6 展开式中x 2的系数为.12.如图,在平面四边形ABCD 中,∠A =45∘,∠B =60∘,∠D =150∘,AB =2BC =2,则四边形ABCD 的面积为.13.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).①P (B )=25; ②P (B ∣A 1)=511;③事件B 与事件A 1相互独立; ④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件.14.已知a >0,b >0,且a +b =2,则a +2a +1b 的最小值为.15.在菱形ABCD 中,AB =6,∠BAD =60∘,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,已知点M 在线段EF 上,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为,若点N 为线段BD 上一个动点,则.三、解答题(共5小题;共75分)16.记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知点D 为AB 的中点,点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且acosA +acos (B −C )=2√3bcos (π−A )sinC(1)求A;(2)若BC=√19,DE=√7,求△ABC的面积.17.已知函数f(x)=2sin(x−π3)sin(x+π6)+2√3cos2(x−π3)−√3(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(2x)−a在区间[0,7π12]上恰有3个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3), （i）求实数a的取值范围;(ii)求sin(2x1+x2−x3)的值.18.在三棱锥ABCD中,已知CB=CD=√5,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,AO= 2,E为AC的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=14BC,设二面角F−DE−C的大小为θ,求sinθ的值.19.已知函数f(x)=1−x.e x(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的零点和极值; 成立,求实数a的最小值.(3)若对任意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)−f(x2)≥−1e220.已知函数f(x)=ax2−x−lnx.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x1,x2.(1)求实数a的取值范围;(2)证明:f(x1+x2)>2−ln(x1+x2)。
2020届高三一轮复习联考五全国卷数学
2020届高三一轮复习联考五全国卷数学（单选5分多选5分部分对2分共150分）1.则（）[单选题] *A.k1＜k3＜k2(正确答案)B.k3＜k1＜k2C.k1＜k2＜k3D.k3＜k2＜k12.若过点A(a，－1)和B(2，a)的直线的斜率为，则a的值为（） [单选题] *A.4B.0(正确答案)C.－4D.13.已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是（） [单选题] *A.1B.－1(正确答案)C.2D.－2.4.若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为（） [单选题] *A.135°B.45°(正确答案)C.30°D.60°5.经过点P(0，2)且斜率为2的直线方程为（） [单选题] *A.y＝－2x－2B.y＝2x－2C.y＝2x＋2(正确答案)D.y＝－2x＋26.过点(1，0)且与直线垂直的直线方程是（） [单选题] *A.B.C. (正确答案)D.7.已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点（） [单选题] *A.(1，3)B.(－1，－3)C.(3，1)(正确答案)D.(－3，－1)8.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（） [单选题] *A.1(正确答案)B.－1C.－2或－1D.－2或1直线在同一坐标系中的图形大致是（） [单选题] *A.B.C.(正确答案)D.10.直线x＋ky＝0，2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是（） [单选题] *A.B.(正确答案)C.2D.－211.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线（） [单选题] *A.恒过定点(－2，3)(正确答案)B.恒过定点(2，3)C.恒过点(－2，3)和点(2，3)D.都是平行直线12.两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是（）[单选题] *A.B.(正确答案)C.D.13.已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为（） [单选题] *A.B.C.3(正确答案)D.614.过点A(1，2)且与原点O的距离最大的直线方程是（） [单选题] *A.x＋2y－5＝0(正确答案)B.2x＋y－4＝0C.x＋3y－7＝0D.3x＋y－5＝015.直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为（） [单选题] *A.x－y－1＝0B.x－y－2＝0C.x＋y－1＝0(正确答案)D.x＋y＋1＝016.已知直线l的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l 的方程是（） [单选题] *A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝0(正确答案)17.圆的圆心和半径长分别为（） [单选题] *A.(4，－6)，16B.(2，－3)，4C.(－2，3)，4(正确答案)D.(2，－3)，1618.圆关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是（） [单选题] *A.B.C (正确答案)D19.已知点M(a，b)在圆外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是（） [单选题] *A.相切B.相交(正确答案)C.相离D.不确定20.直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为（） [单选题] *A.x－y＋5＝0(正确答案)B.x＋y－1＝0C.x－y－5＝0D.x＋y－3＝021.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心C在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（） [单选题] *A.B.(正确答案)C.D.22.直线y＝x＋b与曲线有且只有一个交点，则b满足（） [单选题] *A.B.(正确答案)C.D.非以上答案23.过两圆的交点的直线的方程是（） [单选题] *A.x＋y＋2＝0(正确答案)B.x＋y－2＝0C.5x＋3y－2＝0D.不存在24.若圆外切，则实数m的值为（） [单选题] *A.2B.－5C.2或－5(正确答案)D.不确定25.已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则直线l的斜率为（） *A.B. (正确答案)C.D. (正确答案)26.(多选题)下列命题中不正确的是（） *A.(正确答案)B.(正确答案)C.D.(正确答案)27.(多选题)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围可以是（） *A.B. (正确答案)C.D. (正确答案)28.(多选题)设r>0，圆的位置关系不可能是（） *A.外离(正确答案)B.外切(正确答案)C.相交D.内切29.(多选题)半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程可以是（） *A.B.C.(正确答案)D.(正确答案)30.(多选题)若实数x，y满足，则下列关于的判断正确的是（） *A.B.C.(正确答案)D(正确答案)。
北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练五数学试题(无答案)
统练5一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.在复平面内，复数所对应的点的坐标，为（ ）A.2 B.D.2i3.设，则（ ）A. B. C.D.4.如图，在中，是的中点.若，，则（ ）A. B. C. D.5.已知函数，则（ ）A.是奇函数，且在上单调递增 B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增 D.是偶函数，且在上单调递减6.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.在中，“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.记为等比数列的前项和，已知，，则数列（）A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项9.声音的等级（单位：dB ）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机{}13A x x =-<<{}04B x x =<≤A B = ()0,3()1,4-(]0,4(]1,4-z ()1,1-z z ⋅=2i -0a b <<11a b <b a a b >2a b +>2b a a b+ABC △D BC AB a = AD b = AC = 32a b-2a b -2a b -+1122a b +()e ex x f x -=-()f x ()0,+∞()0,+∞()0,+∞()0,+∞()f x R (],0-∞()11f =-()()2log 3g x x =+()()f x g x ≥x (],1-∞-[)1,-+∞(]3,1--(]3,1-ABC △sin cos A B =π2C n '=n S {}n a n 18a =41a =-{}n S ()f x x 2W/m ()1210lg 110x f x -=⨯⨯起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）A.倍B.倍C.倍D.倍10.已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（ ）A.18 B.17 C.14 D.13二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分.11.在，，三个数中，最大数的是______.12.已知，且有，则______.13.已知正方形边长为2，为的中点，是正方形及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的曲线的长度为______.14.若实数，且，满足方程组，则______，______.（写出一组值即可）15.设是由实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积，令.给出以下四个结论：①存在，使得；②存在，使得；③若，则的取值范围是；④若，则满足的数表共有个其中所有正确结论的序号是______.三、解答题 共6道小题，共85分。
天津市南开中学高三数学统练5 理
天津市南开中学2015届高三数学统练5 理一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1.已知函数()1cos fx xx =，则()2f f π⎛⎫'π+= ⎪⎝⎭（ ） A.1-π B. 2-π C. 3-π D. 4-π2.已知函数()e x fx x =，则()min f x =（ ）A. 1-B. e -C. 1e -D. 不存在3.已知函数()sin x fx e x =，则它在点()()4,4f 处的切线的斜率为（ ）A.0B.锐角C. 2πD.钝角4.已知对于任意实数x ，有()()f x fx -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）A. ()()0,0f x g x ''>>B. ()()0,0f x g x ''><C.()()0,0f xg x ''<>D.()()0,0f xg x ''<<5.已知函数()2ln fx x x =+，则（ ）A.12x =是()f x 的极大值点 B.12x =是()f x 的极小值点C. 2x =是()f x 的极大值点D. 2x =是()fx 的极小值点6.已知正三棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）D.7.已知函数()32247fx x x x =---，其导函数为()f x '，则以下4个命题：①()f x 的单调减区间是2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②()f x 的极小值是15-； ③()fx 有且只有一个零点；④当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()()()fx f a f a x a '>+-.其中真命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 8.已知函数()fx 是定义在()0,+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+…，对任意正数,a b 有a b <，则（ ） A. ()()af b bf a … B.()()af b bf a …C.()()af a f b … D. ()()f a bf b …9.曲线2e 1xy -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形面积为（ ） A. 1 B. 23 C. 12 D. 1310. 如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）A.3131255y x x =- B. 3241255y x x =- C. 33125y x x =- D.3311255y x x =-+11. 设函数()fx 在R 上的导函数为()f x '，且()()22f x x f x x '+>下面的不等式在R内恒成立的是（）A.xxf>)( B. xxf<)( C. 0)(>xf D. 0)(<xf12. 设D是函数()y f x=定义域内的一个区间，若存在0x D∈，使()00f x x=-，则称0x是()f x的一个“次不动点”.若函数()2532f x ax x a=--+在区间[]1,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A. (),0-∞B.1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦ C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 已知函数()()()()()1234f x x x x x x=----，则()0f'=.14. 已知函数()lnf x kx x=+在点()1,k处的切线平行于x轴，则k= .15. 已知函数()3f x x kx=-在区间()3,1--上不单调，则实数k的取值集合是 _____.16. 已知函数()324f x x ax=-+-在2x=处取得极值，若[],1,1m n∈-，则()()f m f n'+的最小值是___ _.17.已知函数()f x的导函数()()5cos,1,1f x x x'=+∈-，且()00f=，若()()2110f x f x-+-<，则实数x取值的集合是 .18.设函数()f x若曲线siny x=上存在点()00,x y使得()()00f f y y=，则a的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）(1) 求在1次游戏中，(ⅰ) 摸出3个白球的概率；(ⅱ) 获奖的概率；(2) 求在2次游戏中，获奖次数X的分布列及数学期望() E X.20. 已知函数()cos sinf x x x x=-，π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证：()0 f x…；（2）若sin xa bx<<对π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求a的最大值与b的最小值.21.设函数()()ln1f x x=+，()()g x xf x'=，0x…，其中()f x'是()f x的导函数.（1）令()()1g x g x=，()()()1n ng x g g x+=，n N+∈，猜想()ng x的表达式；（2）若()()f x ag x…恒成立，求实数a的取值集合.22. 设()()e ,R ,R x fx x a a x =-∈∈.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.（1）求a 的取值范围；（2）证明21x x 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x +随着a 的减小而增大.班级 姓名 学号 成绩 天津南开中学2015届高三数学统练5（理科） 答题纸13._____________ 14.______________ 15._____________16.______________ 17._____________ 18.______________三、解答题19.20.21.22.天津南开中学2015届高三数学统练5（理科）答案 一、选择题二、填空题13. 24 14. 1- 15. ()3,27 16. 13- 17.(1, 18. [1,e]三、解答题19. 解： (1) (ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件i A ()0,1,2,3i =，…1’则()213232253C C 1C C 5P A =⋅=......2’ (ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，…1’()2112133222222225353C C C C C 1C C C C 2P A =⋅+⋅=，…2’因为2A 和3A 互斥，…1’所以()()()231172510P B P A P A =+=+=...1’(2) X 的所有可能值为0,1,2X =…1’()2790110100P X ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，…1’()12772111101050P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭，…1’()2749210100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，…1’所以X 的分布列是…….1’数学期望()921497012100501005E X =⨯+⨯+⨯=.......2’20. 解： （1）证明：由已知()sin f x x x'=-=，…2’因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，…..2’ 因此()()00fx f =………1’（2）解：令()sin g x x cx=-，…….1’则()cos g x x c'=-………1’当0c …时，对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x >恒成立；…………..1’ 当01c <<时，存在唯一0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=，………….1’若()00,x x ∈，则()0g x '>，故()g x 在区间()00,x 上单调递增，………..1’若0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '<，故()g x 在区间0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，…………1’又因为()00g =，故要使()0g x >对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，只须使π02g ⎛⎫ ⎪⎝⎭…，解之得20πc <…；………………..2’当1c …时，对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，故()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()00g x g <=恒成立………………2’综上所述，当2πc …时，()0g x >对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；当1c …时，()0g x <对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若sin x a b x <<对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1…..1’21.解: 解：（1）由已知()11x g x x =+，()212x g x x =+，()313xg x x =+，猜想()1n xg x nx =+….4’（2）令()()()()()ln 1,01axh x f x ag x x x x =-=+-+…，………….1’则()()()()2211111x a ah x x x x --'=-=+++，………………………..2’当1a …时，即10a -…时，()0h x '…，（仅当0,1x a ==时等号成立），所以()h x 在[)0,+∞上单调递增……………………….1’故当[)0,x ∈+∞时，()()00h x h =…，…………….1’即1a …时，()()fx ag x …恒成立；……………….1’当1a >时，10a ->时，若[)0,1x a ∈-，则()0h x '<，所以()h x 在区间[)0,1a -上单调递减…………………….1’故()()100h a h -<=………………………….1’即1a >时，存在[)0,x ∈+∞使()0h x <，……………………..1’即()()fx ag x …不恒成立……………………………..1’综上可知，a 的取值范围是(],1-∞………………………………….1’22.解: （1）解：由已知()1e xy f x a '==-.①当0a …时，()0f x '>在R 上恒成立，可得()fx 在R 上单调递增，不合题意….1’②当0a >时，令()0f x '=可得ln x a =-…………….1’当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '>，可得()f x 在区间(),ln a -∞-上单调递增； 当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '<，可得()f x 在区间()ln ,a -+∞上单调递减…..1’所以，函数()y fx =有极大值()ln ln 1f a a -=--……………..1’令ln 10a -->，解得10e a <<，取10t =，则()1,ln t a ∈-∞-且()10f t a =-<；……………..1’又由0a >，知2a a <，则2ln ln 2a a a -+<，所以22ln ln aa a +>-.取222ln t a a =+，则()22222222ln 2e e ln e a a a f t a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.利用导数易证：当0x >时，ln e xx x <<恒成立.由20a >，可得222ln <e a a a <，即()20f t <……………….1’综上可得：当10e a <<时，()ln 0f a ->，存在()1,ln t a ∈-∞-，使()10f t <，存在()2ln ,t a ∈-+∞，使()20f t <.即函数()y f x =有两个零点.故a 的范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭……………………..1’（2）证明：由()e 0x f x x a =-=，得e x x a =.设()e x x g x =，由()1e x x g x -'=，知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.并且当(],0x ∈-∞时，()0g x …， 当()0,x ∈+∞时，()0g x >. 因为12,x x 是函数()y f x =的两个零点，且12x x <， 所以，()()12a g x g x ==. 由10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及函数()g x 的单调性，可得()10,1x ∈，()21,x ∈+∞. 对任意的110,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设12a a >，()()121g g a ξξ==，其中1201ξξ<<<，()()122g g a ηη==，其中1201ηη<<<. 因为()g x 在()0,1上单调递增，所以，由12a a >，即()()11g g ξη>，可得11ξη>；同理可证：22ξη<. 又由10ξ>，10η>，得222111ξηηξξη<<. 所以21x x 随着a 的减小而增大.令()()()1ln,1,1x xh x xx+=∈+∞-，则()()212ln1x xxh xx-+-'=-，令()12lnu x x xx=-+-，得()21xu xx-⎛⎫'= ⎪⎝⎭.当()1,x∈+∞时，()0u x'>，.。
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高三数学统练五
一．选择题：
1. 已知数列{a n }的前n 项和S n =3 n ＋1，则通项公式a n 为（ ）。
（A ）a n =2．3 n －1 （B ）a n =2．3 n ＋
1
（C ）a n =⎩⎨⎧≥⋅=-2n 3
21n 4
1
n （D ）a n =⎩⎨⎧≥⋅=+2
n 3
21
n 4
1
n
2. 若等差数列{}n a 的前三项为x -1，x +1，2x +3，则这数列的通项公式为（ ）． A. 25n a n =-
B. 23n a n =-
C. 21n a n =-
D. 21n a n =+
3．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9=（ ）
A . 81
B . 27527
C . 3
D . 243
4. 若0＜a ＜1，则函数⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=x a y )21(1log 在定义域上是（ ）．
A. 增函数且y ＞0
B. 增函数且y ＜0
C. 减函数且y ＞0
D. 减函数且y ＜0
5. 一个等差数列的前三项和为34，后三项和为146，所有项和为390，则这个数列有（ ）
A ．10项 B. 11项 C. 12项 D. 13项 6．已知a, b 为不等的正数，且a, x, y, b 依次成等差数列，a, m, n, b 依次成等比数列，则x ＋y 与m ＋n 的大小关系是（ ）。
（A ）x ＋y<m ＋n （
B ）x ＋y=m ＋n （
C ）x ＋y>m ＋n （
D ）x ＋y ≥m ＋n
7.若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）． A. 2003 B. 4006 C. 4007 D. 4008
8 . 设实数a ∈]3,1[ -, 函数2()(3)2f x x a x a =-++, 当()1f x >时，实数x 的取值范围是 ( ) A . ]3,1[ - B . ),5(∞+- C . ),5()1,(∞+--∞ D . ),5()1,(∞+-∞
二、填空题：
9、已知等比数列{}
n a 中, n a >0, 且243546236a a a a a a ++=，则35a a += ；
10.设116
32
(5)x x -的展开式中所有项的系数和为M ,二项式系数和为N ，则M N =
；
11. 已知函数y =f (2x -1)的定义域为[-1,1]，则函数y =f [lg(x -
2
1
)+1]的定义域为 ． 12．若数列{}n a 的前n 项和2
10(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为
；数列
{}n na 中数值最小的项是第
项．
13.（理）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数
关系式为a
t y -⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答：从药物释放开始，每立方米空气中的含
药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .
（文）．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个
等差数列，则插入的两个数分别是 ． 14.对于函数f(x)定义域中任意的)(,2121x x x x ≠有如下结论: ①)()()(2121x f x f x x f =+;②)()()()(2121x f x f x f x f =+; ③
0)
()(2
12<--x x x f x f ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+. 当x x f 2
1log )(=时,上述结论正确的序号是______ .
高三数学统练（五）答题纸
班级: 姓名:
一、选择题（每题5分,共40分）
二、填空题（每题4分,共24分）
9．_________________； 10．__________________；
11．________________ 12．__________________；
13．________________； 14．___________________；
三、解答题：（共36分） 15.已知函数,2)(1+=x x f （1）若将y=)(1
x f -的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,就得到y=)(x g 的图象,写出y=)
(x g 的解析式.
（2）若F(x)= )(2x g -)(1
x f -,求F(x)的最小值及取得最小值时的x 值.
16.数列｛a n ｝是等差数列,且21=a , a 1+a 2+a 3 =12 （1）求数列｛a n ｝的通项公式a n .
（2）设n n n x a b =.（R x ∈）,求数列｛n b ｝的前n 项和公式.
17.已知二次函数f(x)=)(100619)310(2*22N n n n x n x ∈+-+--
（1）设函数y=f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列｛a n ｝,求证: 数列｛a n ｝是等差数列. （2）设函数y=f(x)图象的顶点到y 轴的距离构成数列｛b n ｝,求数列｛b n ｝的前n 项和公式. （3）在（1）的条件下,若数列｛C n ｝满足C n =1+
)(2
2541
*N n a n n
∈+-,
求数列｛C n ｝中值最大的项和最小项.
18.（选做）已知函数a ax x x f ,13)(3-+=为实常数．
（1）a 在什么范围内时，3)(==y x f y 与只有一个公共点？
（2）若]2,0()0,2[1
)()(2
⋃-+=
在x x f x ϕ上有最小值2，求a 的值．。