相似三角形模型分析大全 (1)

相似三角形的基本模型
（一）A 型、反A 型（斜A 型）
B
C
D
E
（平行）
C
B
D
E
（不平行）
自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。

例1：（2008湘潭市） 如图，已知D 、E 分别是的△ABC 的AB 、 AC 边上的点，DE ∥BC ，且△ADE 与四边形DBCE 的面积比为1:8，那么AE ：AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 2
例2：（2008江苏盐城）如图，D 、E 两点分别在△ABC 的边AB 、 AC 上，DE 与BC 不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE ∽△ACB ．
（二）X 型 蝴蝶型
（平行）(8字型） （不平行）（蝴蝶型）
自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。

例1：如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．
（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
例2：（2013?内江）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ） A ． 2：5 B ． 2：3 C ． 3：5 D ．
3：2 例3：（哈尔滨）在平行四边形ABCD 中，E 为直线CD 上一点，DE=2CE ，F 是AD 的中点，连接EF 交BD 交于点P ，则DP ：PB=____________ （三）共边共角型 母子型
自己在《课堂精练》中找几道相应的题目。

课本P90第4题：已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠DAE=45°． 求证：（1）△AB E ∽△ACD ； （2）BC 2=2BE ×CD
例：在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形 _______________；并写出它的面积比
（四）一线三等角模型： 以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 包括“三垂直”模型： 例1：(2013·天津)如图所示，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则AE 的长为
例1图 例2图
例2：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE
例3：在△ABC 中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；
②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
例4：正方形ABCD
的边长为5（如下图），点P 、Q
分别在直线．．CB 、直线．．DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.
C
A
D
B E
F
A
B
C
备用图
A
B
C P
Q
A
B
C
备用图
例5：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如果P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，
并写出x 的取值范围；
②当CE ＝1时，写出AP 的长．
例6：如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
E B
C
A
D
P
例7：已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。

例8：如图所示,在矩形AOBC 中,点A 的坐标是﹙-2,1﹚,点C 的纵坐标是4,则B,C 两点的坐标分别是（ ）
A.32,3,,423⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
B .31
,3,,422⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
C.772
,,,4423⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
D.771
,,,4422⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
例9：在平面直角坐标系中，点C ﹙-3,0﹚，点A,B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且
满足2310OB OA -+-=．
（1）求点A ，点B 的坐标．
（2）是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
例10、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在
两坐标轴上，点C 为（-1，0）．如图所示，B 点在抛物线y=21x 2+2
1
x-2图象上，过点
B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为-3． （1）求证：△BD
C ≌△COA ；
（2）求BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （五）燕尾型
例1：已知：如图，= 求证：△ADB ∽△AEC
例2：如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED （六）旋转型：（由A 字型旋转得到） 《课堂精练》91页第8题。

例：（2008扬州）如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，连结BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G . （1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由
（2）如果∠ABC=∠CBD ，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗？为什么？ （七）山字型
例：(2013·乌鲁木齐)如图所示，AB ∥GH ∥CD ,点H 在BC 上，A C 与BD 交于点G,AB =2,CD =3,则GH 的长为 .
（八）金字塔模型 沙漏模型
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

例1：如图，DE ∥BC ,若AD=3，BD=2，AG ⊥BC ，交DE 于 F,，则AG:AF= ： , 计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：
A
B
C
D
E
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
C D
A P
如图，在Rt △ABC 中∠C=90°，放置边长分别为4、6、x 的三个正方形，则x 的值为__
如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为___(先求梯形的上
下底)
如图直角三角形中，三个正方形的边长分别为a ，b ，c ，请证明：b=a+c
P
O C
D
A。