复变函数 第二章 解析函数

= lim
∆x + 2∆yi ∆x → 0 ∆x + ∆yi ∆y →0
1 ∆y = 0, (平行于x轴) = 2 ∆x = 0, (平行于y轴)
所以导数不存在。 所以导数不存在。 ╬
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3. 连续、可导、可微 连续、可导、
（1） 可导与连续 ） 可导必定连续，连续不一定可导。 可导必定连续，连续不一定可导。 （2） 可微与可导 ） 在点ｚ 与一元函数一样 w = f (z ) 在点ｚ0的微分
| ∆x ⋅ ∆y | f ( 0 + ∆ z ) − f ( 0) = lim f ′(0) = lim ∆z → 0 ∆x →0 ∆x + i∆y ∆z ∆y →0
╬
| (∆x) 2 | 1 取∆y = ∆x lim , ∆x →0 ∆x (1 + i ) = ± 1+ i
所以不存在。 所以不存在。
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[例3]判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。 例 判断下列函数的可导性 解析性，并求导数。 判断下列函数的可导性，
（1） f ( z ) = x 3 − y 3 + 2ix 2 y 2 ） 解： u ( x , y ) = x 3 − y 3 , v ( x , y ) = 2 x 2 y 2 ∂u 2 ∂u 2 ∂v 2 ∂v = 3x , = −3 y , = 4 xy , = 4 x 2 y ∂x ∂y ∂x ∂y 3x 2 = 4 x 2 y x = 0 x = 3 4 ∂u ∂v ∂v ∂u ⇒ , 由： = , =− ⇒ 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y y = 0 y = 3 4 3 y = 4 xy 处可导，故处处不解析。 所以 f (z ) 只在 (0,0), (3 4 , 3 4) 处可导，故处处不解析。 ╬
所以： 所以： f ′( z ) =
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∂u ∂v ∂v ∂u +i , f ′( z ) = −i ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v = , =− 且： ∂x ∂y ∂y ∂x
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2、定理1的逆不一定成立，即f(z)在z处满足C-R条件但不一 、定理 的逆不一定成立 的逆不一定成立， 在 处满足 定可导。 定可导。 [例1] 验证 f ( z ) = | xy | 在 z = 0 处满足 处满足C-R条件，但不可导。 条件， 例 条件 但不可导。 Proof:令 u = | xy |, v = 0 令
∂u ∂x = lim
(0 ,0 ) ∆x→ 0
u ( ∆ x ,0 ) − u ( 0 ,0 ) ∆x
= lim
0−0 ∆x
∆x→ 0
= 0,
∂v ∂y
=0
(0,0)
所以
∂u ∂v = ∂x ( 0, 0 ) ∂y
, 同理
( 0, 0 )
∂v ∂x
=−
( 0,0)
∂u ∂y
( 0,0)
即满足C-R条件； 条件； 即满足 条件
= lim R ( z )
z→ 0
= lim x = 0
x →0 y →0
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[例2] 证明 f ( z ) = x + 2 yi 在任意点处不可导。 例 在任意点处不可导。
Proof:
f ( z + ∆z ) − f ( z ) lim ∆z → 0 ∆z [( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i] − ( x + 2 yi) = lim ∆z → 0 ∆x + ∆yi
f ( z) = z 2 2、 、
解： f ( z ) = z 2 在复平面上处处可导，处处解析。 在复平面上处处可导，处处解析。 1 3、 f ( z ) = 、 z 1 外处处可导，处处解析。 解： f ′( z ) = − 2 ，除 z = 0 外处处可导，处处解析。 z 1+ z 4、 f ( z ) = 、 ╬ 1− z 2 z = 1 外处处可导，处处解析。 f ′( z ) = 外处处可导，处处解析。 解： 2 ，除 (1 − z ) 返回
∂u ∂x
∂v ∂x ∂u − ∂y ∂v ∂x
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Proof:
f (z ) 在ｚ处可导，则: 处可导，
f ′( z ) = lim
∆z → 0
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
= lim
u ( x + ∆x, y + ∆y ) + iv ( x + ∆x, y + ∆y ) − u ( x, y ) − iv ( x, y ) ∆x → 0 ∆x + i∆y ∆y → 0
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1、导数的定义： 、
上有定义， 上有定义 z 设 w = f (z ) 在D上有定义， 0 ∈ D, z 0 + ∆z ∈ D 。若
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 处可导。 存在， 存在，则称 f (z ) 在z0处可导。记为 lim ∆z →0 ∆z
dw ′( z 0 ) = f dz
[例4] 证明 f ( z ) =| z | 2 在 z = 0 处可导，但不解析。 例 处可导，但不解析。
f ( z ) − f ( 0) | z |2 z⋅z f ′(0) = lim = lim = lim = lim( x − yi) = 0 解（1） ） z →0 z →0 z →0 z x →0 z −0 z y →0
dw = f ′( z 0 )dz ，因此可导与可微是等价的。 因此可导与可微是等价的。
（3） 求导法则 ） 与一元函数一样。 与一元函数一样。 ╬
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定义
的邻域内处处可导， 1、定义1：若 f (z ) 在 z 0 及 z0 的邻域内处处可导，则称 、定义 ： 处解析。 f (z ) 在 z 0 处解析。 f (z ) 在 z 0 处 解析 可导
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim ∆z →0 ∆z
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[例1] 设 f ( z ) = z Re( z ), 求f ′(0) 例
解： f ′(0) = lim
f ( z ) − f ( 0) z →0 z −0 zR ( z ) = lim z →0 z
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2、定理3 、定理
在区域Ｄ内有定义， 设： f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在区域Ｄ内有定义，则
f (z ) 在Ｄ内解析的充要条件是 u ( x, y ), v ( x, y ) 在Ｄ内可微， 内可微，
且满足C-R条件。 条件。 且满足 条件 ╬
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f ( z ) =| z | 2 的解析性。 [例2] 用C-R条件判断函数 条件判断函数 的解析性。 例
第二章 解析函数
§1解析函数的概念 解析函数的概念 §2 解析函数的充要条件 §3初等函数 初等函数
主要内容
1、复变函数的导数概念和求导法则； 、复变函数的导数概念和求导法则； 2、解析函 、常用初等函数的解析性。
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§1解析函数的概念 解析函数的概念
处可导； 所以在 z = 0 处可导；
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) （2）设 ） ∆z →0 ∆z ( z + ∆ z ) ( z 0 + ∆z ) − z 0 z 0 | z 0 + ∆z | 2 − | z 0 | 2 = lim 0 = lim ∆z → 0 ∆z →0 ∆z ∆z ∆z ∆z = lim ( z 0 + ∆z + z 0 ) = z0 + z0 lim ∆z → 0 ∆ z → 0 ∆z ∆z ∆z ∆x − ∆yi 1 ∆y = 0(平行于x轴) Q lim = lim = ∆z →0 ∆z ∆z →0 ∆x + ∆yi − 1 ∆x = 0(平行与y轴) z0 ≠ 0, f ′( z0 ) = lim
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定理*： 解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。 定理 ： 解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。
[例3] 例
讨论下列函数的解析性，可导性。 讨论下列函数的解析性，可导性。
1、 f ( z ) = x + 2 yi 、
f 在复平面上处处不可导,处处不解析 解： ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导 处处不解析
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外处处不可导，故处处不解析。 所以除 z = 0 外处处不可导，故处处不解析。
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定理
解析函数的和、 解析函数的和、差、积、商及复合函数在解析区间内仍解析
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1、定理1 (必要条件 设 、定理 必要条件)设 必要条件
且在点z处可导 处可导， f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在区域 内有定义， 在区域D内有定义， 内有定义 且在点 处可导，则 ∂v ∂u ∂u ∂v −i ，or ， f ′( z ) = f ′( z ) = +i ∂y ∂y ∂x ∂x 且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件： 且满足柯西 黎曼（ 黎曼 ）条件： ∂u ∂v ∂u ∂v ， 。 = =− ∂x ∂y ∂y ∂x
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§3初等函数 初等函数
函数形式，运算性质, 一、指数函数（函数形式，运算性质 例1） ） 定义， 二、对数函数（定义，例2，例3，性质） ， ，性质） 乘幂， 三、乘幂与幂函数（乘幂，例4，幂函数） ，幂函数） 函数形式，性质， 四、三角函数（函数形式，性质，例5，例6） ， ） 函数形式，性质） 五、反三角函数（函数形式，性质） 函数形式，性质） 六、双曲函数（函数形式，性质） 函数形式） 七、反双曲函数（函数形式）