海门中学热点专题3.解析几何

热点专题3.解析几何解题突破1. 若双曲线122=-y x 与椭圆122=+y tx 有相同的焦点，则椭圆122=+y tx 的离心率= ▲ ．36 2. 已知点(,)P x y 的坐标满足：41x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，过P 的直线交圆22:25C x y +=于A B 、两点，则弦长AB 的最小值为 ▲ ．2153. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，P 是Γ的准线上一点，Q 是直线PF 与Γ的一个交点．若2PQ QF =，则直线PF 的方程为 ▲ ．10x y +-=或10x y --= 4.在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的中点，点M 满足MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+=的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为▲ ．23055．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ▲ ．86.设m R ∈，动直线0x my +=和直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，定点7(2,)2Q ，则PQ 最大值是 ▲ .5102+ 7. 若圆1O ：522=+y x 与圆2O ：20)(22=+-y m x 相交于B A ,两点，且两圆在点A 处 的切线互相垂直，则线段AB 的长是 ▲ ．48.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F （2，0）作其中一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点．当△OEF 的面积最大时，双曲线的离心率= ▲ ．29. 已知圆M ：22(2)(3)4x y -+-=,过点P （0，t ）的直线交圆于不同的两点A,B ，且P A =AB ， 则实数t 的取值范围是 ▲ ． [342,3)(3,342]-⋃+ 10.已知A ，B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，且120k k ≠，若12||||k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为 ▲ ．3211.已知21,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以21F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠= ▲ ．4512.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是 ▲ ．2413.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :2212412x y +=,设00(,)R x y 是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆R ：()()22008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，则12k k =▲ .12-14.已知圆22:(4)(4)4C x y -+-=，且(,0),(0,)(0)A a B aa >，对于圆C 上任意一点P ，APB ∠均为锐角，则a 的取值范围为 ▲ ．042a <<-15. 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则bλ= ▲ ．-116.已知点)0,4(M ，点P 在曲线x y 82=上运动，点Q 在曲线1)2(22=+-y x 上运动，则PQPM 2取到最小值时P 的横坐标为 ▲ ．217.已知圆0654)26(:222=-+---+m m my x m y x C ，定直线l 经过点A (1,0)，若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长始终为定值A ，求得此定值A = ▲ ．51452 18．已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()2220x y r r +=>上恰有两点M ，N ，使得M AB ∆和NAB ∆的面积均为5，则r 的取值范围是 ▲ .(1,5)19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22，设过右焦点的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，过A ，B 作直线2x =的垂线AP ，BQ ，垂足分别为P ，Q ．记λAP BQPQ+=， 若直线l 的斜率k ≥3,则λ的取值范围为 ▲ ．2(2,6]320．已知圆1:22=+y x O 和双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则=-2211b a ▲ ．1 21.已知椭圆 1422=+y x 的两个焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则三角形F 2AB 的内切圆半径的取值范围为 ▲ ．1(0,]222.已知点A （-1，0），B （1，0 ），直线l ：x =-1.P 为平面上一动点，设直线P A 的斜率为k 1，直线PB 的斜率为k 2，且k 1k 2=-1，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，则三角形APQ 面积的最大值为 ▲ ．33823. 已知椭圆22221x y a b+= ()0a b >>的右焦点为1(1,0)F ，离心率为e ．设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若03k <≤，则e 的取值范围为 ▲ ．[31,1)-24.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，21,A A 是实轴顶点，F 是右焦点，()b B ,0是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点()2,1=i P i ，使得()2,121=∆i A A P i 构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 ▲ .5122(,)+25.如图，已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的离心率12e =．点,F A 分别为椭圆Γ的左焦点和右顶点，且3AF =．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点F 作一条直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为Q '．若PF AQ '∥，求证：12PF AQ '=． 【解析】（Ⅰ）设椭圆Γ的半焦距为c ，则1,23,c e a AF a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩解得2,1a c ==， 所以2223b a c =-=， 所以椭圆Γ的方程为22143x y +=．（Ⅱ）方法一：依题意得， PQ 与坐标轴不垂直．设()()1122,,,P x y Q x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-．由（Ⅰ）讨论可知，()()2,0,1,0A F -．xyPQ'QA F O因为PF AQ '∥，所以直线FQ 与直线AQ '的斜率相等，故222212y y x x -=+-， 解得212x =． 又因为点()22,Q x y 在椭圆Γ上，所以2354y =，或2354y =-． 由椭圆对称性，不妨取2354y =，则直线PQ 的斜率22512y k x ==+． 所以直线PQ 方程为()512y x =+． 由()2251,23412,y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得点P 坐标为735,48⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 所以()()()()()2222222211111811111164PF x y x k x k x =++=+++=++=， ()()()()()2222222222222812221216AQ x y x k x k x '=-+=-+-=+-=．所以12PF AQ '=．方法二：依题意，得PQ 与坐标轴不垂直．设l 方程为()1y k x =+（0k ≠），()()1122,,,Px y Qx y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以()22,Q x y '-．又因为椭圆关于x 轴对称，所以点Q '也在椭圆Γ上． 由()221,3412,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x 得()22234690k y ky k +--=． 所以12260,34ky y k ∆>+=+．因为PF AQ '∥，所以直线AQ '的方程为()2y k x =-．由()222,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去x 得，()2234120k y ky ++=． 因为直线AQ '交椭圆于()()222,0,,A Q x y '-两点，所以221234k y k --=+，即221234ky k =+． 设FP AQ λ' =（0λ>），则()()11221,2,x y x y λ+=--，所以1221234k y y kλλ-=-=+． 所以()122212163434k k y y k k λ-+==++，解得12λ=， 所以12FP AQ '= ，即12PF AQ '=．26.已知圆O 的方程为1322=+y x ，直线:l 00+13x x y y =，设点00(,)A x y ． （1）若点A 在圆O 外，试判断直线l 与圆O 的位置关系；（2）若点A 在圆O 上，且02x =，00y >，过点A 作直线,AM AN 分别交圆O 于,M N 两点，且直线AM 和AN 的斜率互为相反数；① 若直线AM 过点O ，求tan MAN ∠的值；② 试问：不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．②记直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为：32y kx k =+-．将32y kx k =+-代入圆O 的方程得：22(12)33kx x k +-+=，27.如图，O 为坐标原点，椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为P ，离心率e =12．直线PF 2交椭圆E 于另一点Q ，△PQF 1的周长为8． （I ）求椭圆E 的方程；（II ）若点R 满足2+PO PQ PR ＝，求△PQR 的面积；（III ）若M 、N 为椭圆E 上异于点P 的两动点，试探究：是否存在点M 、N ，使得△PMN 为正三角形？若存在，求出M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（Ⅰ）由已知可得，12c a =，4a =8，所以a =2，c =1．· 又由222b ac =-，解得3b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）因为2=+ PO PQ PR ，所以OR QO =， 所以R ，O ，Q 三点共线，且R 在椭圆E 上．直线PF 2的方程为y =3-(x －1)，由221,433(1),x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩得5x 2－8x =0，解得x =85或x =0， 所以P （0，3），Q （85，335-），R （85-，335）．· 所以S △PQR =S △POR +S △POQ =12|PO |·|x Q －x R |=116833255⨯⨯=．（Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，335-），（85，335-）时，△PMN 为等边三角形． 证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．当MN ⊥y 轴时，因为∆PMN 为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M ，N 的坐标为（－85，335-），（85，335-），符合题意． 当MN 不与坐标轴垂直时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），MN 的中点为D （x 0，y 0），由221122221,431,43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=， 即012121212033()4()4x y y x x x x y y y -+=-=--+，所以k MN =0034x y -．因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即00003314x y y x --⋅=-， 解得y 0=33-，与y 0∈[3,3]-矛盾，此时不存在M ，N 使△PMN 是等边三角形．·综上，存在M ，N ，且其坐标为（－85，335-），（85，335-）时，△PMN 是等边三角形． 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）同解法一，可得|QR |=2|QO |=228332912()()555+-=． 因为直线QR 的方程为y=338-x ，即33x+8y=0， 所以点P （0，3）到直线QR 的距离d =22|33083|8391(33)8⨯+⨯=+． 所以S △PMN =12|QR |·d =1291838325591⨯⨯=． （Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，335-），（85，335-）时，△PMN 为等边三角形． 证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．（1）当MN 垂直于坐标轴时，同解法一．（2）当MN 不与坐标轴垂直时，设直线MN 的方程为y=kx+m （k ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由221,43,⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx m 得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434--+==++km m x x x x k k ，MN 的中点坐标为2243(,)3434-++km mD k k． 因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =-1，即2233341434-+⋅=--+mk k km k ，化简得23(34)=-+m k ， （*）又因为222222644(34)(412)48(43)0∆=-+-=+->k m k m k m ， 即2234<+m k ，这与（*）式矛盾，满足条件的M ，N 不存在．综上，存在M ，N ，当其坐标为（－85，335-），（85，335-）时，△PMN 是等边三角形．（第28题图）1A 2A NO yxM 28. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为223，其左、右顶点分别为12(3,0),(3,0)A A -．一条不经过原点的直线l y kx m =+：与该椭圆相交于M 、N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若0m k +=，直线1A M 与2NA 的斜率分别为12,k k ．试问：是否存在实数λ，使得120k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题设可知3a =因为223e =即223c a =，所以22c =．又因为222981b a c =-=-= 所以椭圆C 的方程为： 2219x y += （Ⅱ）解法一：由0m k +=知:(1,0)D ，设直线1A M 的方程为1(3)y k x =+，直线2NA 的方程为2(3)y k x =-．联立方程组122(3)19y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得:222111(19)548190k x k x k +++-= 解得点M 的坐标为21122113276(,)1919k k M k k -++． 同理，可解得点N 的坐标为22222222736(,)1919k k N k k --++ 由,,M D N 三点共线，有12221222122212661919327273111919k k k k k k k k -++=----++，化简得2112(2)(182)0k k k k -+=．由题设可知k 1与k 2同号，所以212k k =，即．121()02k k +-=所以，存在12λ=- 使得使得120k k λ+=.解法二：由0m k +=知，k m -=，直线l 方程化为)1(-=x k y ，所以l 过定点(1,0)D当直线l 的倾斜角∞→α时，)322,1(→M ，)322,1(-→N 此时621→k ，322→k ，2121-=-→k k λ由此可猜想：存在21-=λ满足条件，下面证明猜想正确联立方程组09918)91(19)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，则22219118k k x x +=+，22219199k k x x +-=⋅3111+=x y k ，3222-=x y k 所以12λ=-时，3213221121--+=+x y x y k k λ =)3)(3(2)3)(1()3)(1(2211221-++----x x x x k x x k=-++--)3)(3(2)955(211221x x x x x x k )3)(3(2)9911859199(212222-+++-+-x x k k kk k 0)3)(3)(91(2)8199099(212222=-++++--=x x k k k k k 由此可得猜想正确，因此，存在21-=λ使得120k k λ+=成立29.已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB的斜率之积为24b -．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，直线AP ，PB 与椭圆的右准线分别交于点M ，N ．①在x 轴上是否存在一个定点E ,使得EM EN ⊥?若存在，求点E 的坐标；若不存在,说明理由；②已知常数0>l ，求PM PN PA PB ⋅+⋅l 的取值范围. （1）由题意得，(,0),(,0)A a B a -，23322114DA DBb k k a a ⋅=⋅=-+- ， ∴2291b a =-，由点3(1,)2D 在椭圆C 上，则有：2223()121a b+= ，由以上两式可解得224,3a b ==． ∴椭圆方程为22143x y +=．（2）①椭圆右准线的方程为4x =． 假设存在一个定点(,0)E m ,使得EM EN ⊥．设点P 00(,)x y (02x ≠±)． 直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令4x =，0062y y x =+，∴点M 坐标为006(4,)2y x +．ABOPMNxy直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，令4x =，0022y y x =-， ∴点N 坐标为002(4,)2y x -． 若EM EN ⊥，则0EM EN ⋅= ，∵ 006(4,)2y EM m x =-+ ，002(4,)2y EN m x =-- ， ∴22200020006212(4)(4)0224y y y EM EN m m x x x ⋅=-+⋅=-+=+-- ．∵点P 在椭圆C 上，∴2200143x y +=，∴22003(1)4x y =- ，代入上式，得2(4)9m -= ， ∴17m m ==或，∴点E 的坐标为(1,0)(7,0)或． ②∵0000(4)(4,)2y x PM x x -=-+ ， 0000(4)(4,)2y x PN x x -=-- ， ∴2222000020(4)(4)(4)44y x x PM PN x x --⋅=-+=- ．∵00(2,)PA x y =--- ，00(2,)PB x y =-- ，∴202200444x PA PB x y -⋅=-+= ．∴PM PN PA PB ⋅+⋅ l 200(1)81644x x +-+-=l l ．设函数2000(1)8164()4x x f x +-+-=l l，定义域为(2,2)-，当421+≥l时，即01<≤l 时，0()f x 在(2,2)-上单调递减，0()f x 的取值范围为(1,9)， 当421<+l 时，即1>l 时，0()f x 在4(2,)1-+l 上单调递减，在4(,2)1+l上单调递增，0()f x 的取值范围为23[,9)1-++l l l． 综上，当01<≤l 时，PM PN PA PB ⋅+⋅l 的取值范围为(1,9)， 当1>l 时，PM PN PA PB ⋅+⋅ l 的取值范围为23[,9)1-++l ll．30.在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点B 、C 的坐标为B (－2，0)，C (2，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为－14，设顶点A 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）设曲线E 与y 轴负半轴的交点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与曲线E 的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，试求S∣k ∣的取值范围．解（1）设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋2，k AC ＝y x －2， 因为k AB ⋅k AC ＝－14，所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14， 即x 24＋y 2＝1．（或x 2＋4y 2＝4）.所以曲线E 的方程为 x 24＋y 2＝1（x ≠±2) ．（2）曲线E 与y 轴负半轴的交点为D (0，－1)．因为l 1的斜率存在，所以设l 1的方程为y ＝kx －1， 代入x 24＋y 2＝1，得M (8k1＋4k 2，4k 2－11＋4k 2)，从而DM ＝(8k 1＋4k 2)2＋(4k 2－11＋4k 2＋1)2＝8∣k ∣1＋k 21＋4k 2． 用－1k 代k 得DN ＝81＋k 24＋k 2．所以△DMN 的面积S ＝12⋅8∣k ∣1＋k 21＋4k 2⨯81＋k24＋k 2 ＝32(1＋k 2)∣k ∣(1＋4k 2)(4＋k 2)．则S∣k ∣＝ 32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2)， 因为k ≠0且k ≠±12，k ≠±2，令1＋k 2＝t ，则t ＞1，且t ≠54，t ≠5，从而S ∣k ∣＝32t (4t －3)(t ＋3)＝32t 4t 2＋9t －9＝329＋4t －9t ， 因为4t －9t ＞－5，，且4t －9t ≠－115，4t －9t ≠915．所以9＋4t －9t ＞4且9＋4t －9t ≠345，9＋4t －9t ≠1365，从而 S ∣k ∣＜8且S ∣k ∣≠8017，S ∣k ∣≠2017， 即S ∣k ∣∈(0，2017)∪(2017，8017)∪(8017，8)．31.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，点A ，B 分别为椭圆C 的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆C 于D 、E 两点，交AB 于M 点，其中点E 在第一象限，设直线DE 的斜率为k ．（1）当12k =时，证明直线DE 平分线段AB ； （2）已知点(0,1)A ， ①若6ADM AEM S S ∆∆=，求k ； ②求四边形ADBE 面积的最大值． 解：（1） 32e =，∴3,22a c a b ==，故(0,),(,0)2aA B a AB O ME Dxy 第32题图则AB 中点M '(,)24a a，而1422OM ak a '==，即AB 中点M '在直线DE 上， ∴直线DE 平分线段AB . （2） 点(0,1)A ∴椭圆C 的方程为2214x y +=设()()1100,, ,E x y M x y ，则11(,)D x y --，AB 的直线方程为：12xy += ①设点A 到直线DE 的距离为d , 6A D M A E MS S ∆∆=，则11622DM d ME d ⋅=⨯⋅ ∴DM=6ME解法一：0110()6x x DM ME x x --==-，即0175x x = 由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12414x k =+；由12y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0221x k =+ ∴224752114k k =++，即2242560k k -+= ∴23k =或38k =. 解法二：由DM=6ME ，得6DM ME =，0110()6()x x x x --=-，即0175x x =下解同解法（一）（给分同解法一） ②解法一： 点E 到直线AB 的距离111225x y d +-=点D 到直线AB 的距离112225x y d ++=111112222211()52255ADBE x y x y S AB d d ⎛+-++⎫=⋅+=⋅⋅+ ⎪⎝⎭=11111(2222)2x y x y +-+++=112x y + =22222211111111444(4)822x y x y x y x y ++≤+++== 当且仅当112x y =时取等号∴四边形ADBE 面积的最大值为22 .解法二：点A 到直线DE 的距离1211d k =+， 点B 到直线DE 的距离2221k d k=+∴22121121112()2221ADBE k S DE d d x y k+=⋅+=⋅+⋅+=2222121141k k k k ++⋅⋅++=22(12)14k k ++=222(12)44221212214144k k kk k k+=+≤+=++（当且仅当1k =取等号） ∴四边形ADBE 面积的最大值为22 .32.已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为1(1,0)F -，右准线方程为：4x =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点N 到定点(,0)(02)M m m <<的距离的最小值为1，求m 的值及点N 的坐标； （3）分别过椭圆C 的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A 、B 是所围成的矩形在x 轴上方的两个顶点．若P 、Q 是椭圆C 上两个动点，直线OP 、OQ 与椭圆的另一交点分别为1P 、1Q ，且直线OP 、OQ 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求四边形11PQPQ 的面积是否为定值，并说明理由．解：（1）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得：214c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：21a c =⎧⎨=⎩，∴23b =，∴椭圆的标准方程：22143x y +=； （2）设(,)N x y ，则22222221()()3(1)2344x MN x m y x m x mx m =-+=-+-=-++对称轴：4x m =，22x -≤≤ ①当042m <≤，即102m <≤，4x m =时，22min 331MN m =-+=， 解得：22134m =>，不符合题意，舍； ②当42m >，即122m <<，2x =时，22min 441MN m m =-+=，解得：1m =或3m =；122m << 1m ∴=；QQ 1PP 1B AOyx综上：1m =，(2,0)N ；（3）由题意得：四条垂线的方程为2x =±，3y =±，则(2,3)A ，(2,3)B - ∴34OA OB k k ⋅=-设11()P x y ，，22()Q x y ，，则121234y y x x =-①，221212()()PQ x x y y =-+-.∵点P 、Q 在椭圆C 上 ∴22113(1)4x y =-，22223(1)4x y =- 平方①得：2222221212129169(4)(4)x x y y x x ==--，即22124x x +=.①若12x x =，则P 、1P 、Q 、2Q 分别是直线OA 、OB 与椭圆的交点，∴四个点的坐标为：6(2,)2，6(2,)2-，6(2,)2-，6(2,)2--∴四边形11PQPQ 的面积为43； ②若12x x ≠，则直线PQ 的方程可设为：211121()y y y y x x x x --=--，化简得：21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=，所以O 到直线PQ 的距离为1221222121||()()x y x y d x x y y -=-+-，所以OPQ △的面积2222122112121221111||2222S PQ d x y x y x y x x y y x y =⋅=-=-+ 222222222111*********(1)3(1)3()343242422x x x x x x x x =-++-=+=⨯=. 根据椭圆的对称性，故四边形11PQPQ 的面积为4S ，即为定值43. 综上：四边形11PQPQ 的面积为定值43.。