指数对数幂函数完全复习

2. y=f(x) →y=f(x)+b：上下平移 y=f(x)+b, b>0 y=f(x) y=f(x)+b, b<0
b>0时，向上平移b个单位； b<0时，向下平移|b|个单位.
对称变换 y=f(x) →y=f(-x)： （关于y轴对称） y=f(x) →y= -f(x)： （关于x轴对称） y=f(x) →y= -f(-x)： （关于原点对称）
则 x 叫做 a 的 n 次方根。
记为： n a
根指数
根式
被开方数
根式的性质 1. 当n为奇数时：
正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
记作： x n a
2. 当n为偶数时， 正数的n次方根有两个（互为相反数）
记作： x n a
3. 负数没有偶次方根。 4. 0的任何次方根为0。
常用公式
值域为 0≤y<1
2.
y
(1)
1 x3
2
x≠ - 3
1 0 x3
y≠1, y>0 值域为 (0,1)∪(1,+∞)
指数函数3(函数的图象变换) 平移变换 1. y=f(x) →y=f(x-a)：左右平移
y=f(x) y=f(x-a)，a>0 y=f(x-a)，a<0
a>0时，向右平移a个单位； a<0时，向左平移|a|个单位.
根式
知识点
1．整数指数幂的概念
an a a aa(n N*)
n个a
a0 1(a 0)
a n
1 an
(a
0, n N*)
2．运算性质
a m an a mn (m, n Z ) (am )n a mn (m, n Z ) (ab)n an bn (n Z )
根式的定义
一般地，若 xn a(n 1, n N*)
解答见后面
u 3 ：单增
复合函数：同增，异减 减区间为(-∞,2];增区间为[2,+∞)
BC A
A’ B’ C’
f(a)=SAA’C’C-SAA’B-SB’C’C
(f2()af)(a)1 g(a) 1a(a2
2
2
ag(a2) 2 aa11)
1 [( a 2 a 1) ( a 1 a )] 2
1(
1
1
)0
2 a 2 a 1 a 1 a
7. (★★★★)当a≠0时，y=ax+b 和 y=bax
y=f(-x)
y=f(x)
y= -f(-x)
y= - f(x)
绝对值变换 y=f(x) → y=f(|x|)：把y轴右边的图像翻折到y轴左边 y=f(x) → y=|f(x)|：把x轴下方的图像翻折到x轴上方
y=f(x)
f(|x|)
y=|f(x)|
反函数变换 y=f(x) →y= f-1(x)： （关于 y=x 对称）
y
1
x
2
y 1 x
1
2
把 y 轴右边的图形翻折到 y 轴的左边
3. 作出函数 y= │ 2x -1│的图像
y= │ 2x -1│
y= 2x y= 2x -1
1
把 x 轴下方的图形翻折到 x 轴上方
4. 作出函数 y=|x-2|(x＋1) 的图象
分段函数：x≥2, y=(x-2)(x+1) x<2, y= -(x-2)(x+1)
(2)(3 25 125) 4 5
5
a6
12 55 54 5.
（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式， 然后计算。
举例
1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
7
(1) 3 a 4 a a12
7
（２） a a a
a8
（３） 3 (a b)2
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x的取值范围。
（1）定义域为{x|x≠1}；
1
0 x 1
值域为{y|y>0且y≠1}
1
⑴ y 0.4 x1
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
（2）
定义域为{x|
x
1 5
}
值域为{y|y≥1}
5x 1 ≥0
练习
2
4
⑴ 比较大小： (2.5) 3< ,(2.5) 5
2.532 2.532 , 2.554 2.554
底数化为正数。
(2). 已知下列不等式，试比较m、n的大小
(2)m (2)n 33
m<n 1.1m 1.1n
m<n
指数函数的应用
例1. 求下列函数的定义域、值域：
1
⑴ y 0.4 x1
nm
x x2 4
x 2 -4=( m n ) 2 -4=( m n ) 2
nm
nm
2 m n
A=
nm
m n m n nm nm
分子，分母同乘 mn
2mn
mn mn
讨论：见后
2mn
1. m>0，且 n>0，则 A=
mn mn
若
m n，则
A=
m
n
；若
m<n，则
n
A=
m
n
m
2nm
2. 设 m<0，且 n<0，则 A=
(
m
1 4
n
3 8
)8
.
m2
n3
3. 计算下列各式：
⑴ (3 25 125 ) 4 5 ； 12 55 54 5
⑵
a2 (a>0).
a 3 a2
6 a5
1
1
1
1
4 化简： (x 2 y 2 ) (x 4 y 4 )
1
1
x4 y4
5 已知 x+x-1=3,求下列各式的值：
1
1
3
3
(1)x 2 x 2 , 5 (2)x 2 x 2 . 2 5
y=|x-2|(x＋1)
-1
2
x<2的部分关于 x 轴对称
6. 如图，点A、B、C都在函数y= x 的图象上，它们的
横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分 别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a), △A′BC′ 的面积 为g(a). (1)求函数f(a)和g(a)的表达式； (2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.
2
x2 x1 0
2
x1 x2 2 0
x1, x2 ,1
y2/y1>1，函数单调增
x1 x2 2 0
x1, x2 1, y2/y1<1，函数单调减
解法二.（用复合函数的单调性）
设： u x2 2x
则：
y
1
u
2
在R内单减
u x2 2x 在[-∞,1)内，单减；[1,∞)内，单增。
8
2 3
,100
1 2
,
(
1
)
3
,
(16
)
3 4
4 81
解：
2
83
2
(23 ) 3
3 2
2 3
22
4
1
100 2
(10
2
1
)2
2( 1 )
10 2
10 1
1
10
( 1 )3 (22 )3 2(2)(3) 26 64 4
(16
)
3 4
(
2
)
4(
3 4
)
( 2)3
27
81
3
3
8
2. 用分数指数幂的形式表示下列各式：
mn nm
若 n m，则
mn
A=
；
若
n<m，则
nm
A=
.
n
m
m n
综上所述得：A=
n
n
m
m
(m (m
n) n)
指数函数
指数函数的定义 函数 y=ax, (a>0,a≠1) 叫做指数函数， 其中x是自变量，函数定义域是R。
注意 类似与 2ax，ax+3的函数，不能叫指数函数。
y a x (a 0且a 1) 的图象和性质。
y≥1
（3）所求函数定义域为R 值域为{y|y>1}
例2. 求函数 y 1 x22x 的单调区间，并证明。 2
解一（作商法）：设，x1<x2
结合图像
1 x22 2x2
y2 y1
2 1
x12 2 x1
1 x12 x12 2x2 2x1 2
1
(
x2
x1
) ( x2
x1 2 )
2
2x 2
) 1
2 2 2(2x 1 2x 2 ) 2x 2 1 2x 1 (2x 1 1)(2x 2 1)
2x 在R内单增，x1<x2：f(x1)<f(x2) 所以对于a取任意实数，f(x)为增函数。
练习
求下列函数的定义域和值域
1. ax 1
y 1ax
a>1
0<a<1
当a>1时x≤0 ; 指数幂和0的分数指数幂
m
an
1
m
an
(a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
0的正分数指数幂等于0
0的负分数指数幂无意义 有理指数幂的运算性质
a m a n a mn (m, n Q) (a m )n a mn (m, n Q) (ab)n a n bn (n Q)