指数、对数及幂函数

指数函数、对数函数及幂函数

Ⅰ.指数与指数函数

1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s

r rs a a =； （3）()r

r r ab a b =；

（4）m

n m

n

a a =；

（5）1

m n

n

m

a

a

-

=

（6）,||,n n a n a a n ?=?

?奇偶

2. 指数函数：

【基础过关】

类型一：指数运算的计算题

指数函数 0

a>1

图 象

表达式 x y a =

定义域 R

值 域 (0,)+∞

过定点 (0,1)

单调性

单调递减 单调递增

此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、526+的平方根是______________________ 2、 已知2=n

a ，16=mn

a

，则m 的值为………………………………………………( )

A ．3

B ．4

C ．3

a D ．6

a

3、化简

22

1

()

2b a b a ab b b a

+---+-的结果是………………………………( )

A 、a a b --

B 、a b a --

C 、b a a --

D 、2b b a a +--

4、已知0.001a =，求：413

3

3

223

33

8(12)24a a b

b a

a a

b b

-÷-++=_________________

5、已知1

3x x

-+=，求（1）1

12

2

x x -

+=________________（2）332

2

x x -+=_________________

6、若22y y x x -+=，其中1,0x y ><，则

y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式

指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数

的图像及性质 函数)

(x f a

y =的定义域与)(x f 的定义域相同

1、若集合A={

113x

x y -=

},B={

21},x s x A B =-?=

则____________________

2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数

1(2)x

y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1

2f(x)的是……………………………………………( )

A 、()1

12x +

B 、

1

4x +

C 、2x

D 、2x

-

4、若6

2

3

44112a a a -+

=-，则实数a 的取值范围是………………………………( ) A 、2a <

B 、1

2

a ≤

C 、12

a >

D 、任意实数

类型三：复合函数 ○

1形如02=+?+c a b a x x

的方程，换元法求解

○

2函数)(x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 ○

3先确定)(x f 的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)

(x f a y =的值域 涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定

义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”

（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数

1、求函数

2391x x

y =++ 的值域 2、当10x -≤≤时，函数2

2

34x x y +=- 的最大值是______________，最小值是__________

3、已知x [-3,2]∈，求f(x)=11

142x

x -+的最大值是______________，最小值是______________

（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数

1、函数y=(1

3)2281

x x --+ (-31x ≤≤)的值域是______________，单调递增区间是__________ 2、已知函数y=(1

3)225

x x ++，求其单调区间_____________________及值域_______________

类型四：奇偶性的判定

利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分

1、函数x

x a a x f -?+=2)1()(是……………………………………………( )

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、非奇非偶函数

D 、既奇且偶函数

2、已知函数f(x)=1

(1)1x x

a a a ->+

(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数。

3、设a ∈R,f(x)= 22

()21x x

a a x R ?+-∈+，试确定a 的值，使f(x)为奇函数

类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用

1、已知0a >，且1a ≠，解不等式

2

6

5x

x a a ->

2、已知f(x)=2231

x x a -+,g(x)=225

x x a

+- (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,1x ≠使得f(x)＞

g(x).

Ⅱ.对数与对数函数

1、对数的运算：

1、互化：N b N a a b log =?=

2、恒等：N a N a =log

3、换底：

a

b b

c c a log log log =

推论1 a

b b a log 1log =

推论2 log log log a b a b c c ?=

推论3 log log m n

a a

n b b m

=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += l o g l o g l o g

a a a M M

N N

=- 5、M n M a n a log log ?=

2对数函数：

【基础过关】

类型一：对数的基本运算

此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意

○

1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为N lg ○

2自然对数：以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，记为N ln 对数函

数

01

图 象

表达式 log a y x

=

定义域 (0,)+∞ 值 域 R

过定点 (1，0)

单调性

单调递减

单调递增

○

3零和负数没有对数，且1log ,01log a ==a a 1、(1)、 9

lg 2lg 008

.0lg 31

81.0lg 212+++ (2)、()20lg 5lg 2lg 2?+

(3)、())2log 2(log )5log 5(log 3log 3log 2559384+?+?+

2、已知2log =x a ,3log =x b ,6log =x c 求 x abc log 的值．

类型二：指数，对数的混合运算

指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x

y a 的图象与性质

x=1x=1

y=1y=1在(0,+∞)内是 减函数

在(0,+∞)内是 增函数

在(- ∞,+∞)内是 减函数在(- ∞,+∞)内是 增函数

01时，y>0.00;

x>1时，y<0.x<0时,00时，y>1.x<0时，y>1;x>0时，0

(0,+∞)(- ∞,+∞)(- ∞,+∞) 单调性

y 值区域

过定点值 域定义域图

象a>1

0

a>1

0

a y=log a x

y=a x

函数1

1

O O

O

O

1

a

x

y

1

a x

y

1

a

x

y

1

a x

y

1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m n a -=_________

2、若1a >且01b <<，则不等式log (3)

1b x a

->的解集为________

3、已知35,a b A ==且11

2a b

+=，则A 的值是________

4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是…………………………( ) A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 【能力提升】

类型三：对数函数的定义域与解析式

注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数

)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。

1、函数12

1

log (2)

y x =

-的定义域是____________

2、已知2

35

(log ())22x f x ++=，则(0)f =___________

3、已知6

2()log f x x =，那么(8)f =____________

类型四：对数函数的值域

注意复合函数的值域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数

)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域和值域。

1. 函数

212

log (617)

y x x =-+的值域是________

2. 设1a >，函数

()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1

2，则

a =___________

3. 函数

()log (1)x

a f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为

_______________

类型五：对数函数的单调性、奇偶性

1、函数lg y x

=的单调递增区间是_______ ; 函数212log (32)

y x x =-+的递增

区间是_______________

2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( )

A.

12

log (1)

y x =+ B.

22log 1

y x =-

C.

3

1log y x = D.213log (43)y x x =-+

3、函数

2lg 11y x ??

=- ?

+??的图像关于………………………………………………………( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 4、函数

(

)2()lg

1f x x x

=+-是 （奇、偶）函数。

5、已知函数

1010()1010x x x

x f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。

类型六：对数中的不等关系

比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小

1、设0.724log 0.8log 0.9log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是_______

2、设

2

lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则,,a b c 的大小关系是_______ 3、如果3

log

15m <，那么m 的取值范围是______

4、如果

log 3log 30a b >>，那么,a b 的关系是…………………………………………( )

A. 01a b <<<

B. 1a b <<

C. 01b a <<<

D. 1b a <<

5、已知

2log (1)log (24)0a a x x +<+<，则不等式解集为_______ 6、若

()log a f x x =在[2,)+∞上恒有()1f x >，则实数a 的取值范围是________

类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）

1、设2()lg()

1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是________

2、已知集合

{}2

log 2,(,)

A x x

B a =≤=-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞，

其中c = ______.

3、若

1

x 满足2x+2x

=5,

2

x 满足2x+2)1(log 2-x =5,

1x +

2

x ＝………………………( )

A.52

B.3

C. 7

2 D.4

幂函数

一、幂函数图象的作法：

根据幂函数k

x y =的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为m

n x y =或m

n x

y -=（m 、*

∈N n ，2≥m ，m 、

n 互质）的形式，先化为m n x y =，或m

n

x

y 1

=

的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、

单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象. 二、幂函数图象的类型：（共有11种情况）

k 0<-

=m

n

k

10<=

n

k 1>=

m

n

k 奇函数

m 、n 都是

奇数

y=x

-

13

-1

1

y x

o

y=x

3

5

-1

1

y x

o

y=x

5

3

-1

1

y

x

o

偶函数

m 是奇数，

n 是偶数

y=x

-

23

-1

1

y x

o y=x

2

3

-1

1

y x

o y=x

4

3

-1

1

y

x

o

非奇非偶函数

m 是偶数，

n 是奇数

y=x

-

12

-1

1

y x

o y=x

1

2

-11

y x

o y=x

3

2

-1

1

y

x

o

三、幂函数图象特征：

（1）当0

y=x

y=x o (x ≠0)o -1

1

y

x

o （2）当0=k 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；

（3）当10<

（5）当1>k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限；

（7）当0>k 时，幂函数k x y =的图象一定经过点（0，0）和点（1，1） （8）如果幂函数k x y =的图象与坐标轴没有交点，则0≤k ；

（9）如果幂函数

m

n p

x

y )1(-=（m 、n 、p 都是正整数，且m 、n 互质）的图象不经过

第三象限，则p 可取任意正整数，m 、n 中一个为奇数，另一个为偶数. 四、幂函数典型问题： 1．概念问题：

【例1】1．已知幂函数，当

时为减函数，则幂

函数__________．

【变式】当m 为何值时，幂函数y=(m 2-5m+6)的图象同时通过点(0，0)

和(1，1).

2．定义域问题：

【例2】函数05

32

1)2(--+=-

x x

x y 的定义域为

【变式】.求函数y=

的定义域.

3．单调性问题：

【例3】已知5

35

3)21()3(-

-

+<-a a ，求实数a 的取值范围.

【变式1】讨论函数的单调性.

【变式2】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．

4．图象问题： 【例4】若函数)(3

22

Z m x y m m

∈=--的图象与坐标轴没有交点，且关于y 轴对称，求函数

)(x f 的解析式.

【例5】利用函数的图象确定不等式的解集：

（1） 不等式)1(3

2

->

x x 的解集为 （2） 不等式3

14

x x ≥的解集为

说明：先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集

5．函数图象的平移、对称、翻折变换问题：

说明：很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到

x y 1=

；x y 1-=；)1,0(≠>=k k x k y ；)1,0(≠>-=k k x

k

y 【例6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.

（1）12--=

x x y （2）x

x y --=21

（3）14-=

x y ，)5,2[)1,( -∞∈x （4）1

1

2--=x x y ，),0[+∞∈x （5）x

y +=11

（6）31

)2(--=x y

【例7】已知幂函数)(x f y =是偶函数，且在区间),0(+∞上单调递增，若

)12()1(22++<-a a f a f ，则实数a 的取值范围是 .

6.比较幂函数值大小

【例8】．比较

，

，

的大小.

【例9】．已知幂函数，，，在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，

0，1的大小关系?