指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a

a n

n ；

②a a n

n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n

a

a m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n

m n

a

a m n N n a

-

*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q )。 ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q )。 ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q )。. 3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1

之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义

如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N

a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1

log 0a =，②l o

g 1a

a =，③l

o g N

a a N =，④l

o g N a a

N =。

（2）对数的重要公式：

①换底公式：log log (,1,0)log N N

a b

b

a

a b N =>均为大于零且不等于； ②1

log log b

a a

b

=

。 （3）对数的运算法则：

如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③)(log log R n M n M a n

a ∈=；

④b m

n

b a n

a m log log =

。

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

4、反函数

指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1方法：可画出x=x0；

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1；

当0

1

2

y x

=，y=x，y=x2，y=x3。

三：例题诠释，举一反三

知识点1：指数幂的化简与求值例1.(2007育才A)

（1）计算：

25

.0

2

1

2

1

3

2

5.0

3

2

0625

.0

]

)

32

.0(

)

02

.0(

)

008

.0(

)

9

4

5(

)

8

3

3

[(÷

⨯

÷

+-

-

-

；

（2）化简：533233

23

23

3

23

134)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b

a a ⋅⋅⨯

-÷++--

变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）

;)(6

5

3

121211

3

2

b

a b

a b a ⋅⋅⋅⋅-

-

（2）.)4()3(6

52

1

332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a

(3)

1

00.2563

71.5()86-

⨯-+知识点2：指数函数的图象及应用

例2.(2009广附A)已知实数a 、b 满足等式b a )3

1()21(=，下列五个关系式：①0＜b ＜a 。②a ＜b ＜0。③0＜a ＜b 。④b ＜a ＜0。⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x

且)1≠a 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______. 知识点3：指数函数的性质

例3.（2010省实B ）已知定义域为R 的函数12()22

x x b

f x +-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性。

（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．

变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=x

x a a e e +是R 上的偶函数

. （1）求a 的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数

. 知识点4：对数式的化简与求值

例4.（2010云浮A ）计算：（1）)32(log 32-+

（2）2(lg 2)2

+lg 2·lg5+1

2lg )2(lg 2

+

-