对数函数的图象和性质(二)
对数函数的图像和性质 第二课时 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
)
(3) 当 0<a<1 时 ， 若 x>1 ， 则 y＝ logax 的 函 数 值 都 大 于
零．( × )
×
(4)函数y＝log2x的定义域和值域都是(0，＋∞)．(
)
2．做一做
(1)函数 y＝log2x 在区间[1,8]上的最大
值为(
)
A．0
B．1
C．3
x
+∞
o (1,0)
-∞
当0<x<1时，y>0;
当x>1时，y<0
x
对数函数 y=logax (a＞0,a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
y x =1
y log a x(a 1)
O
(1,0)
x
y x =1
(1,0) x
O
y log a x(0 a 1)
定义域 : ( 0,+∞)
D．8
2．做一做(2)函数 y＝logax 的图象如图
所示，则实数 a 的可能取值为(
A．4
1
B．4
1
C．e
1
D．3
)
(3) 若 对 数 函 数 y ＝ log(1 － 3m)x ，
x∈(0，＋∞)是减函数，则m的取值
范围为________.
答案
1
0，3
0 1 3m 1
练习1 函数的 f (x)=loga(x－2)的图象必
经过定点 (3, 0) ．
【解析】令x－2=1，得x = 3，
高一数学对数函数的图像与性质
(2) f ( x) ln(x 2) ln(x 2)
x 2 0 分析：由 x 2． x 2 0
函数的定义域关于原点 不对称，
该函数不具有奇偶性．
[说明]函数的定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的必要条件；
x 1 x (3) f ( x) log 2 2 x 2
4．求解简单的含对数的不等式．
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；
练家子,最高の一名境界也才神将三重. "朝下走！" 白重炙看着前方又有三个交叉口,沉吟了一下,选择了一条斜斜向下の通道.刚才他和夜妖娆已经短暂交流了片刻,知道毒蛇破仙将他们の二统领迫出了蜂巢山,恐怕那些不咋大的统领都吓得朝地底潜行下去,并且上面没有听到一丝战斗 の动静,想必团队の那些强者都朝下方在走,追杀那些不咋大的统领去了. "咦?有战斗！" 往地上走了近千米,白重炙精神一阵,拉着夜妖娆,快步朝下走去.却发现越走越宽阔,最后狂奔数百米,发现前方通道慢慢变得平缓起来.并且前方也开始出现微微の光亮. "喝！""嚓" 白重炙两人收 缩神力,放轻脚步,悄然靠近,接着前方微弱の光亮望了过去.同时神识悄然探了过去,一查探却是精神大震,双眼放光起来. 前方是一些大厅,里面の装饰很是豪华,明显是三名统领其中一人居住の地方,此刻大厅内无数练家子正在激烈の战斗着,破仙阁这边有十多名练家子,鬼族那边却是 有着二十多名不咋大的统领以及几名强者.并且里面还有白重炙の几个熟人,空落和柳基等人赫然在列. 白重炙查探一阵,拿着夜妖娆の银剑,却是无声无息の在通道の侧面开始挖掘起来,挖出一些不咋大的山洞,而后转头对着夜妖娆说道："走,俺们进去睡上一觉,等他们打得差不多の,俺 们再去检神晶,嘿嘿！" "睡觉?哪种…睡觉！"
对数函数的图象与性质(二)
∴ log23.4< log28.5
例题讲解
例2：比较下列各组中，两个值的大小： ：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.31.8与 log 0.3 2.7 ） 与 ） 与
解2：考察函数 ：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴ y=log 0.3 x在区间（0，+∞）上是减函数； 在区间（ ， ）上是减函数； 在区间 ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
3 3
log0.5 6 0.5 4 < log ＞log log2 0.5 2 0.6
3 3
则 m n > log > log log1.5 1.6 1.5 1.4 log1.5 m 1.5 n >
想 一 想 ？
底数a对对数函数y=log 底数 对对数函数y=logax的 图象有什么影响？ 图象有什么影响？
例2：比较下列各组中，两个值的大小： ：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 ） 与 ） 与 比较两个同底对数值的大小时: 比较两个同底对数值的大小时 同底对数值的大小时 观察底数是大于1还是小于 １.观察底数是大于 还是小于 （ a>1时为增函数 观察底数是大于 还是小于1（ 时为增函数
a>1 和 0<a<1 > 故对数函数的图象也应 a>1 和 0<a<1 >
分成两种类型。 分成两种类型。
点此进入几何画板
指数函数的图象按
小试牛刀
如图所示曲线是y=logax的图像，已知 的 的图像， 如图所示曲线是 的图像 已知a的 4 3 1 取值为， ， 5， 你能指出相应的C ， 取值为， 3 3， 10 ，你能指出相应的 1，C2 ，C3 ， C4 的a的值吗？ 的值吗？ 的值吗 y
对数函数的图象与性质(2)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
题型三.对数型复合函数的奇偶性
例 3 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且
a≠1)．
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
解：(2) 由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)，
关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
练习 3 判断函数f(x)＝lg
1
2 +1
+
的奇偶性
解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
1
（ 2 +1 +）
又f(－x)＝lg 2
＝lg
+1 −
（ 2+1 −）（ 2+1 +）
＝lg（
2
＝−lg（
+ 1 + ） = lg（
方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变
换得到的.
4.y＝f(x)的图象与y＝f(-x)的图象关于y轴对称，
y＝f(x)的图象与y＝-f(x)的图象关于x轴对称.
题型五.反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，
且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称
对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，
而y＝logax的值域是y＝ax的定义域.
【新知拓展】
(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域
和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．互为反函
数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所示：
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
对数函数的图像与性质(2)
典例精讲
类型一 对数函数图像的应用 例y1.由下面对数函数的图像判断底数a, b, c, d的大小
ogc x logd x
1
loga x logb x
o C d1 a
b
x
0< c< d < 1< a < b
当堂检测
1.比较a、b、c、d、1的大小。
y
y=log a x
01
y=log b x
x
y=log c x
x
同，真数相 同时，利用
图象判断大
小.
当堂检测
4.比较大小：log7 12和log8 12
在同一坐标系中作出 函数y＝log7x与y＝log8x的 图像，由底数变化对图像 位置的影响知：
log712>log812.
例5.比较下列各组中两个值的大小: （2）log 67 , log 7 6 ; （3）log 3π , log 2 0.8 .
4x+8>0 2x>0 4x+8>2x
x > -2
X>0 x> -4
∴ x>0
解对数不等式时 , 注意真数大于零.
例3
解关于a的不等式
log a
2 3
1
解：当0
a
1时, log a
2 3
log a
a
2 3
a
0 a 2 3
当a
1时, log
a
2 3
log
a
a
2 3
a
对数函数的图象与性质（二）
y
o
1
4.4.2对数函数的图象和性质(2)课件高一上学期数学人教A版
4. (2023·上海市实验学校高一期末)若函数y＝lg[x2＋(6－k)x＋1]的定 义域为R，则实数k的取值范围是________.
【解析】 因为函数y＝lg[x2＋(6－k)x＋1]的定义域为R，所以x2＋(6－ k)x＋1>0在R上恒成立，所以Δ＝(6－k)2－4<0，解得4<k<8.故实数k的取值范 围为(4,8)．
【解析】 (1) 函数 f(x)为奇函数，理由如下： 对于函数 f(x)，有22＋ －xx>>00， ， 解得－2<x<2， 则函数 f(x)的定义域为(－2,2)， f(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－f(x)， 故函数 f(x)为奇函数．
12345
内容索引
(2) 任取 x1，x2∈(－2,2)且 x1<x2，则 2－x1>0,2＋x1>0,2－x2>0,2＋x2>0，
【答案】 b<c<a
内容索引
(2) 已知logm7<logn7<0，则m,n,0,1之间的大小关系是____________.
【解析】 根据题意，作出函数y＝logmx，y＝lognx的图象如图所示， 由图象可知0<n<m<1.
【答案】 0<n<m<1
内容索引
函 数 y ＝ logmx 与 y ＝ lognx 中 m ， n 的 大 小 与 图 象 的 位 置 关 系 ． 当 0<n<m<1时，如图1；当1<n<m时，如图2；当0<m<1<n时，如图3.
∈(－∞，－3) 时，y＝x2＋2x－3 也是减函数，当 x∈(1，＋∞) 时，y＝ x2＋2x－3 是增函数，所以 f(x) 的单调增区间是(－∞，－3)．
4.4.2对数函数的图像与性质课件(人教版)
2.本节课用到哪些数学思想方法
（1）数形结合：由解析式到图象(由数到形，以形读数）
图象到性质（由形到数，以数观形)
（2）分类整合：底数的两个范围对函数性质的影响
（3）类比思想：通过研究指数函数方法类比得出
对数函数的性质
六、作业布置
1.函数y = log2x, y=log5x, y = lgx的图象如图所示,
a
二、新知探究
（二）探究对数函数的性质
4.视察底数a的变化对数函数的影响，总结一般特征
（1）请同学们视察这些函数图像的位置、公共点、
变化趋势，它们有哪些共性？有哪些不同？
共同点：1. 这些函数图像都在由右侧,并且都过(1,0）.
2.这些函数定义域均为(0, +∞)、值域均为R.
差异点：1.当a>1时，图像从左至右逐步上升,并且
而1.8 < 2.7，∴0.3 1.8 > 0.3 2.7.
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
(2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55．
解：(3)∵ =
∴当 > 1时， = 在定义域上单调递增
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 < 5.9 .
当0 < < 1时， = 在定义域上单调递减
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 > 5.9 .
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
知识点2 对数型复合函数的值域 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如
下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解．
第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
3．(2019·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区
间是( A )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
C．(－21，21)
D．(0，12)
[解析] 因为函数 y＝log0.3x 在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式
3x>0，
等价于x＋1>0， 3x>x＋1，
解得
1 x>2.
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
5．(2019·河北沧州市高一期中测试)已知 x 满足(log1 x)2－log1 x－
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若 x<－31，∵u＝3x2－2x－1 为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当 0<a<1 时，y＝logau 为减函数，若 x>1，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1) 为减函数， 若 x<－31，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
性之间的关系(见下表).
函数 y＝f(μ) μ＝g(x)
y＝f[g(x)]
增函数 增函数 增函数
单调性 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数
减函数 减函数 增函数
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
【对点练习】❶ (2020·河北沧州市高一期末测试)函数 f(x)＝log1 (x2
数学(必修 · 第一册 · RJA)
关键能力·攻重难
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
题型探究
题型一 对数型复合函数的单调性
例 1 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调 区间必须是定义域的子集． [解析] 由 3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1 或 x<－13}． 当 a>1 时，若 x>1，∵y＝logau 为增函数，又 u＝3x2－2x－1 为增函 数，
2
2
6≤0，求 f(x)＝(1＋log2x)log24x的最大值与最小值及相应 x 的值．
[解析] 由(log1 x)2－log1 x－6≤0，得－2≤log1 x≤3，
2
2
2
∴18≤x≤4.
f(x)＝(1＋log2x)(log2x－2)， 令 t＝log2x∈[－3,2]，
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
2．已知函数 f(x)＝2log1 x 的值域为[－1,1]，则函数 f(x)的定义域是
2
(A)
A．
22，
2
C．12，2
B．[－1,1]
D．－∞，
22∪[
2，＋∞)
[解析]
由－1≤2log1
2
x≤1，得－1≤－2log2x≤1.
解得 22≤x≤ 2.
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
基础自测
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( C )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
[解析] 由对数函数的单调知识易知0<a<1.
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第四章 指数函数与对数函数
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第四章 指数函数与对数函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆 分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复 合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调
基础知识
知识点1 对数型复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单
调性相同，则其复合函数f[g(x)]为__增__函__数____；若f(x)与g(x)的单调性相 反，则其复合函数f[g(x)]为___减__函__数___.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝ logau 与 u ＝ f(x) 两 个 简 单 函 数 复 合 而 成 的 ， 由 复 合 函 数 单 调 性 “ 同 增 异 减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑 函数的定义域．
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∴y＝(t＋1)(t－2)＝t2－t－2＝(t－12)2－49， ∴当 t＝12，即 log2x＝12，x＝ 2时，函数取最小值－49；当 t＝－3， 即 log2x＝－3，x＝18时，函数的最大值(－3－12)2－94＝10.
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第四章 指数函Байду номын сангаас与对数函数
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)
上的递减区间．故选A．
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第四章 指数函数与对数函数
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4．已知 log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则 x 的取值范围为( A )
A．(12，＋∞)
B．(－∞，21)
第四章
指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数的图象和性质(二)
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