对数及对数函数的图像与性质(教师版)

第一课时 对数及其运算

【知识要点】 1.对数的定义：

如果N a b

=（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log

2.指数式与对数式的关系：b N N a a b

=⇔=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、

b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）

log 10a =； log 1a a =； log a N

a N =； log

b a a b =；

（2）()log log log a a a MN M N

=+ （3）log log log a

a a M

M N N

=- （4）()

log log n a a M n M n R =∈

（5

）1

log log a

a M n

=

（6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c b

b a a b

c c a

=

>≠>>≠ 换底公式推论：（1）

1

log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；（3）

log log m n a a n b b m

= 【典题精讲】

题型一 对数的化简、求值

1.b N N a a b

=⇔=log ．

2．注意对数恒等式log a

N a N

＝，对数换底公式log log log b a b N

N a

=

及等式

m n a a a 1log b log b,log b b n m log a

=

⋅=在解题中的灵活应用．

【例1】(1) 若23=x

，则x = 465=⎪⎭

⎫

⎝⎛x

，求=x

(2)设3643==b

a ，则

=+b

a 1

2__________； (3)计算：22

)2(lg 20lg 5lg 8lg 3

2

5lg +⋅++

解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1

log 363

，b

＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1

b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.

(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2

＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3.

【变式1】已知32a

=，那么33log 82log 6-用表示是（ A ）

A ．2a -

B ．52a -

C ．2

3(1)a a -+ D ． 23a a -

【变式2】若=-=-33)2

lg()2lg(,lg lg y x a y x 则（ A ）

A ．a 3

B ．

a 23

C ．23-a

D ．a

【变式3】（1）计算=-+2

3

lg 53lg 25lg __________. 答案：1

（2）计算：=+⋅+20lg 5lg 2lg 5lg 2

__________. 答案：2

【例2

()lg1000lg10

41lg10lg102

-==-⨯-； 【变式1

】lg 的值是（ ）

A.

1

2

B.1

C.10

D.100 【答案】B

【解析】由1==，故选B.

【变式2】已知,lg ,24a x a

==则x =________.

【解析】由42a =得12a =

，所以1

lg 2

x =，解得x =,【变式3】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1

b ＝2，则m ＝_________.

【解析】因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，

所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10．

【变式4】(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________

（2）若__________3log ,2log

123

==则a

（3）若2log 2,log 3,m n

a a m n a +===___________

答案：(1) 64 (2)

1

1+a (3) 12

【变式5】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求3

2

log x

y

的值.

【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪

+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩（），＝或1x y =（舍去），

3

32

29

log log 24

x y ==. 题型二 对数换底公式的应用

【例2】 设+

∈R z y x ,,，且z

y x 643==.

（1） 求证：

y

x z 21

11=-； （2）比较z y x 6,4,3的大小。

【变式6】已知,518,9log 18==b a 求45log 36。 【课堂练习】 1．若x x

310932⋅=+，那么12+x 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．5

D ．1或5

2．如果方程lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的两根为α、β，则α·β的值是（ ）

A ．lg7·lg5

B ．lg35

C ．35

D ．

35

1

3．=++-31021)64

27()5(lg )972(___________, =-2lg 9lg 2

1

100

_________________ . 4．__________50lg 2lg 5lg 2

=⋅+；=+-)223(log )

12(_____________.

5．________,2log 6log 3

1

log ________,32log 635

64==⋅⋅=x x 则若. 若__________3log ,2log

123

==则a 。