04刚体力学基础例题

2 M m v ( )( M m) gl m 3 4
dr r
o
R
M dM
0
R

R
0
2 mgR 2mgr dr 2 3 R
2
由角动量定理可得
2 dr mgR d t 0 J 0 0 3 2 1 2 mgRt mR 0 3 2 3R 0 t 4 g
t
r
o
R
Example 3 一长为 l，质量为 M的杆可绕支点 O 自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入杆 的中点处，并留在其中。若棒恰好摆到水平位 置，问子弹的初速度为多少? Solution
质元所受的重力矩为
m dm dr l
r
dm dmg
mg r cos θdr dM dmgrcosθ l
mg 1 M r cos θdr mgl cos θ 0 l 2
l
1 1 2 mgl cos θ ml β 2 3 3g dω d θ dω β cos θ ω 2l dt d θ dθ
（1）建立坐标系
O
x x dx x
分割质量元 dm ,长度为 dx m 2 2 m dm dx dx dJ x dm x dx l l
JC
l 2 l 2
m 2 1 2 x dx m l l 12
m 2 x dx （2） J C 0 l 1 2 ml 3
讨论：当 M=0时
m1m2 g T1 T2 m1 m2
Example 1 一质量为m、长为l的均质细杆，转轴 在O点，距A端1/3 。杆从静止开始由水平位置绕 O 点转动。求：（ 1 ）水平位置的角速度和角加 速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。 Solution
J o J c md
l
l
O
x x dx x
J
JC
• 平行轴定理
刚体绕平行于质 心轴的转动惯量 J ，等 于绕质心轴的转动惯 量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的 乘积。
d
C
m
J J c md
2
Example 3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘， 求通过盘中心并与盘面垂直的 z 轴的转动惯量。
3g l
（3）任意位置
A
C
O

B
l 1 2 M mg cos ml 6 9 3g cos 2l 1 1 2 2 l ( ml ) mg sin 0 2 9 6
3g sin l
Example 2 如图，已知滑轮的质量为M，半径为R，物 体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为θ， 物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无 形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴 间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？ （滑轮视作薄圆盘）
碰撞过程角动量守恒
O
v
l 1 l 2 2 mv M l m( ) 2 3 2
m
O
l 1 l 2 2 mv M l m( ) 2 3 2
v
mபைடு நூலகம்
上摆过程机械能守恒，选杆的中点 处为势能零点
l l 11 l 2 2 2 M l m( ) mg Mg 2 2 23 2 ( M m) g 2 1 1 ( M m )l 3 4
dM dmgx
M dM
2 gxdx
l 2 0
l 2 l 2
0
m,l o
dm
l/2
x
l/2
x dx
1 mgl 4
由角动量定理： Mdt L L0 可得
1 1 mgl dt 0 J 0 ml 2 0 0 4 12
2
2
A
C
O
B
1 2 l 1 2 J O ml m ml 12 6 9
（1）水平 0 0 l 1 2 mg ml 6 9
3g 2l
（2）垂直
M 0
0
A
C
O
B
选杆与地球为系统，机 械能守恒， 选O为势能零点
1 l 11 2 2 l 2 J 0 mg ml mg 0 2 6 29 6

R
Example 1 在摩擦系数为μ桌面上有细杆，质量 为 m、长度为l，以初始角速度ω0 绕垂直于杆的 质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。 0 Solution 细杆的质量密度为：
m l m 则 dm dx dx l
质元受的摩擦力矩为
m,l o
dm
l/2
x
l/2
x dx
2
dm dS m 2rdr 2 R
dr r
o
R
M dM
0
R

R
0
2 mgR 2mgr dr 2 3 R
2
由刚体对定轴的动能定理可得
2 1 2 dr r o mgR d 0 J 0 0 3 2 2 1 2 2 mgR mR 0 3 4 2 2 3R 0 3R 0 N 8 g 2 16 g
y
Solution
dm dS m 2rdr 2 R
J z r dm
2
R
o
r
dr
x
R
0
1 m 2 r 2 rdr mR 2 2 R
2
讨论： 1.Jx=？Jy=？
2.中间挖空如何？
Example 1 一根长为l、质量为m的均匀细直棒， 其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖 直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它 由此下摆角时的角加速度和角速度。 Solution O 在棒上取质元dm
Example 1 如图，六个质量均为m的质点，分别 放在正六边形的六个顶点处，六边形的边长为a， 求Jox、Joy、Joz。 y
Solution
a
m
J ox
J oy
3 2 4m( a) o 2 2 3m a 1 2 3 2 2 2 m( a ) 2 m ( a ) m( 2 a ) 2 2 2 9m a
x
J oz 2ma2 2m( 3a)2 m(2a)2
y
a
m x
12m a
2
J oz J ox J oy
• 正交轴定理
o
质量平面分布的刚体，绕垂直于平面的 z 轴的转动惯量等于绕平面内与之正交的两正交 轴x、y的转动惯量之和。 Z
Jz Jx Jy
X
O
Y
Example 2 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的 转动惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。 （2）轴通过棒的一端并与棒垂直。 l Solution
R
O
M
m
x
m
EP 0
k

1 2 4m gxsin kx 2 v 2m M
Example 3 一半径为R、质量为m的均匀圆盘 平放在粗糙的水平面上。若它的初始角速度 为 ω0 ，绕中心 O 旋转，问圆盘转过多少圈后 停止。（设摩擦系数为 μ） Solution
2mgr dr dM dmg r 2 R
Solution
选取 m、M、 R 弹簧地球为系统， 系统机械能守恒。 设m未释放时 k 重力势能为零
O
M
m
x
m
EP 0

1 2 1 2 1 2 E kx m gxsin mv J M 0 2 2 2
v R
JM 1 MR 2 2
（ 1） （ 2） （ 3） （ 4）
m2
(T1 T2 )R J a R 1 2 J MR 2
m1
m1 g
T1 T1
联立方程（1）---（4）求解得 m1 g a m1 m2 M / 2
m1 (m2 M / 2) g T1 m1 m2 M / 2 m1m2 g T2 m1 m2 M / 2
t

t
0
l 0 t 3 g
Example 2 一半径为R、质量为m的均匀圆盘 平放在粗糙的水平面上。若它的初始角速度 为 ω0 ，绕中心 O 旋转，问经过多长时间圆盘 才停止。（设摩擦系数为 μ） Solution
2mgr dr dM dmg r R2
2
dm dS m 2rdr 2 R
M Jβ

ω
0
2ωdω
θ
0
3g cos θdθ ω l
3g sin θ l
Example 2 质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑 轮上，m2放在光滑的桌面上，滑轮半径为R，质 量为M，求：m1下落的加速度和绳子的张力。 Solution T2 T2 M , R
m1 g T1 m1a T2 m2 a