大学物理刚体力学基础习题思考题及答案.docx
《大学物理》刚体力学练习题及答案解析
《大学物理》刚体力学练习题及答案解析一、选择题1.刚体对轴的转动惯量，与哪个因素无关 [ C ]（A）刚体的质量（B）刚体质量的空间分布（C）刚体的转动速度（D）刚体转轴的位置2.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上. [ B ](1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3)这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零.在上述说法中,(A)只有(1)是正确的；(B) (1)、(2) 正确, (3)、(4)错误；(C) (1)、(2)、(3)都正确, (4)错误；(D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确.3.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中，下述说法哪一种是正确的[ A ](A) 角速度从小到大，角加速度从大到小；(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大；(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小；(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大.4．如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，小球和地球所组成的系统，下列哪些物理量守恒（ C ）（A）动量守恒，角动量守恒（B）动量和机械能守恒（C）角动量和机械能守恒（D）动量，角动量，机械能守恒5.一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计，如图射来两个质量相同，速度大小相同、方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，在子弹射入后的瞬间，对于圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω则有（ B ）（A）L不变，ω增大（B）L不变，ω减小（C）L变大，ω不变（D）两者均不变6.一花样滑冰者，开始自转时，其动能为20021ωJ E =。
然后他将手臂收回，转动惯量减少为原来的1/3，此时他的角速度变为ω，动能变为E ，则下列关系正确的是（ D ） （A ）00,3E E ==ωω （B ）003,31E E ==ωω （C ）00,3E E ==ωω （D ）003,3E E ==ωω1C 2.B ，3.A ，4.C ，5.B ，6.D二、填空1.当刚体受到的合外力的力矩为零时，刚体具有将保持静止的状态或_____________状态，把刚体的这一性质叫刚体___________。
刚体力学基础 习题 解答
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题命题教师：郑永春 试题审核人：张郡亮一、填空题（每空1分）1、三个质量均为m 的质点，位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。
此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _，对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__12ma 2_，对通过三角形中心和一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__21ma 2 。
2、两个质量分布均匀的圆盘A 和B 的密度分别为ρA 和ρ B (ρA >ρB )，且两圆盘的总质量和厚度均相同。
设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则有J A < J B 。
3、 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J ＝3.0 kg ·m 2，角速度ω0＝6.0 rad/s ．现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m ，当物体的角速度减慢到ω＝2.0 rad/s 时，物体已转过了角度∆θ ＝__4.0rad4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝__2275 kg·m 2·s 1 _；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率υ ＝__13 m·s 1_。
5、有一质量均匀的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。
如将此棒放在水平位置，然后任其下落，则在下落过程中的角速度大小将 变大 ，角加速度大小将 变小 。
二、单项选择题（每小题2分）（ A ）1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法正确的是：A.这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；B.这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；C.当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；D.当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。
大学物理练习册习题及答案4
习题及参考答案第3章 刚体力学参考答案思考题3-1刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 （A ）刚体不受外力矩的作用。
（B ）刚体所受合外力矩为零。
(C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零。
(D)刚体的转动惯量和角速度均保持不变。
答：（B ）。
3-2如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻 绳的定滑轮。
A 滑轮挂一质量为M 的物体， B 滑轮受拉力F ，而且F =Mg 。
设A 、B 两 滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮 轴的摩擦，则有（A ）βA = βB （B ）βA > βB（C ）βA < βB （D ）开始时βA = βB ，以后βA < βB 答：（C ）。
3-3关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。
(B)取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。
（C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。
(D)只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无 答：（C ）。
3-4一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状态，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统(A)动量守恒； (B)机械能守恒； (C)对转轴的角动量守恒；(D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。
答：（C ）。
3-5光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点o 且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动，其转动惯量为213mL，起初杆静止，桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在 垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向 运动，如图所示，当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为AMF思考题3-2图v思考题3-5图(A)23L v (B)45L v (C)67L v (D)89L v (E)127L v答：（C ）。
大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第3章 刚体力学
第三章 刚体力学3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。
若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩ωC M -=，又因为转动定理 dtd JJ M ωβ== dtd JC ωω=-∴ dt JC d t ⎰⎰-=∴00ωωωω t JC-=0lnωω t JCe-=0ωω当021ωω=时，2ln CJt =。
（2）角位移⎰=tdt 0ωθ⎰-=2ln 00C J t JC dt eωCJ 021ω=，所以，此时间内转过的圈数为CJ n πωπθ420==。
3－2 质量面密度为σ的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为)(1222b a ab J +σ=。
其中a ，b 为矩形板的长，宽。
证明一：如图，在板上取一质元dxdy dm σ=，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 dm r dJ ⎰=2dxdy y x a a b b σ⎰⎰--+=222222)()(1222b a ab +=σ证明二：如图，在板上取一细棒bdx dm σ=，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转动惯量为2121b dm ⋅，根据平行轴定理，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为22)2(121x adm b dm dJ -+⋅=dx x ab dx b 23)2(121-+=σσ 33121121ba a b dJ J σσ+==∴⎰)(1222b a ab +=σ3-3 如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。
解：受力分析如图ma T mg 222=- （1） ma mg T =-1 （2） βJ r T T =-)(2 （3） βJ r T T =-)(1 （4）βr a =，221mr J =(5) 联立求出g a 41=， mg T 811=，mg T 451=，mg T 232=3-4 如图3-29所示，一均匀细杆长为L ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
大学物理(第四版)课后习题及答案 刚体
题4.1：一汽车发动机曲轴的转速在s 12内由13min r 102.1-⋅⨯均匀的增加到13min r 107.2-⋅⨯。
（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？题4.1解：（1）由于角速度ω =2πn （n 为单位时间内的转数），根据角加速度的定义td d ωα=，在匀变速转动中角加速度为()200s rad 1.132-⋅=-=-=tn n t πωωα（2）发动机曲轴转过的角度为()t n n t t t 0020221+=+=+=πωωαωθ在12 s 内曲轴转过的圈数为 圈390220=+==t n n N πθ 题4.2：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为)1(0τωωte --=，式中10s rad 0.9-⋅=ω，s 0.2=τ。
求：（1）s 0.6=t 时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动后s 0.6内转过的圈数。
题4.2解：（1）根据题意中转速随时间的变化关系，将t = 6.0 s 代入，即得100s 6.895.01--==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ωωωτte（2）角加速度随时间变化的规律为220s 5.4d d ---===tte e t ττωωα（3）t = 6.0 s 时转过的角度为 rad 9.36d 1d 60060=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰-s tst e t τωωθ 则t = 6.0 s 时电动机转过的圈数圈87.52==πθN 题4.3：如图所示，一通风机的转动部分以初角速度0ω绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。
若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？题4.3解：（1）通风机叶片所受的阻力矩为ωM C -=，由转动定律αM J =，可得叶片的角加速度为JC t ωωα-==d d （1） 根据初始条件对式（1）积分，有⎰⎰-=ωωω00d d d t t J C t由于C 和J 均为常量，得t JC e-=0ωω当角速度由0021ωω→时，转动所需的时间为2ln CJt = （2）根据初始条件对式（2）积分，有⎰⎰-=tt JC t e00d d ωθθ即CJ 20ωθ=在时间t 内所转过的圈数为 CJ N πωπθ420==题4.4：一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为m N 1003.23⋅⨯，涡轮的转动惯量为2m kg 0.25⋅。
刚体力学参考答案
mg —sin f A l sin三个独立方程有四个未知数，不能唯一确定。
【提示】:把三者看作同一系统时，系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。
设L 为每一子弹相对与 O 点的角动量大小，3为子弹射入前圆盘的角速度，3为子弹射入第五章刚体力学参考答案(2014)—、选择题[C ]1、【基础训练2】一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为 m 和m 的物体(m v m )，如图5-7所示•绳与轮之间无相对滑动•若某时刻滑轮 沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A)处处相等. (B) 左边大于右边. (C)右边大于左边. (D) 哪边大无法判断. 【提示】：逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外 ，由于m v m ,实际上滑轮在作减 速转动，角加速度方向垂直纸面向内 ，设滑轮半径为 R,受右端绳子向下拉 力为T 2，左端绳子向下拉力为 T i ,对滑轮由转动定律得:(T 2-T I )R=J [D ]2、【基础训练3】如图5-8所示，一质量为 m 的匀质细杆AB 壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止•杆身与竖直方向成 角，则 1 1(A)为 mg pos . (B) 为 mg g4 2 (C) 为 m®n m2m 1图5-7 A 端靠在粗糙的竖直墙 A 端对墙壁的压力大 .(D) 不能唯一确定 图5-8■:：:；SKB 【提示】: 因为细杆处于平衡状态，它所受的合外力为零，以 B 为参考点，外力矩也是平衡的，则有:NAfBAN B mgN A lcon[C]3、基础训练(7) 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴 两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹， 内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 (A) 增大. (C)减小. (B) (D)不变. 不能确定. O 转动，如图5-11射来子弹射入圆盘并且留在盘m<J 为圆盘的转动惯量，J 子弹为子弹转动惯量，据角动量守恒[C ]4、【自测提高4】光滑的水平桌面上，有一长为 2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其 中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴 0自由转动，其转动惯量为 [mL ,起初杆静止•桌面上3有两个质量均为 m 的小球，各自在垂直于杆的方向上， 正对着杆的一端， 以相同速率v 相向运动，如图5-19所示•当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在 一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为…、 2v4v 6v 8v 12v (A)(B)• (C)• (D)(E)•3L5L7L9L7Lv y$ vO俯视图图 5-19【提示】：视两小球与细杆为一系统， 碰撞过程中系统所受合外力矩为零， 满足角动量守恒条件， 所以2 21 2lmv lmv [ml ml m(2l)]12可得答案(C )[A ] 5、【自测提高7】质量为m 的小孩站在半径为 R 的水平平台边缘上•平台可以绕通过 其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为 J .平台和小孩开始时均静止•当小孩突然 以相对于地面为 v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时, 旋转方向分别为【提示】：视小孩与平台为一个系统，该系统所受的外力矩为零，系统角动量守恒：一 ,口 Rmv mR 2,v 、0 Rmv J 可得 ---------------- ------ （一）。
大学物理刚体力学中难题及解析
B
5
解 设杆的质量为m， 机械能守恒：
l 1 1 2 2 2 mg sin 0 sin m(vCx vCy ) I C 2 2 2 1 2 重力势能转化成质心平动动能和刚体转动动能 I C ml y A 12 l 运动学条件： vCx sin 2 C 质心速度沿 l 水平竖直方 v cos Cy 向分解 2 mg B x
16
正确解法：隔离，分别用角动量定理。 o
R1 f r t J11 J10 J2 R2 2 O2 对轮 2 ： f r fr 1 R 1 R2 fr t J2 2 0 J1 O1
对轮1：
稳定条件：
1 R1 2 R 2
联立可得稳定后的角速度
J1 R J 1 R1 R2 1 0 , 2 0 2 2 2 2 J 1 R2 J 2 R1 J1 R2 J 2 R1 17
N maCt , f maCr
2 2
B
杆无滑动地绕圆环外侧运动，要求
f aCr (l 3r )r 4l ，因 r l 则 。 N f , a 2 R N Ct 24 lR
【9】质量为M，长度为 2l 的梯子上端靠在光 滑墙面上，下端放在粗糙地面上，地面与梯子 的静摩擦系数为 μ，一质量为 m 的人攀登到距 下端 l0 的位置，求梯子不滑动的条件。
0
f
R
vC 0
摩擦力的作用： 对质心的运动 vC
对绕质心的转动
当 vC 0, 而 0 时，乒乓球返回!
3
（2）前进一段后会自动返回的条件：
0
R
•质心运动定理： f maC
vc 0
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
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`习题 55-1．如图，一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定 滑轮的转动惯量均为 mr 2 / 2 ，将由两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳的力。
解：受力分析如图，可建立方程：2mg T 2 2ma ┄① T 1 mg ma ┄② (T 2 T )r J ┄③ (TT 1 )r J ┄④ar， Jmr 2 / 2 ┄⑤T联立，解得： a1g ， T11 mg 。
485-2．如图所示，一均匀细杆长为 l ，质量为 m ，平放在摩擦系数为 的水平桌面上，设开始时杆以角速度0 绕过中心 O 且垂直与桌面的轴转动，试求： （ 1）作用于杆的摩擦力矩； （ 2）经过多长时间杆才会停止转动。
解：（ 1）设杆的线密度为： m ，在杆上取l一小质元 dm d x ，有微元摩擦力：d fdmggd x ，微元摩擦力矩： d M g xd x ， 考虑对称性，有摩擦力矩：l1M 22 g xd xmgl ； 04JdMJt Mdt（ 2）根据转动定律，有：Jd ，dt1mglt12 0 ，∴ t0 l4m l。
123 g或利用：M t JJ0 ，考虑到0 ， J 1 ml 2 ，0 l12有： t3 。
g`5-3．如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略， 它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮质量为 M 、半径为R ,其转动惯量为 MR 2 / 2 ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：m g T ma ┄①TR J ┄② aR， J1mR 2 ┄③22mg， TMmg，联立，解得： aM2m考虑到 aM2m2mg t 。
dv ，∴dvt 2mgdt ，有： vvdtM2mM 2m5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M /4，均 匀分布在其边缘上， 绳子 A 端有一质量为 M 的人抓住了绳端， 而在绳的另一端B 系了一质量为 M / 4 的重物，如图。
已知滑轮对 O轴的转动惯量 JMR 2 / 4 ，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B 端重物上升的加速度？解一 ：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程MgT 1 Ma A人T 2 M gMa B 物4 4T 1 R T 2 R J 滑轮由约束方程 :a Aa B R 和 JMR 2 / 4 ,解上述方程组g得到 a.2解二 ：选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度， v 为重`物上升的速度，注意到 u 为匀速，d u0 ，系统对轴的角动量为：dtL1M v R M (u v) R (M R 2) 3M v R M u R44 2( B 物体)( 人 )( A 物体)v1M gR M gR 3M gR ，而力矩为： M44根据角动量定理 MdL有： 3d3g dtMgR( 2MvR MuR) ，∴ a 。
4dt25-5．计算质量为 m 半径为 R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。
解：设球的半径为R ，总重量为 m ，体密度3m ，4 R3考虑均质球体一个微元：d mr 2 sin d rd d ， 由定义：考虑微元到轴的距离为r sinJ(r sin ) 2dm ，有：J2Rr 2sin drd d(r sin ) 22 1 5 R (1 cos2) d cos ]2 2r[mR。
50 55-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲 度 系 数 k 40N / m ， 当 0时弹簧无形变，细棒的质量m 5.0kg ，求在0 的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从 0 ~900时，考虑机械能守恒，那么：0 时的机械能为：l(重力势能 )1 12 2 (转动动能 ) ，mg（3 ml ）22900 时的机械能为： 1 k x 22`l1 12 21 2 有： mg（3ml ）k x2 22根据几何关系： (x0.5)2 1.52 12 ，得：3.28rad s 15-7．如图所示，一质量为m 、半径为 R 的圆盘，可绕 O 轴在铅直面转动。
若盘 自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（ 1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘 A 点的速率； （ 2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：（ 1）设虚线位置的 C 点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒， 有： mgR1 J 2，而 J1 mR2 mR 23 mR 2222∴4gv cR4Rgv A2R16Rg3R 33（ 2） F y27mg ，方向向上。
mg （重力） mR （向心力）35-8．如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和 2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴 O 在竖直面转动，转轴O 距两端分别为1 l 和 2l ．轻杆原来静m 的小球，以水平速度3 3 止在竖直位置。
今有一质量为 v 0 与杆下端小球 m 作对心碰撞，碰后以1v 0 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
2解：根据角动量守恒，有：mv 02 l m 1v 0 2 l m( 2l )22m ( l)232 3 33有： ( 4l22 l 2 ) 2v 0l1v 0l9933∴3v 02l`5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ，半径为 R ，放在一粗糙水平面上 (圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中 心 O 的竖直固定光滑轴转动。
开始时，圆盘静止， 一质量为 m 的子弹以水平速度 v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上， 求：（ 1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度； （2）经过多少时间后， 圆盘停止转动。
(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为1MR 2 ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。
)21MR 2解：（ 1）利用角动量守恒： mvRmR 22mv2得：；M ) R (2 m（ 2）选微分 dmrdrd ，其中：面密度M， R 2R M 2 M fgrdmgr 2 2πrdrM gR 0R 3∴由 M ft J有：2M gRt ( 1M R 2 mR 2 )0 ，322 M2mR知： t4 Mg将2mv 代入，即得： t3 mv。
2m RM2 M g5-10．有一质量为 m 1 、长为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上， 它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。
另有一水平运动的质量为 m 2 的小滑块， 从侧面垂直于棒与棒的另一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。
已知小滑块在碰撞前后vv的速度分别为 v 1 和 v 2 ，如图所示。
求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
( 已知棒绕 O 点的转动惯量J1m 1l 23 )`解：由碰撞时角动量守恒，考虑到m v l 1 m l 2m v l ，得：2 13 1 2 2v v v 1 和 v 2 方向相反，以逆时针为正向，有：3m 2 (v 1 v 2 )m 1l又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：M fl m1g xd x1 m 1 gl ，利用 M fJd，有：l2dtt 0 1m 1 l 2d2l 2m 2 (v 1 v 2 )30 dt1，得： t。
3 gm 1gm 1g l25-11．如图所示， 滑轮转动惯量为 0.01kgm 2 ，半径为 7cm ；物体的质量为 5kg ，用一细绳与劲度系数 k200N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮 轴上的摩擦忽略不计。
求：（ 1）当绳拉直、 弹簧无伸长时使 物体由静止而下落的最大距离； （ 2）物体的速度达最大值时 的位置及最大速率。
解：（ 1）设弹簧的形变量为 x ，下落最大距离为 x max 。
由机械能守恒：1 k x max2 mgx max ，有：2xmax2mg0.49m ；k1 k x2 1 mv 2 1 J 2（ 2）当物体下落时，由机械能守恒：mg x ，v，有：1 k x2 1 mR 221 J2 2考虑到22mg x ，R2 22欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令 d0 ，有：d xk x1(m R 2J ) 2d mg ，将d0 代入， 有： xmg 0.245(m) ，2d xd xk∴当 x 0.245 m 时物体速度达最大值，有：`mgx1 kx 222，代入数值可算出： v max 1.31m / s 。
vmax1J(m )2r 25-12．设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度 成正比，比例系数的 k ，并已知叶片转子的总转动惯量为 J 。
（ 1）原来静止 的电扇通电后 t 秒时刻的角速度； （ 2）电扇稳定转动时的转速为多大？（ 3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（ 1）已知 M fk ，而动力矩 MP ，d通电时根据转动定律有：MM fJdttJP 2kdt代入两边积分有：dt2 ，可求得：(1 e J ) ；0 P kk（ 2）见上式，当 t时，电扇稳定转动时的转速：稳定P ；k（ 3）断开电源时，电扇的转速为P0 ，只有 M f作用，那么：kkJd，考虑到ddk d 0，有：d ，dtdtdJ得：JJ Pk 0。
k k5-13．如图所示， 物体 A 放在粗糙的水平面上， 与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体A ，另一端缠绕在半径为 R 的圆柱形转轮B 上，物体与转轮的质量相同。
开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以 0 绕其转轴转动。
试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体 A 的速度多大？物体 A 运动后，细绳的力多大？A 和转轮B 、 解：（ 1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，J0JRmv A ，又 v AR ， J1 mR 22`12A3Tmg ma1运动后，由牛顿定律：（ ）物体（ ）对转轮 B ，由定轴转动定律： TR J ，（ 2）约束关系： aR （3）可求出： T1mg 。
35-14. 质量为 m 的小孩站在半径为 R 、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平平台 边缘上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动 )。
平台和小孩开始时均静止。
当小孩突然一相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度 为多少？解：此过程角动量守恒：m Rv J0 ，有：mRv 。
J5-15．在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在 距转轴为1R 处，人的质量是圆盘质量的 1/10．开始时盘载人对地以角速度0 匀2v 沿与盘转动相反方向作圆周运 速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为1MR 2．求：R 2(1) 圆盘对地的角速度．R/21(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着vR 圆周对圆盘的速2度 v 的大小及方向？解： (1) 设当人以速率 v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为 ，则人对与地固联的转轴的角速度为v 2v ①1 R R2人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为 M ，则人的质量为 M / 10，有：1 MR 2M 1 R210 221 MR 2M 1 R 2②210 2将①式代入②式得：02v③21R(2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即0 +2v / (21R)＝0得：v ＝－ 21R0 / 2式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．2答案：0； v＝－ 21R 0 / 221R式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．思考题5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量 m1和 m2的物体( m1< m2)，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的力多大？解：m1 g T1 m1 a（ 1）T2m2 g m2 a（ 2）(T1T2 )r J（ 3）a r（ 4）联立方程可得T1、 T2， T2T1。