《矩阵轮》向量范数1
1-向量范数与矩阵范数
2. 齐次性， 即 aA a A (a R) 3. 三角不等式，即对 则称
N ( A) A
A, B Rnn ,总有 A B A B
AB A B
4. 矩阵乘法不等式，即对 A, B Rnn ,总有 为 R nn 上矩阵
A
的范数（或模）。
在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定
AX X
1 1
max aij
1 j n i 1
n
AX X
AX
2 2
max ( AT A)
n
∞―范数（行模） A max X X 0
T 其中 max ( A A) max i 1i n
max aij
1i n j 1
T i 为 A A 的特征值。
A2
。
其中 x (1, 2, 3) ,
1 2 0 A 1 2 1 0 1 0
X Y X Y
将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 设
N(X ) X
是定义在 R n 上的实值函数，
X 0, X 0
如果它满足三个条件：
① 非负性，即 ② 齐次性，即 则称 N ( X ) X 为
பைடு நூலகம்Rn
当且仅当
(a R)
X 0
aX a X
③ 三角不等式，即对 X , Y Rn,总有
X X X
1
1 2 3 6 (1) 2 (3) 14
2 2 2
2
max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数 定义2 设
N ( A) A
线性代数中的基础概念常见符号表示,向量范数与矩阵范数
线性代数中的基础概念常见符号表示，向量范数与矩阵范数常见的符号表示\mathbb{R} : 实数集\mathbb{C} : 复数集\mathbb{R}^n : n维实数空间\mathbb{C}^n : n维复数空间\mathbb{R}^{m\times n} : 所有m \times n的实矩阵构成的集合\mathbb{C}^{m\times n} : 所有m \times n的复矩阵构成的集合\mathbf{x} : 列向量[\mathbf{x}]_i, x_i : 向量\mathbf{x}的第i个元素\mathbf{A} :矩阵a_{ij}, [\mathbf{A}]_{ij}:矩阵第i行的第j个元素向量：\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n即\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, x_i \in \mathbb{R}, i \in \{1, 2, \cdots, n\}\\向量的转置：\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \mathbf{x}^T = [x_1, x_2, \cdots, x_n] (列向量转置成为了行向量)向量的共轭转置：\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n,\mathbf{x}^H = [x_1^*, x_2^*, \cdots, x_n^*]（x_i与x_i^*互为共轭）矩阵:\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}即\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 &\mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix},a_{ij} \in \mathbb{R}, \mathbf{a}_j \in \mathbb{R}^m, i \in \{1, 2, \cdots, m\}, j \in \{1, 2, \cdots, n\}\\矩阵的转置：\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} &\cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2m} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times m}, \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \Leftrightarrow b_{ij} =a_{ij}\\性质：•\mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T•(\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}•(\mathbf{A+B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T矩阵的共轭转置：\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}\mathbf{A}^H = \begin{bmatrix} a_{11}^* & a_{21}^* & \cdots & a_{m1}^* \\ a_{12}^* & a_{22}^* & \cdots &a_{m2}^* \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n}^* & a_{2m}^*& \cdots & a_{mn}^* \\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times m}, \mathbf{B} = \mathbf{A}^H \Leftrightarrowb_{ij} = a_{ij}^*\\性质：•\mathbf{(AB)}^H = \mathbf{B}^H \mathbf{A}^H•(\mathbf{A}^H)^H = \mathbf{A}•(\mathbf{A+B})^H = \mathbf{A}^H + \mathbf{B}^H矩阵的迹（trace）： \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}, tr(\mathbf{A}) = \sum_i^n a_{ii}性质：•tr(\mathbf{A}^T) = \mathbf{A}•tr(\mathbf{A+B}) = tr(\mathbf{A}) + tr(\mathbf{B})•tr(\mathbf{AB}) = tr(\mathbf{BA})\mathbf{0} 表示一个元素全为0的向量或矩阵\mathbf{1} 表示一个元素全为1的向量或矩阵单位向量：\mathbf{e}_i = [0, \cdots, 0, 1, 0 \cdots, 0]^T，\mathbf{e}_i只有一个位置为1，其余是0单位矩阵（identity matrix）：\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{bmatrix}\\对角矩阵（diagonal matrx）：\text{diag}(a_1, \cdots, a_n) = \begin{bmatrix} a_1 & & \\ & \ddots & \\ & & a_n \end{bmatrix}\\上三角矩阵（upper triangle matrix）\mathbf{L} = \begin{bmatrix} l_{11} & l_{12} & \cdots & l_{ln} \\ & l_{22} & \cdots & l_{2n} \\ & & \ddots & \vdots\\ & & & l_{nn} \end{bmatrix}\\关于上三角矩阵：•上三角矩阵的逆是上三角矩阵•上三角矩阵和上三角矩阵相乘，仍是上三角矩阵下三角矩阵（lower triangle matrix）\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{11} & & & \\ u_{12} & u_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ u_{1n} &u_{2n} & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix}\\关于下三角矩阵：•下三角矩阵的逆是上三角矩阵•下三角矩阵和上三角矩阵相乘，仍是下三角矩阵向量乘法与数乘如\mathbf{x} = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T \in\mathbb{R}^n, \mathbf{y} = [y_1, y_2, \cdots, y_n]^T \in \mathbb{R}^n, \alpha \in \mathbb{R},•向量数乘：\alpha \mathbf{x} = [\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots, \alpha x_n]^T•向量乘法（内积）：<\mathbf{x}, \mathbf{y}> =\mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i•如果\mathbf{x}^T \mathbf{y} = 0, 则说\mathbf{x}和\mathbf{y}是正交的。
矩阵的范数
矩阵的范数文章目录•前言•一、诱导范数（Induced norm）••谱范数•二、向量式范数（Entry-wise norm）••F-范数•三、Schatten 范数（Schatten norm）•四、矩阵2-范数•总结前言矩阵分析学习笔记之矩阵范数。
三类重要的矩阵范数：诱导范数（Induced norm），向量式范数（Entry-wise norm），Schatten 范数（Schatten norm）。
矩阵A ∈ K m × n A\in K^{m\times n}A∈Km×n表示其定义在实数域或者复数域上。
一、诱导范数（Induced norm）诱导范数也称算子范数（operator norm）。
诱导p-范数的定义如下：∥ A ∥ p = s u p x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert A\Vert_p=\underset{x\neq 0}{\rm sup}\frac{\Vert Ax \Vert_p}{\Vert x\Vert_p}∥A∥p=x=0sup∥x∥p∥Ax∥p特别的，当p = 1 p=1p=1时，有∥ A ∥ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}\vert a_{ij}\vert∥A∥1=1≤j≤nmax i=1∑m∣aij∣也就是绝对值的列和的最大值。
当p = ∞ p=\inftyp=∞时，有∥ A ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i\lem}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert∥A∥∞=1≤i≤mmax j=1∑n∣aij∣也就是绝对值的行和的最大值。
矩阵论-第二章 -程云鹏版
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
2
1、向量范数的概念及l 范数
p
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任 一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性： 当x 0 时，x 0; 当 x =0 时，x =0 2) 齐次性：ax a x , (a K , x V ) 3) 三角不等式：x y x y （x, y V ) 则称 x 为V上向量x的范数，简称向量范数。
F
l
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
14
定理 mn mn nn A C , 且 P C 与 Q C 设 都是酉矩阵，则
PA
F
A
F
AQ
F
推论：和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相 H B Q AQ 则 A F B F ，其中Q是酉矩 同的，即若 阵。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
15
2、几种常用的矩阵范数
定理：已知 C 和 C 上的同类向量范数 ，设 Ax 是 C mn 上的矩阵范 A C mn ，则函数 A max X =1 数，且与已知的向量范数相容。称此矩阵范数为 “由向量导出的矩阵范数”简称为从属范数。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
向量的一范数
向量的一范数一、什么是向量的一范数向量的一范数是指将向量中所有元素的绝对值相加所得的值，称之为向量的一范数。
在数学上，向量的一范数用符号 ||x||1 表示，其中 x 是指向量。
二、向量的一范数的意义向量的一范数具有以下几个重要的意义：1.向量的一范数可以用来衡量向量的大小，即向量的绝对大小。
2.向量的一范数可以用来描述向量中所有元素的绝对大小及它们对向量总大小的贡献程度。
3.向量的一范数可以用来约束优化问题中的解向量的大小，例如 L1 正则化问题中，就是将要最小化的目标函数加上约束项，使解向量满足一定的大小范围。
三、向量的一范数的计算方法对于一个 n 维向量 x，它的一范数可以用以下公式计算：||x||1 = |x1| + |x2| + … + |xn|其中，|xi| 表示 xi 的绝对值。
四、向量的一范数的特性向量的一范数具有以下几个特性：1.向量的一范数始终为非负数。
2.当向量所有元素均为0时，向量的一范数等于0。
3.向量的一范数是一种不可微的函数。
4.向量的一范数具有次可加性，即对于两个向量 x 和 y，有：||x+y||1 ≤ ||x||1 + ||y||1五、向量的一范数的应用向量的一范数在各个领域都有重要的应用。
例如：1.机器学习中的稀疏表示：在处理高维数据时，可以通过对特征向量进行 L1 正则化来使其更加稀疏，从而提高模型的性能。
2.图像和信号处理中的边缘检测：可以使用一范数作为求解梯度的目标函数，从而实现边缘检测的目的。
3.优化问题中的约束：在某些问题中，需要对解向量的大小进行限制，可以通过添加一范数项来实现约束。
六、总结向量的一范数是一种重要的向量范数，具有广泛的应用场景，可以用来衡量向量的大小、约束解向量的大小以及在机器学习和数据处理等领域中发挥重要作用。
矩阵的1范数
矩阵的1范数
求矩阵的1，和2范数
1.向量的范数：
0范数，向量中⾮零元素的个数。
1范数，为绝对值之和。
2范数，就是通常意义上的模。
⾮穷范数，就是取向量的最⾮值。
但是向量的范数和矩阵的范数关系不⾮，百度了好久也没看到狠⾮的东西，下⾮我来总结⾮下：
矩阵的范数：（是矩阵之间距离度量的⾮法）
A=[010;100;-100]
A=
010
100
-100
>> norm(A,1)
ans =
矩阵的2范数（norm(A,2)）：指矩阵A与矩阵A的转置相乘后得到B，再对矩阵B的最⾮特征值开⾮，还是例⾮：
A=[010;100;-100];
>>B=A*A';
>> [V,D]=eig(B)%V是特征向量，D是特征值V=
01.00000
-0.70710-0.7071
-0.707100.7071
D=
000
010
002
>> sqrt(2)
ans =
1.4142
>> norm(A,2)
ans =
1.4142
既然矩阵的2范数是距离度量的⾮种，那么矩阵的2范数越⾮，则两矩阵的相似性越⾮。
由于知识有限，解释的不好见谅（没有看出2范数和欧⾮距离的关系）。
（⾮⾮上那些讲得迷迷糊糊好点吧）。
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
矩阵范数和向量范数的关系
矩阵范数和向量范数的关系矩阵范数和向量范数是线性代数中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
本文将从矩阵范数和向量范数的定义、性质以及它们之间的联系等方面进行阐述。
我们来介绍矩阵范数和向量范数的定义。
矩阵范数是定义在矩阵上的一种范数，它可以将一个矩阵映射为一个非负的实数。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、1-范数、2-范数和∞-范数等。
以Frobenius范数为例，对于一个矩阵A，它的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根，即∥A∥F = √(∑∑|aij|^2)。
向量范数是定义在向量空间中的一种范数，它可以将一个向量映射为一个非负的实数。
常见的向量范数有1-范数、2-范数和∞-范数等。
以2-范数为例，对于一个向量x，它的2-范数定义为向量元素平方和的平方根，即∥x∥2 = √(∑|xi|^2)。
矩阵范数和向量范数之间存在一定的联系。
首先，对于一个n维向量x，可以将其看作是一个n×1的矩阵。
此时，向量范数就可以看作是矩阵范数的一种特殊情况。
例如，向量的2-范数就是矩阵的2-范数。
因此，矩阵范数可以看作是向量范数的推广。
矩阵范数和向量范数之间满足一些性质。
例如，对于一个矩阵A和一个向量x，满足以下性质：1. 三角不等式：对于任意的矩阵A和向量x，有∥A∥ + ∥x∥ ≤∥A + x∥。
2. 齐次性：对于任意的矩阵A和实数α，有∥αA∥ = |α|∥A∥。
3. 子多重性：对于任意的矩阵A和B，有∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥。
我们来讨论矩阵范数和向量范数的联系。
通过定义可以看出，矩阵范数和向量范数都是对于矩阵或向量的度量。
矩阵范数可以看作是对矩阵的度量，而向量范数可以看作是对向量的度量。
矩阵范数和向量范数都满足范数的定义，即满足非负性、齐次性和三角不等式。
在应用中，矩阵范数和向量范数有着广泛的应用。
矩阵范数可以用于矩阵的相似性度量、矩阵的特征值估计等问题。
而向量范数可以用于向量的相似性度量、向量的正则化等问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算方法
2
常用矩阵范数
1范数： || A ||1 m ax | aij |
1 j n i 1
n
2 范数： || A ||2 ( A A)
T
范数： || A || m ax | aij |
1 i n j 1
n
计算方法
定义
设λi(i 1,2 ,...,n)为 矩 阵 A的 特 征 值 ,则 称
10 2 2 2 1 8 因 为A A 1 4 2 4 10 17 8 10 T 由 | E A A | 0 10 17
T
解得1 23.466, 2 1.534 ，
故 || A ||2 23.466 4.844 。
x
max {| xi |} max {1, 2, 3} 3
1 i n
1 i n
计算方法
二 矩阵范数 1 定 义1 设 任 意 A R nn , 若 按 某 一 确 定 的 法 则 应 对于 一
非负实数 || A ||,且 满 足: 1)非 负 性:|| A || 0， 当 且 仅 当 A 0时 ， || A || 0; 2)齐 次 性 ： || kA ||| k ||| A ||，k R; 3)三 角 不 等 式|| ： A B |||| A || || B ||,A, B R nn ; 4)相 容 性 ： AB A B ，A, B R nn， 则 称 || A || 为R nn的 一 种 范 数 。
T i 1
n
i 1 n
1 2 2
1 2
1 2
|| x || m ax {| xi |}
1 i n
计算方法
|| x ||2 ， || x || 例3：已知 x (1,2,3)T , 求 || x ||1 ，
解：
x 1 x1 x2 x3 1+2+3= 6
x2
2 2 2 x1 x2 x3 1 4 9 14
计算方法
§3.2(1) 向量范数和矩阵范数
一 向量范数 1 定义： n 设任一向量 x R , 按 某 一 确 定 的 法 则 对于 应一 非 负 实 数
|| x ||,且 满 足: 1)非 负 性 ： || x || 0， 当 且 仅 当 x 0时 ， || x || 0; 2)齐 次 性 ： || kx ||| k ||| x ||,k R; 则 称 || x || 为 向 量 x的 范 数 。
1 i n
( A) max {| i |}
为矩阵 A的 谱 半 径 。 矩 阵A的 谱 半 径 ( A)不 是A的 一 种 范 数 , 但易证
( A) A
定义2
若
Ax || A || || x || x R n , A R nn
称矩阵范数与向量范数是相容的.
2 1 例4 ： 设矩阵 A 2 4 , 求 || A ||1 , || A ||2, || A || 。 解： || A || max{ 2 | 2 | max{ 2 | 1 |,| 2 | 4} =6
3)三 角 不 等 式 ： 对 任 意 x , y R n , 都 有 x y || x || || y ||，
计算方法
2
常用向量范数
设向量 x ( x1 , x2 ,..., xn )T || x ||1 | xi |
|| x ||2 ( | xi | ) ( x , x ) ( x x )