卓越数学试题
河北省石家庄卓越中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题
河北省石家庄卓越中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．“1x =”是“21x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“x R ∀∈，21x x +≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，21x x +< B ．x R ∀∈，21x x +≤C ．0x ∃∈R ，2001x x +<D ．0x ∃∈R ，2001x x +≥3．下列命题中正确的（ ）A ．0与{}0表示同一个集合；B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1；C ．方程()()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2； D ．集合{}45x x <<可以用列举法表示．4．设A 、B 是非空数集，定义：A ⊕B ={a +b |a ∈A ，b ∈B }，若A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，则集合A ⊕B 的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．若关于x 的方程260x px -+=和260x x q +-=的解集分别为M ，N ，且{}2M N =I ，则p q +=（ ）．A ．21B ．8C ．7D ．66．已知集合A ＝{x |ax 2+2x +a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．0，1D ．﹣1，0，1 7．设全集U 是实数集R ，M={x|x>2或x<-2}，N={x|x ≥3或x<1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{x|-2≤x<1}B ．{x|-2≤x ≤2}C ．{x|1<x ≤2}D ．{x|x<2}8．命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）AB ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈ZD ．一个集合中可以有两个相同的元素10．设集合{}23,2,4A x x x =-+-，且5A ∈，则x 的值可以为（ ）A ．3B ．1-C ．5D ．3-11．若2:60p x x +-=是:10q ax +=的必要不充分条件，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．12-C ．13D ．3三、填空题12．含有三个实数的集合可表示为,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20232024a b +的值为. 13．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购张车票.14．设全集{}22,4,5U m m =+-，集合{2,1}A m =-，若{1}U A =ð，则实数m =．四、解答题15．已知全集U 为R ，集合A={x|0<x ≤2}，B={x|-2<x+1<2}，求：（1）A ∩B ;（2）(∁UA )∩(∁UB )．16．设集合{|(2)()0,R}A x x x a a =--=∈，{|(1)0}B x x x =-=．(1)若1a =，求A B ⋂，A B U ；(2)设C A B =U ，若集合C 有8个子集，求a 的取值集合．17．已知集合{}{}{}2200,36,121,A x x x B x x C x m x m m R =--<=-<<=-≤≤+∈． (1)求集合,A B A B I U ；(2)若()C A B ⊆I ，求实数m 的取值范围．18．已知集合{}24A x x =-<<，{}0B x x m =-<．（1）若3m =，全集U A B =⋃，试求()U A B ∩ð；（2）若A B =∅I ，求实数m 的取值范围；（3）若A B A =I ，求实数m 的取值范围．19．设非空集合A 中的元素都是实数，且满足：若()0,1m A m m ∈≠≠，则11A m∈-． （1）若1A -∈，求出A 中的另外两个元素；（2）给出命题“A 中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断； （3）若A 中的元素个数不超过7个，所有元素之和为7112，所有元素的积恰好等于A 中某个元素的平方，求集合A ．。
2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1．经过A(0，√3)，B （3，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π32．以点A （1，﹣2）为圆心，且与直线x +y ＝0相切的圆的方程为（ ） A ．(x −1)2+(y +2)2=12 B ．(x −1)2+(y +2)2=92 C ．(x +1)2+(y −2)2=12D ．(x +1)2+(y −2)2=923．已知a →=(2x ，1，3)，b →=(1，3，9)，如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．164．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=（﹣3，2）的直线方程为（ ） A ．2x +3y ﹣5＝0B ．2x +y +2＝0C ．x +2y ﹣2＝0D ．x ﹣y ﹣7＝05．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（ ）A ．√32a B ．√33a C ．√55a D ．√155a 6．已知（x 1+2）2+y 12=5，x 2+2y 2＝4，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（ ）A ．√55B ．15C ．6√55D ．3657．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4，当鳖臑A 1﹣ABC 的体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）A ．√346B ．3√1010C ．√26D ．√10108．已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |＝（ ） A ．25B ．√302C ．35D ．√352二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9．已知平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)，以下四个命题正确的有（ ） A ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ∥α B ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ⊥α C ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α∥β D ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α⊥β 10．已知方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 B ．当a ＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 C ．当a ＝0时，表示的圆的半径为2√5D ．当a ＝8时，表示的圆与y 轴相切11．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝012．如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）A ．椭圆的长轴长为4B ．椭圆的离心率为√24C ．椭圆的方程可以为x 24+y 22=1D ．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13．两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则它们之间的距离为 ． 14．圆x 2+y 2＝4与圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0的公共弦长为 ．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，AA 1＝2，则线段AC 1的长为 ．16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），满足|MA |＝2|MO |的动点M 的轨迹为C ，若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1），点E 是线段BC 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．18．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点． （1）证明：直线BD 1∥平面ACE ；（2）求异面直线CD 1与AE 所成角的余弦值．19．（12分）已知圆C 的圆心坐标为（1，1），直线l ：x +y ＝1被圆C 截得的弦长为√2．（1）求圆C 的方程；（2）求经过点P （2，3）且与圆C 相切的直线方程．20．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面为矩形，平面AA 1D 1D ⊥平面CC 1D 1D ，且CC 1＝CD ＝DD 1=12C 1D 1=2．（1）证明：AD ⊥平面CC 1D 1D ；（2）若∠A 1CD 1=π3，求平面A 1AC 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0＜t ＜8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为−45．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝6，点M 是C 上任意一点（与A ，B 不重合），直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求OP →⋅OQ →．2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1．经过A(0，√3)，B （3，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π3解：A(0，√3)，B （3，0），则k AB =0−√33−0=−√33，所以直线的倾斜角为5π6．故选：A ．2．以点A （1，﹣2）为圆心，且与直线x +y ＝0相切的圆的方程为（ ） A ．(x −1)2+(y +2)2=12 B ．(x −1)2+(y +2)2=92 C ．(x +1)2+(y −2)2=12D ．(x +1)2+(y −2)2=92解：由直线x +y ＝0为圆的切线，得圆的半径r =|1−2|√1+1=1√2， 所以所求圆的方程为(x −1)2+(y +2)2=12． 故选：A ．3．已知a →=(2x ，1，3)，b →=(1，3，9)，如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．16解：∵a →与b →为共线向量，∴2x 1=13=39，解得x =16，故选：D ．4．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=（﹣3，2）的直线方程为（ ） A ．2x +3y ﹣5＝0B ．2x +y +2＝0C ．x +2y ﹣2＝0D ．x ﹣y ﹣7＝0解：联立{x +y =22x −y =1，解得x ＝1，y ＝1，即交点为（1，1），因为直线的一个方向向量v →=（﹣3，2），所以直线的斜率k =−23， 所以直线方程为y ﹣1=−23（x ﹣1），即2x +3y ﹣5＝0． 故选：A ．5．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（ ）A ．√32aB ．√33aC ．√55aD ．√155a解：设AB →=i →，AD →=j →，AA 1→=k →，则{i →，j →，k →}构成空间的一个正交基底．可得MN →=MB →+BC →+CN →=12i →+j →+12(−j →+k →)=12i →+12j →+12k →，故|MN →|2=14a 2+14a 2+14a 2=34a 2，所以MN =√32a ．故选：A ．6．已知（x 1+2）2+y 12=5，x 2+2y 2＝4，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的最小值为（ ）A ．√55B ．15C ．6√55D ．365解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A 为圆（x +2）2+y 2＝5上的点，B 为直线x +2y ＝4上的点，（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2的几何意义为圆上的点A 与直线上的点B 的距离的平方， 圆心（﹣2，0）到直线x +2y ＝4的距离为d =|−2−4|√5=6√55＞√5， ∴|AB|min =6√55−√5=√55， ∴|AB |2的最小值为15．故选：B ．7．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4，当鳖臑A 1﹣ABC 的体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为（ ）A ．√346B ．3√1010C ．√26D ．√1010解：在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，AA 1＝4， 当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，AC ＝BC =√2，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B 1（0，√2，4），C （0，0，0），A （√2，0，0），B （0，√2，0）， B 1C →=（0，−√2，﹣4），BA →=（√2，−√2，0），BB 1→=（0，0，4）， 设平面ABB 1A 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BA →=0n →⋅BB 1→=0，即{√2x −√2y =04z =0，取x ＝1，得n →=（1，1，0），设直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为θ，直线B 1C 与平面ABB 1A 1的法向量n →所成的角为α， 则sin θ＝cos α=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=√2√2+16⋅√2=√26，∴直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为√26． 故选：C ． 8．已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |＝（ ） A ．25B ．√302C ．35D ．√352解：已知椭圆x 29+y 26=1，F 1，F 2为两个焦点，则c =√9−6=√3，又O 为原点，P 为椭圆上一点， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 不妨m ＞n ，可得m +n ＝6，①结合余弦定理可得：4c 2＝m 2+n 2﹣2mn cos ∠F 1PF 2， 又cos ∠F 1PF 2=35，即12=m 2+n 2−65mn ，② 结合①②可得mn =152，m 2+n 2＝21， 又PO →=12(PF 1→+PF 2→)，可得|PO|2=14(PF 1→2+PF 2→2+2PF 1→⋅PF 2→)=14(m 2+n 2+2mncos∠F 1PF 2)=14(m 2+n 2+65mn)=14(21+65×152)=152． 可得|PO|=√302． 故选：B ．二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9．已知平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)，以下四个命题正确的有（ ） A ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ∥α B ．若直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)，则l ⊥α C ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α∥β D ．若平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，则α⊥β 解：对于AB ：平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)， 直线l 的一个方向向量为u →=(−2，−4，2)， 所以n →⋅u →=−2−8−2=−12≠0， 所以n →与u →不垂直， 又u →=−2n →， 所以u →//n →，所以l ⊥α，故A 错误，B 正确；对于CD ：平面α的一个法向量为n →=(1，2，−1)， 平面β的一个法向量为m →=(1，0，1)，，所以n →⋅m →=1+0−1=0， 所以n →⊥m →，所以α⊥β，故C 错误，D 正确； 故选：BD ．10．已知方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．当a ＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 B ．当a ＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆 C ．当a ＝0时，表示的圆的半径为2√5D ．当a ＝8时，表示的圆与y 轴相切解：根据题意，方程x 2+y 2﹣4x +8y +2a ＝0，变形可得（x ﹣2）2+（y +4）2＝20﹣2a ， 依次分析选项：对于A ，a ＝10时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝0，不能表示圆，A 错误； 对于B ，当a ＜10时，20﹣2a ＞0，方程表示圆心为（2，﹣4）的圆，B 正确，对于C ，当a ＝0时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝20，表示圆心为（2，﹣4），半径为2√5的圆，C 正确；对于D ，当a ＝8时，方程为（x ﹣2）2+（y +4）2＝4，表示圆心为（2，﹣4），半径为2的圆，与y 轴相切，D 正确； 故选：BCD ．11．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝0解：根据题意，m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，若l ∥α，则m →⊥n →，则有m →⋅n →=0，即1+2（a +b ）+3（a ﹣b ）＝0，即5a ﹣b +1＝0，A 正确，B 错误； 若l ⊥α，则m →∥n →，则有11=a+b 2=a−b 3，变形可得a +b ﹣2＝0且a ﹣b ﹣3＝0，C 、D 正确． 故选：ACD ．12．如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）A ．椭圆的长轴长为4B ．椭圆的离心率为√24C ．椭圆的方程可以为x 24+y 22=1D ．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2解：设椭圆长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 由图可得2a cos45°＝2√2，解得a ＝2， 又b =√2，c ²＝a ²﹣b ²＝4﹣2＝2，解得c =√2， 所以椭圆的长轴长为4，故A 正确； 离心率e =ca =√22，故B 错误； 椭圆的方程为x 24+y 22=1，故C 正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√2，故D 正确； 故选：ACD ．三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13．两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则它们之间的距离为√102． 解：两直线3x +y ﹣3＝0与6x +my +4＝0平行，则3m ＝6，即m ＝2， 直线6x +my +4＝0化为：3x +y +2＝0，于是√32+12=√102． 所以所求距离为√102． 故答案为：√102． 14．圆x 2+y 2＝4与圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0的公共弦长为 2√3 ． 解：由已知圆x 2+y 2＝4的圆心为A （0，0），半径r 1＝2，圆x 2+y 2+2y ﹣6＝0，即x 2+（y +1）2＝7的圆心为B （0，﹣1），半径r 2=√7， 联立{x 2+y 2=4x 2+y 2+2y −6=0，作差可得2y ＝2，即y ＝1，所以公共弦l 所在的直线方程为y ＝1， 所以点A （0，0）到直线l 的距离d ＝1，所以弦长为2√r 12−d 2=2√4−1=2√3． 故答案为：2√3．15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为1的正方形，且∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，AA 1＝2，则线段AC 1的长为 √10 ．解：AC 1→2=(AB →+BC →+CC 1→)2=(AB →+AD →+AA 1→)2 =AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→＝1+1+4+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°＝10， 所以AC 1=√10． 故选：B ．16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，3），满足|MA |＝2|MO |的动点M 的轨迹为C ，若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ，则实数a 的取值范围是 [﹣7，1] ．解：设M （x ，y ），因为A （0，3），C （0，0）， 又因为|MA |＝2|MO |，所以x 2+（y ﹣3）2＝4（x 2+y 2），化简整理可得：x 2+（y +1）2＝4，动点M 的轨迹是以C （0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆，因为直线l ：ax ﹣y +3a ＝0过定点（﹣3，0），若在直线l ：ax ﹣y +3a ＝0上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得P A ⊥PB ， 由数形结合可知：当A 、B 为圆的切点时点P 到圆心的距离达到最大，此时为√2r ， 所以点P 到圆心的距离小于等于√2r ， 也即√1+a 2≤√2×2，解之可得：﹣7≤a ≤1，所以实数a 的取值范围是[﹣7，1]，故答案为：[﹣7，1]．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1），点E 是线段BC 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．解：（1）∵平行四边形ABCD 中，A （﹣1，2），B （1，3），C （3，﹣1）， ∴CD 直线的斜率，即直线AB 的斜率，为3−21+1=12，故直线CD 的方程为y +1=12（x ﹣3），即x ﹣2y ﹣5＝0． （2）∵点E 是线段BC 的中点，∴点E 坐标为（2，1）． 根据直线CD 的方程：x ﹣2y ﹣5＝0，设点D （2m +5，m ）， 则由AD ∥BC ，可得他们的斜率相等，即m−22m+5−(−1)=3+11−3， 求得m ＝﹣2，可得点D （1，﹣2），故直线DE 的斜率为1+22−1=3．故过点A 且与直线DE 垂直的直线的斜率为−13，故过点A 且与直线DE 垂直的直线为y ﹣2=−13（x +1），即x +3y ﹣5＝0． 18．（12分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点． （1）证明：直线BD 1∥平面ACE ；（2）求异面直线CD 1与AE 所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ， 由于E 为DD 1的中点，O 为AC 的中点，则EO ∥BD 1， 又因为EO ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2a ，则C （0，2a ，0），D 1（0，0，2a ），A （2a ，0，0），E （0，0，a ）， 所以CD 1→=（0，﹣2a ，2a ），AE →=（﹣2a ，0，a ）， 设CD 1与AE 所成角为θ， 则cos θ＝|cos ＜CD 1→，AE →＞|=|CD 1→⋅AE →||CD 1→||AE →|=|2a 2|√8a 2×√5a 2=√1010，所以CD 1与AE 所成角的余弦值为√1010． 19．（12分）已知圆C 的圆心坐标为（1，1），直线l ：x +y ＝1被圆C 截得的弦长为√2． （1）求圆C 的方程；（2）求经过点P （2，3）且与圆C 相切的直线方程．解：（1）设圆C 的标准方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）， 圆心C （1，1）到直线x +y ﹣1＝0的距离d =|1+1−1|√2=√22， 则r 2=d 2+(√22)2=12+12=1，所以圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．（2）①当切线斜率不存在时，设切线：x ＝2，此时满足直线与圆相切． ②当切线斜率存在时，设切线：y ﹣3＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k +3， 则圆心C （1，1）到直线y ＝kx ﹣2k +3的距离d =|k−1−2k+3|√k +1=1，整理得4k＝3，解得k=3 4，则切线方程为3x﹣4y+6＝0，综上，切线方程为x＝2和3x﹣4y+6＝0．20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1=12C1D1=2．（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；（2）若∠A1CD1=π3，求平面A1AC与平面ABC夹角的余弦值．解：（1）证明：如图，在梯形CC1D1D中，因为CC1=CD=DD1=12C1D1=2，作DH⊥D1C1于H，则D1H＝1，所以cos∠DD1H=12，所以∠DD1C1=π3，连结DC1，由余弦定理可求得DC1=2√3，因为DC12+DD12=D1C12，所以DC1⊥DD1，因为平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且交于DD1，DC1⊂平面CC1D1D，所以DC1⊥平面AA1D1D，因为AD⊂平面AA1D1D，所以AD⊥DC1，因为AD⊥DC．DC∩DC1＝D，DC，DC1⊂平面CC1D1D，所以AD⊥平面CC1D1D．（2）连结A1C1，由（1）可知，A1D1⊥平面CC1D1D，所以A1C与平面CC1D1D所成的角为∠A1CD1，即∠A1CD1=π3，在Rt△A1CD1中，因为CD1=2√3，所以A1D1＝6，因为A1C1∥AC，所以平面A1AC与平面A1ACC1是同一个平面．以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A 1（6，0，0），C(0，3，√3)，C 1（0，4，0）， 所以A 1C 1→=(−6，4，0)，A 1C →=(−6，3，√3)， 设平面A 1AC 的一个法向量为n →=（a ，b ，c ）， 则有{n →⋅A 1C 1→=0n →⋅A 1C →=0，即{−3a +2b =0−6a +3b +√3c =0，令a ＝2，则b ＝3． c =√3，故n →=（2，3，√3）， 由题意可知m →=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量，所以|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√31×4=√34，故平面A 1AC 与平面ABC 夹角的余弦夹角的值为√34．21．（12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0＜t ＜8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．解：（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立坐标系，则可得M （0，10），N （8√3，8），设P （s ，t ），过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N ′，则N ′（8√3，2t ﹣8）， ∴PM +PN ＝PM +PN ′≥MN ′＝2√t 2−18t +129（0＜t ＜8）；（2）设三段水管的总长为L ，则由（1）知L ＝PM +PN +PQ ≥t +2√t 2−18t +129（0＜t ＜8）； ∴（L ﹣t ）2＝4（t 2﹣18t +129）在t ∈（0，8）上有解， 即3t 2+（2L ﹣72）t +（516﹣L 2）＝0在t ∈（0，8）上有解， Δ＝（2L ﹣72）2﹣12（516﹣L 2）≥0，即L 2﹣18L ﹣63≥0 ∴L ≥21或L ≤﹣3，∴L 的最小值为21，此时对应的t ＝5∈（0，8）， 故N ′（8√3，2），MN ′的方程为y ＝10−√33x ，令y ＝5得x ＝5√3，即P （5√3，5），∴PM =√(5√3)2+(5−10)2=10，PN =√(5√3−8√3)2+(5−8)2=6，∴满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线5√3km ，此时污水处理站到小区M ，N 的水管长度分别为10km 和6km ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为−45．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，且|AB |＝6，点M 是C 上任意一点（与A ，B 不重合），直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ，O 为坐标原点，求OP →⋅OQ →．解：（1）根据题意可得椭圆C 的上顶点的坐标为（0，b ），左、右焦点的坐标分别为（﹣c ，0），（c ，0）， 由题意可知b c ⋅(−b c )=−45，即b 2=45c 2，又a 2＝b 2+c 2，所以a 2=95c 2，即c 2a 2=59，c a =√53，可得椭圆C 的离心率e =√53．（2）由|AB |＝6，得2a ＝6，即a =3，c =√5，b =2， 所以椭圆C 的方程为x 29+y 24=1．如图所示：设M （x 0，y 0），则x 029+y 024=1，即y 02=36−4x 029，又A （﹣3，0），B （3，0），则直线MA 的方程为y =yx 0+3(x +3)，直线MB 的方程为y =yx 0−3(x −3)；因为直线MA ，MB 分别与直线l ：x ＝5交于点P ，Q ， 可得P(5，8y 0x 0+3)，Q(5，2y 0x 0−3)， 所以OP →⋅OQ →=(5，8y 0x 0+3)⋅(5，2y 0x 0−3)=25+16y 02x 02−9=25+16(36−4x 02)9(x 02−9)=25−649=1619． 即OP →⋅OQ →=1619．。
2022-2023学年交大附中高一下学期数学卓越考试卷及答案
第1页共11页交大附中2022学年第二学期高一年级数学卓越考2023.3一、选择题1．已知,αβ∈R ，则“()sin sin 2αβα+=”是“()2πk k βα=+∈Z ”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（）．A．cos 2αB．tan2αC．sin2αD．cos2α3．对于给定的实数a ，不等式()2110ax a x +--<的解集可能是（）．A．11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B．{}1x x ≠-C．{}1x x <-D．R4．若1tan 3α=-，则222ππcos sin 332sin cos cos ααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的值为（）．A．103B．53C．23D．103-5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c22cos32BB +=，cos cos sin sin 6sin BC A Bb c C+=，则ABC △的外接圆的面积为（）．A．12πB．16πC．24πD．64π6．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()y m 和时间()t s 的函数关系为()()sin 0,πy t ωϕωϕ=+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼第2页共11页器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）．A．13s B．23s C．1sD．43s 7．函数()()ππsin 0,,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（）．A．2，π3-B．2，π6-C．4，π6-D．4，π38．己知函数()πsin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列结论：①π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数；②π2f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（）．A．①B．①③C．②③D．①②③9．已知函数()sin 22sin 1f x x x =+-，则()f x 在[]0,2023πx ∈上的零点个数是（）．A．2023B．2024C．2025D．202610．设函数()ln 21ln 21f x x x =++-，则()f x （）．第3页共11页A．是偶函数,且在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增B．是奇函数，且在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减C．是偶函数，且在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增D．是奇函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上存在零点，且函数()f x 在区间[]0,2π上的值域为2M ⎡⎤⊆⎣⎦，则ω的取值范围是（）．A．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．14,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω>对任意3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有()12f x >，则当ω取到最大值时，()f x 的一个对称中心为（）．A．π,08⎛⎫⎪⎝⎭B．3π,016⎛⎫⎪⎝⎭C．π,02⎛⎫⎪⎝⎭D．3π,04⎛⎫⎪⎝⎭13．定义在R 上的奇函数()f x ，满足102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且在()0,+∞上单调递减，则不等式()()()0f x f x x x --<--的解集为（）．A．102102x x x ⎧⎫<<<⎭<⎨⎩-⎬或B．1122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C．10221x x x <⎧⎫<<⎨⎩⎭-⎬或D．12102x x x -<⎧⎫>⎨⎩⎭<⎬或14．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形是函数的神和形两方面、在数学的学习研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．若下图为()y f x =的大致图第4页共11页象，则函数()y f x =的解析式最可能为（）．A．()ln x f x e x =⋅B．()ln x f x e x =⋅C．()ln xf x e x=⋅D．()ln x f x e x-=⋅15．在ABC △中，“ABC △是锐角三角形”是“tan tan 1A B >”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()1sin π4f x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()2f x ≥-，则m 的取值范围是（）．A．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题17．己知函数()ln 1f x x x =+-，则不等式()0f x <的解集是______．18．已知1sin cos 5αα+=，()0,πα∈，则()()sin 1cos 1αα-+=______．19．函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=______．20．已知实数x ，y 满足221x y xy ++=，则222x y +的最大值为______．21．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222222sin sin sin A C b c a B b c a --=+-，则tan C 的取值范围为______．22．己知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则()2221x y --的最大值为______．第5页共11页三、解答题23．在ABC △中，内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c a b c B b Cb c a+++=-．（1）求C ；（2若角C 的内角平分线与AB 边交于点D ，且2CD =，求4b a +的最小值．24．若函数()y f x =满足()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且()ππ44f x f x x ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，则称函数()y f x =为“M 函数”．（1）试判断4sin3y x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin y x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为S ，求S ．第6页共11页参考答案一、选择题1.B; 2.B; 3.B; 4.A;5.B; 6.D;7.A;8.B;9.B;10.A;11.B;12.C 13.D;14.B;15.C;16.B;15.在ABC △中，“ABC △是锐角三角形”是“tan tan 1A B >”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件由tan tan A B >1得tan 0,tan 0A B >>,即,A B 为锐角,()()tan tan tan tan tan 01tan tan A B C A B A B A Bπ+=--=-+=->-又所以C 为锐角,由此可知ABC ∆是锐角三角形,则必要性成立;由ABC ∆是锐角三角形,则C 为锐角,从而tan 0C >,即()tan 0A B -+>,则tan tan 01tan tan A BA B+<-,又,A B 也是锐角,故有1tan tan 0A B -<,即tan tan 1A B >,所以充分性成立，16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()1sin π4f x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()32f x ≥-，则m 的取值范围是（）．A．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦因为当(]0,1x ∈时,()1sin 4f x x π=-,所以()1,04f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦;第7页共11页当(]1,2x ∈时,(]()()10,1,21x f x f x -∈=-=()11sin 1,022x π⎡⎤⎡⎤--∈-⎣⎦⎢⎥⎣⎦(](]()()()[]2,3,20,1,42sin 21,0;x x f x f x x π⎡⎤∈-∈=-=--∈-⎣⎦当时()()78sin 2;233x x x π⎡⎤--=-==⎣⎦令得或舍若对任意(],x m ∈-∞,意有()2f x ≥-,则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.二、填空题17.()10，；18.252-；19.23;20.3322+;21.()10，22.2222+-ππ22.己知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则()2221x y --的最大值为______．2222+-ππ因tan tan tan sin sin 1x y x y x +- ,则1sin 1tan sin cos tan sin tan tan 22x y y x x x x x ππ+⎛⎫⎛⎫+=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因函数sin ,tan y x y x ==均在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,则函数tan sin y x x =+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故有:02x y π<+<,第8页共11页设x y m +=,其中02m π<<,则()()()()()()()222222222212142222121x y m y y y m y m y m m m --=---=-+-+-⎡⎤=---+--⎣⎦ 当且仅当2y m =-时取等号,则此时022m π<-<,得222m ππ-< ,又函数()()221f m m =-在2,12π⎛⎫-⎪⎝⎭时单调递减,在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦时单调递增,222f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()()22212222f m m fπππ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 此时2,22y x ππ=-=-三、解答题23．在ABC △中，内角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c a b c B b Cb c a+++=-．（1）求C ；（2若角C 的内角平分线与AB 边交于点D ，且2CD =，求4b a +的最小值．(1)设ABC ∆外接圆的半径为R ,由正弦定理得:()cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin 2sin c B b C R C B R B C R B C R A a +=+=+==则cos cos c a b c B b C b c a +++=-可化为c a b ab c a++=-整理得222a b c ab +-=-,由余弦定理得22212cos ,0,.2223a b c ab C C C ab ab ππ+--===-<<=又所以(2)由BCD ∆和ACD ∆的面积之和等于ABC ∆的面积,得1112sin sin 232323CD a CD b absin πππ⋅+⋅=可得22ab b a =+,即1112a b +=.第9页共11页则()(1144242525218a b b a b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=⨯++≥⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当41112a b b aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即6,3b a ==时,等号成立.故4b a +的最小值为18.24．若函数()y f x =满足()3π2f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且()ππ44f x f x x ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，则称函数()y f x =为“M 函数”．（1）试判断4sin3y x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为S ，求S．(1)()4sin 3f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭不为M 函数,理由如下：()()()424sin sin ,2323344sin ,,sin 323f x x x f x x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=∴-≠∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是M的函数(2) 函数()f x 对任意的实数x 满足()32f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,∴函数()f x 的周期为32T π=,第10页共11页753,4242x x πππππ≤≤∴≤-≤,()32f x f x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,()()()()33,,sin ,sin cos ,42275,cos 42x f x x f x f x x x f x f x xππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈=∴=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤∴=⎢⎣⎦时在时的解析式为(3)由(2)知()f x 在75,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦时的解析式为()()()cos ,,2442sin cos ,2273,422433cos sin 22f x x x x f x f x x x x x f x f x x x ππππππππππππππ=-≤≤∴≤-≤⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤∴-≤-≤⎛⎫⎛⎫∴=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (),24,47,475,42cosx x sinx x f x sinx x cosx x ππππππππ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎪∴=⎨⎪-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎩作出函数()f x 的图象,如图,2O π-∣关于x 的方程()(f x a a =为常数)有解等价于()y f x =与y a =的图象有交点,由图可知当0a =时,方程()(f x a a =为常数)有3个解,其方程所有解的和为5322S ππππ=-++=当22a<<或1a=时,方程()(f x a a=为常数）有4个解,其方程有解的和为:2144,44Sπππ=+=当22a=时,方程()(f x a a=为常数)有6个解，其方程有解的和为:27146, 4444Sπππππ=+++=当212a<<时,方程()(f x a a=为常数)有8个解，其方程有解的和为：2214148,,3,06,.44442 S S a a πππππππ=+++====综上第11页共11页。
卓越县数学试题卷及答案
卓越县数学试题卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a+b的符号为：A. 正B. 负C. 零D. 不确定2. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = x^3 + 13. 一个等差数列的首项为3，公差为2，那么它的第5项是：A. 13B. 15C. 17D. 194. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, -1)B. (-2, 1)C. (-2, -1)D. (2, 1)5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a ≥ 0D. a ≤ 06. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 6C. 7D. 87. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 1]D. [1, √2]8. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第4项是：A. 54B. 108C. 216D. 48610. 函数f(x) = ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）1. 若a = 2，b = -3，则a^2 - b^2的值为______。
2. 一个圆的半径为5，那么它的面积为______。
3. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值为______。
4. 一个等差数列的首项为1，公差为2，那么它的前5项和为______。
八年级卓越杯数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. 2.5B. √3C. 3/4D. 1/2答案：B解析：无理数是不能表示为两个整数之比的实数，而√3是一个不能表示为两个整数之比的数，因此是无理数。
2. 下列函数中，一次函数是（）A. y = x^2 - 1B. y = 2x + 3C. y = √xD. y = x^3 + 1答案：B解析：一次函数的图像是一条直线，其一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数。
选项B符合一次函数的定义。
3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠B=40°，则∠C的度数是（）A. 40°B. 80°C. 100°D. 120°答案：C解析：在等腰三角形中，底角相等，所以∠C也等于40°。
由于三角形内角和为180°，所以∠A=180°-40°-40°=100°。
4. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7B. 2, 4, 6, 8C. 3, 6, 9, 12D. 4, 8, 12, 16答案：C解析：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项的差相等。
选项C中，每一项与前一项的差都是3，因此是等差数列。
5. 下列命题中，正确的是（）A. 如果a+b=0，那么a和b互为相反数。
B. 平方根只有一个。
C. 如果a^2=b^2，那么a=b。
D. 如果a≠0，那么a^2>0。
答案：A解析：选项A中的命题是正确的，因为如果a+b=0，那么a=-b，即a和b互为相反数。
其他选项中的命题都是错误的。
二、填空题（每题5分，共50分）6. √25的值是______。
答案：5解析：√25表示25的平方根，即找到一个数x，使得x^2=25。
显然，5^2=25，所以√25=5。
7. 函数y=3x-2的斜率是______。
2024届山东省滨州市卓越中考联考数学试题含解析
2024届山东省滨州市卓越中考联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是( )A．(a－3)2＝a2－6a－9 B．(a＋3)(a－3)＝a2－9C．(a－b)2＝a2－b2D．(a＋b)2＝a2＋a22．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（）A．三条高的交点B．重心C．内心D．外心3．已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．24．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=1．若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为18，则t的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或6 C．﹣4或7 D．﹣3或65．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）A．18πB．27πC．452πD．45π6．下列计算正确的是（）A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5D．a2p÷a﹣p=a3p7．如果关于x的方程x2﹣k x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞0 B．k≥0C．k＞4 D．k≥4 8．下列计算正确的是（）A．5﹣2=3B．4=±2C．a6÷a2=a3D．（﹣a2）3=﹣a69．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．15B．0.5C．5D．5010．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．3B．23C．33D．1.53二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如果反比例函数kyx=的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么12yy的值等于_____________.12．在函数y=的表达式中，自变量x的取值范围是．13．如图，已知AB∥CD，α∠=____________14．若关于x的方程111m xx x----=0有增根，则m的值是______．15．已知线段c是线段a和b的比例中项，且a、b的长度分别为2cm和8cm，则c的长度为_____cm．16．将多项式xy2﹣4xy+4y因式分解：_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD ，连接BF 。
卓越初三数学试卷
1. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(3)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 82. 下列各组数中，不是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 4, 7, 10, 13D. 3, 6, 9, 12, 153. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°4. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1、x2，则x1+x2的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a、b、c的符号分别为（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c>0C. a>0，b>0，c<0D. a<0，b<0，c<06. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^47. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠A=60°，则∠BOC的度数为（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°8. 若等比数列{an}的公比为q，首项为a1，第n项为an，则an = （）A. a1 q^(n-1)B. a1 q^nC. a1 q^(n+1)D. a1 q^(n-2)9. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解为x1、x2，若x1+x2=4，x1x2=12，则a、b、c的值分别为（）A. a=1，b=-4，c=12B. a=1，b=-8，c=12C. a=1，b=-4，c=-12D. a=1，b=-8，c=-1210. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > xB. 2x ≥ xC. 2x < xD. 2x ≤ x二、填空题（每题5分，共50分）1. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。
上海市交通大学附属中学2023届高三下学期卓越测试数学试题(含答案解析)
上海市交通大学附属中学2023届高三下学期卓越测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题二、单选题三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（精确到（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角20．如图，设F 是椭圆23x +两点，与y 轴交于点P .（1）若PA AB =，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠（3）求面积ABF △的最大值．21．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意参考答案：所以【点睛】本题主要考查分段函数的应用，即可，属于常考题型．17．（1）证明见解析（2）2arccos3【分析】（1）推导出AC BC ⊥，CC （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，能求出二面角11B CD C --的大小．【详解】（1）∵底面ABC 是等腰直角三角形，且∴AC BC ⊥，∵1CC ⊥平面111A B C ，∴1CC BC ⊥，∵1AC CC C = ，∴BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，由（1）得()0,2,0CB =uu r是平面1ACC A【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型．18．（1）单调递增区间是3k π⎡-⎢⎣【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，的单调递增区间；（2）根据平移规律得到函数图象与性质即可求出x 的值．【详解】（1）化简可得()2f x =由222()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ()f x 的单调递增区间是38k ππ⎡-⎢⎣（2）由已知，()2sin 2g x x ⎛=-⎝由()1g x =，得2sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭28k x ππ∴=+，()k ∈Z ,。
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2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）1 已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-2 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 (A) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3 如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)484 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）5 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p -=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．6 设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．7 设曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．8 如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,O D C D B C αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．10（本题满分13分） 设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．11（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<． 12（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈． （1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈--- 2012年卓越联盟自主招生数学试题一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
1. 若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 。
2. 函数()θθθcos 2sin +=f ，()R ∈θ的值域为 。
3. 设10<<a ，40πθ<<，()θθsin log sin a x =，()θθtan log cos a y =，则y x ,的大小关系为。
4. 已知△ABC 中， 90=∠A ，4=BC ，点A 为线段EF 中点，EF=2，若→EF 与→BC 的夹角为 60，则=⋅→→CF BE 。
5. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T 。
若22b a =，44b a =，且52435=--T T S S ，则=++3535b b a a 。
6. 设函数()()ϕϖ+=x x f sin ，其中0>ϖ，R ∈ϕ，若存在常数()0>T T ，使对任意R x ∈有()()x Tf T x f =+，则ϖ可取到的最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
7. （本小题满分10分）设b a 、是从集合{}5,4,3,2,1中随机选取的数。
（I ）求直线b ax y +=与圆222=+y x 的公共点的概率。
（II ）设X 为直线b ax y +=与圆222=+y x 的公共点的个数，求随机变量x 的分布列及数序期望()X E 。
8.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦AB CD ⊥于点M ，E 是CD 延长线上一点，10=AB ，8=CD ，OM ED 43=，EF 切圆O 与F ，BF 交CD 于G ，（I ）求线段EG 的长；（II ）连接DF ，判断DF 是否平行于AB ，并证明你的结论。
（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。
）9. (本小题满分10分)如图，在四棱锥ABCD P -中，地面ABCD 为直角梯形，BC AD //，BC AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1===AB AD PA ，2=BC 。
（I ）证明平面PBC ⊥平面PDC ；（II ）若 120=∠PAB ，求二面角C PD B --的正切值（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。
）。
10. (本小题满分10分)设抛物线px y 22=，0>p 的焦点是F ，A 、B 是抛物线上互异的亮点，直线AB 与x 轴不垂直，线段AB 的垂直平分线交x 轴与()0,a D ，记BF AF m +=。
（I ）证明a 是p 与m 的等差中项；（II ）设p m 2=，直线y l //轴，且l 被以AD 为直径的动圆，截得的弦长恒为定值，求直线l 方程。
11. (本小题满分15分) 已知函数()bxax x f 12+=，其中a 是非零实数，0>b 。
（I ）求()x f 的单调区间；（II ）若0>a ，设ax i 1>，321、、=i ，且021>+x x ，032>+x x ，031>+x x 。
证明：()()()ba x f x f x f 2321>++； （III ）若()x f 有极小值m in f ，且()21m i n ==f f ，证明：()()22-≥-n n n x f x f ，+∈N n 。
12. 12. (本小题满分15分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，01≠a ，v a uS vS n n 11=-+，其中v u 、是正整数，且v u >，+∈N n 。
（I ）证明{}n a 为等比数列；（II ）设p a a 、1两项均为正整数，其中3≥p 。
（i ）若1a p ≥，证明v 整除u ；（ii ）若存在正整数m ，使得()11-+≤p p m a ，证明：()pp p m m S -+=1。
2011年卓越联盟自主招生数学试题1. 向量a ，b 均为非零向量，(a-2b)⊥a ，(b-2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A)6π (B)3π (C)23π (D)56π2. 已知sin2( + )=nsin2 ，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于(A)11nn-+(B)1nn+(C)1nn-(D)11nn+-3. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)153(B)155(C)53(D)554. i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则2221z zz i-+-+的最大值为(A)2-1 (B)2-2(C)2+1 (D)2+25. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为(A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x6. 在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为(A)3(B)2(C)32(D)22(7)若关于x的方程||4xx+=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )(A)(0，1) (B)(14，1) (C)(14，+∞) (D)(1，+∞)(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A)5(B)6(C)7(D)229. 数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1-a k|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A)100 (B)120 (C)140 (D)16010. 设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( )(A)σ4(B)σ5(C)σ2τ(D)τσ211. 设数列{a n}满足a1=a，a2=b，2a n+2=a n+1+a n．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值． 12. 在△ABC 中，AB=2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD=kAC ．(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短？13. 已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线21,l l ，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．14. 一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ．(Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P(X n =a+k)=p k ，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b ；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1． 15. (Ⅰ)设f(x)=xlnx ，求f ′(x)；(Ⅱ)设0<a<b ，求常数C ，使得1|ln |b ax C dx b a --⎰取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b ，证明：m a,b <ln2．。