高中数学 课时作业4 1.1.2 集合间的包含关系 新人教A版必修1
高中数学人教版(新教材)必修1课时作业4：1.1 集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语基础达标一、选择题1.以下各组对象不能组成集合的是( )A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x 2－1＝0的实数解D.周长为10 cm 的三角形解析 选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合. 答案 B2.方程组⎩⎨⎧x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( ) A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，而D 不是集合表示的描述法的正确形式，排除D.答案 C3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x 2－x ＝0}B.{y |y 2－y ＝0}C.{x |y ＝x 2－x }D.{y |y ＝x 2－x }解析 选项A 中的集合只有一个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是方程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}；选项C ，D 中的集合中都有无数多个元素，故选B.4.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是()A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.答案 D5.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.答案 B二、填空题6.已知①5∈R；②13∈Q；③0N*；④πQ；⑤－4Z.正确的个数为________.解析①②③④是正确的；⑤是错误的.答案 47.若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P和Q相等，则a的值为________.解析由于P和Q相等，故a2＝2，∴a＝±2.8.若－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________.解析 由题意可知(－5)2－a ×(－5)－5＝0，得a ＝－4，故方程x 2－4x ＋4＝0的解为x ＝2，即{x |x 2－4x －a }＝{2}，则其所有元素之和为2.答案 2三、解答题9.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)2，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13，13这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x ＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素.解 (1)不正确.∵32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13＝13， ∴这个集合有3个元素.(2)不正确.方程(x －3)(x ＋1)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.10.用适当的方法表示下列集合：(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；(2)方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集.解 (1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.(2)由2x ＋1＋|y －2|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y －2＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝2，所以方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集用描述法可表示为(x ，y )⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＝－12y ＝2；用列举法可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫－12，2. 能力提升11.由三个数a ，b a ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 019＋b 2 019的值.解 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(不满足集合元素的互异性，舍去). 所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋0＝－1.12.下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解 (1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然特征性质的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合.(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}.集合C的代表元素是(x，y)，满足条件y＝x2＋1，即表示满足y＝x2＋1的实数对(x，y)；也可认为满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点.因此，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}＝{(x，y)|(x，y)是抛物线y＝x2＋1上的点}.。
集合-人教A版高中数学必修1课时训练(含答案)
1.1.1.1集合的含义双基达标(限时20分钟)1．下列几组对象可以构成集合的是()．A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人解析A、B、C中标准皆不明确，故选D.答案 D2．下面有四个语句：①集合N*中最小的数是0；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；④x2＋1＝2x的解集中含有2个元素．其中正确语句的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析N*是不含0的自然数，所以①错；取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错；对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错；对于④，解集中只含有元素1，故④错．答案 A3．下列所给关系正确的个数是()．①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4解析∵π是实数，3是无理数，∴①②正确，又∵N*表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确；又|－4|是正整数，故④不正确，∴正确的共有2个．答案 B4．设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.解析矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M.答案∈∉5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析方程x2－5x＋6＝0的解是2,3，方程x2－x－2＝0的解为－1,2，故以两方程的解为元素的集合中共有3个元素．答案 36．设1,0，x三个元素构成集合A，若x2∈A，求实数x的值．解①若x2＝0，则x＝0，此时A中只有两个元素1,0，这与已知集合A中含有三个元素矛盾，故舍去．②若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合A中的元素有重复，舍去；当x＝－1时，集合A中的元素为1,0，－1，符合题意．③若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．综上可知：x＝－1.综合提高(限时25分钟)7．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()．A．0∉M B．2∈M C．－4∉M D．4∈M解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0，－4，∴4∈M.答案 D8．满足“a∈A且4－a∈A”，a∈N且4－a∈N的有且只有2个元素的集合A 的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析 ∵a ∈N ，a ∈A 且4－a ∈A ，且A 中只含2个元素，∴集合A 中元素可能为0,4或1,3，共2个．答案 C9．已知集合A 中只含有1，a 2两个元素，则实数a 不能取的值为________． 解析 由a 2≠1，得a ≠±1.答案 ±110．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为________． 解析 ∵y ＝－x 2＋1≤1，且y ∈N ，∴y 的值为0,1.答案 0或111．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值．解 由题意得⎩⎨⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎨⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.由集合元素的互异性，知⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.12．(创新拓展)设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性，知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．1.1.1.2集合的表示双基达标(限时20分钟)1．下列集合表示法正确的是()．A．{1,2,2} B．{全体实数} C．{有理数} D．{祖国的大河}解析选项A不符合集合中元素的互异性；选项B中“{}”的意义就是全体的意思，两者重复；选项D不具备确定性，不能用集合的表示．答案 C2．集合M＝{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}是指()．A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、三象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析因为xy>0，所以x与y同号．答案 C3．下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．正确的是()．A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对答案 C4．集合A＝{a，b，(a，b)}含有________个元素．解析集合A中含有3个元素，分别是a，b，(a，b)．答案 35．用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈Z ，86－x ∈N ＝________. 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．答案 {5,4,2，－2}6．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x |x ＝|x |，x <5且x ∈Z }；(4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；(5){－3，－1,1,3,5}．解 (1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)∵x ＝|x |，∴x ≥0，又∵x ∈Z 且x <5，∴x ＝0或1或2或3或4.∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．(5){x |x ＝2k －1，－1≤k ≤3，k ∈Z }． 综合提高 (限时25分钟)7．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( )．A ．{0,1}B ．{(0,1)}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 解析 把x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，∴交点为(0,1)，选B.答案 B8．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．选项中元素与集合的关系都正确的是( )．A ．2∈A ，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B解析集合A中元素y是实数，不是点，故选B、D不对，集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以选项A错．答案 C9．已知集合{－1,0,1}与集合{0，a，b}相等，则a2 010＋b2 011的值等于________．解析由题意，得a＝－1，b＝1或a＝1，b＝－1，即a2 010＋b2 011＝0或2.答案0或210．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为________．解析由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，∴(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4.则方程x2＋ax＋3＝0即为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.∴{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，所以元素之和为1＋3＝4.答案 411．用适当的方法表示下列对象构成的集合．(1)绝对值不大于3的整数；(2)平面直角坐标系中不在第一、三象限内的点；(3)方程2x＋1＋|y－2|＝0的解．解(1)用列举法：{－3，－2，－1,0,1,2,3}；或用描述法：{绝对值不大于3的整数}，或写成{x||x|≤3，x∈Z}．(2)因为在第一、三象限内的点(x，y)的横坐标x、纵坐标y同正(第一象限)或同负(第三象限)，即xy >0，所以不在第一、三象限内的点(x ，y )满足xy ≤0，因此该集合可用描述法表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }．(3)由算术平方根及绝对值的意义，若干个非负数的和为零，则这几个非负数均为零，则必有⎩⎨⎧ 2x ＋1＝0，y －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝2.因此该方程的解的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|(－12，2). 12．(创新拓展)已知集合M ＝{0,2,4}，定义集合P ＝{x |x ＝ab ，a ∈M ，b ∈M }，求集合P .解 ∵a ∈M ，b ∈M ，∴a ＝0,2,4，b ＝0,2,4.当a ，b 至少有一个为0时，x ＝ab ＝0；当a ＝2且b ＝2时，x ＝ab ＝4；当a ＝2且b ＝4时，x ＝ab ＝8；当a ＝4且b ＝2时，x ＝ab ＝8；当a ＝4且b ＝4时，x ＝ab ＝16.根据集合中元素的互异性，知P ＝{0,4,8,16}．1.1.2集合间的基本关系双基达标 (限时20分钟)1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅.其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 ①空集是其自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是空集的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确． 答案 B2．如果A＝{x|x>－1}，那么正确的结论是()．A．0⊆A B．{0}AC．{0}∈A D．∅∈A解析由于0>－1，所以{0}A.答案 B3．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()．A．5 B．6 C．7 D．8解析∵A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A有3个元素，故集合A有23－1＝7(个)真子集．答案 C4．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．解析∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不相等的点集，④错误．故正确的是②.答案②5．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系错误的有________．①S U；②F T；③S T；④S F；⑤S F；⑥F U.解析根据子集、真子集的Venn图，可知S U，S T，F U正确，其余错误．答案②④⑤6．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．综合提高(限时25分钟)7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 3，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 6，k ∈Z ，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定解析 对B 集合中，x ＝k 6，k ∈Z ，当k ＝2m 时，x ＝m 3，m ∈Z ；当k ＝2m －1时，x ＝m 3－16，m ∈Z ，故按子集的定义，必有AB .答案 A8．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )．A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析 集合M 必含元素a ，且为{a ，b ，c ，d }的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M ：{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }．答案 B9．设A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B A ，则a 的值为________． 解析 ∵B A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .若a 2－a ＋1＝3，则a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1，符合题意；若a 2－a ＋1＝a ，则a ＝1.此时A ＝{1,3,1}，不符合题意，舍去．综上可知a 的值为2或－1.答案 2或－110．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．解析 P ＝{－1,1}，∵Q ⊆P若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ，若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，a 的取值是0，±1.答案 0，±111．已知M ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，N ＝{－2,4a －3,3a －1}，若M ＝N ，求实数a 的值．解 因为M ＝N ，所以(a －3)＋(2a －1)＋(a 2＋1)＝－2＋(4a －3)＋(3a －1)，即a 2－4a ＋3＝0.解得a ＝1或a ＝3.当a ＝1时，M ＝{－2,1,2}，N ＝{－2,1,2}，满足M ＝N ；当a ＝3时，M ＝{0,5,10}，N ＝{－2,9,8}，不满足M ＝N ，舍去．故所求实数a 的值为1.12．(创新拓展)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)若x ∈Z ，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得－3≤m ≤3，则2≤m ≤3. 综上可得m ≤3时，有B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)由于x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，①若B ＝∅，则由m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件；②若B ≠∅，则要满足条件⎩⎨⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎨⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－2. 解得m >4.综上，m<2或m>4.1.1.3集合的基本运算（并集、交集）双基达标(限时20分钟)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()．A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}解析结合数轴得：M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．答案 A2．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．答案 B3．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于()．A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}．答案 B4．若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________.解析P＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，所以P∩M＝{－1}．答案{－1}5．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝________.解析结合数轴得：A∪B＝{x|x>－2}．答案{x|x>－2}6．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B. 解∵B⊆(A∪B)，∴x2－1∈(A∪B)．∴x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±2或x＝± 6.若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．综合提高(限时25分钟)7．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，所以A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余的元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4，它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案 D8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{(－2，－3)}C．∅D．{－3}解析由于A是点集，B是数集，∵A∩B＝∅.答案 C9．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A是________．解析∵{0,1}∪A＝{0,1,2}，∴2∈A.∴A＝{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}．答案{2}或{0,2}或{1,2}或{0,1,2}10．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝________.解析∵A∩B＝{1}，∴1∈A，∴a2＝1，a＝±1.又a≠1，∴a＝－1.答案－111．若A∩B＝A，A∪C＝C，B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，写出满足上述条件的所有集合A.解∵A∩B＝A，A∪C＝C，∴A⊆B，A⊆C.又B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，故A⊆(B∩C)＝{0,2}，所以满足条件的集合A有∅，{0}，{2}，{0,2}．12．(创新拓展)设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．1.1.3集合的基本运算（补集及其综合应用）双基达标(限时20分钟)1．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁R A＝()．A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6}C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6}解析∁R A＝{x|x<0或x>6}．答案 B2．已知全集U＝{2,5,8}，且∁U A＝{2}，则集合A的真子集个数为()．A．3 B．4 C．5 D．6解析由∁U A＝{2}，则A＝{5,8}∴集合A的真子集为∅，{5}，{8}，共3个．答案 A3．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()．A．A∩B＝{－2，－1} B．(∁R A)∪B＝{－2，－1,1}C．A∪B＝{1,2} D．(∁R A)∩B＝{－2，－1}解析∵∁R A＝{x|x≤0}，∴(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案 D4．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________. 解析∵∁A B＝{5}，∴A＝B∪∁A B＝{3,4,5}．∴m＝5.答案 55．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|0<x<10}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.解析由题意，得U＝A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．答案{2,4,6,8}6．在如图中，用阴影表示出集合(∁U A)∩(∁U B)．解∵(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，∴如图所示为所求．综合提高(限时25分钟)7．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则()．A．(∁U M)⊇(∁U N) B．M⊆(∁U N)C．(∁U M)⊆(∁U N) D．M⊇(∁U N)解析利用韦恩图，如图所示：可知(∁U M)⊆(∁U N)．答案 C8．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是()．A．a≤2 B．a<1 C．a≥2 D．a>2解析∵B＝{x|1<x<2}，∴∁R B＝{x|x≥2或x≤1}．如图，若要A∪(∁R B)＝R，必有a≥2.答案 C9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.故填－3.答案－310．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________．解析先求出∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁U A∁U B.答案∁U A∁U B11．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥5 2}，(1)求A∩B；(2)求(∁U B)∪P；(3)求(A∩B)∩(∁U P)．解借助数轴，如下图．。
【必修1】高中数学1.1.2集合间的基本关系课时作业新人教A版
1.1.2 集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．1．子集的概念一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念A B4.空集(1)定义：______________的集合叫做空集．(2)用符号表示为：____.(3)规定：空集是任何集合的______．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．一、选择题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是() A．P＝Q B．P QC．P Q D．P∩Q＝∅2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3 B．6 C．7 D．83．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．35．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是() A．S P M B．S＝P MC．S P＝M D．P＝M S二、填空题7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．13．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或B A)．2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．1．1.2集合间的基本关系知识梳理1．任意一个A⊆B B⊇A A含于B B包含A 2.封闭3．A⊆B且B⊆A x∈B，且x∉A 4.(1)不含任何元素(2)∅(3)子集 5.(1)A⊆A(2)A⊆C作业设计1．B[∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}∴P Q，∴选B.]2．C[M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．]3．C4．B[只有④正确．]5．B[由N＝{－1,0}，知N M，故选B.]6．C[运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．]7．①②解析①、②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．8．a≥2解析在数轴上表示出两个集合，可得a≥2.9．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数， 则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，(1)当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立； (3)当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，∴m <2.②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示． 要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }． 又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．5解析 若A 中有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}， 若A 中有2个奇数，则A ＝{1,3}．。
1.1.2 集合间的基本关系 学案(人教A版必修1) (2)
1．1.2 集合间的基本关系——题型探究类型一 子集、真子集的概念问题【例1】 已知集合M ＝{x|x ＜2且x ∈N }，N ＝{x|－2＜x ＜2且x ∈Z }．(1)试判断集合M 、N 间的关系．(2)写出集合M 的子集、集合N 的真子集．[思路探索] 把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系和写子集与真子集．解 M ＝{x|x ＜2且x ∈N }＝{0,1}，N ＝{x|－2＜x ＜2，且x ∈Z }＝{－1,0,1}．(1)M N.(2)M 的子集为： ，{0}，{1}，{0,1}，N 的真子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．[规律方法] 1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集： 和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.【活学活用1】 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }．B ＝{x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A C B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 易知A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，又A C B.∴集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案 D类型二 集合的相等问题【例2】 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，则a 2 013＋b 2 014的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1[思路探索] 集合相等 集合的元素相同 a ≠0 b ＝0，a 2＝1 a 2013＋b 2014＝－1.解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}， 又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0. ∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 013＋b 2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1.答案 C[规律方法] 1.本题以“0”为着眼点，b a中a 不为0为突破口． 2．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知矛盾的情形．例如本题中a ＝1不满足互异性，否则会错选D.【活学活用2】 设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ＝B ，求实数a 的值．解 由A ＝B 及两集合元素特征，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±1，a ＝1或a ＝2. 因此a ＝1，代入检验满足互异性．∴a ＝1.类型三 由集合间的关系求参数范围问题【例3】 已知集合A ＝{x|－3≤x ≤4}，B ＝{x|2m －1＜x ＜m ＋1}，且B A.求实数m 的取值范围．[思路探索] 借助数轴分析，注意B 是否为空集．解 ∵B A ，(1)当B ＝ 时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠ 时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得m ≥－1.[规律方法] 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．2．此类问题要注意对空集的讨论．【活学活用3】 已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围．解 (1)若A B ，由图可知a ＞2.(2)若B A ，由图可知1≤a ≤2.方法技巧 分类讨论思想在集合关系中的应用所谓分类讨论，就是当问题所涉及的对象不能统一解决时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．在集合包含关系或涉及集合的元素含有参数时，常借助分类讨论思想转化求解．【示例】 (2013·济南高一检测)已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x|mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的集合．[思路分析]解 由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3.∴集合A ＝{1,3}．(1)当B ＝ 时，此时m ＝0，满足B A.(2)当B ≠ 时，则m ≠0，B ＝{x|mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m . ∵B A ，∴3m ＝1或3m＝3，解之得m ＝3或m ＝1. 综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}．[题后反思] 1.解答诸如含有集合包含关系的题目时，一定要警惕“ ”这一陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记．2．在方程或不等式中，当一次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况 下要注意分类讨论.作业1．集合{0}与∅的关系是( )．A ．{0}B ．{0}∈C ．{0}＝D ．{0}解析 空集是任何非空集合的真子集，故A 正确．集合与集合之间无属于关系，故B 错；空集不含任何元素，{0}含有一个元素0，故C 、D 均错．答案 A2．已知集合A ＝{x|－1＜x ＜4}，B ＝{x|x ＜a}，若A B ，则实数a 满足( )．A ．a ＜4B ．a ≤4C ．a ＞4D ．a ≥4解析 由A B ，结合数轴，得a ≥4.答案 D3．已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1.答案 －14．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B A ，则实数m ＝________. 解析 ∵B ＝{3，m 2}，A ＝{－1,3,2m －1}，且B A ，∴m 2∈{－1,3,2m －1}，又m 2≠3，∴m 2＝2m －1，解得m ＝1，经检验合题意．答案 15．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．解 ∵A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．课堂小结1．子集和真子集(1)A B 包含两种情况：A ＝B 和A B.当A 是B 的子集时，不要漏掉A ＝B 的情况．(2)在真子集的定义中，A B 首先要满足A B ，其次至少有一个x ∈B ，但x A.(3)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )，真包含于( )、真包含( )等，用这些符号时要注意方向．2．空集(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若利用“A B”或“A B”解题，要讨论A＝ 和A≠ 两种情况．3．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.。
2019-2020年高中数学 1.1.2集合间的基本关系课时作业 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学 1.1.2集合间的基本关系课时作业 新人教A版必修1知识点及角度难易度及题号基础 中档 稍难 元素与集合及集合与集合关系的判断 1、2、5 6子集、真子集 3、711 由集合间关系求参数4、89、1011、12答案：D5．下图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A ，B ，C ，D ，E 分别代表的图形的集合为________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形} 6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}和P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，那么M 与P 的关系为________．解析：∵xy ＞0，∴x ，y 同号，又x ＋y ＜0，∴x ＜0，y ＜0，即集合M 表示第三象限内的点．而集合P 表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集． 解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．8．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2－13，n ∈Z ，则集合M ，N 的关系是( )A ．M ⊆NB ．M NC ．N ⊆MD ．N M解析：设n ＝2m 或2m ＋1，m ∈Z ， 则有N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2m 2－13或x ＝2m ＋12－13，m ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m －13或x ＝m ＋16，m ∈Z .又∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，∴M N .答案：B9．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0， ∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． 当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1， ∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1. 答案：{0,1，－1}10．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.由集合的互异性知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，不合题意．故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.11．设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x x ＋4⎝⎛⎭⎫x －12＝0，x ∈Z ，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的值．解：由题意得A＝{0，－4}．(1)当B＝∅时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，∴a＜－1.(2)当B A(B≠∅)时，则B＝{0}或B＝{－4}，即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0只有一解，∴Δ＝8a＋8＝0，∴a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件． (3)当B ＝A 时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 有两实根0，－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧16－8a ＋1＋a 2－1＝0，0＝a 2－1，∴a ＝1.综上可知，a ≤－1，或a ＝1.12．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求m 的取值范围． 解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)． (2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m ＞－2时，B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1}， 因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．1．不能把“A ⊆B ”、“A B ”简单地理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为当A ＝∅时，A ⊆B ，但A 中不含任何元素；又当A ＝B 时，也有A ⊆B ，但A 中含有B 中的所有元素，这两种情况都有A ⊆B .2．集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)，真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A ⊆B 与B ⊇A 是相同的，但A ⊆B 与B ⊆A 是不同的．3．解题中要特别注意“∈”与“⊆”的区别，不要犯“0⊆{0}”，“{1}∈{0,1,2}”等概念错误．注意区分⊆与的区别，例如B A ，则A 中至少比B 中多一个元素．.。
高中数学 课时作业4 1.1.2 集合间的包含关系 新人教A版必修1
课时作业(四) 1.1.2 集合间的包含关系1.数0与集合∅的关系是( ) A.0∈∅ B.0＝∅ C.{0}＝∅ D.0∉∅答案 D2.集合{1，2，3}的子集的个数是( ) A.7 B.4 C.6 D.8答案 D3.下列集合中表示空集的是( ) A.{x ∈R |x ＋5＝5} B.{x ∈R |x ＋5>5} C.{x ∈R |x 2＝0} D.{x ∈R |x 2＋x ＋1＝0}答案 D解析 ∵A ，B ，C 中分别表示的集合为{0}，{x|x>0}，{0}，∴不是空集；又∵x 2＋x ＋1＝0无解，∴{x ∈R |x 2＋x ＋1＝0}表示空集.4.已知集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{y|y ＝x ＋1，x ∈P}，那么集合M ＝{3，4，5}与Q 的关系是( ) A.M Q B.MQC.QMD.Q ＝M答案 A5.下列六个关系式中正确的个数为( )①{a ，b}＝{b ，a}；②{a，b}⊆{b ，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}.A.6B.5C.4D.3个及3个以下答案 C解析 其中①②⑤⑥是正确的，对于③应为∅{∅}或∅∈{∅}；对于④应为{0}∅. 6.若集合A ＝{－1，2}，B ＝{x|x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则有( ) A.a ＝1，b ＝－2 B.a ＝2，b ＝2 C.a ＝－1，b ＝－2 D.a ＝－1，b ＝2答案 C解析 由A ＝B 知－1与2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，（－1）×2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.7.集合P ＝{x|y ＝x 2}，Q ＝{y|y ＝x 2}，则下列关系中正确的是( ) A.PQB.P ＝QC.P ⊆QD.PQ答案 D解析 P ，Q 均为数集，P ＝{x|y ＝x 2}＝R ，Q ＝{y|y ＝x 2}＝{y|y≥0}，∴Q P ，故选D.8.已知集合A {1，2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 的个数为( )A.6B.5C.4D.3答案 B解析 A ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共5个.9.若A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝{(x ，y)|yx ＝1}，则A ，B 关系为( )A.ABB.B AC.A ＝BD.AB答案 B10.已知集合A ＝{－1，3，m}，集合B ＝{3，4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 答案 4解析 ∵B ⊆A ，A ＝{－1，3，m}，∴m ＝4.11.已知非空集合A 满足：①A ⊆{1，2，3，4}；②若x∈A，则5－x∈A.符合上述要求的集合A 的个数是________. 答案 3解析 由“若x∈A，则5－x∈A”可知，1和4，2和3成对地出现在A 中，且A≠∅.故集合A 的个数等于集合{1，2}的非空子集的个数，即3个.12.设集合A ＝{x∈R |x 2＋x －1＝0}，B ＝{x∈R |x 2－x ＋1＝0}，则集合A ，B 之间的关系是________. 答案 BA解析 ∵A＝{－1－52，－1＋52}，B ＝∅，∴BA.13.已知M ＝{y|y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，N ＝{x|－2≤x≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________. 答案 NM14.设A ＝{x∈R |－1<x<3}，B ＝{x∈R |x>a}，若A B ，求a 的取值范围.答案 a≤－1解析 数形结合，端点处单独验证.15.设集合A ＝{1，3，a}，B ＝{1，a 2－a ＋1}，B ⊆A ，求a 的值.解析 因为B ⊆A ，所以B 中元素1，a 2－a ＋1都是A 中的元素，故分两种情况. (1)a 2－a ＋1＝3，解得a ＝－1或2，经检验满足条件. (2)a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝1，此时A 中元素重复，舍去. 综上所述，a ＝－1或a ＝2. ►重点班·选做题16.a ，b 是实数，集合A ＝{a ，b a ，1}，B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 015＋b 2 016.答案 －1解析 ∵A＝B ，∴b ＝0，A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}.∴a 2＝1，得a ＝±1.a＝1时，A ＝{1，0，1}不满足互异性，舍去；a ＝－1时，满足题意.∴a2015＋b2 016＝－1.1.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，ba ，b}，则b －a 等于( )A.1B.－1C.2D.－2答案 C解析 ∵a≠0，∴a ＋b ＝0，∴ba ＝－1.∴b ＝1，a ＝－1，∴b －a ＝2，故选C.2.设集合A ＝{x|－3≤x≤2}，B ＝{x|2k －1≤x≤k＋1}且B ⊆A ，求实数k 的取值范围. 解析 ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B≠∅.①B ＝∅时，有2k －1>k ＋1，解得k>2. ②B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≤k＋1，2k －1≥－3，k ＋1≤2，解得－1≤k≤1.综上，－1≤k≤1或k>2.。
高一数学人教版必修1课时作业1.1.2 集合间的基本关系
基础过关.下列集合中，不是集合{，}的真子集的是( ).∅.{} .{} .{，}解析任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集.答案.集合＝{－＝}，＝{－，－，，，}，则与的关系为( )＝⊇解析由－＝，得＝±，所以＝{－，}.因此.答案.已知集合⊆{，，}，且集合中至少含有一个偶数，则这样的集合的个数为( )解析集合{，，}的子集为：∅，{}，{}，{}，{，}，{，}，{，}，{，，}，其中含有偶数的集合有个.答案.设∈，若集合{，}＝{－，}，则＝.解析∵{，}＝{－，}，∴－＝，∴＝－.答案－.(·湖南长郡中学模块检测)已知集合＝{＝}，当为非空集合时的取值范围是.解析为非空集合时，方程＝有实数根，所以≥.答案[，＋∞).若集合{，}⊆{，，，}，试写出满足条件的所有集合.解由{，}⊆，知，∈，又{，，，}，因此集合中可以有个或个元素，故满足条件的可以为{，}，{，，}，{，，}..已知集合＝{≤≤}，＝{<<}.若，求的取值范围.解∵，∴≠∅，画出数轴如图所示：故解得<<.所以实数的取值范围是. .已知集合＝{－}，＝{＋＝，∈}，⊆，求的值.解∵⊆，≠∅，∴＝∅或≠∅.当＝∅时，方程＋＝无解，此时＝.当＝∅时，此时≠，＝，∴－∈，即有－＝－，得＝.综上所述，＝或＝.能力提升.下列说法中正确的是( )①若，则⊆；②若⊆，则；③若＝，则⊆；④若⊆，则＝..①②.②③.①③.②④解析②不正确，如{，}⊆{，}，但{，}{，}不成立；④不正确，如{}⊆{，}，但二者不相等.①③正确.答案.已知集合＝{∈≤≤}，若集合有个子集，则实数＝( )解析由于有个子集，所以中一定有个元素.又＝{∈≤≤}，所以＝，此时＝{，}恰好有个子集.答案.设集合＝{－－＝}，＝{＝}，若⊆，则实数的取值集合为.解析集合＝.若⊆，则＝{}或或∅.于是当＝{}时，＝；当＝时，＝－；当＝∅时，＝.所以的取值集合为.答案.已知集合＝{，，，，}，＝{，，，，}，又知非空集合满足：其各元素都加后，就变为的一个子集，其各元素都减后，就变为的一个子集，则集合＝.解析本题可逆向操作，中元素都减，得{，，，，}，中的元素都加，得{，，，，}，因为中的元素同时在这两个集合中，所以＝{}或{}或{，}.答案{}或{}或{，}.设集合＝{－≤≤}，＝{－<<＋}，且⊆，求实数的取值范围.解⊆，分为两种情况：①当＝∅时，满足⊆，此时＋≤－，解得≥.②当≠∅时，有解得－≤<.综上可得的取值范围是{≥－}.。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课后课时精练新人教A版必修1
1.1.2 集合间的基本关系A级：基础巩固练一、选择题1．下列关系式不正确的是( )A．{1}⊆{1,2} B．{0}⊆{1,2}C．{2}⊆{1,2} D．1∈{1,2}答案 B解析∵0∉{1,2}，∴{0}⊆{1,2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确．2．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x>8且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}答案 B解析选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.3．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围为( )A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}答案 A解析在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B，所以a≥2.4．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4答案 D解析∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0,2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0,2}共4个．5．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫p 2＋16，p ∈Z ，则M ，N ，P 的关系是( )A ．M ＝N PB ．M N ＝PC ．M N PD ．N PM答案 B解析 M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16，m ∈Z .N ＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3q ＋16，q ∈Z (n∈Z ，q ＝n －1∈Z )，P ＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }.∴M N ＝P .二、填空题6．已知非空集合A 满足：①A ⊆{1,2,3,4}；②若x ∈A ，则5－x ∈A ，则满足上述要求的集合A 的个数为_______．答案 3解析 由题意知，满足题中要求的集合A 可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个． 7．已知集合：①{0}；②{∅}；③{x |3m <x <m }；④{x |a ＋2<x <a }；⑤{x |x 2＋1＝0，x ∈R }．其中，表示空集的是________(只填序号)．答案 ④⑤解析 ①和②是常见的空集的错误表示法；对于③，当m <0时，显然3m <m 成立，故不是空集；对于④，不论a 为何实数，总有a ＋2>a ，故是空集；对于⑤，在实数范围内找不到一个数的平方等于－1，故为空集．因此，应填④⑤.8．定义集合A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数是______．答案 4解析 在A *B 中，x ∈A ， ∴x 可能取1,2,3,4,5. 又x ∉B ，∴x 又不能取2,4,5. 因此x 可能取值只有1和3， ∴A *B ＝{1,3}，其子集个数为4. 三、解答题9．已知集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0}． (1)若∅M ，求实数a 的取值范围；(2)若N ＝{x |x 2＋x ＝0}且M ⊆N ，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意得，方程x 2＋2x －a ＝0有实数解， ∴Δ＝22－4×(－a )≥0，得a ≥－1. (2)∵N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}， 又M ⊆N ，当M ＝∅时，即Δ＝22－4(－a )<0得a <－1， 当M ≠∅时，当Δ＝0时，即a ＝－1时， 此时M ＝{－1}，满足M ⊆N ，符合题意． 当Δ>0时，即a >－1时，M 中有两个元素，若M ⊆N 则M ＝N ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－1＋0＝－2，－1×0＝a 无解．综上，a 的取值范围为{a |a ≤－1}．B 级：能力提升练10．已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋(a －1)＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，同时满足B A ，C ⊆A 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由．解 A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，∵x 2－ax ＋(a －1)＝0，Δ＝a 2－4(a －1)＝(a －2)2≥0，∴B ≠∅.∵B ＝{x |x 2－ax ＋(a －1)＝0}＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}， ∴1∈B .又B A ，∴a －1＝1，即a ＝2. ∵C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，且C ⊆A ， ∴C ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． 当C ＝{1,2}时，b ＝3；当C ＝{1}或{2}时，Δ＝b 2－8＝0，即b ＝±22，此时x ＝±2(舍去)； 当C ＝∅时，Δ＝b 2－8<0，即－22<b <2 2.综上可知，存在a ＝2，b ＝3或－22<b <22满足要求．。
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课时作业(四) 1.1.2 集合间的包含关系
1.数0与集合∅的关系是( ) A.0∈∅ B.0＝∅ C.{0}＝∅ D.0∉∅
答案 D
2.集合{1，2，3}的子集的个数是( ) A.7 B.4 C.6 D.8
答案 D
3.下列集合中表示空集的是( ) A.{x ∈R |x ＋5＝5} B.{x ∈R |x ＋5>5} C.{x ∈R |x 2
＝0} D.{x ∈R |x 2
＋x ＋1＝0}
答案 D
解析 ∵A ，B ，C 中分别表示的集合为{0}，{x|x>0}，{0}，∴不是空集；又∵x 2
＋x ＋1＝0无解，∴{x ∈R |x 2
＋x ＋1＝0}表示空集.
4.已知集合P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{y|y ＝x ＋1，x ∈P}，那么集合M ＝{3，4，5}与Q 的关系是( ) A.M Q B.M
Q
C.Q
M
D.Q ＝M
答案 A
5.下列六个关系式中正确的个数为( )
①{a ，b}＝{b ，a}；②{a，b}⊆{b ，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}.
A.6
B.5
C.4
D.3个及3个以下
答案 C
解析 其中①②⑤⑥是正确的，对于③应为∅{∅}或∅∈{∅}；对于④应为{0}∅. 6.若集合A ＝{－1，2}，B ＝{x|x 2
＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则有( ) A.a ＝1，b ＝－2 B.a ＝2，b ＝2 C.a ＝－1，b ＝－2 D.a ＝－1，b ＝2
答案 C
解析 由A ＝B 知－1与2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，（－1）×2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.
7.集合P ＝{x|y ＝x 2}，Q ＝{y|y ＝x 2
}，则下列关系中正确的是( ) A.P
Q
B.P ＝Q
C.P ⊆Q
D.P
Q
答案 D
解析 P ，Q 均为数集，P ＝{x|y ＝x 2}＝R ，Q ＝{y|y ＝x 2
}＝{y|y≥0}，∴Q P ，故选D.
8.已知集合A {1，2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 的个数为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
答案 B
解析 A ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共5个.
9.若A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝{(x ，y)|y
x ＝1}，则A ，B 关系为( )
A.A
B
B.B A
C.A ＝B
D.A
B
答案 B
10.已知集合A ＝{－1，3，m}，集合B ＝{3，4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 答案 4
解析 ∵B ⊆A ，A ＝{－1，3，m}，∴m ＝4.
11.已知非空集合A 满足：①A ⊆{1，2，3，4}；②若x∈A，则5－x∈A.符合上述要求的集合A 的个数是________. 答案 3
解析 由“若x∈A，则5－x∈A”可知，1和4，2和3成对地出现在A 中，且A≠∅.故集合A 的个数等于集合{1，2}的非空子集的个数，即3个.
12.设集合A ＝{x∈R |x 2
＋x －1＝0}，B ＝{x∈R |x 2
－x ＋1＝0}，则集合A ，B 之间的关系是________. 答案 B
A
解析 ∵A＝{－1－52，－1＋5
2
}，B ＝∅，∴B
A.
13.已知M ＝{y|y ＝x 2
－2x －1，x ∈R }，N ＝{x|－2≤x≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________. 答案 N
M
14.设A ＝{x∈R |－1<x<3}，B ＝{x∈R |x>a}，若A B ，求a 的取值范围.
答案 a≤－1
解析 数形结合，端点处单独验证.
15.设集合A ＝{1，3，a}，B ＝{1，a 2
－a ＋1}，B ⊆A ，求a 的值.
解析 因为B ⊆A ，所以B 中元素1，a 2
－a ＋1都是A 中的元素，故分两种情况. (1)a 2
－a ＋1＝3，解得a ＝－1或2，经检验满足条件. (2)a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝1，此时A 中元素重复，舍去. 综上所述，a ＝－1或a ＝2. ►重点班·选做题
16.a ，b 是实数，集合A ＝{a ，b a ，1}，B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 015＋b 2 016
.
答案 －1
解析 ∵A＝B ，∴b ＝0，A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2
，a ，0}.
∴a 2
＝1，得a ＝±1.a＝1时，A ＝{1，0，1}不满足互异性，舍去；a ＝－1时，满足题意.∴a
2
015
＋b
2 016
＝－1.
1.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，b
a ，b}，则
b －a 等于( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
答案 C
解析 ∵a≠0，∴a ＋b ＝0，∴b
a ＝－1.∴
b ＝1，a ＝－1，∴b －a ＝2，故选C.
2.设集合A ＝{x|－3≤x≤2}，B ＝{x|2k －1≤x≤k＋1}且B ⊆A ，求实数k 的取值范围. 解析 ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B≠∅.
①B ＝∅时，有2k －1>k ＋1，解得k>2. ②B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪
⎧2k －1≤k＋1，2k －1≥－3，k ＋1≤2，解得－1≤k≤1.
综上，－1≤k≤1或k>2.。