安徽省宣城市2019届高三年级第二次调研测试文科数学试题
宣城2019届高三第二次调研文科数学
宣城市2019届高三第二次调研测试数 学(文科)本试卷分第I 卷 (选择题)和第II 卷 (非选择题)两部分, 满分150分, 考试时间120分钟.注意事项1. 答题前, 考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡和证卷规定的位置上.2. 第I 卷每小题选出答案后, 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂属; 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域相应的位置; 不能写在试卷上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写下新的答案; 不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 复数ii +-15（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．i 3B ．i 6C ． 3D ．6 2. 设集合}3121|{≤+≤-=x x A ，}01|{≤+=xx x B ，则)(B C A R =（ ） A ．]1,0( B ．]0,1[- C ． ）0,1[- D ．]1,0[ 3. 设31ln=a ，3.02=b ，2)31(=c ，则（ ） A ．]1,0( B ．]0,1[- C ． ）0,1[- D ．]1,0[4. 已知平面向量a ,b ,满足1||,2||==b a ,a 与b 的夹角为060,若b b a ⊥+)(λ,则实数λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ． 1D ．25. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下同题:“今有白米一百八十石，令人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,间:各该若干?”其意思为:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米?”请问:乙应该分得白米（ ）A.96石B.78石 C ．60石 D.42石6. 已知)2,(m P 为角α终边上一点,且3)4tan(=+πα.则αcos =（ ）A.55 B.552 C ．55± D.552± 7. 下列命题中错误的是（ ）A. 若q p ∨为假命题,则p 与q 均为假命题B. 已知向量)1,1(+=m a, )2,(m b = ,则b a //是1=m 的充分不必要条件C. 命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的逆否命题是“若1≠x ,则0232≠+-x x ”. D. 命题“），∞+∈∀0(x ,0ln >-x x ”的否定是“），∞+∈∃0(x ，0ln ≤-x x ” 8. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x ,则24+++x y x 的取值范围是（ ）A. ]512,54[ B. ]4,512[ C ．]3,51[- D. ]4,54[ 9. 已知双曲线122=-n y m x （0,0>>n m ）和椭圆12522=+y x 有相同的焦点，则n m 14+的最小值为（ ）A. 2B. 3 C ．4 D. 510. 在ABC ∆中,角C B A ,,成等差数列,,且对边分别为c b a ,,,若20=⋅,7=b ,则ABC ∆的内切圆的半径为（ ） A. 3 B.337 C ．2 D. 3 11. 一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积是A. 2B. 22 C ．32 D. 4 12. 已知函数x a y ln 8+=（],1[e ex ∈）的图象上存在点P ,函数22--=x y 的图象上存在点Q ,且P ,Q 关于x 轴对称,则a 的取值范围是（ ） A. ]6,2ln 86[2--e B. ),6[2∞+-e C ．),110[2∞++e D. ]110,2ln 86[2e+- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.（第11题图）13. 已知圆C :122=+y x ,直线l ：）2(+=x k y 在]1,1[-上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C相交”发生的概率为_________.14. 顾客请一位工艺师把甲、乙两件和田玉原料各制成一作工艺品,工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工,再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客， 两件原料每道工序所需时间(单位：工作日）如下表所示，则最短交货期为__________工作日.15. 已知C B A ,,三点在球O 的表面上,62===CA BC AB ，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的31, 则球O 的表面积为___________. 16. 已知抛物线C ：x y 42=,过焦点F 作倾斜角为060直线交抛物线C 于B A ,两点,且||||BF AF >,则||||BF AF =__________. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和kn n S n +=2,*N k ∈,且kn S n 5-的最小值是4-. （1）.求数列}{n a 的通项公式: （2）.令nnn a b 4=，求数列}{n b 的前n 项和.18. (本小题满分12分)某单位共有职工100其中男样700人,女样300人，为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况, 采用分层抽样的方,收集200位职工每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时）(1). 根据这200个样本数据,得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:]2,0[,]4,2（,]6,4（,]8,6（,]10,8（,]12,10（:估计该单位职工每周平均体育 运动时间超过4小时的概率.(2). 估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数(保留两位小数)(3). 在样本数据中，有40位女职工的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为菱形,060=∠BAD ，2===AD PD PA ,点M 在线段PC 上,MC PM 3=,O ,N ,Q 分别为BD ,AD ,PA 的中点. (1).求证://OQ 平面PBC .(2).若平面⊥PAD 平面ABCD ,求三棱锥NBM P -的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为），（022F ,其长轴长是短轴长的3倍. (1). 求椭圆E 的方程.(2). 问是否存在斜率为1的直线l 与椭圆E 交于B A ,两点, 2121,F BF F AF ∆∆的重心分别为G , H,且以线段GH 为直径的圆过原点,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.（第19题图）已知函数R a x a xx x f ∈++=,ln 14)(. (1). 求）x f (的单调区间(2). 当03<<-a 时,证明：4)(>x f .（二） 选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选题作答,如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴,曲线C 的极坐标方程为:)4sin(28πθρ+=.(1). 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2). 过点），（01P 作倾斜角为045的直线l 与圆C 交于B A ,两点,试求||1||1PB PA +的值23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称,且12)(+=x x f （1）.解关于x 的不等式|1|)(-≥x x g（2）.如果对R x ∈∀，不等式|1||)(|-≥-x c x g 恒成立，求实数c 的取值范围.。
2019届高三数学上学期二调考试试题 文人教版新版
2019学年度高三年级上学期二调考试数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}21,0,1,2,3,20,A B x x x =-=->则A B =（）A.{}3B.{}2,3C.{}1,3-D.{}1,2,3 2.下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B.“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件C.命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D.“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题 3.复数2ii 1z =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（） A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 4.函数()3233f x x x x =-+的极值点的个数是（）A.0B.1C.2D.35.函数()21e xy x =-的图象大致是（）A. B. C. D.6.已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若()1.2121log 3,2,2a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b >>B.b c a >>C.b a c >>D.a b c >>7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图象在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（）A.0B.0或12-C.1142--或D.104-或 8.为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（） A.向右平移512π个长度单位 B.向左平移512π个长度单位 C.向右平移56π个长度单位 D.向左平移56π个长度单位9.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（） A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B.ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 10.若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(),2ππ内没有最值，则ω的取值范围是（） A.1120,,1243⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B.1120,,633⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知函数()12ln 1,()2e x f x x g x -=+=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A.1ln 22+ B.e 2- C.1ln 22-1212.已知函数()24,0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩()1g x kx =-，若方程()()0f x g x -=在()22,e x ∈-上有3个实根，则k 的取值范围为（）A.(]1,2B.{}31,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C.331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.23311,,222e ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知角θ的终边经过()2,3-，则3cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14.给出下列四个命题： 函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴是712x π=； 函数()tan f x x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； 若12sin 2sin 2044x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12x x k π-=，其中k Z ∈； ④函数2cos sin y x x =+的最小值为1-. 以上四个命题中错误的个数为 个.15.已知()()y f x x R =∈的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时，()23,f x x '>则不等式()()21331f x f x x x -->-+的解集是 .16.已知函数()()2ln ,,e mf x x xg x x=+-=其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个公共点，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知函数()2cos 222x x xf x =.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间[],0π-上的最小值. 18. （本小题满分12分）已知函数()()sin 10,06f x A x A πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式和当[]0,x π∈时，()f x 的单调减区间； （2）将()f x 的图象向右平移12π个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到()g x 的图象，用“五点 法”作出()g x 在[]0,π内的大致图象.19. （本小题满分12分） 已知函数()e 2.xf x x =-（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围. 20. （本小题满分12分）已知函数()()1ln f x m ax x x a =-++-.（1）当0a =时，若()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求m 的取值范围； （2）当1m a ==时，证明：()()10x f x -≤. 21. （本小题满分12分）已知函数()()221ln ,,,2f x x mxg x mx x m R =-=+∈令()()()F x f x g x =+. （1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值. 22. （本小题满分12分）已知函数()()ln af x x x a R x=++∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数()()()21g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，证明：2312e x x >()e 为自然对数的底数.2018-2019学年度高三年级上学期二调考试文科数学答案一、选择题1.C 【解析】因为{}(){}{}2202020,B x x x x x x x x x =->=->=><或所以{}1,3.A B =-故选C.2.D 【解析】由原命题与逆否命题的构成关系，可知A 正确；当21a =>时，函数()2log f x x =在定义域内是单调递增函数;当函数()log a f x x =在定义域内是单调递增函数时，1a >，所以B 正确；由于存在性命题的否定是全称命题，所以“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，所以C 正确；因为()00f x '=的根不一定是极值点，例如：函数()31f x x =+，则()230,f x x '==即0x =就不是极值点，所以命题“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为假命题，所以D 错误.故选D.3.C 【解析】由()22i i 12i 1i i 1i 1z +===---，可知复数2ii 1z =-在复平面内对应的坐标为()1,1-，所以复数2ii 1z =-在复平面内对应的点在第四象限.故选C. 4.A 【解析】由题可得，()()2236331.f x x x x '=-+=-当1x =时，()0f x '=，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点的个数为0.故选A. 5.A 【解析】因为趋向于负无穷时，()21e 0xy x =-<，所以C,D 错误；因为()21e xy x '=+，所以当12x <-时，0y '<，所以A 正确，B 错误.故选A. 6.B 【解析】因为()()1222log 3log 3log 3,a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭且 1.21211log 3,022,22--><<=所以 1.221log 3202->>>.又()f x 在区间(),0-∞内单调递增，且()f x 为偶函数，所以()f x 在区间()0,+∞内单调递减，所以()1.2121log 32,2f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.b c a >>故选B.7.D 【解析】因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2，作图如下：由图知，直线y x a =+与函数()f x 的图象在区间[]0,2内恰有两个不同的公共点时，直线y x a =+经过点()1,1或与()2f x x =相切于点A ，则11,a =+即0a =或2,x x a =+则140a ∆=+=，即14a =-.故选D.8.B 【解析】由题得，cos 2cos 2sin 23266y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为5s i n 2s i n 2s i n 2,666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以co s 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5si n 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5s i n 212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图象平移的规则，可知只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个长度单位就可以得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选B.9.D 【解析】由题意得，()1ln ln 210f x x ax x a x ax x ⎛⎫'=-+-=-+= ⎪⎝⎭在区间()0,2上有两个不等的实根，即l n 12x a x +=在区间()0,2上有两个实根.设()ln 12x g x x+=，则()2ln 2xg x x'=-，易知当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当12x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则()()max 11.2g x g ==又()ln 2124g +=，当10ex <<时，()0g x <，所以ln 211.42a +<<故选D. 10.B 【解析】易知函数sin y x =的单调区间为3,22k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.由3,,262k x k k Z ππππωπ+≤+≤+∈得433,.k k x k Z ππππωω++≤≤∈因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(),2ππ内没有最值，所以()f x 在区间(),2ππ内单调，所以()433,2,,k k k Z ππππππωω⎡⎤++⎢⎥⊆∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以3,432,k k Z k πππωπππω⎧+⎪≤⎪⎪∈⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得12,323k k k Z ω+≤≤+∈.由12,323k k +≤+得2.3k ≤当0k =时，得12;33ω≤≤当1k =-时，得21.36ω-≤≤又0ω>，所以10.6ω<≤综上，得ω的取值范围是1120,,.633⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故选B.11.A 【解析】设()()f m g n t ==，则0t >，111e ,lnln ln 2,222t t m n t -==+=-+令 ()()()1112111e ln ln 2,e ,e 0,2t t t h t t h t h t t t---'''=-+-=-=+>则所以()h t '在区间()0,+∞上单调递增.又()10h '=，所以当()0,1t ∈时，()0h t '<；当()1,t ∈+∞时，()0h t '>，所以()h t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，即()11ln 22h =+是极小值也是最小值，所以m n -的最小值是1ln 22+.故选A. 12.B 【解析】当0x =时，()()00,01f g ==-，则()()000f g -=不成立，即方程()()0f x g x -=没有零解.当0x >时，ln 1x x kx =-，即l n 1k x x x =+，则1l n .k x x=+设()1ln ,h x x x =+则()22111,x h x x x x-'=-=由()0h x '>，得21e x <<，此时函数()h x 单调递增；由()0h x '<，得01x <<，此时函数()h x 单调递减，所以当1x =时，函数()h x 取得极小值()11h =；当2e x =时，()221e2e h =+；当0x →时，()h x →+∞；当0x <时，241x x kx +=-，即241kx x x =++，则14k x x =++.设()14,m x x x=++则()222111,x m x x x-'=-=由()0,m x '>得1x >（舍去）或1x <-，此时函数()m x 单调递增；由()0,m x '<得10x -<<，此时()m x 单调递减，所以当1x =-时，函数()m x 取得极大值()12m -=；当2x =-时，()13224;22m -=--+=当0x →时，().m x →-∞作出函数()h x 和()m x 的图象，可知要使方程()()0f x g x -=在()22,e x ∈-上有三个实根，则31,22k k ⎛⎤∈= ⎥⎝⎦或.故选B.二、填空题【解析】因为角θ的终边经过点()2,3-，所以2,3,3x y r =-=，则s i n ,y r θ==所以3cos sin 213πθθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭14.1【解析】对于，因为7212f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴是712x π=，故正确；对于，因为函数()tan f x x =满足()()0f x f x π+-=，所以()tan f x x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故正确；对于，若12sin 2sin 20,44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()122,2,,44x m x n m Z n Z ππππ-=-=∈∈所以()1211,,22x x m n k k Z ππ-=-=∈故错误；对于④，函数22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭当sin 1x =-时，函数取得最小值1-，故④正确.综上，共有1个错误. 15.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】令()()3,F x f x x =-则由()()32f x f x x --=，可得()()F x F x -=，所以()F x 为偶函数.又当0x ≥时，()23f x x '>，即()'0F x >.由()()21331f x f x x x -->-+，得()()1F x F x >-，所以1x x >-，解得12x >. 16.[)2e 10,e +⎧⎫+∞-⎨⎬⎩⎭【解析】因为()110f x x '=+>，所以函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，且1110,e e f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭所以当0m ≥时，()f x 与()mg x x=有一个公共点；当0m <时，令()()f x g x =，即22ln e x x x x m +-=有一个解即可.设()22ln eh x x x x x =+-，则()()22ln 1.0,e h x x x h x ''=++-=令得1e x =.因为当10e x <<时，()0;h x '<当1ex >时，()0,h x '>所以当1e x =时，()h x 有唯一的极小值2e 1e +-，即()h x 有最小值2e 1e +-，所以当2e 1e m +=-时，有一个公共点.综上，实数m 的取值范围是[)2e 10,e +⎧⎫+∞-⎨⎬⎩⎭. 三、解答题17. 解：（1）()21cos cos 22222x x x xf x x -==-sin 22242x x x π⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭， 由()22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈.则()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（5分） （2）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤，当42x ππ+=-，即34x π=-时，()min 1f x =-（10分）18. 解：（1）因为函数()f x 的最大值是3， 所以13, 2.A A +==即因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以最小正周期,2T πω==即. 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（3分） 令()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 即()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 因为[]0,x π∈，所以()f x 的单调减区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（6分）（2）依题意得，()12sin 2123g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 列表得：描点((52110,,,0,,2,,0,,2,,612312πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 连线得()g x 在[]0,π内的大致图象.（12分）19. 解：（1）因为()e 2xf x x =-，所以()'e 2x fx =-.所以()'0 1.f=-又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()'e 2xg x =-.由()'e 20xg x =-=，解得ln 2x =，故当1ln2x -≤<时，()'0g x <，()g x 在[)1,ln 2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()'0g x >，()g x 在(]ln 2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--， 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln 222ln 20,g a g a g a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--.（12分） 20. 解：（1）由()0f x ≥，得ln xm x≤在()1,+∞上恒成立. 令()ln x g x x =，则()()'2ln 1ln x g x x -=. 当()1,e x ∈时，()'0g x <； 当()e,+x ∈∞时，()'0g x >，所以()g x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增. 故()g x 的最小值为()e =e g .所以e m ≤，即m 的取值范围为(],e -∞.（6分） （2）因为1m a ==，所以()()1ln 1f x x x x =-++-，()'11ln 1ln x f x x x x x+=--+=--. 令()1ln h x x x =--，则()'22111x h x x x x-=-+=. 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减； 当()0,1x ∈时，()'0h x >，()h x 单调递增.所以()()max 110h x h ==-<，即当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，所以()f x 在()0,+∞上单调递减.又因为()10,f =所以当()0,1x ∈时，()0;f x >当()1,x ∈+∞时，()0.f x < 于是()()10x f x -≤对()0,x ∀∈+∞恒成立.（12分） 21. 解：（1）由题得，()()21ln 02f x x x x =->，所以()()'10f x x x x=->. 令()'0,f x =得1x =.由()'0,f x >得01x <<，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，（2分） 由()'0,fx <得1x >，所以()f x 的单调递减区间()1,+∞.（3分）所以函数()()1=12f x f =-极大值，无极小值.（4分） （2）法一：令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，所以()()()2'1111mx m x G x mx m x x-+-+=-+-=.当0m ≤时，因为0x >，所以()'0G x >，所以()G x 在()0,+∞上是递增函数.又因为()31202G m =-+>，所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立. 当0m >时，()()()2'1111m x x mx m x m G x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-.令()'0G x =,得1x m=， 所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0G x >；当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0G x <，因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.故函数()G x 的最大值为11ln 2G m m m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()1ln 2h m m m =-， 因为()1102h =>，()12ln 204h =-<，又因为()h m 在()0,m ∈+∞上是减函数， 所以当2m ≥时，()0h m <， 所以整数m 的最小值为2.（12分） 法二：由()1F x mx ≤-恒成立，知()()22ln 102x x m x x x++≥>+恒成立. 令()()()22ln 102x x h x x x x ++=>+，则()()()()'22212ln 2x x x h x x x -++=+. 令()2ln x x x ϕ=+， 因为11ln 4022ϕ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110ϕ=>，且()x ϕ为增函数. 故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00x ϕ=，即002ln 0x x +=.当00x x <<时，()'0h x >，()h x 为增函数，当0x x >时，()'0h x <，()h x 为减函数，所以()()0002max 0002ln 2212x x h x h x x x x ++===+. 而01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()011,2x ∈， 所以整数m 的最小值为2.（12分）22.解:（1）由题可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22211.a x x af x x x x +-'=+-=因为函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，所以()0f x '≥在区间[)1,+∞上恒成立等价于()2mina x x≤+，即2a ≤，所以a 的取值范围是(],2-∞.（4分）（2）由题得，()2ln ,g x x x ax a x =-+-则()ln 2.g x x ax '=-因为()g x 有两个极值点12,x x ， 所以1122ln 2,ln 2.x ax x ax ==欲证2312e x x ⋅>等价于证()2312ln lne 3x x ⋅>=，即12ln 2ln 3x x +>，所以1232.2ax ax +>因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+.由1122ln 2,ln 2,x ax x ax ==可得()2211ln 2x a x x x =-，则()2121ln2x x a x x =-.由可知，原不等式等价于212112ln32x x x x x x >-+，即()2211221121313ln .221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++ 设21x t x =，则1t >，则上式等价于()()31ln 112t t t t->>+. 令()()()31ln 112t h t t t t -=->+，则()()()()()()()22312611411.1212t t t t h t t t t t +----'=-=++ 因为1t >，所以()0h t '>，所以()h t 在区间()1,+∞上单调递增， 所以当1t >时，()()10h t h >=，即()31ln 12t t t->+，所以原不等式成立，即2312e x x ⋅>.（12分）。
安徽省宣城市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
安徽省宣城市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ，所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S xx dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.A ．y =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A ：y =B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.3．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=，即tan α=2.故选：C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.4．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.5．空气质量指数AQI是反映空气状况的指数，AQI指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上（AQI指数>150）的天数占1 4C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI指数值，判断选项中的命题是否正确.个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确.故选：C【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.6．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ；④函数()f x 的最小值为1-．A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④【答案】D【解析】【分析】【详解】因为(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以①不正确；因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++， ()2f x π-=cos sin sin |c |()|()|22os ππ++--=x x x x ，所以() ()22f x f x ππ+=-， 所以函数()f x 的图象是轴对称图形，②正确；易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的极大值与最小值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=，③正确；因为5444x πππ≤-≤，所以1)4x π-≤-≤()f x 的最小值为1-，④正确．7．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A．B．C ．4 D ．5【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ；∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +， 即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩， 解得a ＝3，b ＝4，∴z ＝3+4i ，∴|z|5=．故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 8．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116 【答案】C【解析】【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.9．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误； D 中，()x x y f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误；故选：C.【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.10．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.11．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾A B C D E F 评分 96 95 96 89 97 98嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ）A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>计算出1x 、2x ，进而可得出结论.【详解】 由表格中的数据可知，196959689979895.176x +++++=≈， 由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >， 由于场外有数万名观众，所以，12212x x x x x +<<<. 故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.12．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N*=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果.【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省宣城市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
安徽省宣城市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥【答案】A 【解析】 【分析】设2AB =，取EF 与BC 重合时的情况，计算出0S 以及0V 的值，利用排除法可得出正确选项. 【详解】如图所示，利用排除法，取EF 与BC 重合时的情况.不妨设2AB =，延长MD 到N ，使得//PN AM ．PO OH =Q ，PN MH ∴=，2AH MH =Q ，33AM MH PN ∴==，则13PD AD =， 由余弦定理得22222331132cos 22232224BD AB AD AB AD π⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，32DM==，1332222S=⨯⨯=，又224S=⨯=041SS∴==>，当平面//DEF平面ABC时，4S S=，4S S∴≤，排除B、D选项；因为13PDAD=，14V V∴=，此时，0821VV=>，当平面//DEF平面ABC时，8V V=，8V V∴≥，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．2．已知双曲线22221(0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A B、两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若2AF FB=u u u v u u u v，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【解析】【分析】先求出直线l的方程为y222aba b=-（x﹣c），与y＝±bax联立，可得A，B的纵坐标，利用2AF FB=u u u r u u u r，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x ya b-=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±bax，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴k l222aba b=-，∴直线l的方程为y222aba b=-（x﹣c），与y＝±bax联立，可得y2223abca b=--或y222abca b=+，∵2AF FB=u u u r u u u r，∴222abca b=+2•2223abca b-，∴a 3=b ， ∴c ＝2b ， ∴e 233c a ==． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．3．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅I ð”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅U A B A B ð， 同时⋂=∅⇒⊆U A B A B ð. 故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出22b a 的值，进而利用离心率公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线的离心率. 【详解】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得22241639b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.5．已知向量(1,0)a =r，b =r ，则与2a b -r r共线的单位向量为( )A．1,22⎛- ⎝⎭B．1,22⎛- ⎝⎭C．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，(2=1a b -r r 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =r，b =r ，则()22,0a =r，所以(2=1a b -r r， 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，则221y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -r r共线的单位向量为1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭. 故选：D.本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.6．已知正四面体A BCD-外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（）A．183B．163C．143D．123【答案】B【解析】【分析】设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．【详解】将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则34863Rππ=，得6R=．因为正四面体ABCD的外接球3a=226R=2．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为234163a=故选：B．【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．7．已知向量11,,2a b m⎛⎫== ⎪⎝⎭r r，若()()a b a b+⊥-r r r r，则实数m的值为（）A．12B．3C．12±D．3±【答案】D【分析】由两向量垂直可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，整理后可知220a b -=r r ，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】解：()()a b a b +⊥-r r r r Q ，()()0a b a b ∴+⋅-=r r r r ，即220a b -=r r ，将1a =r 和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r 代入，得出234m =，所以2m =±. 故选:D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.8． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.9．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15-B ．3715C ．3720D ．1315【答案】D 【解析】因为角α的终边经过点()3,4-,所以5r ==,则43sin ,cos 55αα=-=, 即113sin cos 15αα+=.故选D ． 10．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 11．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-， 3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =时取等号，此时123S =故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.12．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a ba b c-==+，所以222214a bcc=，则22244()a c a c-=，即()22220c a-=，故2220c a-=，即2222cea==，所以e=故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省宣城市2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
安徽省宣城市2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】 因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 2．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=I ，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。
若令AD 1＝m ，AB ＝n ，则m ⊥n ，但m 不垂直于l若m ⊥l ，由平面ABCD ⊥平面11ADD A 可知，直线m 垂直于平面β，所以m 垂直于平面β内的任意一条直线n∴m ⊥n 是m ⊥l 的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m ⊥n ⇒m ⊥l ？和m ⊥l ⇒m ⊥n ？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】A【解析】【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案. 【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩， 则11()ln1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种【答案】C【解析】【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．已知向量()0,2=r a，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x=（ ） A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B【解析】【分析】 由题意cos 3a b a bπ⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】由题意1cos 32a b a b π⋅===r r r r ， 所以0x >，且2x =2x =.故选：B.【点睛】 本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.7．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：C ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 8．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ）A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅【答案】C【解析】【分析】 先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?，再求M N ⋃. 【详解】 因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?， 又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝⎦，本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C【解析】【分析】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知， 几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ， 由正弦定理可得2324sin120AD ==o ，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（ ）A B ．3 C ．12 D 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值.【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q ，由正弦定理得b c a b a a b c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 32b A a B π==⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.11．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，()1,3B ，()4,3C ，()5,0D 因为点E 在线段CB 的延长线上，设()0,3E x ，01x < AE BE =Q()()2220031x x +=-解得01x =-()1,3E ∴-()4,3C Q ，()5,0D CD ∴所在直线的方程为353y x =-+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r ()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+- 23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.12．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2， 4πC ．2， 3π-D ．2， 6π 【答案】D【解析】【分析】 由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案【详解】由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=，21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭， 2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届高三入学调研考试卷文科数学(二)含答案
平均气温（℃）
2
3
5
6
销售额（万元）
20
23
27
30
根据以上数据，求得 y 与 x 之间的线性回归方程 y b x a 的系数 b 则 a ________．
12 ，
5
15．已知某三棱柱的三视图如图所示， 那么该三棱柱最大侧面的面积为 __________．
16．如图为函数 f x Asin 2 x
A． 2 3
B．2
C． 3
D．1
6．已知函数 f x 2sin x ，
0,0
的部． 1,3 4
B ． 2, 4
C． 3 4
D． 2 4
7．若过点
2,0 有两条直线与圆
2
x
2
y 2x 2y
m 1 0 相切， 则实数 m 的取值
范围是（
）
A． , 1
B ． 1,+
C． 1,0
(A 0,
x2 a,b ，若 f x1 f x2 ，都有 f x1 x2
) 的部分图象，对于任意的 2
x1 ，
2 ，则 等于 __________．
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）
C． 1,1
2． i 为虚数单位，复数 z 2i 在复平面内对应的点所在象限为（ i1
A ．第二象限
B ．第一象限
C ．第四象限
D ． 1,2 ）
D ．第三象限
3．甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为
x甲 、
x乙 ，标准差分别为 甲 , 乙 ，则（
）
装号 证 考 准
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【数学】安徽省宣城市高三第二次调研测试试题(文)(解析版)
安徽省宣城市高三第二次调研测试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（是虚数单位）的虚部是（）A. B. C. 3 D. 6【答案】C【解析】复数2+3i．复数（i是虚数单位）的虚部是3．故选：C．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴，又∴故选：D3.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，∴，故选：A4.已知平面向量，，满足，，与的夹角为，若，则实数的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】∵，，与的夹角为，，∴•||•||•cos60°且满足，∴•（）＝0，∴||2•0，即λ+1＝0，解得λ＝-1，故选：A．5.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（）白米A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石【答案】C【解析】今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴18，180，解得＝78（石）．∴＝7818=60石∴乙应该分得60石．故选：C．6.已知为角终边上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴，解得又为角终边上一点，∴，∴∴故选：B7.下列命题中错误的是（）A. 若为假命题，则与均为假命题B. 已知向量，，则是充分不必要条件C. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”的D. 命题“，”的否定是“，”【答案】B【解析】若“”为假命题，则p与q均为假命题，正确；已知向量，，则“”可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B不正确；命题“若，则的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，正确；命题“，”的否定是“，”满足命题的否定形式，正确；故选：B．8.设，满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则的几何意义为区域内点到点D（﹣2，﹣2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图像可知：PB斜率最小，PA斜率最大即∴的取值范围是，故选：D9.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】∵双曲线和椭圆有相同的焦点，∴∴当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为3故选：B10.在中，角，，成等差数列，且对边分别为，，，若，，则的内切圆的半径为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】∵角，，成等差数列，∴，即，∴，即，∴由余弦定理b2＝c2+a2﹣2c a cos B，可得：49＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣120，解得：a+c＝13，∴设△ABC的内切圆的半径为r，则（a+b+c）r ac sin B，可得：（5+8+7）r5×8，∴可得△ABC的内切圆的半径r．故选：A．11.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥P﹣ABCD截去三棱锥P﹣ABD后得到的三棱锥P﹣BCD．其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，且P A＝AB＝2，最大面为PBD，，故选：C12.已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数y＝的图象与函数y＝x2+2的图象关于x轴对称，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则函数的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，即方程＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣8lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣，则f′（x），当x∈[，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，e]时，f′（x）＞0，故当x＝2时，f（x）取最小值，由f（），f（e）＝，故当x＝时，f（x）取最大值，故a∈，故选：D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆：，直线：，在上随机选取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为____.【答案】【解析】圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为r＝1；且圆心到直线l：y＝k（x+2）的距离为d，直线l与圆C相交时d＜r，∴1，解得k，故所求的概率为P．故答案为：．14.顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工，再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下表所示，则最短交货期____个工作日．【答案】29【解析】由题意可得交货日期最短即耽误工期最少，故先让徒弟加工原料乙需4小时，再由师傅精加工需15小时，师傅精加工期间徒弟用5小时可把原料甲初加工，然后再由师傅精加工A需10小时，故最短时间为4+15+10＝29故答案为：29．15.已知，，三点在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则球的表面积为____.【答案】【解析】设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴得r2r2＝，得r2．球的表面积S＝4πr2＝4ππ．故答案为：．16.已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则____.【答案】3【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为60°，∴直线l的方程为：y﹣0（x）．设直线与抛物线的交点为A（，）、B（，），∴|AF|＝，|BF|＝，联立方程组，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，解得，，∴|AF|＝2p，|BF|＝，∴|AF|：|BF|＝3：1，∴的值为3．故答案为：3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前项和，，且的最小值是-4．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）因为，所以当时，其最小值为，即，所以，当时，，当时，.综上：.（2）由（1）可知：，令，则，两式相减得：，化简得.18.某单位共有职工1000人，其中男性700人，女性300人，为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位职工每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）根据这200个样本数据，得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，.估计该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（2）估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数）；（3）在样本数据中，有40位女职工的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”，附：.解：（1）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为，所以该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（2）平均值：.中位数：，解得，所以中位数是.（3）由（2）知，200位职工中有（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，50人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有140份是关于男职工的，60份是关于女职工的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：.所以有的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，点在线段上，且，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积．（1）证明：如图，连结，则与交于点，连接，易知为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因为平面平面，平面平面，，为的中点，所以，所以平面，所以.又四边形为菱形，，，所以，所以，又，，，所以平面，，所以平面，又，所以，即三棱锥的体积为.另解：.20.已知椭圆：的右焦点为，其长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆的方程；（2）问是否存在斜率为1的直线与椭圆交于，两点，，的重心分别为，，且以线段为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：，解得，即所求椭圆的方程为.（2）假设存在这样的直线，设其方程为.由得.其，解得：.设，，则.又，，所以，，由题意知，以线段为直径的圆过原点，所以，则，所以，则，则，解得.所以存在这样的直线，其方程为.21.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，证明．解：（1）由题设知：，令，解得或（舍），当，解得，当，解得，即的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）知：，令，因为，所以当时，，，所以，使得，所以，即.当时，，即，所以在上单调递减，当时，，即，所以在上单调递增，所以，.令，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值．解：（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为；（2）直线的参数方程为：（为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.选修4-5：不等式选讲23.已知函数和的图象关于原点对称，且．（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意可得，，所以.①时，，解得，所以；②时，，解得，所以；综上：.（2）因为，即.令，所以.即.。
安徽省宣城市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
安徽省宣城市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为12,x x ，则12x x +=（ ） A ．34π B ．23π C ．3π D ．6π 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像，函数对称轴方程为82k x ππ=-+，由图可得1x 与2x 关于38x π=对称，即得解. 【详解】函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像如图，对称轴方程为32()42x k k Z πππ+=+∈， ()82k x k Z ππ∴=-+∈， 又330,48x x ππ<<∴=Q ， 由图可得1x 与2x 关于38x π=对称， 1233284x x ππ∴+=⨯=本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 2．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 3．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2a - 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x ' +_0 +()f xZ 极大值]极小值Z若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D.该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.4．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B ．66C ．34D ．36【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =u u u v v，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12a c ⋅=v v1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u vv v v v v v v v v v v v1111116cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u v u u u v u u u u v即异面直线1AB 与1BC 6本题正确选项：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的5．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可. 【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.6．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫---⎪+⎝⎭【答案】A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 7．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．99【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L ()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.8．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．2 C 22D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，， 如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，把1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭代入直线()()10y k x k =+>， 解得223k =， 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 9．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =【答案】D 【解析】 【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.10．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率. 【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易. 11．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案.【详解】由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称故m 的最小值为4π故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.12．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C 【解析】 【分析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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宣城市2019届高三年级第二次调研测试
数学（文科）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的虚部是
A. 3i
B. 6i
C. 3
D. 6
2．设集合A=,B= ，则
A.(0,1]
B.[一1,0]
C.[一1,0)
D.[0,1]
3．设，则
A. a<c<b
B.c<a<b
C.a<b<c
D.b <a<c
4．已知平面向量a，b，满足|a| =2，|b|=l，a与b的夹角为60°，若(a +λb)⊥b，则实数λ的值为A．-l B．0 C．1 D．2
5．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米
A．96石B．78石C．60石D．42石
6．已知P(m，2)为角α终边上一点，且，则cosα=
A．B．C．D．
7．下列命题中错误的是
A．若p∨q为假命题，则p与q均为假命题
B．已知向量a=(l，m+l)，b=(m，2)，则a∥b是m=l的充分不必要条件
C．命题“若x2 -3x +2 =0，则x=l”的逆否命题是“若x≠1，则x2—3x +2≠0”
D．命题“x∈(0，+∞)，x-lnx >0”的否定是“x∈(0，+∞)，x-lnx≤0”
8．设x，y满足约束条件，则的取值范围是
A．B．C．D．
9．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5
10.在△ABC中，角A，B，C成等差数列，且对边分别为a，b，c，若=20，b=7，则△ABC的内切圆的半径为
A．B．C．2 D.3
11. 一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是
A．2 B．2C．2D．4
12.已知函数y=a+8lnx 的图象上存在点P，函数y=-x2-2的图象上存在点Q，且P，Q关于x
轴对称，则a的取值范围是
A.[6- 8ln2,e2—6]
B.[e2 -6,+∞) C．D．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知圆C：x2 +y2 =1，直线l：y=k(x+2)，在[-l，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相交”发生的概率为
14.顾客请一位工艺师把甲乙两件和田玉原料各制成一件工艺品，工艺师带一名徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成初级加工，再由工艺师进行精细加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下表所示，则最短交货期为____ 个工作日．
15.已知A，B，C三点在球O的表面上，AB= BC= CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，
则球O的表面积为。
16.已知抛物线C：y2 =4x，过焦点F作倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，且，则
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 -21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.（本小题满分12分）
已知数列{a n}的前n项和S n= n2+kn，k∈N*，且S n-5kn的最小值是-4．
(l)求数列{a n}的通项公式；
(2)令b n= ，求数列{bn}的前n项和．
18.（本小题满分12分）
某单位共有职工1000人，其中男性700人，女性300人，为调查该单位职工每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位职工每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
(l)根据这200个样本数据，得到职工每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12].估计该单位职工每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(2)估计该单位职工每周平均体育运动时间的平均数和中位数（保留两位小数）．
(3)在样本数据中，有40位女职工的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有90%的把握认为“该单位职工的每周平均体育运动时间与性别有关”，
附：
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD= 60°，PA=PD=AD =2，点M在线段
PC上，且PM= 3MC，O，N，Q分别为BD，AD，PA的中点．
(l)求证.OQ∥平面PBC；
(2)若平面PAD上平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆E：=1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，其长轴长是短轴长的倍．
(l)求椭圆E的方程；
(2)问是否存在斜率为1的直线l与椭圆E交于4，B两点，AAF1F2，ABF1F2的重心分别为G，H，且以线段GH为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)=4x+ +alnx．a∈R．
(l)求f(x)的单调区间；
(2)当-3 <a<0时，证明f(x)>4．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为
(l)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过点P(l，0)作倾斜角为45。
的直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=2x+1．
(1)解关于x的不等式g(x)≥|x-l|：
(2)如果对x∈R，不等式|g(x)|-c≥|x-l|恒成立，求实数c的取值范围．。