物理必修Ⅱ人教新课标6.4万有引力理论的成就课件

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特别提醒： (1) 计算天体的质量的方法不仅 适用于地球，也适用于其他任何星体．注意 方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体 的质量．
(2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径， r指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运 行，则有R＝r.
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即时应用(即时突破，小试牛刀) 1． (2011 年高考福建卷)“嫦娥二号”是 我国月球探测第二期工程的先导星．若 测得“嫦娥二号”在月球 ( 可视为密度 均匀的球体 ) 表面附近圆形轨道运行的 周期为 T，已知引力常量为 G，半径为 4 3 R 的球体体积公式 V＝ πR ，则可估算 3 月球的( )
GR2 B．M＝ g T2R3 D．M＝ 2 4π G
解析：选 A.根据月球表面物体的重力和 GMm 万有引力相等， mg＝ 2 ，可得月球 R gR2 质量 M＝ G ，所以 A 对，B 错．
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由月球和地球间的万有引力提供月球绕 M地M 地球运转的向心力即 G 2 ＝ r 2π 2 M( T ) r(其中 r 为地月距离)可求中心天 4π r 体地球的质量 M 地＝ 2 ，所以 C、D GT 均错．
匀速圆周 ________运动，行星 (或卫星 )的向心力 由万有引力 ________提供．
2．公式：F 万＝F 向 2 Mm 4π 2 即 G 2 ＝mω r＝m 2 r. r T 由此式可得出太阳或行星的质量为：M
4π r 2 GT ＝_______.
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2 3
三、发现未知天体 1．18世纪，人们观测到太阳系第七个行星— —天王星的轨道和用万有引力定律计算出来 的轨道有一些偏差． 2．根据已发现的天体的运行轨道结合万有引 力定律推算出还没发现的未知天体的轨道， 如_______和_______就是这样发现的．
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Mm 2π 2 r3 (3)由 G 2 ＝m( T ) r 得 T＝2π GM ，r r 越大，天体的 T 越大． Mm GM (4)由 G 2 ＝man 得 an＝ 2 ，r 越大，天 r r 体的 an 越小．
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3．解决天体问题时应注意的问题
(1)在用万有引力等于向心力列式求天体的质 量时，只能测出中心天体的质量，而环绕天 体的质量在方程式中被消掉了． (2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题 目中的隐含条件．如地球公转一周是365天， 自转一周是24小时，其表面的重力加速度约 为9.8 m/s2等．
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2．计算天体的质量 下面以地球质量的计算为例，介绍几种 计算天体质量的方法： (1)若已知地球的半径 R 和地球表面的 重力加速度 g，根据物体的重力近似等 于地球对物体的引力，得 M地· m mg＝G 2 ，解得地球质量为 M 地＝ R R2g . G
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(2)质量为 m 的卫星绕地球做匀速圆周运动 Mm G 2 r
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GMm 2π 2 解析：选 A.由 2 ＝mr( T ) 可知，变 r GM 轨后探测器轨道半径变小，由 a＝ 2 、 r v＝ GM 、ω＝ r GM 3 可知，探测器向 r
心加速度、线速度、角速度均变大，只 有选项 A 正确．
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课堂互动讲练
天体质量的估算
例1
(2011年南京高一检测)在某行星上，宇 航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重力为F， 乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测 得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的 质量．
2π 2 4π r m r⇒M＝ 2 ，已知卫星的r和T可以 GT T 求M； 2 v2 rv m ⇒M＝ ，已知卫星的r和v可以求M； G r 3 2 rω 2 mω r⇒M＝ ，已知卫星的r和ω可以求M. G
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＝
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3．计算天体的密度 若天体的半径为 R，则天体的密度 ρ＝ M 4 3 πR 3 4π2r3 3πr3 将 M＝ 2 代入上式得：ρ＝ 2 3 GT GT R 特别地，当卫星环绕天体表面运动时， 其轨道半径 r 等于天体半径 R，则 ρ＝ 3π 2. GT
2 3 2
2
4π r 【答案】 T2G
2 3
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【名师归纳】
对于双星问题要注意：
(1)两星所需的向心力由两星球间万有引力提 供，两星球做圆周运动的向心力大小相等．
(2)双星具有共同的角速度、周期．
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线 上．
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变式训练3 (2010年高考重庆理综卷)月球与 地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球 和地球可视为一个由两质点构成的双星系统， 它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运 动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的 线速度大小之比约为( )
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变式训练2 如果在一个星球上，宇航员为了 估测星球的平均密度，设计了一个简单的实 验：他先利用手表，记下一昼夜的时间T；然 后，用弹簧秤测一个砝码的重力，发现在赤 道上的重力为两极的90%.试写出该星球平均 密度的估算表达式．
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解析：设星球的质量为 M，半径为 R，表面 重力加速度为 g′，平均密度为 ρ ，砝码的质 量为m. 砝码在赤道上失重1－90%＝10%，表明在 赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为Fn ＝ΔG＝0.1mg′，而一昼夜的时间T就是星球 的自转周期．根据牛顿第二定律，有
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【思路点拨】 双星在他们的引力作用下做 圆周运动，周期和角速度相同，都是由万有 引力提供向心力． 【精讲精析】 设两颗恒星的质量分别为 m1 、 m2 ，做圆周运动的半径分别为 r1 、 r2. 根 据题意有 r1＋r2＝r 根据万有引力定律和牛顿定律，有
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m1m2 4π G 2 ＝m1 2 r1 r T m1m2 4π G 2 ＝m2 2 r2 r T 联立以上各式解得 4π r m1＋m2＝ 2 . TG
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Mm 2 (3)由 G 2 ＝mg 可以得到：GM＝gR . R 由于 G 和 M(地球质量)这两个参数往往 不易记住，而 g 和 R 容易记住．所以粗 略计算时，一般都采用上述代换，这就 避开了引力常量 G 值和地球的质量 M 值，方便多了．
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即时应用(即时突破，小试牛刀) 2．(2010年高考天津理综卷)探测器绕月球做 匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上 仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比 ( ) A．轨道半径变小 C．线速度变小 B．向心加速度变小 D．角速度变小
海王星
冥星
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3．海王星和冥王星的轨道与计算结果不完全 符合，因此人们猜测在冥王星外侧还有未发 现的大行星． 注意：海王星和哈雷彗星的“按时回归”最终 确立了万有引力定律的地位．
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核心要点突破
一、天体质量和密度的计算
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆 周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力 等于它与中心天体的万有引力，利用此关系 建立方程求中心天体的质量．
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天体密度的估算
例2
假设在半径为R的某天体上发射一颗该 天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆 周运动的周期为T1，已知引力常量为G，则该 天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表 面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期 为T2，则该天体的密度又是多少？
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【自主解答】 设卫星的质量为 m，天 体的质量为 M.卫星贴近表面运动时有 Mm 4π 4π R G 2 ＝m 2 R，解得 M＝ R T1 GT2 1
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3 4
2
2
2 3
变式训练1 (2011年合肥高一检测)如果我们 能测出月球表面的加速度g，月球的半径R和 月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力 定律“称量”月球的质量了．已知引力常量G， 用M表示月球的质量，关于月球质量，下列 各式正确的是( )
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gR2 A．M＝ G 4π2R3 C．M＝ 2 GT
第四节
万有引力理论的成就
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课标定位 学习目标：1.了解重力等于万有引力的条 件． 2．会用万有引力定律求中心天体的质量． 3．了解万有引力定律在天文学上的重要应 用． 重点难点：1.利用万有引力定律对天体进行 有关计算． 2．万有引力定律与牛顿第二定律综合解决 圆周运动问题．
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课前自主学案
核心要点突破 第 四 节
2 3 2
M 4π R＋h 3πR＋h 所以 ρ＝ V ＝ ＝ 2 3 . GT2R 2 4 3 GT2· πR 3
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3π 3πR＋h 【答案】 2 2 3 GT1 GT2R
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4π r 【方法总结】 利用公式 M＝ 2 计算 GT 出天体的质量，再利用 ρ＝ 计算天 4 3 πR 3 体的密度，注意 r 指天体运动的轨道半 径，而 R 指中心天体的半径，只有贴近 中心天体运行时才有 r＝R. M
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2．常用的几个关系式 设质量为 m 的天体绕另一质量为 M 的 中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动 2 v Mm GM (1)由 G 2 ＝m r 得 v＝ ， r 越 r r 大，天体的 v 越小． Mm GM 2 (2)由 G 2 ＝mω r 得 ω＝ 3 ，r r r 越大，天体的 ω 越小．
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A．密度
C．半径
B．质量
D．自转周期
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解析： 选 A.对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可 GMm 4π 4π R 得： 2 ＝m 2 R， 故月球的质量 M＝ 因“嫦 2 ， R T GT 娥二号”为近月卫星， 故其轨道半径为月球的半径 R， 但由于月球半径未知，故月球质量无法求出，月球质 量未知，则月球的半径 R 也无法求出，故 B、C 项均 4π R 2 GT M 3π 错；月球的密度 ρ＝ ＝ ＝ 2，故 A 正确． V 4 3 GT πR 3
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4 3 根据数学知识可知星球的体积 V＝ πR 3 M 4π R 3π 故该星球密度 ρ＝ V ＝ ＝ 2 2 4 3 GT1 GT1· πR 3