2017-2018学年数学人教A版必修五优化课件：第三章 3.2 第2课时 一元二次不等式及其解法(习题课)含答案
数学人教A版必修五第三章 3.2 第2课时分式不等式
第2课时一元二次不等式及其解法(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一 分式不等式的解法 一般的分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0；g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 知识点二 一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f (x )>0在区间[a ，b ]上恒成立”的几何意义是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象全部在x 轴上方．区间[a ，b ] 是不等式f (x )>0的解集的子集． 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ； k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .知识点三 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R 还是∅.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．1．由于x －5x ＋3>0等价于(x －5)(x ＋3)>0，故y ＝x －5x ＋3与y ＝(x －5)(x ＋3)图象也相同．( × )2．x 2＋1≥2x 等价于(x 2＋1)min ≥2x .( × )3．对于ax 2＋3x ＋2>0，当a ＝1时与a ＝－1时，对应的不等式解集不能求并集．( √ ) 4．(ax ＋1)(x ＋1)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x ＋1)>0.( × )题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，⎩⎭(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f (x )g (x )>0(<0)或f (x )g (x )≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∴－3<x <－12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.⎩⎭题型二 不等式恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 引申探究把例2(2)改为：对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围． 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5， m (x 2－x ＋1)－6<0. 设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率 x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0. ∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0， 即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52，∴x 2－x －1<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.反思感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪训练2 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]， 则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.题型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， ∵a <0，∴1a <1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1. 当a ＝0时，不等式可化为－x ＋1<0，解集为{x |x ＞1}． 当a ＞0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 当0<a <1时，1a ＞1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 综上，当a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论． 跟踪训练3 解关于x 的不等式(x －a )(x －a 2)<0.解 当a <0或a ＞1时，有a <a 2，此时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，有a 2<a ，此时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式无解．综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，解集为∅.穿针引线解高次不等式观察下列不等式解集与图象的关系．猜想第三个不等式的解集.对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－x n)，不妨设x1<x2<x3<…<x n.其图象有两个特点：①当x＞x n时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－x n＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在x轴上方．②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次．根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)＞0(或f(x)<0)的解集．如第三个不等式解集为(0,1)∪(2，＋∞)．在此过程中，y轴可省略不画．典例解不等式x－1x(x＋1)＞0.解x－1x(x＋1)＞0即x(x－1)(x＋1)＞0，穿针引线：解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．[素养评析]穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.1．若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2答案 D解析 由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2. 2．不等式x －1x －2≥0的解集为( )A ．[1,2]B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 答案 D解析 由题意可知，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1.3．不等式3x ＋1≥1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，2]D ．(－1,2]答案 D解析 ∵3x ＋1≥1，∴3x ＋1－1≥0，∴3－x －1x ＋1≥0，即x－2x＋1≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－1<x≤2.4．若不等式x2＋x＋k<0在区间[－1,1]上恒成立，则实数k的取值范围是．答案(－∞，－2)解析x2＋x＋k<0，即k<－(x2＋x)在区间[－1,1]上恒成立，即k<[－(x2＋x)]min.当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k<－2.5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.解方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}；②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f (x )有最大值f (x )max ，则a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)若f (x )有最小值f (x )min ，则a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min . 3．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、选择题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠0，(x －1)(2x ＋1)≤0，解得－12<x ≤1.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1.2．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 答案 C解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立， 又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3， ∴m 的最大值为－3.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4] D ．[0,4]答案 D解析 当a ＝0时，ax 2－ax ＋1<0无解，符合题意． 当a <0时，ax 2－ax ＋1<0解集不可能为空集． 当a ＞0时，要使ax 2－ax ＋1<0解集为空集，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，a ∈[0,4]．4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <a 或x >1a B.{}x | x >aC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a >0. 又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a . 5．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅ 答案 A解析 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点， 又m >0，所以原不等式的解集不可能是B ，C ，D ，故选A.6．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2， 依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.7．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则实数x 的取值范围是( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >2答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0，g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,2) C ．(－3,0) D ．(－1,3) 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0<m ≤1.二、填空题9．不等式5－xx ＋4≥1的解集为 ．答案 ⎝⎛⎦⎤－4，12 解析 因为5－x x ＋4≥1等价于1－2xx ＋4≥0，所以2x －1x ＋4≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋4)≤0，x ＋4≠0，解得－4<x ≤12.10．若不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)≥0的解集是∅，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (－1,0]解析 当a ＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；当a ≠0时，a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋4a (a ＋2)<0，解得－1<a <0.综上可知，a 的取值范围是(－1,0]．11．(2018·上饶模拟)当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则实数a 的最小值为 ． 答案 －2解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0时，有f (0)＝1＞0，若要原不等式恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2<0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 三、解答题12．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，4(a －2)2－4(a －2)·(－4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a 2<4，解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立， 综上所述，－2<a ≤2.13．已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解 方法一 由题意可得a <0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca ＝αβ＞0， ②∵a <0,0<α<β， ∴由②得c <0，则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根． 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α， 即不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1β或x ＞1α. 方法二 由题意知a <0，∴由cx 2＋bx ＋a <0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0<α<β， ∴0<1β<1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1β或x ＞1α.14．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围为 ． 答案 [－3,2)解析 ∵－2是2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解，∴2(－2)2＋(2k ＋5)(－2)＋5k ＝k －2<0.∴k <2，－k >－2>－52，∴2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝(x ＋k )(2x ＋5)<0的解集为⎝⎛⎭⎫－52，－k ， 又x 2－x －2>0的解集为{x |x <－1或x >2}， ∴－2<－k ≤3，∴k 的取值范围为[－3,2)． 15．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. 解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0， 解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2. 综上，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .。
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修5课件：第三章3.3 3.3.2第2课时
即3xx＋＋22y≤y≤232，0，利润 z＝6x＋8y. x，y∈N，
易忽视 x，y∈N 这一 条件
………………………………(4 分)
第九页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
作出可行域如图阴影部分所示的整点部分.
………………(8 分) 由图可知当直线 6x＋8y＝z 经过可行域内点 A 时，
z 取最大值，由3xx＋＋22y＝y＝2320，得 xy＝＝94，，…………(11 分)
第四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1.某养鸡场有 1 万只鸡，用动物饲料和谷物饲料
混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料 0.5 kg，其中动物饲料不
能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克 0.9 元，谷物饲料每千克 0.28
元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料 50 000 kg，问饲料怎样
混合才使成本最低． 解：设每周需用谷物饲料 x kg，动物饲料 y kg，每周总的饲料
A(吨) B(吨)
甲乙
3
2
1
2
原料限额 12 8
第二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
A.12 万元
B．Байду номын сангаас6 万元
C．17 万元
D．18 万元
[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y
吨，每天所获利润为 z 万元，则有
3xx＋＋22y≤y≤81，2，z＝3x＋4y，作出可行域如图阴 x≥0，y≥0，
第十七页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．有 5 辆 6 吨的汽车，4 辆 4 吨的汽车，要运送最多的货物，
若设需 x 辆 6 吨汽车，y 辆 4 吨汽车．则完成这项运输任务的
线性目标函数为( )
2017-2018学年高二数学人教A版必修5课件：第3章 不等
答案：D
二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分) 7．给出平面区域如图所示，若使目标函数 z＝ax＋y(a>0)取得 最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为________．
3 答案：5
x＋y－1≥0， 8．在平面直角坐标系中，若不等式组x－1≤0， (a 为 ax－y＋1≥0， 常数)所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为________．
则 x2＋y2＋2x＋2y 的最小
答案：B 解析：由题意，易知 x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，表 示已知约束条件的可行域内的点到点(－1，－1)距离的平方与 2 的 差，如下图所示，结合图形可知点 A 与两点 B、C 连线的斜率的范 1 围为[3，3]，而过点 A 的直线与 BC 垂直时其斜率为 1，故点 A 与 可行域内点的最小距离即为点 A 到直线 x＋y－2＝0 的距离， 从而(x2 |－1－1－2| 2 2 ＋y ＋2x＋2y)min＝( ) －2＝6. 2
课时目标 1.加深线性规划问题解决最大(小)值方法． 2．会解决非线性函数的最值问题．
识记强化 有些线性规划问题中的目标函数并非线性的，在解决该类问题 时可以考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法解决． 应熟练掌握以下式子的几何意义： y－b (1)形如 的式子，表示动点 M(x，y)和定点 N(a，b)连线的斜 x－a 率 k. (2)形如 x－a2＋y－b2的式子， 表示动点 M(x， y)到定点 N(a， b)的距离|MN|，而(x－a)2＋(y－b)2 表示动点 M(x，y)到定点 N(a，b) 的距离的平方，即|MN|2. |ax＋by＋c| (3)形如 2 2 的式子，表示动点 M(x，y)到直线 ax＋by＋ a ＋b c＝0 的距离 d，而|ax＋by＋c|表示 a2＋b2· d.
【人教B版】数学《优化方案》必修5课件第3章3.2第二课时
解：∵ a≥ 0， b≥ 0， a2＋b22＝ 1，∴ 2a2＋ b2＝ 2，
∴a
1＋ b2＝
2 ·
2a·
1＋
b2≤
2 2a2＋1＋b2 ·
2
2
2
＝3 4
2 .
2a＝ 1＋b2， 当且仅当a2 ＋b22＝ 1，
即
a＝
23， b＝
2时，取等号． 2
∴a
1＋ b2的最大值是3
2 .
4
利用函数单调性求最值
【解】 (1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则 由条件得 4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
由于 2x＋3y≥2 2x·3y ＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤27，
2 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
由2x＋3y＝18， 解得x＝4.5，
2．对于均值不等式 ，不仅要记住原始形式，
而且 还要掌握它的 几种变形形式 及公式的逆
用等，例如：ab≤a＋2
b2≤a2
＋ 2
b2，
ab≤
a＋ 2
b
≤
a2＋ b2(a>0，b>0)等，同时还要注意不
2
等式成立的条件和 等号成立的条件．
知能优化训练
本部分内容讲解结束
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∴
y＝xx2－＋18＝
x－
12＋ 2x＋ x－1
7＝
x－
12＋ 2 x－
x－ 1
1＋
9
＝
(x－
1)＋x－9
＋ 1
2
≥2
x－1
人教A版高中数学必修五优化课件全集
1－－1n＋1 解析：把 n＝1,2,3,4 分别代入 an＝ 中，依次得到 0,1,0,1. 2
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．数列及其相关概念和简单表示法
2．数列的分类
分类标 准
名称
有限
含义
有穷数 列 按项的 个数 无穷数
项数
2 2
无限
的数列
的数列 它的前
大于
列
项数
小于
各项相等
递增数 从第 项起，每一项都 大于 2 列 一项的数列 小于
n＋1 k＋1 1 的第 k 项是 所以 B 错；数列 ＝ 1 ＋ ， C 正确；而 D 中数 k k n
列应表示为{2(n－1)}．
答案：C
an 4．若数列{an}的通项满足 n ＝n－2，那么 15 是这个数列的第________项． an 解析：由 n ＝n－2 可知，an＝n2－2n，
a<2， 即1 －1>2a－2. 2 7 解得 a< ，故选 C. 4
[答案] C
[误区] 本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得 a<2， 12 －1≥2a－2， 2 13 即 a≤ ，错选 B. 8 [防范措施] 因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的 函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要 忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．
令 n2－2n＝15，得 n＝5.
答案：5
探究一 数列的概念及分类 [典例 1] 已知下列数列： (1)0,0,0,0,0,0； (2)0，－1,2，－3,4，－5，…； n－ 1 1 2 (3)0， ， ，…， n ，…； 2 3
2017-2018学年高二数学人教A版必修5课件：本章整合2
专题一
专题二
专题三
例 1 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式. (1)1,1,7 , 15 , 31,…; (2)2,22,222,2 222,…; (3)3,0,-3,0,3,…. 解 (1)数列即为1 , 3 , 7 , 15 , 31,…,由于分子是等差数列{2n-1}的 各项,分母是数列{2 -1}的各项,故
⑦a,A,b 成等差数列
⇔A=
数 列
特殊数列
������+������ 2 公式: ⑧ ������(������1 +������������ ) 等差数列的前������项和 ⑧ S n= 基本运算——性质 2 ������(������-1) 定义: ⑨ =na1+ d 2 ������������ 公式: ⑩ ⑨ =q(n≥2) 通项公式 ������������-1
∴数列{an}的通项公式为 an= ������ − ������-1(n∈N*).
专题一
专题二
专题三
3.已知递推关系求通项公式 (一)累加法 适用于由形如an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式, (1)当f(n)=d(常数)时,{an}为等差数列,则an=a1+(n-1)d; (2)当f(n)为关于n的函数时,用累加法. 方法如下,由an+1-an=f(n)得 当n≥2时,an-an-1=f(n-1), an-1-an-2=f(n-2), ……
1
由已知可求得 S1=a1=1. 2 ∴数列{������������ }是等差数列,且公差为 1,首项为 1. 2 ∴������������ =1+(n-1)· 1=n. ∵an>0,∴Sn>0.∴Sn= ������.
3.2.2分式不等式-人教A版高中数学必修五课件
4、解不等式 ( x 1)( x 2) 0 ( x 1)( x 3)
解：原不等式等价于(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0，将方程 (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0的根-1,1,2,3标在数轴上，从右到左 画出示意图，
∴原不等式的解集是{x|-1<x<1或2<x<3}
由图知不等式的解集为{x|x≤-3或x=-1或0≤x≤2}
(注意“等号”须单独考虑)
用“数轴穿根法”解高次不等式技巧: “奇过偶不过” (穿轴时从最大根的右上方开始)
3、解不等式：( x 1)( x 1)2 ( x 2)3 0
由图知不等式的解集为{x|-1<x<1或1<x<2}
分式不等式的解法
一、分式不等式的定义
型如 f ( x) 0或 f ( x) 0 叫分式不等式
g( x)
g( x)
其中 f ( x)、g( x)为整式且g( x) 0
二、分式不等式的解法
主导思想：分式不等式转化为整式不等式
解分式不等式重要的是等价转化，
尤其是含“≥”或“≤”转换。
f (x) 0 f (x) g(x) 0 g( x)
(1,1) (2,3)
2、解不等式
(
x5 x 1)
2
2
[ 1 ,1) (1,3] 2
3
3、解不等式 2 x x 1
1
2
{ x | x 3或0 x 1}
三、指数、对数不等式
转化时把握“同底数原则”“单调性原则”， 同时还要注意真数大于零，底数要使不等式有意义.
①当a 1时
a f ( x) a g( x) f ( x) g( x);
2018年人教A版高中数学必修5全册教案优化设计精美整理版新版
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记
课题
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
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2．处理不等式恒成立问题的常用方法 (1)一元二次不等式恒成立的情况：
a＞0 ①ax ＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔ ； Δ＜ 0
2
a＜0 ②ax ＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ . Δ ≤ 0
2
(2)一般地，若函数 y＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： ①a＞f(x)，x∈D 恒成立⇔a＞f(x)max； ②a＜f(x)，x∈D 恒成立⇔a＜f(x)min.
)
A．{x|－1≤x<0} C．{x|0≤x≤2}
B．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}， ∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
答案：B
3．已知不等式 x2＋ax＋4<0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( A．－4≤a≤4 C．a≤－4 或 a≥4 B．－4<a<4 D．a<－4 或 a>4
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 (不 要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
1．解不等式． x2－x－6 (1) ＞0； x－1 2x－1 (2) >1. 3－4x
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
1．解分式不等式的同解变形法则 fx (1) ＞0⇔f(x)g(x)＞0； gx (2) fx ≤0⇔ fxgx≤ gx gx≠0 ；
fx－agx fx (3) ≥a⇔ ≥0. gx gx
1 1 A. x|x>3或x<－2 1 C. x|x>3
4x＋2 解析： >0 等价于(4x＋2)(3x－1)>0， 3x－1
1 1 ∴原不等式解集为 x|x<－2或x>3 .
答案：A
x－2 ， 2． 若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}， B＝ x| 则 A∩B＝( ≤ 0 x
3．2
第 2 课时
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法(习题课)
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.会求解方程根的存在性问题 和不等式恒成立问题．
重点：有关不等式恒成立求 参数的值或范围问题和分式
2．会将简单的分式不等式化为 不等式的解法． 一元二次不等式求解． 难点：对实际应用问题如何
3．会从实际情境中抽象出一元 建立正确的数学模型并加以 二次不等式模型，并加以解决. 解决.
答案：[1，＋∞)
探究一 [典例 1] 解不等式． (1) x＋ 2 ＜0； 1－ x
解简单的分式不等式
x＋ 1 (2) ≤2. x－ 2
[解析]
x＋2 x＋2 (1)由 ＜0，得 ＞0. 1－x x－1
此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0. ∴原不等式的解集为{x|x＜－2 或 x＞1}． x＋1 (2)法一：移项，得 －2≤0， x－2 － x＋ 5 x－ 5 左边通分并化简，得 ≤0，即 ≥ 0， x－2 x－ 2
3．一元二次方程根的分布 设 x1 ， x2 是实系数二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根， f(x)＝ax2＋bx＋c， 则 x1，x2 的分布范围与方程系数之间的关系如下表所示． 根的分布 图象 等价条件Ⅰ Δ≥ 0 x1＋x2>0 x1 · x2>0 等价条件Ⅱ
Δ≥0 fk1>0 fk >0 2 k1<－ b 2a <k2
fk >0 1 fk2<0 fk3>0
k1<x1<k2<x2 <k3
[双基自测] 1．不等式
4x＋2 >0 的解集是( 3x－1
)
1 1 B. x|－2<x<3 1 D. x|x<－2
)
解析：依题意应有 Δ＝a2－16≤0， 解得－4≤a≤4，故选 A.
答案：A
4．已知方程 x2－2ax＋1＝0 有两正根，则 a 的取值范围是________．
解析：设方程 x2－2ax＋1＝0 两根 x1，x2，
Δ＝－2a2－4≥0 则 ，解得 a≥1. x ＋ x ＝ 2 a >0 1 2
x－2x－5≥0， 它的同解不等式为 x－2≠0，
∴x＜2 或 x≥5. 原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}． 法二：原不等式可化为 x－ 5 ≥0. x－ 2 ①
x－5≥0， 此不等式等价于 x－2＞0， x－5≤0， 或 x－2＜0.
②
解①，得 x≥5. 解②，得 x＜2. ∴原不等式的解集为{x|x＜2 或 x≥5}．
解析：(1)原不等式等价于
x2－x－6＞0 x2－x－6＜0 ⇔ ，或 . x－1＞0 x－1＜0
解得 x＞3 或－2＜x＜1. ∴原不等式的解集为{x|x＞3 或－2＜x＜1}．
2x－1 3x － 2 (2)原不等式可化为 －1>0，即 <0. 3－4x 4x － 3 等价于(3x－2)(4x－3)<0. 2 3 ∴ <x< . 3 4
2 3 ∴原不等式的解集为 x|3<x<4 .
根的分布
图象
等价条件Ⅰ
等价条件Ⅱ
k<x1≤x2
Δ≥0 x1＋x2>2k x －k· 1 x2－k>0
Δ>0 x1－k· x2－k<0
Δ>0 fk>0 － b >k 2a
x1<k<x2
f(k)<0
根的分布
图象
等价条件Ⅰ
等价条件Ⅱ
x1、x2∈(k1， k2)
0<x1≤x2
Δ≥0 f0>0 － b >0 2a
根的分布
Байду номын сангаас
图象
等价条件Ⅰ
Δ>0 x1x2<0
等价条件Ⅱ
x1<0<x2
f(0)<0
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x － k · 1 x2－k>0
Δ≥0 fk>0 － b <k 2a