3.1.2 函数的表示法
教学设计4：3.1.2 函数的表示法
3.1.2 函数的表示法教学设计一、教学目标1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.二、教学重难点1、教学重点会选择恰当的方法表示函数.2、教学难点函数的实际应用三、教学过程1、新课导入上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.2、探索新知我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.这三种方法是常用的函数表示法.下面我们通过例题来体会这三种方法的特点.例：某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})x x ∈个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将函数()y f x =表示为5y x =，{1,2,3,4,5}x ∈.用列表法可将函数()y f x =表示为用图象法可将函数()y f x =表示为下图.思考：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（2）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.下面我们通过例题来认识分段函数：例：画出函数||y x =的图象.解：由绝对值的概念，我们有00x x y x x -<⎧=⎨⎩，，.所以，函数||y x =的图象如图所示.像例题中00x x y x x -<⎧=⎨⎩，，这样的函数称为分段函数，生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题.如出租车的计费、个人所得税纳税额等.通过对课本例题的学习进一步掌握函数的实际应用.3、课堂练习1.设函数()221121x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，，，则()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=（ ）A. 1516B.4C.3D. -3答案：A解析：依题意知()222224f =+-=，则()211115124416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选 A. 2.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过310m 的，按t 元/3m 收费；用水量超过310m 的，超过部分按2t 元/3m 收费.某职工某月缴水费16t 元，则该职工这个月实际用水量为( )A.313mB.314mC.318mD.326m答案：A解析：该单位职工每月应缴水费y (元）与实际用水量()3m x 满足的关系式为01021010tx x y tx t x ≤≤⎧=⎨->⎩，，.由16y t =，可知10x >.令21016tx t t -=，解得13x =. 3.某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km ，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了()b km b a <，再折回匀速前进c km ，则此人距起点的距离s 与时间t 的关系示意图正确的是__________(填序号).答案：③解析：注意理解两坐标轴s ，t 的含义，这里s 是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合.4、小结作业小结：本节课学习了函数的表示方法、分段函数以及函数的实际应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计3.1.2 函数的表示法常用的函数表示法：解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.。
3.1.2函数的表示法课件(解析式求法)(第1课时)-高一上学期数学人教A版(1)
2
:已知f(
x
x
1)
x
2 x2
1
1, x
求f(x).
f(x) x2 x 1(x 1)
3.已知f(x +
1 ) x
x2
1 x2
- 1,求f(x).
4.已知f(x -
1 ) x
x2
1 x2
- 1,求f(x).
5.已知f(x
1 x
)
x3
1 x3
,求
f(x)的解析式.
f(x) x3 3x(x 2或x 2)
将f(x1)＝2f(xx)－1代入f(x)＝2f(1x) x－1中，
可求得 f(x)＝23 x＋13.
练习2.
3. f (x) 2 f (-x) x2 2x, 求f (x)的解析式； 4. 2 f (1) f (x) x, (其中x 0)，求f (x)的解析式；
x
巩固练习
（1）如果
a2 ab
4 b
, 1
ba213或ab
2 ,
1
f
(x)
2x
1 或f 3
(x)
2x
1.
待定系数法：已知函数f (x)的类型(如一次函数、二次函数)，可设函数 f (x)的解析式，根据条件求出其中的系数，再代回解析式即可得f (x).
例2
待定系数法
【反思】：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式， 首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数。
因为 2f(2x＋1)－f(x－2)＝6x＋5，
所以 2[k(2x＋1)＋b]－[k(x－2)＋b]＝3kx＋4k＋b＝6x＋5，
即 3k＝6，4k＋b＝5，解可得，k＝2，b＝－3，
第三章 3.1.2 第1课时 函数的表示法
3．1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点 函数的表示法思考 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答案 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁RQ .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 特别提醒 函数三种表示法的优缺点比较1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)＝________.x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )123答案 3解析 ∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是________．答案 [－2,3]解析 由图象可知f (x )的定义域为[－2,3]．3．已知f (x )的图象如图，则f (x )的值域为________．答案 [－4,3]解析 由f (x )的图象知，f (x )的值域为[－4,3]．4．若一次函数f (x )的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函数的解析式为________． 答案 f (x )＝x ＋1解析 由题意设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.一、函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式t ＝ax ＋bx .当x＝2时，t ＝100；当x ＝14时，t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t 的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t 的图象．解 (1)由题设条件知，当x ＝2时，t ＝100， 当x ＝14时，t ＝28，列出方程组⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x .又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N }．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t 的图象是由20个点组成的一个点列， 如图所示．(学生)反思感悟 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 已知函数f (x )＝－x －1，x ∈{1,2,3,4}， 试分别用图象法和列表法表示函数y ＝f (x )． 解 用图象法表示函数y ＝f (x )，如图所示．用列表法表示函数y ＝f (x )，如表所示．x 1 2 3 4 y－2－3－4－5二、函数的图象的画法 例2 作出下列函数的图象： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分． 如图所示，(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．如图所示，(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．如图所示，(教师) 延伸探究根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]． (学生)反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练2 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]．解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，当x ＝1,3时，y ＝0； 当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．三、求函数的解析式例3 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． 解 (1)方法一 (换元法)：令t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x， 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．(学生)反思感悟 求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(2)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(3)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 跟踪训练3 (1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )． 解 (1)方法一 (配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2 ＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.方法二 (换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， 即f (x )＝x 2－5x ＋6. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8. ∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.函数图象的应用典例已知函数f(x)＝x2－2x(x>1或x<－1)，(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．解f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．(1)由图可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．(2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m>3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)答案 C解析由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2答案 A解析因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A．3 B．2 C．1 D．0答案 B解析由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案 1解析由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________．答案f(x)＝－x2－4x－1解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.1．知识清单： (1)函数的表示法． (2)函数的图象． (3)求函数解析式．2．方法归纳：待定系数法、换元法、数形结合法． 3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 答案 D解析 题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}． 2．已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．4 B.14 C ．16 D.116答案 C解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x2＝16.3．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10答案 A解析 方法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1. ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5，∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .方法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .4．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( )A ．－1B ．5C ．1D ．8答案 C解析 由3x ＋2＝2得x ＝0，所以a ＝2×0＋1＝1.5．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )答案 D解析 由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 7．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.答案 2x －23解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23. 8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧ 330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570， 若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)求函数f (x )的值域．解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )．解 (1)方法一 (换元法)：令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1，∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， 令t ＝x －1x，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.11．函数y ＝x 1＋x 的大致图象是( )答案 A解析 方法一 y ＝x 1＋x的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．12．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)答案 D解析 由题意得y ＋2x ＝20，所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5，由y >0即20－2x >0得x <10，所以5<x <10.13．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为________． 答案 －1解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)， 所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3] ＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1， 求得a ＝－1.14．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________________．答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0) 解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x. 由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x (x ≠0)．15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．16．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．解由f(3)＝3，得b＝－3a－9.由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，所以a＝－6，b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9.。
3.1.2函数的表示法-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
= 0.8 × 189600 − 117360 = 34320.
将t的值代入(1)中，得y = 0.03 × 34320 = 1029.6.
所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元.
练习巩固
2x + 1，x < 1，
练习1：已知函数f(x) =
则f(9) =( )
f(x − 3)，x ≥ 1，
(1)在同一直角坐标系中画出f(x)，g(x)的图象；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
练习巩固
例6：给定函数f(x) = x + 1，g(x) = (x + 1)2 ，x ∈ R，
(2)∀x ∈ R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x) = max{f(x)，g(x)}.
解：由2 (−) + () = ，①
可得2 + − = −.②
联立①②，得：f x = −x.
小结
解析法
常用表示法
列表法
图像法
函数的表示法
定义
分段函数
图像
函数的实际应用
练习巩固
例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国
个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税
额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所
得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收
复习导入
新知探究
问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种
方法吗？
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
3.1.2函数的表示法+教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学课题：3.1.2 函数的表示法课型：新授课课时：2课时课标要求：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
学习目标：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象和解析式之间相辅相成的关系；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；3、发展学生直观想象、逻辑推理核心素养。
重点：了解简单的分段函数，并能简单应用。
难点：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学方法：启发式、自主探究式相结合教学准备教师：多媒体课件学生：教学过程一、复习旧知、引入新课引入1：（师）你还记得初中我们学习过的函数的表示方法有哪些？（生）解析法、列表法和图像法引入2：（师）你能分辨下列函数是用什么方法表示的吗？（1）3.1.1的问题3：北京市2016年11月23日空气质量指数(AQI) I和时间t的关系;（生）图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.（2）3.1.1的问题4：恩格尔系数r与年份y的对应关系;年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57（生）列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.（3）3.1.1的问题1：路程和时间的对应关系，s=350t，t{00.5}∈≤≤t t（生）解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.设计意图：学生对初中学过的三种函数表示方法已经比较熟悉了，但是接触的例子有所欠缺，所以教师应引导学生回顾具体的例子，为学生深入研究这3种方法打下基础。
二、创设情境、提出问题x x∈个笔记本需要y元，试用列表法和图情境1某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})像法表示函数y=f(x).解析：用列表法可将y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法发可将y=f(x)表示为追问1（师）你发现图象上这些点有什么特征？（生）这些点好像都经过一条直线。
课件3.1.2： 函数表示法
强
7
典型例题
解析法 y=5x x1,2,3,4,5
注：用解析法必须注明函数的定义域。
列表法
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y
5 10 15Βιβλιοθήκη 20 25讲课人
：
邢
启 强
8
讲
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知
三种表示方法的特点
解析法的特点：全面.精确地概括了变量间的 关系；可以通过用解析式求出任意一个自变 量所对应的函数值。
解: 解析式为v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20)
-3t+90,(20 ≤ t≤30)
讲
课
人 ： 邢 启
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
强
15
巩固练习
2x+3, x＜－1,
3. 已知函数f (x)= x2, －1≤x＜1, x－1, x≥1 .
(1)求f{f[f(－2)]} (2) 当f (x)=－7时,求x ;
即：判定两个函数是否相同，只需考 察对应关系（表达式）与定义域是否 相同即可。
讲
课
人
：
邢
启 强
5
复习练习
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0y 2
x
2
D
讲 课
0
2x
0
x
2
人
：
邢
3.1.2函数的表示法教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
重点题型整理
1. 题目：已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)。
答案：f(3) = 2*3 + 1 = 7。
说明：这是一个基础的函数值求解题型。首先，需要理解题目中给出的函数表达式，然后将给定的x值代入表达式中求解。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解函数的基本表示方法。函数是某个变量随着另一个变量的变化而变化的规律。它可以用电解析式、图像和表格等方式来表示。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了函数图像在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调电解析式和图像表示法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
说明：这个题目涉及到三次方的计算，需要注意三次方和二次方的运算。
4. 题目：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)。
答案：f(-1) = 2*(-1) + 3 = -2 + 3 = 1。
说明：这个题目是求负数作为x值的函数值。需要注意负数的运算。
5. 题目：已知函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，求f(-2)。
教学内容与学生已有知识的联系主要在于初中数学中的函数概念和图像。学生在初中阶段已经学习了函数的基本概念和一些简单的函数图像，对本节课的内容有一定的了解。在此基础上，本节课将进一步深化学生对函数的理解，引导学生从不同的角度来观察和研究函数，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过学习函数的表示法，学生将能够抽象出函数的本质特征，运用逻辑推理能力理解不同的表示方法之间的联系，以及运用数学建模能力选择合适的表示方法来解决实际问题。同时，通过小组讨论和问题解答，学生还将提高合作交流和问题解决的能力，从而全面提升数学学科核心素养。
新人教版高中数学必修第一册3.1.2 函数的表示法
y
25
笔记本数m
1
2
3
4
5
20
钱数y
5
10
15
20
25
15
【图像法】函数图像可以表示如图：
10
5
0
1
2
3
4
5
m
函数的表示法
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
=
−
=
（2）含绝对值符号的函数：
− , <
（3）自定义函数：
− , ≤
= − = −, < <
+ , ≥
（3）取整函数：
= ( 表示不大于 的最大整数)
如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果
并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期
的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，
如函数f(x)=x.
Hale Waihona Puke 分段函数【题】画出函数y=|x|的图像
【解】由绝对值的概念，有y=
画出图像如图：
-x，x＜0，
x，x≥0.
像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出
(1)5km以内(含5km)，票价2元；
(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)
如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，
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从复习初中学习 过的函数三种表 示方法入手进一 步理解函数的表 示方法
x 2 (x …2)等都是用解析式表示函数关系
通过例题熟练地 掌握函数的三种 表示方法。
的. 用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是 可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 巩固知识典型例题 例 3 文具店内出售某种铅笔， 每支售价为 0.12 元， 应付款额是购买铅笔数的函数， 当购买 6 支以内（含 6 支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数． 分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示 函数． 解 设 x 表示购买的铅笔数（支） ， y 表示应付款额（元） ，则函数的定义域为
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教学设计方案
授课题目 授课班级 授课日期
1. 理解函数的三种表示方法； 2. 掌握利用“描点法”作函数图像的方法． 3. 会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力． 重点：(1) 函数的三种表示方法； (2) 利用“描点法”描绘函数图像．
1, 2,3, 4,5,6 ．
（1）根据题意得，函数的解析式为 y 0.12 x ，故函数的解析法表示为 y 0.12 x ，
x 1,2,3,4,5,6 ．
（2）依照售价，分别计算出购买 1~6 支铅笔所需款额，列成表格，得到函数 的列表法表示．
x /支
1 0.12 2 0.24 3 0.36 4 0.48 5 0.6 6 0.72
归纳 由例 4 的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函数图像”的具体步骤： （1）确定函数的定义域； （2）选取自变量 x 的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的 函数值 y，列出表格； （3）以表格中 x 值为横坐标，对应的 y 值为纵坐标，在直角坐标系中描出相 应的点 ( x, y ) ； （4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线． 这种作函数图像的方法叫做描点法． 例 4 利用“描点法”作出函数 y
学习与训练 3.1.2 环境资源：多媒体教室、投影仪 手段方法：利用 PPT 进行讲练结合
审批 教学后记：
意见：
教研室（专业）主任签字：年月日
任课教师：
年月日
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3.1.2 函数的表示法
*创设情景兴趣导入 函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种. (1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻 表等都是用列表法来表示函数关系的. 用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对 应的函数值. (2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系. 例如，我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图像，股市走向图等都是用图像法 表示函数关系的. 用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函 数值变化的趋势. (3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析 表达式，简称解析式. 例如，s=60t ，A= π r ，S=2 πrl ,y=
y /元
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Harbin HuaXia Secondary SpecializedSchools （3）以上表中的 x 值为横坐标，对应的 y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次 作出点（1，0.12） ， （2，0.24） ， （3，0.36） ， （4，0.48） ， （5，0.6） ， （6，0.72） ，得 到函数的图像法表示．
3.1.2 函数的表示法
授课进度
第1次
教学目标
教学重点 教学难点
难点： 利用“描点法”描绘函数图像． 1.复习提问上节内容 时间分配 1.--5 分 2.--10 分
教学内容 及进程
2.函数的三种表示法． 3.描点法画图.
3.--10 分 4.课后练习与作业 4.--15 分
课后作业 教学资源 教学方法
„ „
（3）以表中的 x 值为横坐标，对应的 y 值为纵坐标，在直角坐标系中依次作 出点（ x, y ） ．由于 f (25) 25 5 ，所以点 (25,5) 是图像上的点． （4）用光滑曲线联结这些点，得到函数图像.
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Harbin HuaXia Secondary SpecializedSchools 运用知识强化练习---见右侧 归纳小结强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？ 课堂练习：练习 3.1.2
通过例 4 掌握 用描点法画图 的方法与步骤
x 的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的
点 (求对应函数值时，精确到 0.01) ． 解 （1）函数的定义域为 [0,) ． （2）在定义域内取几个自然数，分别求出对应函数值 y ，列表：xຫໍສະໝຸດ y0 01 1
2 1.41
3 1.73
4 2
5 2.24