高考人教A版文科数学一轮复习课件第二章函数、导数及其应用2-10

之前先对函数进行化简减小运算量。
方向 2：抽象函数求导 【例 2】 已知函数 f (x)的导函数为 f ′(x)，且满足关系式 f (x)＝x2＋3xf ′(2) ＋lnx，则 f ′(2)＝________。
解析 因为 f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋lnx，所以 f ′(x)＝2x＋3f ′(2)＋1x，所以 f ′(2) ＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以 f ′(2)＝－94。
答案 B
考点二 导数的几何意义微点小专题
方向 1：已知切点求切线方程
【例 3】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax。若 f (x)为奇
函数，则曲线 y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
解析 因为函数 f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f (－x)＝ －f (x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以 2(a－1)x2＝0，因为 x∈R，所以 a＝1，所以 f (x)＝x3＋x，所以 f ′(x)＝3x2 ＋1，所以 f ′(0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x。故选 D。
3
解 (1)先变形：y＝ 2x 2 ，
再求导：y′＝

2x
3 2
′＝3

2
2 x
1 2
。
(2)先变形：y＝csoinsxx，再求导：
y′＝csoinsxx′＝sinx′·coscxo－s2sxinx·cosx′＝co1s2x。
(3)先变形：y＝－cosx，
再求导：y′＝－(cosx)′＝－(－sinx)＝sinx。
答案 (－∞，2)
利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜 率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而 求出参数的值或取值范围。
【题点对应练】
1．(方向 1)直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点 A(1,3)，则 2a
＋b 的值等于( )
3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲 线相切只有一个公共点。
4．函数 y＝f (x)的导数 f ′(x)反映了函数 f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处 的切线越“陡”。
一、走进教材
解析 因为 f (2)＝23－2×22＋2＝2≠0，所以点 P(2,0)不在曲线 f (x)＝
x3－2x2＋2 上。设切点坐标为(x0，y0)，且12≤x0≤52，则y020－ －＝yxx0030＝－f2′xx200＋，2，
y0＝x30－2x20＋2， 所以2－－yx00＝3x20－4x0，
答案 －94
先对函数求导，再赋值，如本题先求导，再令 x＝2，即可求 f ′(2)。
【题点对应练】 1．(方向 1)已知函数 f (x)＝exlnx，f ′(x)为 f (x)的导函数，则 f ′(1)的值为 ________。
解析 由题意得 f ′(x)＝exlnx＋ex·1x，则 f ′(1)＝e。 答案 e
1．(选修 1－1P86B 组 T1 改编)曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴 交点的纵坐标是( )
A．－9
B．－3
C．9
D．15
解析 因为 y＝x3＋11，所以 y′＝3x2，所以 y′|x＝1＝3，所以曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线方程为 y－12＝3(x－1)。令 x＝0，得 y＝9。故选 C。
(3)函数 f (x)的导函数
f x＋Δx－f x
lim 称函数 f ′(x)＝ Δx→0
Δx
为 f (x)的导函数。
2．导数公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式
原函数 f (x)＝c(c 为常数)
f (x)＝xn(n∈Q)
f (x)＝sinx f (x)＝cosx
导函数 f ′(x)＝ 0 f ′(x)＝ nxn－1 f ′(x)＝ cosx f ′(x)＝ －sinx
原函数 f (x)＝ax f (x)＝ex
f (x)＝logax
f (x)＝lnx
导函数 f ′(x)＝ axlna
f ′(x)＝ ex
1 f ′(x)＝ xlna
1 f ′(x)＝ x
(2)导数的运算法则 ①[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)。 ②[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)。 ③fgxx′＝f ′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)。
A．2
B．－1
C．1
D．－2
解析
依题意知，y′＝3x2＋a，则133×＋1a2＋＋ba＝＝3k，，
a＝－1， 解得b＝3，
所
k＋1＝3，
k＝2，
以 2a＋b＝1。故选 C。 答案 C
2．(方向 2)已知函数 f (x)＝xlnx，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y
＝f (x)相切，则直线 l 的方程为( )
A．x＋y－1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
解析 因为点(0，－1)不在曲线 y＝f (x)上，所以设切点坐标为(x0，y0)。 又因为 f ′(x)＝1＋lnx，所以yy00＋＝1x0＝lnx10，＋lnx0x0， 解得xy00＝ ＝10， 。 所以切点 坐标为(1,0)，所以 f ′(1)＝1＋ln1＝1，所以直线 l 的方程为 y＝x－1，即
答案 －8
7．已知 f (x)＝x3，则 f ′(2x＋3)＝________。
解析 f ′(x)＝3x2，所以 f ′(2x＋3)＝3(2x＋3)2。 答案 3(2x＋3)2
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 导数的运算微点小专题 方向 1：已知函数解析式求函数的导数 【例 1】 求下列各函数的导数： (1)y＝x 2x；(2)y＝tanx； (3)y＝2sin22x－1。
答案 C
2．(选修 1－1P80B 组 T1 改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水 面 的 高 度 ( 单 位： m) 是 h(t) ＝ － 4.9t2 ＋6.5t ＋10 ，则 运动员的 速度 v ＝ _______m/s，加速度 a＝________m/s2。
解析 v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8。 答案 －9.8t＋6.5 －9.8
解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x0，y0)处的切线的斜率 k＝f ′(x0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式 来求解。解决这类问题的关键是抓住切点。
方向 2：未知切点，求切线方程 【例 4】 曲线 f (x)＝x3－2x2＋212≤x≤52过点 P(2,0)的切线方程为 ______________。
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线 y＝2lnx 在点(1,0)处的切线方程为________。
解析 由 y＝f (x)＝2lnx，得 f ′(x)＝2x，则曲线 y＝2lnx 在点(1,0)处的切 线的斜率为 k＝f ′(1)＝2，则所求切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 y＝2x－2。
答案 D
解法一：因为函数 f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f (－1)＋f (1) ＝0，所以(－1＋a－1－a)＋(1＋a－1＋a)＝0，解得 a＝1，所以 f (x)＝x3 ＋x，经检验符合题意，所以 f ′(x)＝3x2＋1，所以 f ′(0)＝1，所以曲线 y＝f (x) 在点(0,0)处的切线方程为 y＝x。故选 D。
解析 函数 f (x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－ －112＝3。因为 f ′(x) ＝2x，所以 f (x)在 x＝2 处的导数为 2×2＝4。
答案 3 4
6．已知 f (x)＝x2＋3xf ′(2)，则 f (2)＝________。
解析 因为 f ′(x)＝2x＋3f ′(2)，令 x＝2，得 f ′(2)＝－2，所以 f (x)＝x2 －6x，所以 f (2)＝－8。
方向 3：求参数的值或取值范围 【例 5】 (2019·南京调研)若函数 f (x)＝lnx＋ax 的图象存在与直线 2x －y＝0 平行或重合的切线，则实数 a 的取值范围是________。
解析 函数 f (x)＝lnx＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行或重合的切 线，即 f ′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解，而 f ′(x)＝1x＋a，故1x＋a＝2，即 a＝2－ 1x在(0，＋∞)上有解，因为 x>0，所以 2－1x<2，所以 a 的取值范围是 (－∞，2)。
2．(方向 2)已知函数 f (x)的导函数为 f ′(x)，且满足 f (x)＝2xf ′(1)＋lnx，
则 f ′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
解析 由 f (x)＝2xf ′(1)＋lnx，得 f ′(x)＝2f ′(1)＋1x。所以 f ′(1)＝2f ′(1)＋1， 则 f ′(1)＝－1。故选 B。
解法二：易知 f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为 f (x) 为奇函数，所以函数 g(x)＝x2＋(a－1)x＋a 为偶函数，所以 a－1＝0，解得 a＝1，所以 f (x)＝x3＋x，所以 f ′(x)＝3x2＋1，所以 f ′(0)＝1，所以曲线 y ＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x。故选 D。
1．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1 与(ax)′＝axlna 相互混淆；②公式 中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：fgxx′＝f ′xg[xg＋xf]2xg′x，(cosx)′ ＝sinx。