高二数学北师大版选修1-1同步精练：2.2抛物线第2课时 Word版含答案

1．抛物线y2＝ax(a≠0)的准线是x＝－1，那么它的焦点坐标是()
A．(1,0)B．(2,0) C．(3,0) D．(－1,0)
2.如图，F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等于()
A．6 B．4 C．3 D．2
3．已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点且与它交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则|AB|等于()
A．7B．5C．8D．10
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()
A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
5．过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为()
A．45°B．60°C．90°D．120°
6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
能使这条抛物线的方程为y2＝10x的条件是________(要求填写适合条件的序号)．
7．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝23x上，另一个顶点在原点，则这个三角
形的边长是______．
8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________.
9．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
10．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .
(1)求证：点F 在直线BD 上； (2)设FA ·
FB ＝8
9，求直线l 的方程． 11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：
(1)x 1x 2为定值； (2)1|F A |＋1
|FB |
为定值．
参考答案
1. 解析：∵准线为x ＝－a
4＝－1，∴a ＝4，即y 2＝4x .
∴焦点坐标为(1,0)． 答案：A
2. 解析：由FA ＋FB ＋FC ＝0，知F 为△ABC 的重心，由抛物线方程知，F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， ∴x 1＋x 2＋x 3＝
3.
又|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋3
2p ＝3＋3＝6.
答案：A
3. 解析：焦点为F (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，所以|AB |＝|F A |＋|FB |＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝10.
答案：D
4. 解析：直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－3x ＋23，
x ＝－2，
得y ＝43，所
以点P 的坐标为(6，43)．
由抛物线的性质，得|PF |＝|P A |＝6＋2＝8. 答案：B
5. 解析：设抛物线的方程为y 2=2px(p ＞0)． 如图，∵|AF|=|AA 1|，|BF|=|BB 1|， ∴∠AA 1F=∠AFA 1， ∠BFB 1=∠FB 1B. 又AA 1∥O x ∥B 1B ，
∴∠A 1FO=∠FA 1A ，∠B 1FO=∠FB 1B. ∴∠A 1FB 1=1
2
∠AFB=90°. 答案：C
6. 解析：由抛物线的方程为y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上， ∴②适合．
又∵抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫
52，0，原点O (0,0)， 设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1， ∴⑤也适合．
而①显然不适合，通过计算可知③④不合题意． ∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤
7. 解析：有两个顶点关于x 轴对称，进而得到两边所在直线的倾斜角是π6和5π6.
可设三角形的边长为a ，x 轴上方的顶点为⎝
⎛⎭
⎫
x 0，
33x 0，代入抛物线方程，得x 0＝6 3. 由
3
2
a ＝63，得边长a ＝12. 答案：12
8. 解析：l ：x ＝－p 2
，过M (1,0)且斜率为3的直线为y ＝3(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－p 2
，y ＝3(x －1)，
解得⎩⎨
⎧
x ＝－p
2，
y ＝－3⎝⎛⎭
⎫p 2＋1，
∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－p
2，－3⎝⎛⎭⎫p 2＋1. 又∵AM ＝MB ， ∴M 点为AB 的中点，
∴B 点坐标为⎝
⎛⎭⎫p
2＋2，3⎝⎛⎭⎫p 2＋1. 将B ⎝⎛⎭⎫p
2＋2，3⎝⎛⎭⎫p 2＋1代入y 2＝2px (p ＞0)，得3⎝⎛⎭⎫p 2＋12＝2p ⎝⎛⎭⎫p 2＋2， 解得p ＝2或p ＝－6(舍去)． 答案：2
9. 解：如图，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0)，则经过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+
12
p.
设直线交抛物线于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由抛物线的定义，得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x 1+
2P +x 2+2
P ， ∴x 1+
2P +x 2+2
P
=8.① 又点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px 消去y ，得x 2
－3px ＋p 24＝0.
∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①，得p ＝2. ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .
当抛物线的方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线的方程为y 2＝－4x .
10. 解：设直线l 与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点D 的坐标为(x 1，－y 1)． 由题意，得l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)． (1)证明：将x ＝my －1代入y 2＝4x ， 并整理，得y 2－4my ＋4＝0. 从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.①
直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1
x 2－x 1·(x －x 2)，
即y －y 2＝4y 2－y 1·⎝⎛⎭⎫
x －y 224. 令y ＝0，得x ＝y 1y 2
4＝1.
所以点F (1,0)在直线BD 上．
(2)由①知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1. 因为FA ＝(x 1－1，y 1)，FB ＝(x 2－1，y 2)，
所以FA ·
FB ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2， 故8－4m 2＝89，解得m ＝±4
3
.
所以l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.
11. 证明：(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫
p 2，0，当直线的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －p
2(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，整理，得
k 2x 2
－p (k 2
＋2)x ＋k 2p 2
4
＝0.
由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 2
4
为定值．
当直线的斜率不存在，即AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 2
4也成立．
∴x 1x 2为定值p 2
4
.
(2)当直线的斜率存在时，由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p
2.
∴
1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1
x 2＋
p
2
＝
x 1＋x 2＋p
p 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p
24＝
x 1＋x 2＋p
p 2(x 1＋x 2)＋p 22
＝
x 1＋x 2＋p
p 2
(x 1＋x 2＋p )＝2
p 为定值．
当直线的斜率不存在，即AB ⊥x 轴时，|F A |＝|FB |＝p ，上式也成立． ∴1|F A |＋1|FB |为定值2p
.。