2016-2017学年江西省新余市高一(下)期末数学试卷与解析word(理科)

2016-2017学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）当输入x=﹣时，如图的程序运行的结果是（）A．﹣B．﹣ C．D．2．（5分）设角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么sinθ+2cosθ=（）A．B．C．D．3．（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．300 B．200 C．150 D．1004．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=05．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组抽出的号码为28，则第8组抽出的号码应是a；若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，那么a+b等于（）A．46 B．45 C．70 D．696．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则•的值为（）A．B．C．D．﹣9．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（）A．B．C．D．10．（5分）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D 三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是增函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（c osα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）12．（5分）已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知tanα=3，则=．14．（5分）已知扇形的周长是4cm，面积是1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．15．（5分）已知||=4，为单位向量，当、的夹角为时，+在﹣上的投影为．16．（5分）对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量、满足||=1，||=2，与的夹角为60°．（1）若（k﹣）⊥（+），求k的值；（2）若|k﹣|＜2，求k的取值范围．18．（12分）大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？参考公式：回归直线方程=b+a，其中b=．参考数据：=392，=502.5．19．（12分）设向量=（sinx，cosx），=（﹣1，1），=（1，1），其中x∈（0，π]．（1）若（+）∥，求实数x的值；（2）若•=，求函数sinx的值．20．（12分）设关于x的一元二次方程x2+ax﹣+1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．21．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，（x∈R）．（1）若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．22．（12分）已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．2016-2017学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）当输入x=﹣时，如图的程序运行的结果是（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：分析程序的功能是，输出函数y=，当x=﹣时，y=sin（﹣）=﹣．故选：B．2．（5分）设角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么sinθ+2cosθ=（）A．B．C．D．【解答】解：由于角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴sinθ==，cosθ==﹣，∴sinθ+2cosθ=﹣，故选：C．3．（5分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．300 B．200 C．150 D．100【解答】解：由频率分布直方图得支出在[50，60）元的同学所占频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3，支出在[50，60）元的同学有30人，∴n==100．故选：D．4．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选：A．5．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组抽出的号码为28，则第8组抽出的号码应是a；若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，那么a+b等于（）A．46 B．45 C．70 D．69【解答】解：若用系统抽样，则样本间隔为200÷40=5，出的号码为28，则28=5×5+3，则第一组抽出的号码为3，则第第8组抽出的号码应是a=5×7+3=38，若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，则50岁以上的人数为20%×40=8，则b=40﹣8=32，则a+b=38+32=70，故选：C．6．（5分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选：A．7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．故选：B．8．（5分）在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则•的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：如图，根据已知条件：=+=+=+（﹣）=（2+）；同理=（+2）；∴•=（22+5•+22）=（8﹣15+18）=．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：，∴ω=4，它的图象经过点，得，∴，∴，取k=0，得．∴点（ω，φ）的坐标是故选：B．10．（5分）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D 三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵，∴=2=2，∴点O是直线AE的中点．∵，B，O，D三点共线，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，=，∴DM=MC，∴AD=AM=AC，∴t=．故选：B．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是增函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）【解答】解：在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x﹣1），故f（x+2）=f（x），故函数f（x）的周期为2．∵f（﹣x）=f（x），f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，根据偶函数的对称性可知函数f（x）在[2，3]上是增函数，根据函数的周期可知，函数f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，＞α＞﹣β＞0，∴1≥sinα＞sin（﹣β）=cosβ≥0，∴f（sinα）＞f（cosβ），故选：C．12．（5分）已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，∵向量满足=1，，不妨取A（1，0），B（0，1）．∵M为AB的中点，∴M．∵=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ）．∵，∴=1，设，μ=+sinθ，θ∈[0，2π）．则λ+μ=1+sinθ+cosθ=1+，当=1时取等号．∴λ+μ的最大值是1+．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知tanα=3，则=．【解答】解：∵tanα=3，∴===．故答案为：．14．（5分）已知扇形的周长是4cm，面积是1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=4，S面积=lr=1所以解得：r=1，l=2所以扇形的圆心角的弧度数是α==2故答案为：2．15．（5分）已知||=4，为单位向量，当、的夹角为时，+在﹣上的投影为．【解答】解：（+）（﹣）=||2﹣||2=16﹣1=15，（﹣）2=||2+||2﹣2||•||•cos=16+1﹣2×4×1×（﹣）=21，∴|﹣|=，∴+在﹣上的投影为==，故答案为：16．（5分）对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x 1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）【解答】解：f（x）=的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）=2f（+2）=4f（+4）=6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则=，则x1+x2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量、满足||=1，||=2，与的夹角为60°．（1）若（k﹣）⊥（+），求k的值；（2）若|k﹣|＜2，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵（k﹣）⊥（+），∴（k﹣）•（+）=0，…（2分）∴+（k﹣1）﹣=0，||=1，||=2，＜＞=60°，∴2k﹣5=0，∴k=．…（5分）（2）|k﹣|===＜2，∴k2﹣2k＜0，∴0＜k＜2．…（10分）18．（12分）大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？参考公式：回归直线方程=b+a，其中b=．参考数据：=392，=502.5．【解答】解：（1）因为=×（9+9.5+10+10.5+11）=10，=×（11+10+8+6+5）=8，所以回归系数b===﹣3.2，则a=﹣b=8﹣（﹣3.2）×10=40，于是y关于x的回归直线方程为=﹣3.2+40；…（6分）（2）令销售利润为W，则：W=（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）=﹣3.2x2+48x﹣100，其中（2.5＜x＜12.5）；…（9分）（x没范围扣1分）当x=7.5时，W取得最大值为80；所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．…（12分）19．（12分）设向量=（sinx，cosx），=（﹣1，1），=（1，1），其中x∈（0，π]．（1）若（+）∥，求实数x的值；（2）若•=，求函数sinx的值．【解答】解：（1）向量=（sinx，cosx），=（﹣1，1），∴+=（sinx﹣1，cosx+1）；又=（1，1），且（+）∥，∴（sinx﹣1）﹣（cosx+1）=0，化简得sinx﹣cosx=2，即2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）=2，∴sin（x﹣）=1；又x∈[0，π]，∴x﹣∈[﹣，]，∴x﹣=，∴x=；（2）•=﹣sinx+cosx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）=，∴cos（x+）=；又x∈[0，π]，则x+∈[，]，∴x+∈[，]，∴sin（x+）==；∴sinx=sin（x+﹣）=sin（x+﹣）=sin（x+）cos﹣cos（x+）sin=×﹣×=．20．（12分）设关于x的一元二次方程x2+ax﹣+1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【解答】解：（1）由题意，知基本事件共有9个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值．由方程的，可得，a2+b2≥4，所以方程有实根包含7个基本事件，即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．所以，此时方程有实根的概率为．（2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2，∴构成“方程有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）∴此时所求概率为．21．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，（x∈R）．（1）若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a，求a的取值范围；（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），若对任意x∈[﹣，]，都有f（x）≥a，则只需f（x）min≥a即可．∵2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）min=﹣，故a≤﹣．（2）若先将y=f（x）的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=sin（x﹣）的图象；然后再向左平移个单位得到函数y=g（x）=sinx的图象．令g（x）﹣=0，求得sinx=，求函数y=g（x）﹣在区间[﹣2π，4π]内的所有零点之和．由图可知，sinx=在区间[﹣2π，4π]内有6个零点：x1，x2，x3，x4，x5，x6，根据对称性有=﹣，=，=，从而所有零点和为：x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π．22．（12分）已知=（sinx，cosx），=（sinx，k），=（﹣2cosx，sinx﹣k）．（1）当x∈[0，]时，求|+|的取值范围；（2）若g（x）=（+）•，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣．【解答】解：（1）=（sinx﹣2cosx，sinx），||2=（sinx﹣2cosx，sinx）2=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x=2cos2x﹣4sinxcosx+2=cos2x﹣2sin2x+3=cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又∵x∈[0，]，∴，∴在上单调递减，∴|cos（2x+φ）|2∈[1，4]，∴|+|∈[1，2]．（2）=（2sinx，cosx+k），g（x）=（）=﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），则t∈[﹣，]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx，所以．所以g（x）可化为，对称轴．①当，即时，，由，得，所以．因为，所以此时无解．②当，即时，．由﹣﹣=﹣，得k=0∈[﹣3，3]．③当﹣，即k＜﹣3时，g（x）min=h（）=﹣k2+k+，由﹣k2+k+=﹣，得k2﹣k﹣3=0，所以k=．因为k，所以此时无解．综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为﹣．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。