九年级数学总复习训练(五)
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(五)
备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（五）1．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是，此时BD和CE的数量关系是；（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC ＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．2．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别是边AB、BC所在直线上的动点，若点D、E以相同的速度，同时从点A、点B出发，分别延AB、BC方向运动，直线AE、CD交于点O．（1）如图1，求证：△ABE≌△CAD；（2）在点D、点E运动过程中，∠COE＝°；（3）如图2，点P为边AC中点，连接BO，PO，当点D、E分别在线段AB、BC上运动时，判断BO与PO的数量关系，并证明你的结论．3．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．4．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝40°，则∠ACE＝，∠DCE＝，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．5．在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”．简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）证明：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB射线AC于点Q．设点P 的运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CQ的长为（用含t的代数式表示）（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．7．已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D（点D与点C不重合）．（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．8．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．9．思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．10．如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（﹣，0），点M（m，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．（1）当M点在B点的左方时，连接CN，求证：△BAM≌△CAN；（2）如图2，当M点在边BC上时，过点N作ND∥AC交x轴于点D，连接MN，若S＝S△MND，试求D点的坐标；四边形ACDN（3）如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线y＝﹣2x2+4x+3上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，故答案为：△AEC，BD＝CE；（2）BD＝CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE＝∠BAC＝90°，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，因为∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，即∠DBC+∠ECB＝90°，所以∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，所以BD⊥CE，综上所述：BD＝CE且BD⊥CE；（3）如图3所示，BE＝CD，∠PBC+∠PCB＝60°；因为△ABD和△ACE是等边三角形，所以AD＝AB，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°，所以∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，所以∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，所以△ACD≌△AEB（SAS），所以CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，所以∠BPD＝180°﹣∠PBD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABD﹣（∠ABE+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣（∠ADC+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝60°，所以∠PBC+∠PCB＝∠BPD＝60°．2．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠ABE＝∠CAD＝60°，∵点D、E以相同的速度，同时从点A、点B出发，分别延AB、BC方向运动，∴BE＝AD，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵△ABE≌△CAD，∴∠BAE＝∠ACD，∵∠COE是△ACO的外角，∴∠COE＝∠ACD+∠EAC＝∠BAE+∠EAC＝∠BAC＝60°，故答案为60；（3）解：BO与PO的数量关系为BO＝2PO，理由如下：延长OP到F，使PF＝OP，连接CF，以OC为边作等边△COG，连接BG，如图2所示：∵∠COE＝60°，∴O、E、G三点共线，∵点P为边AC中点，∴AP＝CP，在△APO和△CPF中，，∴△APO≌△CPF（SAS），∴AO＝CF，∠AOP＝∠F，∴CF∥AO，∴∠FCO＝∠COE＝60°，∵△COG是等边三角形，∴CO＝OG＝CG，∠COG＝∠GCO＝∠CGO＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∵∠ACB＝∠OCG＝60°，∴∠ACO＝∠BCG，在△ACO和△BCG中，，∴△ACO≌△BCG（SAS），∴∠BGC＝∠AOC＝120°，AO＝BG，∴CF＝BG，∠BGO＝∠BGC﹣∠CGO＝120°﹣60°＝60°，∴∠FCO＝∠BGO，在△FCO和△BGO中，，∴△FCO≌△BGO（SAS），∴BO＝OF，∵PF＝OP，∴BO＝2PO．3．（1）解：补全图形，如图1所示：（2）①解：如图2，连接BD，P为BD与AE的交点．点P即为所求；②证明：连接DE，DF．如图3所示：∵△ABC，△ADC是等边三角形，∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°．∵AE⊥CD，∴∠CAE＝∠CAD＝30°．∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°．∴∠CAE＝∠CEA．∴CA＝CE．∴CD垂直平分AE．∴DA＝DE．∴∠DAE＝∠DEA，∵EF⊥AF，∠EAF＝45°，∴∠FEA＝45°．∴∠FEA＝∠EAF．∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED，在△FAD和△FED中，，∴△FAD≌△FED（SAS）．∴∠AFD＝∠EFD．∴点D到AF，EF的距离相等．4．解：（1）如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，BD＝CE，∴BC+DC＝CE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝40°，∴∠DCE＝40°，故答案为：70°；40°；BC+DC＝CE；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β＝180°，如图2所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β，如图3所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α＝β；综上所述，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°；（3）∠ACB＝60°，理由如下：∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α＝β，即∠BAC＝∠DCE，∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°；∵当D在线段BC上时，α+β＝180°，即∠BAC+∠DCE＝180°，∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE＝180°，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，综上所述，当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．5．（1）①证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠BAD＝∠CAD．②解：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＞AC，∴∠C＞∠B（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD＞∠CAD．故答案为：∠C＞∠B，＞；（2）①证明：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图1所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，∵AB＝AC，∴EC＝AC，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD＝∠CAD；②解：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图3所示：同①得：△ABD≌△ECD（SAS），∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，∵AB＞AC，∴EC＞AC，∴∠CAD＞∠E，∴∠BAD＜∠CAD，故答案为：＜．6．解：（1）在Rt△ABC中，tan A＝＝＝，由题意得，AP＝3t，在Rt△APQ中，tan A＝＝，∴PQ＝AP＝4t，根据勾股定理得，AQ＝＝＝5t．当0＜t≤时，如图1所示：CQ＝AC﹣AQ＝6﹣5t；当＜t≤时，如图2所示：CQ＝AQ﹣AC＝5t﹣6；故答案为：6﹣5t或5t﹣6；（2）∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，即＝，解得：t＝，即当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，t为秒．（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1所示：△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积＝×3t×4t＝6t2；即S＝6t2（0＜t≤）；②当＜t≤时，如图2所示：由（1）得：PQ＝3t，PQ＝4t，AQ＝5t，同（2）得：△CDQ∽△PAQ，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝（5t﹣6），∴△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积﹣△CDQ的面积＝×3t ×4t﹣×（5t﹣6）×（5t﹣6）＝﹣t2+t﹣；即S＝﹣t2+t﹣（＜t≤）；（4）由（1）知，AQ＝5t，PQ＝4t，CQ＝6﹣5t或CQ＝5t﹣6，当CQ＝PQ时，四边形BCQP是轴对称图形，则4t＝6﹣5t，∴t＝；当＜t≤时，设PQ和BC相交于D，当AC＝AP时，四边形ACDP是轴对称图形，则6＝3t，∴t＝2．综上所述，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为秒或2秒．7．解：（1）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝30°，∴∠ACB'＝120°，∵∠ACB＝40°，∴∠BCB'＝80°，∴∠BCD＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝70°；（2）若点D在点C下方时，∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝＝70°﹣∠BCD，∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝70°，若点D在点C上方时，同理可求∠2＝110°；（3）如图2，在BD上截取DH＝CD，连接CH，∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝＝60°﹣∠BCD，∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝60°，又∵CD＝DH，∴△CDH是等边三角形，∴CH＝CD，∵∠BCA＝∠HCD＝60°，∴∠BCH＝∠ACD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（SAS），∴AD＝BH，∴BD＝BH+DH＝AD+CD．8．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∵∠DBA＝∠CAB，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．9．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，延长CP，交AD延长线于点H，则AH∥BC，∴△BCP∽△DHP，∴＝＝，∵P是BD的中点，∴PD＝PB，∴DH＝BC＝4，PH＝PC，∵AD＝AE＝2，∴AH＝DH+AD＝6，∴CH＝＝＝2，∴PC＝CH＝．10．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，∴AM＝AN，∠MAN＝60°＝∠BAC，即∠CAN+∠BAN＝∠MAB+∠BAN，∴∠CAN＝∠MAB，∴△BAM≌△CAN（SAS）；（2）如图1，连接CN，由（1）可知△BAM≌△CAN，∴∠B＝∠ACN＝60°，∵DN∥AC，∴∠NDC＝∠ACB＝60°，∴∠NCD＝60°，∴△CDN是等边三角形，∴CN＝DN，∠CND＝60°，∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AN＝MN，∠ANM＝60°，∴∠ANC＝∠MND，∴△ANC≌△MND（SAS），∴S△ACN＝S△MND，∵S四边形ACDN＝S△MND＝S△ACN+S△CDN，∴，∴CD＝AB，∵A（0，3），B（﹣，0），∴OA＝3，OB＝，∴AB＝＝2，∴CD＝，∴OD＝OC+CD＝＝，∴D（，0）；（3）如图2，过点C作CE∥AB交y轴于点E，由（1），（2）可知点N在直线CE 上，CE与抛物线交于点N1，N2，∴∠ABC＝∠OCE＝60°，OC＝OB＝，∴OE＝3，∴E（0，﹣3），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为y＝x﹣3，∴，解得：，，∴N1（2，3），N2（﹣，﹣），若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN1时，M（m，0），∴AM＝AN1＝2，∵AB＝2，AN1∥x轴，∴点M与点C重合，即m＝，若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN2时，M（m，0），∵C（0，），∴CN 2＝＝3，由（1）可知BM 2＝CN2＝3，∴OM2＝OB+BM2＝＝4，∴m＝﹣4．综合以上可得，m＝或﹣4．。
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定(五)
备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定（五）1．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．2．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．3．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，点E为CD的中点，过C 作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）四边形BDCF是怎样的特殊四边形？请加以证明．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC边上的任意一点（除B、C外），以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．求证：EF＝CD．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；（2）求tan∠ACD的值．7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE＝AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．8．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的点，连接BE并作BE⊥EF，交边CD于点F，过点F作FG⊥AC交对角线AC于点G．（1）请在图中找出与BE长度相等的边并加以证明：（2）求的值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，交AC于E．交CD于F．点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．（1）求证：CE＝BF；（2）判断△ECG的形状，并证明你的结论．°．参考答案1．证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．2．（1）证明：连接DB、DC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵DG垂直平分BC，∴DB＝DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AF＝AE＝6，由（1）得：BE＝CF，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，＝AE+EB+AF﹣CF+BC，＝AE+AF+BC＝20，∴BC＝20﹣12＝8．3．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．4．证明：（1）∵CF∥AB，∴∠CF A＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：四边形BDCF是菱形．证明如下：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD，∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD，∴四边形BDCF是菱形．5．证明：∵△AED是等边三角形，△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝ED，AB＝CA＝BC，∠ADE＝60°，∠B＝∠F AC＝60°，∵ED∥FC，∴∠EDB＝∠FCB，∵∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB，∠AFC＝∠B+∠FCB＝60°+∠FCB，∴∠BDA＝∠AFC，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝FC，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD．6．证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴BD＝2BO，∵CF＝2BO，∴CF＝BD，∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF，∴△BDE≌△CFE（AAS），∴BE＝CE，又∵BE⊥CD，∴△BEC是等腰直角三角形；（2）如图，连接DF，∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF＝EF，∴BE＝BF+EF＝（+1）EF，∴CE＝（+1）EF，∴tan∠ACD＝＝﹣1．7．解：（1）由折叠可得AB＝AB′，BE＝B′E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC＝DF，∠B′CE＝45°，∴B′E＝B′F，∴AF＝AB′+B′F，即DF+BE＝AF；（2）图（2）的结论：DF+BE＝AF；图（3）的结论：BE﹣DF＝AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE+DF＝AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM＝DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∵∠BAM＝∠F AD，AF＝AM∵△ABE≌AB′E∴∠BAE＝∠EAB′，∴∠MAE＝∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM＝∠DAB，∴∠MAE＝∠AEM，∴ME＝MA＝AF，∴BE﹣DF＝AF．8．解：（1）BE＝EF，证明如下：如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠MEB+∠NEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BME＝∠BAD＝∠ENF＝∠D＝90°，∴∠MEB+∠MBE＝90°，∴∠NEF＝∠MBE，Rt△ENC中，∠ECN＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN，∵∠BME＝∠ENC＝∠ABC＝90°，∴四边形MBCN是矩形，∴BM＝CN，∴BM＝EN，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF；（2）如图2，设正方形ABCD的中心为点O，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EGF＝90°，∴∠OBE+∠BEO＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠GEF＝90°，∴∠OBE＝∠GEF，由（1）得：BE＝EF，∴△OBE≌△GEF（AAS），∴OB＝EG，∵∠BAO＝45°，∴，∴．9．（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD＝AE，AD＝CE．∵DE＝3，CE＝2∴AE＝AD+DE＝CE+DE＝5．∴BD＝AE＝5．10．证明：（1）∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE＝AE，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠DBF＝90°∴∠ACD＝∠DBF，在△ADC和△FDB中，∠ACD＝∠DFB，CD＝BD，∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；∴AC＝BF，又∵CE＝AE，∴CE＝BF；（2）△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点，∴GH垂直平分BC，∴GC＝GB，∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG为等腰直角三角形；。
2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题(五)
2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（一）1．如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC，BD的交点，连接CE，DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，且∠OMD＝75°，求CE的长；（3）在（2）的条件下，把正方形OEFG绕点O旋转，直接写出点B到点F的最短距离．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．3．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．4．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，sin B＝，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向终点A运动，过点P作PD⊥AB，交射线BC于点D，E为PD中点，以DE为边作正方形DEFG，使点A、F在PD的同侧，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求点A到边BC的距离．（2）当点G在边AC上时，求t的值．（3）设正方形DEFG与△ABC的重叠部分图形的面积为S，当点D在边BC上时，求S 与t之间的函数关系式．（4）连结EG，当△DEG一边上的中点在线段AC上时，直接写出t的值．5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为．6．【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．7．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．8．如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC 上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G 处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM．（1）求证：PM＝PN；（2）当P，A重合时，求MN的值；（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．9．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．10．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（二）11．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．12．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．13．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C 重合，点E在对角线AC上．【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为；【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为．14．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE＝NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．16．【探索规律】如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝；（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2；【解决问题】（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF∥EG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．17．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．（1）求证：GD＝EG．（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．18．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE．（1）发现问题：如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系；（2）探究问题．如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想；（3）解决问题：如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC＝30°，AB＝3，请直接写出AF的长度19．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．（1）判断：①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是；②命题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则四边形ABCD是神奇四边形．此命题是（填“真”或“假”）命题；③神奇四边形的中点四边形是；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是神奇四边形；②若AC＝2，AB＝，求GE的长；（3）如图3，四边形ABCD是神奇四边形，若AB＝6，CD＝，AD、BC分别是方程x2﹣（k+4）x+4k＝0的两根，求k的值．20．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（三）21．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．（1）求证：AE＝CE；（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．22．已知线段AB，过点A的射线l⊥AB．在射线l上截取线段AC＝AB，连接BC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，B的对应点为D，N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB中点时，①据题意在图中补全图形；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM．若AB＝4，从下列3个条件中选择1个：①BP＝1，②PN＝1，③BN＝，当条件（填入序号）满足时，一定有EM＝EA，并证明这个结论．23．在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，当AD＝25，且AE＜DE时，求的值；（3）如图3，当BE•EF＝108时，求BP的值．24．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直线上，点E在AD 上，连接DG，BE．（1）证明：BE＝DG；（2）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示，判断BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，判断BE与DG的数量关系和位置关系是否与（2）的结论相同，并说明理由．25．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．26．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．27．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．28．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．29．如图1，在正方形ABCD中，AD＝9，点P是对角线BD上任意一点（不与B、D重合），点O是BD的中点，连接PC，过点P作PE⊥PC交直线AB于点E．初步感知：当点P与点O重合时，比较：PC PE（选填“＞”、“＜”或“＝”）．再次感知：如图1，当点P在线段OD上时，如何判断PC和PE数量关系呢？甲同学通过过点P分别向AB和BC作垂线，构造全等三角形，证明出PC＝PE；乙同学通过连接PA，证明出PA＝PC，∠PAE＝∠PEA，从而证明出PC＝PE．理想感悟：如图2，当点P落在线段OB上时，判断PC和PE的数量关系，并说明理由．拓展应用：连接AP，并延长AP交直线CD于点F．（1）当＝时，如图3，直接写出△APE的面积为；（2）直接写出△APE面积S的取值范围．30．问题提出（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB＝60°（只作出满足条件一个图形即可）；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，对角线BD＝10，求四边形ABCD的面积．问题解决（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA＝100米，∠BOC＝120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN＝90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（四）31．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．32．平面直角坐标系中一点（m，n）是二元一次方程Ax+By＝C的解是指：将代入可得Am+Bn＝C成立，如（2，3）是二元一次方程2x+y＝7的解是指：代入可得2×2+3＝7成立：（1）已知D（0，1），P（2，3），H（3，1），则点（填“D，P，H”）是方程x﹣2y＝1的解；（2）已知关于x，y的方程组的解为坐标的点也是方程x+2y＝4的解，求m的值；（3）若E、F为坐标系中两点，其中E点坐标是二元一次方程5x﹣y＝4的解，F点坐标是二元一次方程x﹣y＝4的解，且线段EF由线段AB平移得到，其中A（﹣4，0），B （0，﹣2）（A、B分别对应E、F），求四边形ABFE的面积．33．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2+PB2＝PC2，则称点P为△ABC关于点C的勾股点．（1）如图2，在4×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，请找出所有的格点P，使点P为△ABC关于点A的勾股点．（2）如图3，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP 为直角边作等腰直角三角形APD（点A、P、D顺时针排列）∠PAD＝90°，连接DC，DB，求证：点P为△BDC关于点D的勾股点．（3）如图4，点E是矩形ABCD外一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若AD＝8，CE＝5，AD＝DE，求AE的长．34．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明：四边形CEGF是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．35．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q．（1）求证：E是PQ的中点；（2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB＝PQ时．①求证：四边形AFEP是平行四边形；②求AP的长．36．如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA＝OB＝OC＝OD＝2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．（1）求证：OC∥AD；（2）如图2，若DE＝DF，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．37．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB 的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．38．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC；（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝．（直接写出结果）39．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．（1）若点F是边CD的中点，求EG的长．（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值．（3）当直角∠GEF绕顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC所在的直线交于点F、G．在图2中画出图形，并判断∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接写出tan∠EFG的值．（4）如图3，连接CE交FG于点H，若＝，请求出CF的长．40．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合题（五）41．【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．42．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．43．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．44．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC．已知，OA＝8，tan∠OAC＝，点D在BC上，且CD＝3BD，点P 为线段AB上一动点（可与A、B重合），连接DP．（1）求OC的长及点D的坐标；（2）当DP∥AC时，求AP的长；（3）如图2，将△DBP沿直线DP翻折，得△DEP，连接AE、CE，问四边形AOCE的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；（4）以线段DP为边，在DP所在直线的右上方作等边△DPF，当点P从点B运动到点A时，点F也随之运动，请直接写出点F的运动路径长．45．如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．46．如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，BE：AE＝n，连结DE、BD，过点A作AG⊥DE，垂足为点F，与BC、BD分别交于点G、H，连结EH．（1）①求证：AE＝BG；②求证：DH：BH＝n+1；（2）如图2，当EH∥AD时，求n的值．47．[阅读理解]构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段DF的中点．[经验运用]请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE＝2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点E在BA的延长线上，点F在线段BC上，DF交AC于点H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它条件不变，请直接写出GH的长．48．已知如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF“，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．49．（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE 于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①判断DQ与AE的数量关系：DQ AE；②推断：的值为；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE 交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．50．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E是边AD的中点．连结EC，P、Q分别是射线AD、EC上的动点，且EQ＝AP．连结BP，PQ．过点B，Q分别作PQ，BP的平行线交于点F．（1）当点P在线段AE上（不包含端点）时，①求证：四边形BFQP是正方形．②若BC将四边形BFQP的面积分为1：3两部分，求AP的长．（2）如图2，连结PF，若点C在对角线PF上，求△BFC的面积（直接写出答案）．参考答案1．解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线为AC、BD，∴DO＝OC，∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°，∵∠GOE＝90°，∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°，∴∠GOD＝∠COE，∵GO＝OE，∴在△DOG和△COE中，DO＝CO，∠GOD＝∠COE，GD＝OE，∴△DOG≌△COE（SAS）；（2）∵四边形ABCD为正方形，故∠ODM＝45°，故OD＝，∵∠OMD＝75°，∴∠DOG＝60°，∵DG⊥BD，故∠ODG＝90°，∴∠OGD＝30°，∴OG＝2OD＝2，∴DG＝＝＝，∵△DOG≌△COE（SAS），∴CE＝DG＝；（3）正方形OEFG绕点O旋转，当点O、B、F共线且点B在OF之间时，点B到点F 的距离最短，由（2）知，在正方形OEFG中，OG＝2，则OF＝OG＝4，而OB＝OD＝，故OF﹣OB＝4﹣．故B到点F的最短距离为4﹣．2．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠AOC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．3．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．4．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝15，∴sin B＝＝，∴AH＝AB＝×15＝12．（2）如图2，在Rt△BDP中，∠BPD＝90°，BP＝3t，∴sin B＝＝，∴cos B＝＝，∴BD＝5t，PD＝4t，∴DE＝DG＝2t，CD＝15﹣5t．∴15﹣5t＝2t，∴t＝．（3）①当0＜t≤时，重叠部分为正方形DEFG，∴S＝（2t）2＝4t2；②当＜t≤时，如图3，重叠部分为五边形DEFMN，∴S＝S正方形DEFG﹣S△MGN＝4t2﹣[2t﹣（15﹣5t）]2＝﹣45t2+210t﹣225；③当＜t≤3时，如图4，重叠部分为梯形DEMN，∴S＝×2t（15﹣4t+15﹣5t）＝﹣9t2+30t．（4）①当DG的中点O在线段AC上时，如图5，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵DG∥AB，∴∠COD＝∠A∴∠C＝∠COD，∴DC＝DO，∴15﹣5t＝t，解得t＝；②当EG的中点O在线段AC上时，如图6，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t+t，解得t＝；③当DE的中点O在线段AC上时，如图7，此时NC＝NO，∴15﹣×5t＝t，解得t＝．5．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8；故答案为：8．6．（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．7．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CPM＝＝＝．8．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝＝，∴MN＝2QN＝2．（3）解：当MN过点D时，如图3所示，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，∴4≤S≤5，9．（1）【发现证明】证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN＝AF，∠NAF＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠NAE＝45°，∴∠NAE＝∠FAE，∵AE＝AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF＝EN，∴BE＝BN+NE＝DF+EF．即BE＝EF+DF．故答案为：BE＝EF+DF．（3）【联想拓展】解：由（1）可知AE＝AG＝3，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC＝BC＝AD＝6，∴＝＝3．∴BE＝DG＝3，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，设DF＝x，则EF＝FG＝x+3，CF＝6﹣x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2＝EF2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得：x＝2．∴DF＝2，∴AF＝＝＝2．10．解：（1）如图1，∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案为：等腰直角三角形，．（2）①两结论仍然成立．证明：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②＝3或1．如图3，若CD为平行四边形的对角线，点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，。
2021年九年级中考数学一轮复习精练+热考题型：几何变换综合题(五)
2021年中考数学一轮复习精练+热考题型：几何变换综合题（五）1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝8，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC 的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，AB＝8，求BE的长．2．将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；（3）当∠BPA'＝30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．3．如图，已知正方形ABCD、AEFG边长分别为cm、2cm，将正方形ABCD绕点A旋转，连接BG、DE相交于点H．（1）判断线段BG、DE的数量关系与位置关系，并说明理由．（2）连接FH，在正方形ABCD绕点A旋转过程中，①线段DH的最大值是；②求点H经过路线的长度．4．如图1，已知线段AB的两个端点坐标分别为A（a，1），B（﹣2，b），且满足+＝0．（1）则a＝，b＝；（2）在y轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于8？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，将线段BA平移得到线段OD，其中B点对应O点，A点对应D点，点P （m，n）是线段OD上任意一点，求证：3n﹣2m＝0．5．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，点P为AD边上的一点，沿直线BP将△ABP翻折至△EBP（点A落在点E处）．（1）如图1，当点E落在CD边上，则△EBC的面积S△BEC＝；（2）如图2，PE、CD相交于点M，且MD＝ME，求折痕BP的长；（3）如图3，当点P为AD的中点时，连接DE，则图中与∠APB相等的角的个数为．6．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），等边△AOB经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OCD．（1）填空：①△AOB沿x轴向右平移得到△OCD，则平移的距离是个单位长度；②△AOB与△OCD关于某直线对称，则对称轴是；③△AOB绕原点O顺时针旋转得到△OCD，则旋转角度可以是度；（2）连接AD，请探索AD与CD的位置关系．7．如图，矩形ABCD中，P为AD上一点．将△ABP沿BP翻折至△EBP，点A与点E重合：（1）如图1，AB＝10，BC＝6，点E落在CD边上，求AP的长；（2）如图2，若AB＝8，BC＝6，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，求AP的长；（3）如图3，若AB＝4．BC＝6，点P是AD的中点，求DE的长．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．9．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°．（1）如图1，若AB＝5，求BC的长；（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．①如图2，当点E在AC边上时，求证：CE＝2BD；②如图3，当点E在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．10．已知等边三角形△ABC，点D和点B关于直线AC轴对称．点M（不同于点A和点C）在射线CA上，线段DM的垂直平分线交直线BC于点N（1）如图1，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．CE＝5，求BC的长；（2）如图2，若点M在线段AC上，求证：△DMN为等边三角形；（3）连接CD，BM，若＝3，直接写出＝参考答案1．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝4，∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴BE＝BD×cos∠B＝4×cos60°＝4×＝2；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD，∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND，∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B＝∠ACD＝60°．同（2）可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+CF＝CN+DM+CF＝NF+DM＝2DM＝2BD×sin60°＝BC＝AB，∴（2）中的结论不成立；∵AB＝8，∴BD＝4，∵BE+CF＝BE+NF﹣CN＝BE+DM﹣BM＝BE+BD﹣BD＝AB，∴BE＝2+2．2．解：（1）∵点，点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，由折叠的性质得：OA'＝OA＝，∵A'B⊥OB，∴∠A'BO＝90°，在Rt△A'OB中，A'B＝＝，∴点A'的坐标为（，1）；（2）在Rt△ABO中，OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2，∵P是AB的中点，∴AP＝BP＝1，OP＝AB＝1，∴OB＝OP＝BP∴△BOP是等边三角形，∴∠BOP＝∠BPO＝60°，∴∠OPA＝180°﹣∠BPO＝120°，由折叠的性质得：∠OPA'＝∠OPA＝120°，PA'＝PA＝1，∴∠BOP+∠OPA'＝180°，∴OB∥PA'，又∵OB＝PA'＝1，∴四边形OPA'B是平行四边形，∴A'B＝OP＝1；（3）设P（x，y），分两种情况：①∵∠BPA'＝30°，∴∠APA'＝150°，连接AA′，延长OP交AA′于E，如图③所示：则∠APE＝75°，∴∠OPB＝75°，∵OA＝，OB＝1，∴AB＝＝＝2，∴∠BAO＝30°，∠OBA＝60°，∵∠BPA'＝30°，∴∠BA′P＝30°，∠OPA′＝105°，∴∠A′OP＝180°﹣30°﹣105°＝45°，∴点A'在y轴上，∴∠A'OP＝∠AOP＝∠AOB＝45°，∴点P在∠AOB的平分线上，设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点，点B（0，1）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵P（x，y），∴x＝﹣x+1，解得：x＝，∴P（，）；②如图④所示：由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝30°，OA'＝OA，∵∠BPA'＝30°，∴∠A'＝∠A＝∠BPA'，∴OA'∥AP，PA'∥OA，∴四边形OAPA'是菱形，∴PA＝OA＝，作PM⊥OA于M，如图④所示：∵∠A＝30°，∴PM＝PA＝，把y＝代入y＝﹣x+1得：＝﹣x+1，解得：x＝，∴P（，）；综上所述：当∠BPA'＝30°时，点P的坐标为（，）或（，）．3．解：DE＝BG，DE⊥BG，理由：如图，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，∴∠DAE＝∠BAG，在△ADE和△ABG中，，∴△ADE≌△ABG，∴DE＝BG，∠AED＝∠AGB，∵∠AGB+∠AMG＝90°，∴∠AED+∠AMG＝90°，∵∠AMG＝∠EMH，∴∠AED+∠EMH＝90°，∴∠EHG＝90°，∴DE⊥BG；即：DE＝BG，DE⊥BG；（2）①由（1）知，∠EHG＝90°＝∠C，∴点H是正方形ABCD的外接圆上，∴DH是正方形ABCD的外接圆的弦，∴DH最大就是正方形ABCD的外接圆的直径BD＝2cm；故答案为2cm；②如图2，作出正方形AEFG的外接圆，连接OC'，OC，FC，FC'，由（1）知，∠EHG＝90°＝∠EFG，∴点H在正方形AEFG的外接圆⊙O上，点H的运动轨迹是如图2所示的这段弧，（即：点D，B，E在同一条线上时，和点G，D'，B'在同一条线上时，）∴当∠AGH越大，越长，即：GH⊥AB时，∠AGH最大，∵正方形AEFG的边长是2，∴OA＝OB＝，∵AB＝，∴OA＝OB＝AB，∴∠AOB＝60°，同理：∠AOD'＝60°，∴∠BOD'＝∠AOB+∠AOD'＝120°∴点H经过路线的长度为•2π•＝π（cm）．4．解：（1）∵+＝0．∴a+5＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣5，b＝3，故答案：﹣5，3；（2）存在，理由：如图1，延长AB交y轴于E，设C（0，c），∵a＝﹣5，b＝3，∴A（﹣5，1），B（﹣2，3），∴AB的解析式为y＝x+（﹣5≤x≤﹣2），∴E（0，），∴CE＝|c﹣|，∵S△ABC＝8，∴S△ABC＝S△ACE﹣S△BCE＝CE•|x A|﹣CE•|x B|＝CE•（|x A|﹣|x B|）＝×|c﹣|×（5﹣2）＝8，∴|c﹣|＝，∴c＝或c＝﹣，∴C（0，）或（0，﹣1）；（3）∵将线段BA平移得到线段OD，∴OD的解析式为y＝x（﹣3≤x≤0），∵点P（m，n）在线段OD上，∴n＝m，∴3n﹣2m＝0．5．解：（1）由折叠知，BE＝AB＝10，在Rt△BCE中，BC＝8，根据勾股定理得，CE＝6，∴S△BCE＝CE•BC＝24，故答案为24，（2）如图2，当MD＝ME时，设BE交DC与点Q，在△DPM和△EQM中，，∴△DPM≌△EQM∴DP＝EQ DQ＝EP，设AP＝x，则DP＝8﹣x＝EQ DQ＝EP＝AP＝x ∴CQ＝10﹣x BQ＝2+x，在Rt△CBQ中，由勾股定理得：64+（10﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝，即AP＝，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝，（3）由折叠知，∠BPE＝∠APB，AP＝PE，∵点P是AD中点，∴AP＝DP，∴PD＝PE，∴∠PDE＝∠PED，∵2∠PDE+∠DPE＝180°，2∠APB+∠DPE＝180°，∴∠PDE＝∠APB，∴∠PDE＝∠PED＝∠BPE＝∠APB，∵∠APB+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠APB＝∠PBC故答案为4．6．解：（1）△AOB沿x轴向右平移得到△OCD，根据AO＝2可知，平移的距离是2个单位长度；△AOB与△COD关于直线对称，根据线段AC被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴；△AOB绕原点O顺时针旋转得到△DOC，根据∠BOC＝180°﹣∠AOB＝120°可知，旋转角度可以是120°；故答案为：2；y轴；120（2）由AO＝DO，∠COD＝60°可得，∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠ADC＝30°+60°＝90°，∴AD⊥CD．7．解：（1）如图1，由折叠可得，AP＝EP，AB＝EB＝10，Rt△BCE中，由勾股定理可得，CE＝8，∴DE＝CD﹣CE＝2，设AP＝EP＝x，则PD＝6﹣x，∵Rt△DEP中，DE2+DP2＝PE2，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AP的长为；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8；（3）解法一：如图3，取DE的中点F，连接PF，则当点P是AD的中点时，DP＝AP＝EP＝3，∴PF⊥DE，∴∠PFE＝∠BEP＝90°，由折叠可得，∠BPE＝∠APE＝∠PEF，BE＝AB＝4，∴△PEF∽△BPE，∴，即，∴PF＝EF，又∵EF2+PF2＝PE2，∴EF2+（EF）2＝32，解得EF＝，∴DE＝；解法二：如图3，过E作GF∥AB，交AD于G，交BC于F，则∠PGE＝∠EFB＝90°，GF＝AB＝4，设GE＝x，则EF＝4﹣x，由折叠可得，∠BEP＝∠A＝90°，AB＝BE＝4，PE＝AP＝AD＝3，∴∠PEG＝∠EBF，∴△PEG∽△EBF，∴＝，即＝，∴PG＝（4﹣x），∵Rt△EGP中，GE2+PG2＝PE2，∴x2+[（4﹣x）]2＝32，解得x1＝0（舍去），x2＝，∴GE＝，GD＝DP﹣PG＝3﹣（4﹣）＝，∴Rt△DEG中，DE＝＝＝，∴DE的长为．8．解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD＝AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN＝AB，∴CD＝MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN＝EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得CD＝MN，EM＝DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF＝∠CDB＝90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN＝∠MND，∠BDN＝∠MND．∴∠FMN＝∠BDN．∴∠EMF+∠FMN＝∠CDB+∠BCN．∴∠EMN＝∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∵∠1+∠3+∠EMN＝180°，∴∠2+∠3+∠FMN＝90°．∴∠2+∠3+∠DNM＝90°，即∠CNE＝90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵CD为AB边上的中线．∴CD＝AB＝，∴CN最大＝CD+＝，CN最小＝CD﹣＝由（2）知，EN＝CN，∴EN最大＝，EN最小＝即：EN的最大值为，最小值为．9．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠AHB＝∠AHC＝90°，在Rt△AHB中，∵AB＝5，∠B＝45°，∴BH＝AB cos B＝5，AH＝AB sin B＝5，在Rt△AHC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AH＝10，CH＝AC cos C＝5，（2）①证明：如图2，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PE，则∠BAP＝90°，∠APB ＝45°，由旋转可得，AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAP＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠PAE，∵∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，在△ABD和△APE中，，∴△ABD≌△APE，∴BD＝PE，∠B＝∠APE＝45°，∴∠EPB＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴CE＝2PE，∴CE＝2BD；②如图3，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M，则AP＝PC，在Rt△AHC中，∵∠ACH＝30°，∴AC＝2AH，∴AH＝AP，在Rt△AHD和Rt△APE中，，∴△AHD≌△APE（HL），∴∠DAH＝∠EAP，∵EM⊥AC，PA＝PC，∴MA＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠MAH＝30°，∴∠DAM＝∠EAM＝∠DAE＝45°，∴∠DAH＝∠EAP＝15°，∴∠BAD＝∠BAH﹣∠DAH＝30°，如图3，作DK⊥AB于K，设BK＝DK＝a，则AK＝a，AD＝2a，∴＝＝，∵AE＝CE＝AD，∴＝．10．解：（1）如图1，连接CD，∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠DCE＝60°，∵DE⊥CE，CE＝5，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE＝10，∴BC＝10；（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，作NH⊥AC于H，则∠H＝∠DGN＝90°，∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，∴∠1＝∠2＝60°，∴∠3＝60°＝∠4，即NC平分∠GCH，∴NG＝NH，∵线段DM的垂直平分线交直线BC于点N，∴NM＝ND，在Rt△MNH和Rt△DNG中，，∴Rt△MNH≌Rt△DNG（HL），∴∠CMQ＝∠NDQ，又∵∠MQC＝∠DQN，∴∠2＝∠5＝60°，∵NM＝ND，∴△DMN为等边三角形；（3）①如图3，当点M在线段AC上时，连接AD，BD，则BD⊥AC，BP＝DP，∵△ACD和△MND都是等边三角形，∴AD＝CD，∠ADM＝∠CDN，MD＝ND，∴△ADM≌△CDN，∴AM＝CN，∵＝3，∴＝，∴＝，∴＝，即＝，∴＝，∴＝；②如图4，当点M在CA延长线上时，连接AD，同理可得，△ADM≌△CDN，∴AM＝CN，∵＝3，∴＝，∴＝，即＝，∴BN＝CN，∴＝1．综上所述，＝或1．故答案为：或1．。
2021年九年级中考数学一轮复习专题 《四边形综合：动点与相似》高频考点训练(五)
2021年中考数学一轮复习专题《四边形综合：动点与相似》高频考点训练（五）1．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝2，对角线AC，BD交于点O，E为对角线AC上一点．（1）求证：△OBC是等边三角形；（2）连结BE，当BE＝时，求线段AE的长；（3）在BC边上取点F，设P，Q分别为线段AE，BF的中点，连结EF，PQ．若EF ＝2，求PQ的取值范围．2．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．小明在分析解题思路时想到了两种平移法：方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；【尝试应用】（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连结AC交DE于点H，求的值．3．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．4．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN 之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．5．综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）已知AB＝4，DE＝2，求四边形AODE的面积．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向点C运动，同时点M从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P到达点C时，整个运动停止．设点P的运动时间为t（t＞0）秒．（1）求BC的长；（2）用含t的代数式表示线段QM的长；（3）设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）连结QN，当QN与△ABC的一边平行时，直接写出t的值．8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，点P从点B出发沿折线B﹣A﹣C运动，速度为每秒5个单位，到点C停止．在点P的运动过程中，过点P 作PQ⊥BC于Q，以PQ为边作矩形PQMN，且MN与AD始终在PQ同侧，且PN＝2PQ．设运动时间为t秒．（1）当点N在AC上时，直接写出t值．（2）当点N在AB上时，求PQ的长．（3）当矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形时，求t的取值范围．（4）当点P在线段AB上运动时，点N落在△ABC一边的垂直平分线上时，直接写出t的值．9．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．10．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．（3）当∠MBN绕B点继续旋转到图3位置时，AE＝10，CF＝2．求EF的长度．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，OA＝OC＝OB＝OD，∠ABC＝90°∴AC＝＝＝4，∴OB＝OC＝2，∵AD＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形；（2）解：作BM⊥AC于M，如图1所示：∵△OBC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BAC＝30°，∴BM＝AB＝3，∴AM＝BM＝3，EM＝＝＝1，当点E在M的左侧时，AE＝AM﹣EM＝3﹣1；当点E在M的右侧时，AE＝AM+EM＝3+1；综上所述，当BE＝时，线段AE的长为3﹣1或3+1；（3）解：当点E与点C重合时，Q与O重合，如图2所示：作ON⊥BC于N，则ON∥AB，∴ON是△ABC的中位线，∴ON＝AB＝3，CN＝BN＝BC＝，∵EF＝2，BC＝2，∴BF＝2﹣2，∵P为BF的中点，∴BP＝PF＝BF＝﹣1，∴PN＝BN﹣BP＝﹣（﹣1）＝1，∴PQ＝＝＝；当EF⊥AC时，如图3所示：作QN⊥BC于N，则QN∥AB，∵∠ACB＝60°，∴∠CFE＝30°，∴EF＝CE＝2，∴CE＝，∴CF＝2CE＝，AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，∴BF＝BC﹣CF＝，∵Q是AE的中点，∴AQ＝EQ＝AE＝，∴CQ＝CE+EQ＝，∵QN∥AB，∴△CQN∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得：QN＝，CN＝，∴BN＝BC﹣CN＝，∵P为BF的中点，∴BP＝BF＝，∴PN＝BC﹣CN﹣BP＝，∴PQ＝＝＝；当EF∥AB时，如图4所示：此时PQ最长，∵P，Q分别为线段AE，BF的中点，∴PQ为梯形ABFE的中位线，∴PQ＝（EF+AB）＝（2+6）＝4，∴PQ的取值范围为≤PQ≤4．2．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．3．解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．∴∠BAE＝∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，即∠EBD+∠BDG＝90°，∴∠BHD＝90°．∴BE⊥DG．又∵BE＝DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”．（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB＝CD，∴∠HBC+∠HCB＝90°∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，∴，，EG∥AB，GF∥DC，∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°．∴△EFG是等腰直角三角形．（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，则，由（2）可知．∴AB最小值为．4．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．5．解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝CE'，∴CF＝E'F；（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+3）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE＝＝＝3．6．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵四边形AODE是矩形，∴OA＝DE＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴OB＝＝＝2，∴OD＝2，∴四边形AODE的面积＝OD×OA＝2×2＝4．7．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，（2）∵sin B＝，BP＝5t，∴，∴PQ＝3t，在Rt△PQB中，BQ＝＝4t，当点M与点Q相遇，10＝4t+6t，∴t＝1，当0＜t≤1时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，∴MQ＝10﹣4t﹣6t＝10﹣10t，当1＜t≤时，MQ＝AM+BQ﹣AB，∴MQ＝4t+6t﹣10＝10t﹣10，综上所述：当QM的长度为10﹣10t或10t﹣10；（3）当0＜t＜1时，S＝3t×（10﹣10t）＝﹣30t2+30t；当1＜t≤时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝10t﹣10，PQ＝3t，PN∥AB，∴∠B＝∠NPE，∴tan B＝tan∠NPE，∴，∴NE＝×（10t﹣10）＝，∴S＝3t×（10t﹣10）﹣×（10t﹣10）×（）＝﹣；（4）∵点Q在AB上，QN不可能平行于AB，∴QN平行于△ABC的一边时可分两种情况：①如图，若NQ∥BC，∴∠B＝∠MQN，∴tan B＝tan∠MQN，∴，∴，∴t＝，②如图，若NQ∥AC，∴∠A＝∠BQN，∴tan A＝tan∠BQN，∴，∴，∴t＝．综上所述：当t＝s或s时，QN与△ABC的一边平行．8．解：（1）当N在AC上时，如图1所示，∵D为BC中点，∴BD＝CD＝4，∵AB＝AC＝5，由勾股定理可得：AD＝，由题意知，PB＝5t，PQ＝3t，BQ＝4t，PN＝6t，∵PQ＝NM，∠PQB＝∠NMC，∠B＝∠C，∴△PQB≌△NMC（AAS），∴BQ＝MC，∴BC＝BQ+QM+MC＝4t+6t+4t＝8，解得：t＝；（2）当N在AB上时，如图2所示，由题意知，CP＝10﹣5t，CQ＝8﹣4t，PQ＝6﹣3t，∴AP＝5t﹣5，PE＝4t﹣4，PN＝8t﹣8，∵PN＝2PQ，∴8t﹣8＝2（6﹣3t），解得：t＝，∴PQ＝6﹣3×．（3）当点P在线段AB上时，点M与C重合时，此时CQ＝8﹣4t，PN＝6t，可得：8﹣4t＝6t，解得：t＝，观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形，当点P在AC上时，点M与B重合时，BQ＝8﹣CQ＝8﹣（8﹣4t）＝4t，PQ＝6﹣3t，∵BQ＝2PQ，∴4t＝2（6﹣3t），解得：t＝，观察图象可知，当＜t＜时，矩形PQMN与△ABC重叠部分为五边形．综上所述，满足条件的t的取值范围为＜t＜或＜t＜．（4）如图3中，当点N落在AB的中垂线GK上时（AB的中垂线交AB于G，交BC 于K），由题意，PB+PG＝BG，∴5t+6t•＝，解得t＝．如图4中，当N落在BC的垂直平分线AD上时，由题意BQ+QD＝4，∴4t+6t＝4，∴t＝．如图5中，当点N落在AC的垂直平分线上时（AC的垂直平分线交AC于T，交BC于H），连接AH，设DH＝m，则AH＝CH＝4﹣m，根据勾股定理得，（4﹣m）2﹣m2＝9，∴m＝，∴HM＝10t﹣4﹣，由题意：＝，∴＝，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或或．9．解：（1）∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°，∴△BDB′是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）由（1）知，△BCD≌△B′AD，∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB′的面积，∵BC＝AB′＝1，∴BB′＝AB+AB′＝2+1＝3，∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝；（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，∴∠DCN+∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．故△AMN的周长为4．10．证明：（1）∵Rt△ABE和Rt△CBF中，AB＝BC，CF＝AE，∴tan∠CBF＝tan∠ABE，BF＝BE，∴∠CBF＝∠ABE，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠CBF＝30°，△BEF是等边三角形，∴BF＝2CF，BF＝EF，∴EF＝2CF＝AE+CF；（2）如图2，将Rt△ABE顺时针旋转120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴A点与C点重合，∴BG＝BE，FG＝CG+CF＝AE+CF，∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，∴∠GBF＝60°，在△GBF和△EBF中，，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴FG＝EF，∴EF＝AE+CF；（3）如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴A点与C点重合，∠ABE＝∠CBG，∴BG＝BE，FG＝CG﹣CF＝AE﹣CF，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，∵∠MBN＝60°，∴∠GBF＝60°，在△BFG和△BFE中，，∴△BFG≌△BFE，（SAS）∴GF＝EF，∴EF＝AE﹣CF＝10﹣2＝8．。
2021年中考一轮复习九年级数学 专题：找规律之图形变化类(五)
2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（五）1．为了庆祝元旦，某商场在门前的空地上用花盆排列出了如图所示的图案，第1图案中10个花盆，第2个图案中有19个花盆，……，按此规律排列下去．（1）第3个图案中有个花盆，第4个图案中有个花盆；（2）根据上述规律，求出第n个图案中花盆的个数（用含n的代数式表示）．（3）是否存在恰好由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案？若存在，说明它是第几个图案？若不存在，请说明理由．2．请观察图形，并探究和解决下列问题：（1）在第n个图形中，每一横行共有个正方形，每一竖列共有个正方形；（2）在铺设第n个图形时，共有个正方形；（3）某工人需用黑白两种木板按图铺设地面，如果每块黑板成本为8元，每块白木板成本6元，铺设当n＝5的图形时，共需花多少钱购买木板？3．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c 个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．5．下列图形都是由同样大小的空心圆圈按照一定规律所组成的，其中图（1）中一共有7个空心圆圈；图（2）中一共有11个空心圆圈；图（3）中一共有15个空心圆圈；…（1）图（4）一共应有个空心圆圈．（2）按此规律排列下去，猜想图（n）中一共有多少个空心圆圈？用含n的代数式表示（不用说理）．（3）是否存在图（x）中一共有2018个空心圆圈？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．6．某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示，请仔细观察并找出规律，解答下列问题：（1）按照此规律，摆第10个图时，需根火柴棒；摆第n个图时所需根火柴棒；（2）用1202根火柴棒能按此规律摆出一个“金鱼”图案吗？若能，说明是第几个图形；若不能，请说明理由．7．观察下图：我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x+y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x+4y，遵循以上规律，解答下列问题：（1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为．（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．①求x和y的值；②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形．8．用火柴棒按下列方式搭建三角形：三角形个数 1 2 3 4 …火柴棒根数 3 5 7 9 …（1）当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是多少？（2）求当n＝100时，有多少根火柴棒？（3）当火柴棒的根数为2017时，三角形的个数是多少？9．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放：（1）第⑤个图案有张白色小正方形纸片；（2）第n个图案有张白色小正方形纸片；（3）第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？10．如图，第一次将正方形纸片剪成4个一样的小正方形纸片，第2次将右下角的那个小正方形纸片按同样的方法剪成4个小正方形纸片，第3次，将第2次剪出的小正方形纸片右下角的那个小正方形纸片再剪成4个一样的小正方形纸片，…如此循环进行下去．（1）请将下表补充完整．剪的次数 1 2 3 4 5 …总共得到的小正方形纸片的个数 4 …（2）如果剪n次，总共能得到多少个小正方形纸片？（3）如果剪100次，总共得到多少个小正方形纸片？（4）如果想得到361个小正方形纸片，需要剪几次？参考答案1．解：（1）第1个图案中有10个花盆，第2个图案中有2×10﹣1＝19个花盆，第3个图案中有3×10﹣2＝28个花盆，第4个图案中有4×10﹣3＝37个花盆；（2）第n个图案中有10n﹣（n﹣1）＝9n+1个花盆；（3）假设存在恰好由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案，则有9n+1＝2018，解得：n＝，不是整数，所以不存在由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案；故答案为：28；372．解：（1）第n个图形的木板的每行有（n+3）个，每列有n+2个，故答案为：（n+3）、（n+2）；（2）所用木板的总块数（n+2）（n+3），故答案为：（n+2）（n+3）；（3）当n＝5时，有白木板5×（5+1）＝30块，黑木板7×8﹣30＝26块，共需花费26×8+30×6＝388（元）．3．解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，∴第n次可得（4n+1）个正方形，∴第100次可得正方形：4×100+1＝401（个）；故答案为：401；（2）由（1）得：第n次可得（4n+1）个正方形，故答案为：4n+1；（3）不能，∵4n+1＝2020，解得：n＝504.75，∴n不是整数，∴不能将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形．4．解：探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；故答案为a﹣1，4a﹣4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．故答案为2a﹣2，8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．5．解：（1）第（1）个图形中最下面有2个圆，上面有1+3+1个圆；第（2）个图形中最下面有3个圆，上面有2+4+2个圆，第（3）个图形中最下面有4个圆，上面有3+5+3个圆，那么可得第（4）个图形最下面有5个圆，上面有4+6+4个圆，所以5+4+6+4＝19；故答案为：19；（2）图（n）中一共有n+1+n+n+2+n＝4n+3个空心圆圈；（3）不存在，理由是：根据题意4x+3＝2018，解得：x＝503，不是整数，所以不存在图（x）中一共有2018个空心圆圈．6．解：（1）由图可得，第一幅图的火柴数为：2+6×1＝8，第二幅图的火柴数为：2+6×2＝14，第三幅图的火柴数为：2+6×3＝20，则第10个图的火柴数为：2+6×10＝62，第n个图的火柴数为：2+6n，故答案为：62，（6n+2）；（2）用1202根火柴棒能按此规律摆出一个“金鱼”图案，令6n+2＝1202，解得，n＝200，答：是第200个图形．7．解：（1）∵第1个图形中“正方形多项式”为：4x+y，第2个图形中“正方形多项式”为：9x+4y，第3个图形中“正方形多项式”为：16x+9y，∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x+16y，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n+1）2x+n2y，故答案为：25x+16y，（n+1）2x+n2y；（2）①依题意，得，解得：；②Q＝（n+1）2x+n2y＝﹣n2+4n+2＝﹣（n﹣2）2+6，当n＝2时，Q最大值为6，∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．8．解：（1）当三角形的个数为1时，需要的火柴棒根数为：1+2＝3，当三角形的个数为2时，需要的火柴棒根数为：1+2×2＝5，当三角形的个数为3时，需要的火柴棒根数为：1+2×3＝7，当三角形的个数为4时，需要的火柴棒根数为：1+2×4＝9，…当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是：1+2n；（2）当n＝100时，1+2n＝1+2×100＝201，即当n＝100时，有201根火柴棒；（3）令1+2n＝2017，解得，n＝1008，答：当火柴棒的根数为2017时，三角形的个数是1008．9．解：（1）∵第1个图形中白色纸片的数量4＝1+3×1，第2个图形中白色纸片的数量7＝1+3×2，第3个图形中白色纸片的数量10＝1+3×3，……∴第5个图片中白色纸片的数量为1+3×5＝16，故答案为：16；（2）由（1）知，第n个图案中白色纸片的数量为1+3n，故答案为：3n+1；（3）设第n个图案中共有81张纸片，由3n+1+n＝81得n＝20，即第20个图案中共有81张纸片．10．解：（1）填表如下：剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 4 7 10 13 16 （2）如果剪了n次，共剪出（3n+1）个小正方形；（3）如果剪了100次，共剪出3×100+1＝301个小正方形；（4）依题意有3n+1＝361，解得：n﹣120．答：需要剪120次．。
备考2021年九年级中考数学专题训练：《圆的综合》(五)
备考2021年九年级中考数学专题训练：《圆的综合》（五）1．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连结CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．（1）求证：CD＝BF；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若tan F＝，AG﹣BG＝，求ED的值．2．如图，AB是大半圆O的直径．OA是小半圆O1的直径，点C是大半圆O上的一个动点（不与点A、B重合），AC交小半圆O1于点D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD＝DC；（2）求证：DE是半圆O1的切线；（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．3．已知如图，△ABC中AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝6，cos C＝，求⊙O的直径．4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．6．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、点C的切线，且∠BDC＝110°，连结AC．（1）求∠A的度数；（2）若⊙O的直径为6，求的长．（结果保留π）7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．8．已知：AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为上一点，连接CE、DE、DB，∠CDE＝2∠CDB．（1）如图1，求证：CE＝CD；（2）如图2，过点A作AM⊥CE，垂足为M，连接BE交CD于G，连接M，求证：MH∥EB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，若ED＝，CM＝，求△ABE的面积．9．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝2，求EF的长．10．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．（1）求证：∠C＝90°；（2）当BC＝3，sin A＝时，求AF的长．参考答案1．解：（1）连接BC，∵BE＝DE，∴∠BDE＝∠DBE，在△BCD与△DFB中，∴△BCD≌△DFB（AAS）∴CD＝BF（2）连接OC，∵∠COB＝2∠CDB，∠CEB＝∠CDB+∠DBE＝2∠CDB ∴∠COB＝∠CEB，∵PC＝PE，∴∠COB＝∠CEB＝∠PCE，∵AB⊥CD，∴∠COB+∠OCG＝90°，∴∠PCE+∠OCG＝∠PCO＝90°，∴OC⊥CP∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线，（3）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BDG＝∠A＝∠F∵tan∠F＝∴tan∠A＝＝，即AG＝GD同理可得：BG＝GD，∴AG﹣BG＝GD﹣GD＝，解得：GD＝2，∴CD＝2GD＝4，∴BG＝∴由勾股定理可知：BD＝∵∠BCD＝∠EDB，∠BDC＝∠EBD，∴△BCD∽△EDB∴＝∵BC＝BD，∴ED＝＝＝2．证明：（1）连接OD，∵AO为圆O1的直径，则∠ADO＝90°．∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD＝DC．（2）证明：∵D为AC的中点，O1为AO的中点，1又DE⊥OC，∴DE⊥O1D∴DE与⊙O1相切．（3）如果OE＝EC，又D为AC的中点，∴DE∥O1O，又O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∠DEO＝90°，O1O＝O1D，∴四边形O1OED为正方形．3．（1）证明：连接OM．∵OB＝OM，∴∠1＝∠3，又BM平分∠ABC交AE于点M，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴OM∥BE．∵AB＝AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE与⊙O相切；（2）解：设圆的半径是r．∵AB＝AC，AE是角平分线，∴BE＝CE＝3，∠ABC＝∠C，又cos C＝，∴AB＝BE÷cos B＝12，则OA＝12﹣r．∵OM∥BE，即，解得r＝2.4．则圆的直径是4.8．4．解：如右图所示，连接OD、AD．∵AB是直径，∴∠BDA＝∠CDA＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵⊙O半径是5，∴AB＝10，∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝60°，在Rt△ADB中，BD＝sin60°•AB＝5，∴BC＝10．5．（1）证明：如图．∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD＝×4＝2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．6．解：（1）连接OC，∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∵∠BDC＝110°，∴∠BOC＝360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD＝70°，∴∠A＝∠BOC＝35°；（2）∵⊙O的直径为6，∵∠BOC＝70°，∴的长＝＝．7．（1）证明：连接OD，AD．∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵D是半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，∴∠AHF＝90°．∵AB为⊙O直径，点F在⊙O上，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠G+∠ABF＝90°，又∠AHF＝∠GAB＝90°，∴△AFH∽△GBA，∴，由垂线段最短可得FH≤OF，当且仅当点H，O重合时等号成立．∵AC＜AB，∴上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合，∴≤，即的最大值为．8．解：（1）∵AB为直径，CD⊥AB，∴，∴∠CEB＝∠BED＝∠CDB，∴∠CED＝2∠CDB，又∵∠CDE＝2∠CDB，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD；（2）∵弧AE＝弧AE，∴∠ACE＝∠ABE，∵AM⊥CE，CH⊥AB，∴∠AHC＝∠AMC，则∠AHM＝∠ACM，∴∠AHM＝∠ABE，∴MH∥BE；（3）连接BC、AD、AE，过A作AF⊥DE，则∠AEF＝∠ACD＝∠ADC＝∠AEC，∴△AEF≌△AEM（AAS），∴AF＝AM，同理△AFD≌△AMC（AAS），∴MC＝FD＝FE+ED∴MC＝EM+ED∴CM＝+＝∴CE＝CM+ME＝+＝6 ∴CD＝6，CH＝3，∵MH∥BE，∴＝，则HG＝，CG＝，∵弧BC＝弧BD，∴∠BCD＝∠CEB，∴△CGB∽△ECB，相似比CG：CE＝：6＝4：5，∴设BG＝16k，BC＝20k，BE＝25k，过点C作CN⊥BE于N，∵∠CBE＝∠CDE＝2∠CEB，作NQ＝NB，可证QC＝QE＝BC＝25k，BQ＝5k，BN＝k，EN＝k，∵CB2﹣BN2＝CE2﹣EN2，∴（20k）2﹣（k）2＝62﹣（k）2，解得k＝，∴BC＝20k＝4，BH ＝，BC2＝BH•BA，42＝BA，BA＝＝2R，∴⊙O半径为，则AB＝，∵HG＝，BH＝，则tan∠ABE＝＝＝tanα，则sinα＝，cos，△ABE的面积＝AB2sinαcosα＝．9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEO，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝2，∴，∴EF＝4．10．解：（1）证明：连接OE，BE，∵DE＝EF，∴＝，∴∠OBE＝∠DBE，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BC，∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴BC⊥AC，∴∠C＝90°；（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，∴AB＝5，设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sin A＝＝＝，∴r＝，∴AF＝5﹣2×＝．。
2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(五)
2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（五）1．在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．2．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC ＝，AB＝2，求GE的长．3．已知：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝4米，AD＝BC＝8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．（1）当x＝2秒时，线段AQ的长是米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP＝DQ？若存在，求出点P的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．4．A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为．5．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．7．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B，C不重合），如图1，求证：CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由．8．我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”，试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题：如图1，在正方形ABCD中，G是射线DB上的一个动点（点G不与点D重合），以CG为边向下作正方形CGEF．（1）当点G在线段BD上时，求证：∠DCG＝∠BCF；（2）连接BF，试探索：BF，BG与AB的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝a（a是常数），如图2，过点F作FT∥BC，交射线DB于点T，问在点G 的运动过程中，GT的长度是否会随着G点的移动而变化？若不变，请求出GT的长度；若变化，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝13，BE＝4，点F从点B出发，在折线段BA﹣AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形的边于点G，连接FG．设点F运动的路程为x，△EFG的面积为S．（1）当点F与点A重合时，点G恰好到达点D，此时x＝，当EF⊥BC时，x ＝；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当S＝15时，求此时x的值．10．把一副三角板按如图1所示放置，其中点E在BC边上，∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝CD＝6，将三角板DCE绕点C顺时针旋转，记旋转角为α（0°≤α≤180°）．（1）在图1中，设AB与DE的交点为F，则线段AF的长为；（2）当α＝15°时，三角板DCE旋转到△D1CE1的位置（如图2所示），连接D1A，D1B，请判断四边形ACBD1的形状，并证明你的结论；（3）当三角板DCE旋转到△D2CE2的位置（如图3所示）时，此时点D2恰好在AB延长线上．①求旋转角α的度数；②求线段AD2的长．参考答案1．解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，∴AE＝10，FE＝5，作FP⊥BC于点P，Rt△BFP中，，∴BP＝3，FP＝4，在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，由勾股定理求得，∴CP＝8﹣3＝5，∴；（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，∴证明△AMO≌△CGO（ASA），∴AM＝GC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，∴CG＝PB，∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，∴△ABE≌△GPH（ASA），∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．2．解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，证明：如图1，在四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2∴AB2+CD2＝AD2+BC2，（3）如图3，连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2∵，AB＝2，∴BC＝1，，，∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣1＝13，∴．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵DQ＝2，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣2＝6，故答案为6．（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由：连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH＝AB＝4．∵S阴＝S△APM+S△AQM＝×x×4+（8﹣x）×4＝16，∴阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时，BP＝4﹣x，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴4﹣x＝x，∴x＝3．当点P在线段BM上时，BP＝x﹣4，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴x﹣4＝x，∴x＝6．所以当x＝3或6时，BP＝DQ．4．解：（1）∵沿EF，FH折叠，∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，∵点B′在FC′上，∴∠EFH＝（∠BFB'+∠CFC'）＝×180°＝90°，故答案为：90°；（2）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∵2x+18°+2y＝180°，∴x+y＝81°，∴∠EFH＝x+18°+y＝99°；（3）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y），即x+y＝180°﹣m°，又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°，故答案为：180°﹣2m°．5．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，由①得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．6．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E用EH垂直于AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝6，∴CE＝2答：CE的长为2；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF＝AF，CF＝GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形7．（1）证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论仍然成立．理由：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD．8．解：（1）∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴CD＝CB，CG＝CF，∠BCD＝∠FCG＝90°，∵∠DCG＝90°﹣∠BCG，∠BCF＝90°﹣∠BCG，∴∠DCG＝∠BCF；（2）BF+BG＝AB，理由：在Rt△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，在Rt△ABD中，AD＝AB，∴BD＝AB，∵BD＝DG+BG＝BF+BG，∴BF+BG＝AB；（3）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，由（2）知，△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，∠CDG＝∠CBF＝45°，∴∠DBF＝∠CBD+∠CBF＝90°，∴∠FBT＝90°，∵FT∥CB，∴∠BTF＝∠CBD＝45°，∴∠BFT＝45°＝∠BTF，∴BF＝BT，∴DG＝BT，∴GT＝BG+BT＝BG+DG＝BD＝AB＝a．9．解：（1）当点F与点A重合时，x＝AB＝6；当EF⊥BC时，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案为：6；10；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分两种情况：①当点F在AB上时，如图1所示：作GH⊥BC于H，则四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴＝，即＝＝，∴EH＝x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+x，∴△EFG的面积为S＝梯形ABEG的面积﹣△EFB的面积﹣△AGF的面积＝（4+4+x）×6﹣×4x﹣（6﹣x）（4+x）＝x2+9x+12，即S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；②当点F在AD上时，如图2所示：作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得：△EFM∽△GEC，∴＝，即＝，解得：GC＝15﹣x，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面积为S＝梯形CDFE的面积﹣△CEG的面积﹣△DFG的面积＝（9+19﹣x）×6﹣×9×（15﹣x）﹣（19﹣x）（x﹣9）＝x2﹣21x+102 即S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）当x2+9x+12＝15时，解得：x＝﹣6±2（负值舍去），∴x＝﹣6+2；当x2﹣21x+102＝15时，解得：x＝14±4（不合题意舍去）；∴当S＝15时，此时x的值为﹣6+2．10．（1）解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，在Rt△CDE中，∠D＝30°，CD＝6，∴CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝﹣3，在Rt△BEF中，∠B＝90°﹣∠A＝45°，∴BF＝BE＝6﹣3，∴AF＝AB﹣BF＝3，故答案为：3；（2）四边形ACBD1是正方形，理由：∵∠BCE1＝α＝15°，∴∠D1CB＝45°＝∠BAC，由旋转知，CD1＝CD，∵CD＝AB，∴CD1＝AB，∵BC＝AC，∴△D1CB≌△BAC（SAS），∴D1B＝BC，同理可证：D1A＝AC，又∴AC＝BC，∴D1A＝AC＝BC＝BD1，∴四边形ACBD1是菱形，又∠ACB＝90°，∴菱形ACBD1是正方形．（3）①取AB边的中点H，连接CH，∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB＝6，∴CH⊥AB，且AH＝CH＝AB＝3，∵△D2CE2是直角三角形，且斜边CD2＝6，∠CD2E2＝30°，∴CE2＝3，又∵∠CHD2＝∠E2＝90°，∴Rt△D2CH≌Rt△D2CE2（HL），∴∠HD2C＝∠E2D2C＝30°，又∵∠ABC＝45°，∴∠BCD2＝15°，又∵∠E2CD2＝60°，则旋转角α＝∠BCE2＝75°；②在Rt△D2CE2中，D2E2＝CE2＝3，∵Rt△D2CH≌Rt△D2CE2，∵D2H＝D2E2＝，AH＝3，∴AD 2＝AH+D2H＝3+．。
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九年级数学总复习训练（五）
（内容：视图与投影、圆、圆与相似形，满分120分）
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[知识与技能]（80分）
一、填空题（每小题2分，共30分）
1.圆柱的主视图和左视图是 ；俯视图是 ；
2. 太阳光线所形成的投影称为 投影。
3. 圆锥的主视图和左视图是 ；
4.手电筒的光线所形成的投影为 投影。
5. 在直径为20㎝的圆中，弦心距是6㎝的弦长是 ㎝。
6. 圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为8㎝和2㎝两部分，则弦心距等于 ㎝。
7.若三角形的三边长是3、4、5，则其外接圆的半径是____________。
8.⊙O 的半径是5cm ，弦AB 的长为8cm ，则圆心到弦AB 的距离是＿＿＿。
9.已知⊙O 1的半径为6cm ，⊙O 2的半径为2cm ，O 1O 2=8cm ，那么这两圆的位置关系是 .
10.在半径为12cm 的圆中，一条弧长为 6cm ，此弧所对的圆心角是 。
11.两同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于C 点，且AB=20cm,则夹在两圆间的圆环面积是
2cm ________。
12.已知△ABC 中，∠A ＝80°，∠C ＝60°，①若点O 为△ABC 的外心，则∠AOC 的度数
是 ；②若点I 是△ABC 的内心，则∠AIC 的度数是 。
13.已知⊙O 1和⊙O 2相外切，且圆心距为10cm ，若⊙O 1的半径为3cm ，则⊙O 2的半径为
________cm ．
14、如图1，在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB
＝，则⊙O 的半径是 。
15、如图2，已知AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，垂足为M ，CD ＝8，AM ＝2，则OM
＝ 。
图1
图2
二、选择题：（每小题3分，共30分） 1.图3中几何体的主视图是 ( )
2.若⊙O 1的圆心坐标为(2，0)，半径为1；⊙O 2的圆心坐标为(-1，0)，半径为3，则这两圆
图3
的位置关系是（）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 内含
3.已知在⊙O中，弦AB的长为6厘米,圆心O到AB的距离为4厘米, 则⊙O的半径是（）
A.3厘米
B. 4厘米
C. 5厘米
D. 8厘米
4.⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为( )
A 1 cm
B 7cm
C 3 cm或4 cm
D 1cm 或7cm
5.在△ABC中，∠ABC=30°，AB=10，那么以A为圆心，6为半径的⊙A与直线BC的位置关系是（）
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
6.如图4，在以O为圆心的两个同心圆中，
和D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC长为( )
A.0.5cm
B.1cm
C.1.5cm
D.2cm
7.已知两圆的半径之和为12 cm，半径之差为4 cm，圆心距为4 cm，则两圆的位置关系（）
A 外离
B 外切
C 相交
D 内切
8.．当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了。
这是因为（）
A 汽车开的很快
B 盲区减小
C 盲区增大
D 无法确定
9.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是( )
A (C)(B)(A)(D)
B (A) (C)(B) (D)
C (C) (D) (A) (B) D(C)(B)(A) (C)
10.如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于（）
A.24πcm2
B.12πcm2
C.12cm2
D.6πcm2
三、解答下列各题（每小题5分，共30分）
1.（5分）如图5，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是AB上的两点，且AC＝BD，
求证：△OCD是等腰三角形。
图5
B
北
东
2、在一个宁静的夜晚，月光明媚，张芳和身高为1.65m 的李红两位同学在人民广场2、上玩。
张芳测得李红的影长为1m ，并立即测得小树影长为1.5m ，请你估算小树的高约为多少？
3. (5分) 如图7，AB 是⊙0的弦，直线DE 切⊙0于点C ：AC=BC ，
求证：DE//A B.
4、(5分)如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于
点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给
予证明．
图 6
图
7
5、如图，已知AC 切⊙O 于A ，CB 顺次交⊙O 于D ，B 点，AC=6，BD=5．连结AD ，AB ．
（1）证明：△CAD ∽△CBA ；（2）求线段DC 的长.
[综合与探究]（20分）
1、 (6分) 如图10，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD ≌△ACD ，并加以证明.
你添加的条件是 。
证明：
图
10
2、(7分)如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．
（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；
（2）若OD ＝4，CD=6，求tan∠ADE 的值．
3..( 7分) 如图12, AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过BC 的中点D,DE ⊥AC .
求证：(1) △BDA ∽△CED .
(2)DE 是⊙O 的切线.
图12
[生活与实践] （10分）
1. (5分)小明希望测量出电线杆AB 的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D 处立一标杆CD ，使标杆的影子DE 与电线杆的影子BE 部分重叠（即点E 、C 、A 在一直线上），量得ED ＝2米，DB ＝4米，CD ＝1.5米，求电线杆
2.如图，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D .已知：AB cm 24=, CD cm 8=.
(1) 求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 求（1）中所作圆的半径。
B。