第一章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中，正确的是( )A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行解析：选C.A 中，可能有无数个平面；B 中，两条直线还可能平行，相交；D 中，两个平面可能相交．2．下列几何体是柱体的是( )解析：选B.A 中的侧棱不平行，所以A 不是柱体，C 是圆锥，D 是球体，B 是棱柱． 3．圆锥的底面半径是3，高是4，则它的侧面积是( ) A.15π2B ．12πC ．15πD ．30π解析：选C.圆锥的母线长是32＋42＝5，所以侧面积是π×3×5＝15π.4．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P -EFQ 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 解析：选C.三棱锥P -EFQ 的体积可以看作是以△PEF 为底面，而△PEF 的底EF ＝1，高A 1P ＝4＋(2－x )2，与x 有关．三棱锥P -EFQ 的高为点Q 到平面PEF 的距离．∵CD ∥EF ，∴CD ∥平面PEF .∴点Q 到平面PEF 的距离等于点D 到平面PEF 的距离，与y 无关，故选C.5．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交解析：选B.由题意可得直线l 与平面α相交，如图：6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A.依据斜二测画法的原则可得，BC ＝B ′C ′＝2，OA ＝2×32＝3，∴AB ＝AC＝2，故△ABC 是等边三角形．7．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2，则( ) A ．S 1＝2S 2 B ．S 1＝3S 2 C ．S 1＝4S 2 D ．S 1＝23S 2解析：选B.不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的体对角线长为3，而内切球直径为1，所以S 1S 2＝(31)2＝3，所以S 1＝3S 2.8．已知a ，b 是不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出下列说法：①若a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若b ⊥α，β⊥α，则b ∥β；④若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b .其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①中α与β可能相交不垂直，也可能平行；②中α与β可能相交；③中b 可能在β内；④中符合面面平行的性质定理，正确．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为P A 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE 与直线CF 是异面直线； ②直线BE 与直线AF 是异面直线； ③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④解析：选B.由EF ∥AD ∥BC ，知BE 、CF 共面，①错；②正确；③正确；④错．故选B.10．在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为( )解析：选D.此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故选D. 11．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则对角面B 1BDD 1是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形解析：选D.AA 1在面ABCD 内的射影在底面的一条对角线上，∵AC ⊥BD ，∴AA 1⊥BD ，∴BB 1⊥BD .又∵∠BAD ＝60°，∴BD ＝AB ＝BB 1， ∴B 1BDD 1是正方形．12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( ) A ．96 3 B ．16 3 C ．24 3 D ．48 3解析：选D.由球的体积公式可得，球的半径R ＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a ，高即侧棱长为h ，则h ＝2R ＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有32a ×13＝R＝2，解得a ＝4 3.所以此三棱柱的体积V ＝12×32×(43)2×4＝48 3.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．已知直线b ∥平面α，平面α∥平面β，则直线b 与β的位置关系为________． 答案：b ∥β或b ⊂β14．长方体的一个顶点上三条棱长分别是6,8,10，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________．解析：长方体的对角线是球的直径．可知长方体的对角线长l ＝ 62＋82＋102＝102，2R ＝102，R ＝52，S ＝4πR 2＝200π.答案：200π15．已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)解析：①若m⊂α，n∥α，则m，n不一定平行；②③④是真命题．答案：②③④16．三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于________．解析：由题意，V P-ABC＝13·S△ABC·P A＝13×34×22×3＝3，故三棱锥P-ABC的体积等于 3.答案： 3三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．一个几何体的三视图如右图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积．解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如右图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥面ABCD，CD⊥面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，该几何体的表面积S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.18．如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.设点O是AB的中点，求证：OC∥平面A1B1C1.证明：作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1.因为O 是AB 的中点，所以OD ＝12(AA 1＋BB 1)＝3＝CC 1，则四边形ODC 1C 是平行四边形，因此有OC ∥C 1D .因为C 1D ⊂平面C 1B 1A 1且OC ⊄平面C 1B 1A 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1.19．如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A ＝AB ＝2.(1)求证：BC ⊥平面A 1AC ；(2)求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值．解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC ， ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面AA 1C ，AC ⊂平面AA 1C ， ∴BC ⊥平面AA 1C .(2)设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)，故VA 1-ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12·AC ·BC ·AA 1＝13x ×4－x 2(0<x <2)， 即VA 1－ABC ＝13x ×4－x 2＝13 x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2,0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为23.20．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，求h.解：设圆锥形容器的液体面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h .圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h ，根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥轴截面与所盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝h a ，所以h ＝32a .21．如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形．(1)若PD ＝AD ，E 为P A 的中点，求证：平面CDE ⊥平面P AB ；(2)F 是棱PC 上的一点，CF ＝14CP ，问线段AC 上是否存在一点M ，使得P A ∥平面DFM ？若存在，指出点M 在AC 边上的位置，并加以证明；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥CD .又∵底面ABCD 是矩形．∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD . 又P A ⊂平面P AD ，∴CD ⊥P A .∵PD ＝AD ，E 为P A 的中点，∴DE ⊥P A .CD ∩DE ＝D ，∴P A ⊥平面CDE ，又P A ⊂平面P AB ， ∴平面CDE ⊥平面P AB .(2)在线段AC 上存在点M ，使得P A ∥平面DFM ，此时点M 为靠近C 点的一个四等分点，证明如下：连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝O ，PC 的中点为G ，连OG ，则P A ∥OG ，在△P AC 中，∵CF ＝14CP ，∴F 为CG 的中点．取OC 的中点M ，即CM ＝OM ，则MF ∥OG ，∴MF ∥P A .又P A ⊄平面DFM ，MF ⊂平面DFM ， ∴P A ∥平面DFM . 22．已知一四棱锥P -ABCD 的三视图如图，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P -ABCD 的体积；(2)若点E 为PC 的中点，AC ∩BD ＝O ，求证：EO ∥平面P AD ； (3)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P -ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝23.(2)证明：∵EO∥P A，EO⊄平面P AD，P A⊂平面P AD. ∴EO∥平面P AD.(3)不论点E在何位置，都有BD⊥AE，证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面P AC，∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面P AC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.。