2016年四川高考理科数学20题的新解法
2016年数学高考全国卷理科第20题的探究
2016年数学高考全国卷理科第20题的探究岳峻【摘要】2016年数学高考全国卷理科第20题,立意深刻、内蕴厚重,通过多维探究,挖掘其背景,得到圆锥曲线焦点弦的长度表达式,进而探究圆锥曲线垂直焦点弦的长度的最值与定值,提升学生的数学学科素养.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2016(000)008【总页数】4页(P44-47)【关键词】圆锥曲线;焦点弦;长度;垂直;探究【作者】岳峻【作者单位】太和中学安徽阜阳 236600【正文语种】中文【中图分类】O123.1例1 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交⊙A于点C，D，过点B作AC的平行线交AD于点E.1)证明：|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；2)设点E的轨迹为曲线C1，交直线l于点M，N，过点B且与l垂直的直线与⊙A 交于点P，Q，求四边形MPNQ面积的取值范围.第1)小题利用平面几何知识，应用定义法易求得点E的轨迹方程为=1(其中y≠0)；第2)小题主要考查直线与圆、椭圆的位置关系等基础知识和运算求解的基本技能，考查推理论证、数形结合的思想，立意深刻、内蕴厚重．数学高考试题年年岁岁题相似，岁岁年年意不同．高考试题是命题者精心设计、匠心独运的成果，往往都蕴含着深厚的背景、丰富的数学文化与数学思想．许多高考真题看似平淡无奇，其实是呈现简洁、极富韵味的好题，值得我们细细品味．高三复习教学应引导学生把特殊问题纳入更一般的范围，从特殊推广到一般，揭示事物的普遍规律，促使学生从会解一道题到会解一类题，由低层次到高层次，把数学思维提高到由例及类的层次，加速数学思维的优化．本题四边形MPNQ的面积显然等于|MN|·|PQ|，其中|PQ|是⊙A的弦，自然优选几何d-r法.而|MN|是曲线C1的焦点弦长，圆锥曲线的焦点弦长如何求呢？例1能否进行推广到一般的圆锥曲线呢？由第1)小题知点E的轨迹方程为椭圆.解法1 如图1，设直线l的方程为x=my+1，倾斜角为θ，则m=cotθ(其中θ∈(0,π)).因为PQ⊥l，则直线PQ的方程为，联立直线l与椭圆C1，得解法2 设∠MBA=θ(其中θ∈(0,π))，则在△MAB中应用余弦定理，得《论语》曰：“举一隅不以三隅反，则不复也．”身为一线教师，我们应坚持以学生为本、落实新课标精神，经常选取一些呈现简洁、意境幽深、极富韵味的高考真题，引领学生发现问题、分析问题、解决问题，而且还要在多维剖析试题的基础上，透过表面现象看其本质，加以引伸、拓宽、变化，引导学生从形式的“变”发现本质的“不变”，从本质的“不变”探索形式的“变”的规律，逐步提升学生的数学思维素养[1]．探究1 椭圆=1(其中a>b>0)的焦点为F1(c,0)，过点F1作倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于点A,B，则|AB|能否表示为倾斜角θ的关系式呢？分析设直线l的方程为x=my+c，则m=cotθ,联立.同理，对椭圆的左焦点进行类似地研究，可以得到：定理1 椭圆(其中a>b>0)的焦点为F，过点F作倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于点A,B，则|AB|探究2 椭圆的焦点弦的这个结论是否适用于双曲线呢？如果不适用，又会有怎样的结论呢？分析以双曲线(其中a>0,b>0)的右焦点为例加以研究，设直线l的方程为x=my+c，则m=cotθ,联立定理2 双曲线(其中a>0,b>0)的焦点为F，过点F作倾斜角为θ的直线l与双曲线C交于点A,B，则|AB|探究3 抛物线的焦点弦呢？同理可得抛物线的类似性质：定理3 抛物线C:y2=2px(其中p>0)的焦点为F，过点F作倾斜角为θ的直线l 与抛物线C交于点A,B，则|AB|探究4 抛物线C:y2=2px(其中p>0)的焦点为F，过点F作2条相互垂直的直线l,m分别与椭圆C交于点A,B和点D,E.设直线l的倾斜角为θ，则定理4 抛物线C:y2=2px(其中p>0)的焦点为F，过点F作2条相互垂直的直线l,m分别与椭圆C交于点A,B和点D,E.设直线l的倾斜角为θ，则1)|AB|+|DE|2)|AB|·|DE|为定值，且定值为．探究5 过椭圆=1(其中a>b>0)的焦点F作2条相互垂直的直线l,m分别与椭圆C交于点A,B和点D,E.设直线l的倾斜角为θ，又会有什么新的结论呢？分析1)直线l的倾斜角为θ，则直线m的倾斜角为，从而2)|AB|·|DE|定理5 椭圆=1(其中a>b>0)的焦点为F，过点F作2条相互垂直的直线l,m分别与椭圆C交于点A,B和点D,E.设直线l的倾斜角为θ，则1)|AB|+|DE|2)|AB|·|DE|为定值．探究6 关于双曲线，过双曲线=1(其中a>0,b>0)的焦点F作2条相互垂直的直线l,m分别与双曲线C交于点A,B和点D,E，通过几何画板软件，可以发现并不恒为定值，情形比较复杂，作类似地探究可发现以下结论：定理6 双曲线=1(其中a>0,b>0)的焦点为F，过点F作2条相互垂直的直线l,m 分别与双曲线C交于点A,B和点D,E.不妨设直线l的斜率为k，则1)当(b2-a2k2)(b2k2-a2)>0时，2)当(b2-a2k2)(b2k2-a2)<0时，例2 设F是抛物线G:x2=4y的焦点.1)过点P(0,-4)作抛物线G的切线，求切线方程；2)设A,B为抛物线G上异于原点的2个点，且满足=0,延长AF,BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.例3 设椭圆(其中a>b>0)，其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.1)求椭圆C的方程；2)已知过点F1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于点A,B，求证：|AB|；3)过点F1(-2,0)作2条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A,B和点D,E，求|AB|+|DE|的最小值．例4 已知点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等，记点M的轨迹为C．1)求轨迹C的方程；2)过点F作2条相互垂直的直线l1，l2，曲线C与l1交于点P1,P2，与l2交于点Q1,Q2，证明|；3)圆锥曲线在某些性质方面呈现统一性，在第2)小题中，我们得到关于抛物线的一个优美结论，请你写出关于椭圆=1的一个相类似结论(不需证明)．对于起到压轴作用的解答题，教师要引导学生学会相关处理策略，力争化大为小、化难为易、化繁为简，把一道难题分解为若干个小题，或分解为若干步完成，或即使不能完整做出，也能“挣”到部分分数，分层出击，各个击破，使学生的实际水平得以充分发挥．为此，在平时的复习教学中，教师要有意识地挖掘高考试题的背景信息，力促高考真题的引领活力，展现真题功能，挖掘真题潜能．教师要以学生认识规律的角度，注重由浅及深，展开变式，引领学生在其思维水平的“最近发展区”递进式地探索，关注解题后的对问题本质的透视，真正做到“悟其必然，品其真味”，逐步提升学生的数学思维素养[2]，提升解题的驱动力和数学的学科素养．这就是数学教学的核心之所在．。
2016年高考四川理科数学试题及答案(word解析版)
（D） 37 2 33 4
【答案】B
uuur uuur uuur
【解析】由题意， uuur uuur DA DB
DA
uuur DB
DB uuur DC
DC ，所以 D
uuur DC
uuur DA
2
到uuurA,uBuu,rC 三uuu点r 的uuu距r 离uu相ur 等u，uurD DA DB DB DC DB DA
纵坐标不变，得 y sin(ωx φ) 的图象，另一种是把 y sin x 的图象横坐标变为原来的 1 倍，纵坐标不 ω
变，得 y sin ωx 的图象，向左平移 φ 个单位得 y sin(ωx φ) 的图象． ω
（4）【2016 年四川，理 4，5 分】用数字 1，2，3，4，5 构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
uuuur uuuur
uuuur 2
DA DB DB DC DC DA 2 ，动点 P ， M 满足 AP =1 ， PM MC ，则 BM 的最大值是（ ）
（A） 43 4
（B） 49 4
（C） 37 6 3 4
（C） 2 2
（D）1
【答案】C
【解析】如图，由题可知
F
p 2
,
0
，设
P
点坐标为
y02 2p
, y0
，显然，当
y0
0 时， kOM
0；
y0 0
时， kOM 0 ，要求 kOM 最大值，不妨设 y0 0 ．
2016年四川省高考数学试卷(理科)
2016年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩Z中元素的个数是5，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．3．（2016•自贡校级模拟）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin （2x﹣）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故选：D．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．5．（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v 的值是解题的关键，属于基础题．7．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．8．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM==≤=，当且仅当y02=2p2，取得等号．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．9．（2016•四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．10．在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题）11．（2013秋•南开区期末）﹣=．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，∴这次试验成功的概率p=1﹣（）2=，∴在2次试验中成功次数X～B（2，），∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．13．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．14．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f （﹣）+f（1）=﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是周期为2的奇函数即可得到f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f （），利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，求出f（﹣），再求出f（1），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣）=f（﹣2﹣）=f（﹣）=﹣f（）∵x∈（0，1）时，f（x）=4x，∴f（﹣）=﹣2，∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，∴f（﹣1）=f（1），f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（﹣）+f（1）=﹣2．故答案为：﹣2【点评】考查周期函数的定义，奇函数的定义，学会这种将自变量的值转化到函数解析式f （x）所在区间上的方法．15．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．三．解答题（共6小题）16．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图．【专题】计算题；图表型；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（Ⅱ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，∴a=0.3；（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；（Ⅱ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；则x=2.5+0.5×=2.9吨【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．17．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【考点】余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N*．（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求a n的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞．【考点】数列与解析几何的综合；数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a2，a3，a2+2成等差数列求得公比q的值，可得{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e n=，根据e2==，求得q的值，可得{a n}的解析式，再利用放缩法可得∴e n=＞，从而证得不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）∵S n+1=qS n+1 ①，∴当n≥2时，S n=qS n﹣1+1 ②，两式相加你可得a n+1=q•a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q．当n=1时，∵数列{a n}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2=q=a1•q，∴数列{a n}为等比数列，公比为q．∵2a2，a3，a2+2成等差数列，∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或q=﹣．根据q＞0，故取q=2，∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，∴e n==．由于数列{a n}为首项等于1、公比为q的等比数列，∴e2===，q=，∴a n=，∴e n==＞=．∴e1+e2+⋅⋅⋅+e n＞1+++…+==，原不等式得证．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，数曲线的简单性质，属于难题．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】数形结合；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代人椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；由题意，△F1F2C为直角三角形，∴=+，解得b=c=a，∴椭圆E的方程为+=1；代人直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，∴椭圆E的方程为+=1；由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；（Ⅱ）设P（x0，3﹣x0）在l上，由k OT=，l′平行OT，得l′的参数方程为，代人椭圆E中，得+2=6，整理得2t2+4t+﹣4x0+4=0；设两根为t A，t B，则有t A•t B=；而|PT|2==2，|PA|==|t A|，|PB|==|t B|，且|PT|2=λ|PA|•|PB|，∴λ===，即存在满足题意的λ值．【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．21．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；分类讨论；构造法；导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a，又，当a时，F′（x）=2a+≥+e1﹣x，可得F′（x）在a时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，一方面，令g（x）=f（x）﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a，只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a．另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e1﹣x，∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．综上，a．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。
2016年高考四川卷理数试题解析
2
表示圆心为 (1,1) ，
y
y = x −1
A(0, 1)
半径为 2 的圆内区域所 点 包括边界
(1, 1)
C (2, 1)
x
y =1
B (1, 0)
O
y =1− x
1 实数 x, y 满足 则必然满足 ， 则 p 是 q 的必要 充 条 .
y y y
x − 1,
1 − x,
4 C1 3 ⋅ A 4 = 72 .
5.
某公司为激励创新， 计划逐 大研发资金投入， 若该公司2015 全 投入研发资金130 万元，在 础 ， 投入的研发资金比 一 增长12%，则该公司全 投入的研发 资金开始超过200万元的 份是 参考数据 lg1.12 ≈ 0.05 ， lg1.3 ≈ 0.11 ， lg 2 = 0.30
第 卷
选择题 共50分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的. 1. 设集合 A = {x | −2 ≤ x ≤ 2} ，Z为整数集，则集合 A I Z 中元素的个数是 B ．4 C ．5 D．6 A．3 答案 C 解析 由题可知， A I Z = {−2, −1,0,1, 2} ，则 A I Z 中元素的个数为5 选C
设 i 为虚数单 ，则 ( x + i)6 的展开式中含 x 4 的项为 C． −20ix 4 A． −15 x 4 B． 15 x 4 D． 20ix 4 答案 A 解析 由题可知， 2 4 2 x i = −15 x 4 反 反含 x 4 的 为 C6 选A π 3. 为了得到函数 y = sin 2 x − 的 象，只需把函数 y = sin 2 x 的 象 所 的点 3 π π B．向右 行移动 个单 长度 A．向左 行移动 个单 长度 3 3 π π C．向左 行移动 个单 长度 D．向右 行移动 个单 长度 6 6 答案 D 解析 由题可知， π π π y = sin 2 x − = sin 2 x − ，则只需把 y = sin 2 x 的图象向右 移 个单 3 6 6 选D
2016年高考理科数学真题及答案解析(四川卷 )-推荐下载
i 0 v 9 2 0 18 i 1 跳出循环，输出 v 18
选B
7. 设p：实数x，y满足 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，q：实数x，y满足 y 1,
）
A．必要不充分条件
C．充要条件
【答案】A
【解析】如图， x 12 y 12 ≤ 2 ① 表示圆心为 1,1，
则由于 l1,l2 分别是点 P1, P2 处的切线，而
1
得： l1 的斜率 k1 为 x1 ， l2 的斜率 k2 为 x2 ；
又 l1 与 l2
垂直，且 0
x1
x2 ，可得： k1 k1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2016年高考四川理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年四川，理1，5分】设集合，Z为整数集，则集合中元素的个数是（）（A）3 （B）4（C）5 （D）6【答案】C【解析】由题可知，，则中元素的个数为5，故选C．【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．（2）【2016年四川，理2，5分】设为虚数单位，则的展开式中含的项为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由题可知，含的项为，故选A．【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式的展开式可以改为，则其通项为，即含的项为．（3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】由题可知，，则只需把的图象向右平移个单位，故选D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．（4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有，再将剩下的4个数字排列得到，则满足条件的五位数有，故选D．【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．（5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B【解析】设年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，，解得，因资金需超过200万，则取4，即2019年，故选B．【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。
【免费下载】四川省高考数学试卷理科解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的． 1．（5 分）设集合 A={x|﹣2≤x≤2}，Z 为整数集，则 A∩Z 中元素的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5 分）设 i 为虚数单位，则（x+i）6 的展开式中含 x4 的项为（ ） A．﹣15x4 B．15x4 C．﹣20ix4 D．20ix4 3．（5 分）为了得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象，只需把函数 y=sin2x 的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度
D．向右平行移动 个单位长度 4．（5 分）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A．24 B．48 C．60 D．72 5．（5 分）（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 6．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的 《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的 程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（ ）
图象上点
=1， = ，
，则
A． B． C．
2016年高考四川卷理数试题解析汇总
2016四川省高考理科数学试题解析本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由题可知， {2,1,0,1,2}A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5 选C2. 设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）A ．415x -B ．415xC ．420i x -D ．420i x 【答案】A【解析】由题可知，含4x 的项为24246C i 15x x =- 选A3. 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位选D4. 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）A ．24B ．48C ．60D ．72 【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5； 分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有13C ， 再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有1434C A 72⋅=. 选D5. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30=）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【答案】B【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元 由题可知，()130112%200x+=， 解得 1.12200lg 2lg1.3log 3.80130lg1.12x -==≈， 因资金需超过200万，则x 取4，即2019年 选B6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。
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2016年高考数学四川卷理科第20题第（Ⅱ）问：
已知椭圆E ：错误！未找到引用源。
的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（II ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得∣PT ∣2=λ∣P A ∣· ∣PB ∣，并求λ的值.
（I ）解答过程略，22
163
x y +=，点T 坐标为（2,1）； （Ⅱ）
解答思路：利用伸缩变换将椭圆变为圆，并利用伸缩变换保平行线的比例这一性质求解。
解答过程：
作伸缩变换：'':x y ϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则将椭圆E ：22163x y +=变成了单位圆：'2'2()()1x y += 在椭圆中，过O 作直线PT 的平行线，与椭圆的一个交点记为D ，则在伸缩变换下，各直线及点的对应关系如下图所示
由于伸缩变换保平行线的比例性，所以：
''''PT PT OD O D =， 则 2''2''22''2PT PT PT OD O D
== ''''
''''''''PA PB P A P B P A P B OT OT OT OT
⋅⋅==⋅⋅⋅ 在单位圆中，由切割线定理知：''2''''PT P A P B =⋅
222
PT PA PB PA PB OD OT OT OT ⋅⋅∴==⋅ 22
2PT OD PA PB OT
λ∴==⋅，
经计算可知，.2,OD OT =45λ=。