高中数学第三章空间向量练习1理新人教A版选修2-1
高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元测试 新人教A版选修2-1(2021年最新整理)
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第三章 空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1）,B （1,1，3），则｜AB ｜的值是( ）． A ．5B ．5C ．9D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为( )． A ．0B ．ABC ．ACD ．AD3．若a ,b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是( ）．A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ）B ．(a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·cC ．m (a ＋b ）＝m a ＋m bD ．（a ·b ）·c ＝a ·(b ·c )4．已知a ＋b ＝（2,－1，0），a －b ＝（0，3，－2)，则cos<a ,b 〉的值为( )． A ．31B ．－32C ．33D ．37 5．若P 是平面 外一点，A 为平面 内一点,n 为平面的一个法向量，且〈PA ，n 〉＝40º，则直线PA 与平面所成的角为（ )．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ,B ,C ，D 四点共面，且0 ＝ ＋ 3＋ 2＋ OD x OC OB OA ，则x 的值是( ）． A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5,∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于( )．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝（2，－1，3），b ＝(－4,2，x )，c ＝(1,－x ,2），若(a ＋b ）⊥c ，则x 等于（ ）． A ．4 B ．－4C ．21D ．－69．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题 ①（A A 1＋11D A ＋11B A ）2＝3（11B A )2;②C A 1·（11B A －A A 1）＝0；③向量1AD 与向量B A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为｜AB ·1AA ·AD |．错误命题的个数是( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足AB ·BC ＞0,BC ·CD ＞0，CD ·DA ＞0，DA ·AB ＞0，则该四边形为( )．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形二、填空题11．设a ＝（－1，1,2),b ＝（2，1，－2),则a －2b ＝ ．12．已知向量a ，b ,c 两两互相垂直,且|a ｜＝1，｜b ｜＝2,｜c ｜＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s ｜＝ ．13．若非零向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜，则a 与b 所成角的大小 ． 14．若n 1，n 2分别为平面，的一个法向量,且<n 1,n 2〉＝60º,则二面角－l －的大小为 ．15．设A （3，2，1)，B （1，0，4）,则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且｜a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1 在向量b 的方向上的射影的模为 ．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直于底面,底边CA＝CB＝1，∠BCA＝90º，棱AA1＝2，M,N分别是11BA、AA1的中点．(1）求·MC1；(2）求cos<1BA,1CB>．19．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．ACBA1C1B1NM（第18题）A BA1B1D CD1C1O（第17题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离; (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ,F 分别为PC 、CD 中点．(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2）设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值范围．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）BACPE FD（第20题）参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．D4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1,—1），再得 b ＝（1，－2，1），则 cos 〈，•＝－32． 5．B 6．D 7．C 8．B 9．B10．D解析：由·＞0得∠ABC ＞90º,同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6） ． 12．14． 13．90°．14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题17．提示:∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1）0．提示：可用向量计算,也可用综合法得C 1M ⊥BN ,进而得两向量数量积为0．（2）1030． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ,z 轴．19．(1）提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴,可得1DA ·D 1＝0．(2)31．提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2），d ＝11n n | |1·E D ＝31． （3）2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2)（其中AE ＝x ），利用cos 4x ＝2－3．20．（1)提示:坐标法，A 为原点,直线AD ,AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴． (2）k ＞15152． 提示：不妨设AB ＝1,则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1,n 2分别为面EBD ，面BDC的一个法向量．。
高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1
高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A 版（理）一、学习目标：1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．2. 理解共线向量的定理及其推论．3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．二、重点、难点：重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．三、考点分析：本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．一、空间向量的概念：模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．方向相同且模相等的向量称为相等向量．二、空间向量的加法和减法、数乘运算1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．3. 实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．三、共线向量与共面向量1. 向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．2. 向量共面定理：平行与同一平面的向量是共面向量．四、向量的数量积1. 已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈．2. 对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．3. 已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．五、空间向量的坐标表示和运算设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则 1. ()121212,,a b x x y y z z +=+++． 2. ()121212,,a b x x y y z z -=---． 3. ()111,,a x y z λλλλ=． 4. 121212a b x x y y z z ⋅=++．5. 若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．6. 若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．7. 222111a a a x y z =⋅=++．8. 121212222222111222cos ,a b a b a bx y z x y z⋅〈〉==++⋅++．9. ()111,,x y z A ，()222,,x y z B ，则()()()222212121d x x y y z z AB =AB =-+-+-知识点一 空间向量的概念的运用例1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）思路分析：1）题意分析：本题主要考查共线向量的概念的运用．2）解题思路：利用共线向量的概念，如果b a b a b λ=⇔≠//,0，那么说向量→→b a ,共线．也可观察坐标的系数是不是成比例．解答过程：解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式． 即b a b a b λ=⇔≠//,0，因为(1,3,2)a =-＝－2（－21，23，－1），故答案为C ． 解题后的思考：对于空间共线向量的判定，要么利用坐标对应成比例，要么利用向量的线性关系来判定．例2、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A ＝a ，11D A ＝b ，A A 1＝c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121B ．++2121 C ．c b a +-2121D ．c b a +--2121思路分析：1）题意分析：本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查学生的空间想象能力． 2）解题思路：把未知向量表示为已知向量，可利用三角形或平行四边形法则解决．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．解答过程：解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+=＝＋21（－+）＝－21＋21＋．故选A ． 解题后的思考：对于空间向量的线性表示，我们本着把所求的向量与已知向量尽量放在一个封闭图形中的原则，再结合向量的加法得到．例3、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM --=2B ．213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 0 思路分析：1）题意分析：本题主要考查共面向量的概念的运用．2）解题思路：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，或者AC y AB x AP +=．解答过程：由于空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 即可，首先判定A ，B ，D 项都不符合题意，由排除法可知只有选C ．利用向量的加法和减法我们可以把+-+-=++)()(OM OB OM OA MC MB MA03)()(=-++=-OM OC OB OA OM OC ，)(31++=，显然满足题意． 解题后的思考：对空间向量的共面问题，我们只需利用课本中的两个结论判定即可．,z y x ++=且1=++z y x 或,y x +=都可判定P ，A ，B ，C 共面．例4、①如果向量,a b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 思路分析：1）题意分析：本题考查空间向量的基底．2）解题思路：结合空间向量基底的概念，我们逐一的判定．解答过程：命题①中，由于,a b 与任何向量都共面，说明,a b 是共线向量．因此①是错误的．命题②中，由四点确定的、共起点的三个向量不能构成基底，说明了这四点是共面的，因此②是正确的．命题③中，要判定三个向量是否可构成基底，关键是看这三个向量是不是不共面，共面与是共面的，，→→→→→→-+b a b a b a ，因此③是正确的．选C ．解题后的思考：理解空间向量的基底是由不共面的四点，或者说不共面的三个向量构成的．知识点二 空间向量的坐标运算的运用例5、在ΔABC 中，已知)0,4,2(=AB ，)0,3,1(-=BC ，则∠ABC ＝＿＿＿．思路分析：1）题意分析：本题考查用向量数量积求夹角．2）解题思路：首先要注意夹角的概念，是共起点，因此在求角的时候，要注意向量的方向，否则容易出错．解答过程：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-2cos ,2||||2510BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-⋅ ∴∠ABC ＝145°解题后的思考：向量夹角的求解是高考中的常考题型，因此，同学们要注意准确运用．例6、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）． ⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量AC AB ,垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标思路分析：1）题意分析：本题综合运用向量的数量积来判定垂直，求解夹角．2）解题思路：首先分析平行四边形的面积实际上是三角形面积的2倍，于是可转化为求三角形的面积，需先结合数量积求出夹角的余弦值，然后得到夹角的正弦值，再求面积；求向量的坐标，一般是先设出其坐标，然后结合已知条件，列出关系式，进而求解．解答过程：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB AC AB BAC AC AB ． ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴ AC AB S ． ⑵设a ＝（x ，y ，z ），则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x a z y x AC a解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）．解题后的思考：向量的数量积是高考中的一个热点话题，出题形式较灵活，只要同学们抓住数量积解决的问题一般是有关夹角、距离的问题这个本质即可．例7、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．（1）求的长；（2）求cos<11,CB BA ＞的值； （3）求证：M C B A 11⊥思路分析：1）题意分析：本题主要考查空间向量的概念及其运算的基本知识．考查空间两向量垂直的充要条件．2）解题思路：先建立空间直角坐标系，然后写出坐标，利用坐标的运算进行求解． 解答过程：如图，建立空间直角坐标系O －xyz ．（1）解：依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |＝3)01()10()01(222=-+-+-．（2）解：依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ＝{1，－1，2}，1CB ＝{0，1，2}，1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5∴cos<1BA ，1CB >＝30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA ．（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1＝{－1，1，－2}，MC 1＝{21,21，0}．∴B A 1·M C 1＝－2121+＋0＝0，∴B A 1⊥M C 1．解题后的思考：对于空间中的角和垂直的判定，如果不能直接利用定义，我们可以运用代数的方法，结合坐标运算进行．例8、已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'A C '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．思路分析：1）题意分析：本题考查向量的概念及向量的坐标运算，求解有关距离的问题．2）解题思路：对于空间向量的距离的求解，可借助于向量的数量积的性质来解，也可利用坐标运算进行求解．解答过程： 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 的中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分点，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点间的距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．解题后的思考：本题是求解空间几何体中距离的问题，我们一般利用坐标的运算进行求解．解题关键是能把坐标准确地表示出来．小结：通过以上的典型例题，同学们应熟练掌握以下基本概念：共线向量与共面向量，空间向量的基底，以及运用向量的坐标运算解决有关的距离和夹角问题．注意处理以上问题的两个方法：向量法与坐标法．空间向量及其运算是解决立体几何的一种重要工具，同学们要理解基本概念，并能对比平面向量进行加、减运算和数乘运算及数量积的运算和应用．数量积问题是向量问题中经常考查的知识点，要能灵活解决有关的夹角和距离问题，从而为后面的学习打下坚实的基础．一、预习新知本讲学习了空间向量的概念及其基本运算，那么能否利用向量解决空间中有关角与距离的问题呢？二、预习点拨探究与反思：探究任务一：用空间向量解决立体几何中有关角的问题 【反思】（1）如何用向量表示线面角、二面角及异面直线所成的角 （2）具体的求角的公式应如何怎么表示？探究任务二：用空间向量解决立体几何中有关距离的问题 【反思】（1）如何用空间向量表示空间的点线的距离、异面直线的距离、线面的距离、面面的距离？（2）求解距离的具体的计算公式是什么？（答题时间：50分钟）一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=2． 已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6），O 为坐标原点，则向量OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 3． 已知空间四边形ABCO 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ＝（ ）A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++- C ．c b a 212121-+ D ．c b a 213232-+4． 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=⋅=⋅=⋅AD AB ，AD AC ，AC AB ，则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5． 空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos BC ，OA ＝（ ） A ．21B ．22C ．-21D ．06． 已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则△ABC 的面积为（ ） A ．3B ．32C ．6D ．267． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ） A ．55 B ．555 C ．553 D ．511二、填空题8．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则以b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG ＝x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．10．已知点A （1，-2，11）、B （4，2，3），C （6，-1，4），则△ABC 的形状是 ． 11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成120°的角，则k ＝ ．三、解答题12．如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．（1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值13．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP ＝（－1，2，－1）． （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）对于向量a ＝（x 1，y 1，z 1），b ＝（x 2，y 2，z 2），c ＝（x 3，y 3，z 3），定义一种运算：（a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义．14．若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．1．C ；解析：由于选项A 中当b ＝→0时，就不符合题意，因此A 错误．选项B ，向量共面，但向量所在的直线不一定共面，可以是平行．选项D ，应说明b ≠→0． 2．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ，计算结果为－1．3．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 4．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长、应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 5．D ；解析：先建立一组基向量OC OB OA ,,，再处理⋅的值． 6．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB ,sin ,cos ，从而得><=S ,sin ||||21． 7．C ；解析：利用向量数量积的性质求解模的平方的最小值，然后再开方即可得到． 8．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<b a ，从而可得结果．9．313161、、； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 10．直角三角形；解析：利用空间两点间的距离公式得：222||||||AC BC AB +=．11．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 12．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD ·sin30°＝23． OE ＝OB －BE ＝OB －BD ·cos60°＝1－2121=． ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量的坐标为（0，－23,21）． （2）依题意：）（）（）（0,1,0,0,1,0,0,21,23=-==， 所以）（）（0,2,0,23,1,23=-=--=-=OB OC BC OA OD AD ．设向量和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=． 13．（1）证明：∵AB AP ⋅＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ． 又∵AD AP ⋅＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴PA ⊥底面ABCD ． （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ1053416161428||||=+⋅++-=⋅AD AB AD ABABCD P V -＝31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |＝161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）． 14．证明：如图，设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EF ＝GH ＝MN 得： 223123212132)2()2()2(r r r r r r r r r -+=-+=-+展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠，23r r -≠， ∴1r ⊥（23r r -），即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．。
高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.2第1课时 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.【答案】 B2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内【解析】 ∵AB→＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．【答案】 D3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 对于B ，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，4，－12，则n ·AP →＝(3，1，2)·⎝⎛⎭⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32在平面α内．【答案】 B4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.【答案】 D5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x ＝－10.【答案】 －107．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －328．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝________．【解析】 AB→＝(－2，2，－2)，AC →＝(－1，6，－8)， AP→＝(x －4，－2，0)，由题意知A ，B ，C ，P 四点共面， ∴AP→＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋6μ＝－2，－2λ－8μ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 11 三、解答题9.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且OE→＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH→＋mEF →.求证： 【导学号：18490106】图3-2-6(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG→＝kOC →. 【解】 (1)由AC→＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG→＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD→－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC→∥EG →. (3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO → ＝k (AC →－AO →)＝kOC →. ∴OG→＝kOC →. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量． 【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1(0，0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1，0，1)，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1，0，0)．∵AE →·D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝12－12＝0， 又AE →·A 1D 1→＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ， ∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量． [能力提升]1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )A ．(4，2，－2)B ．(2，0，4)C ．(2，－1，－5)D ．(4，－2，2)【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.【答案】 D2．已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能．．．是( )A ．(1，－4，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12 D ．(0，－1，1)【解析】 因为PM→＝(0，2，4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.【答案】 D3．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．【解析】 因为AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，又因为a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y .所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．【答案】 2∶3∶(－4)4.如图3-2-7，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ，使得CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由. 【导学号：18490107】图3-2-7【解】 分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0), 设E (0，y ，z )，则PE→＝(0，y ，z －1)， PD→＝(0，2，－1)， ∵PE→∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0， ①∵AD→＝(0，2，0)是平面P AB 的法向量， CE→＝(－1，y －1，z )， ∴由CE ∥平面P AB, 可得CE→⊥AD →， ∴(－1，y －1，z )·(0，2，0)＝2(y －1)＝0， ∴y ＝1，代入①式得z ＝12.∴E 是PD 的中点， 即存在点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .。
高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14.【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD→与AB → D.P A →与CD→ 【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD→＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3-1-25A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG→·AC → D ．2EF→·CB → 【解析】 2BA→·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错；2FG→·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确． 【答案】 C5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°.其中正确命题的个数是( ) 【导学号：18490091】 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°.【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________． 【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋λb ）·（λa －2b ）<0，（a ＋λb ）·（λa －2b ）≠－|a ＋λb ||λa －2b | 得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-26【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝（BB 1→－BA →）·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3-1-27，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3-1-27【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO → ＝A 1A →＋12(AB →＋AD →) ＝c ＋12(a ＋b )， BD→＝AD →－AB →＝b －a ， OG→＝OC →＋CG → ＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→ ＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB→）＋AD → ＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD→＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB→，CD →〉＝60°. 【答案】 B3．已知正三棱柱ABC -DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CNCF ＝________. 【导学号：18490092】【解析】 设CN CF ＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →，MN →＝12BC →＋mAD →，又AE→·MN →＝0， 得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】 1164.如图3-1-28，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3-1-28【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝（AB →＋AD →＋AA 1→）2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2（AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→）. ∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2（1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°） ＝23.。
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。
高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练
高中数学人教A 版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练一、单选题1．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1, -2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝-12C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B ．15 C ．35 D ．75 3．如图,在平行六面体ABCD -1111A B C D 中,点M,P,Q 分别为棱AB ,CD,BC 中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①1A M ∥1D P ;②1A M ∥1B Q ;③1A M ∥ 平面11DCC D ;④1A M ∥ 平面11D PQB ,则以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m =，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．90︒5．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．166．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，D 是边AC 上的一点，则BD AC ⋅的取值范围是（ ）A ．21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．521,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，M （非端点,B C ）是棱BC 上的动点．过点,,A M E 作截面四边形交棱1DD 于N （非端点,D 1D ）．设二面角N AM D --的大小为α，二面角--M AN D 的大小为β，二面角A NE D --的大小为γ，则（ ）A ．γβα>>B ．βγα>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>9．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ）A 6B 53C ．53D ．2310．如图在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111336OG OA OB OC =++ C ．111344OG OA OB OC =++ D ．111443OG OA OB OC =++ 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A ．30B ．230C ．275D ．47512．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.A ．1B 2C 3D ．2二、填空题13．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为__________.14．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.15．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________．16．如图，在正方体1111A BCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，给出下列说法：PQ ①可能与平面11CDD C 平行；PQ ②与BC 所成的最大角为3π； 1CD ③与PQ 一定垂直；PQ ④与1DD 所成的最大角的正切值为5； 2PQ AB ≥⑤． 其中正确的有______.(写出所有正确命题的序号)17．如图，三棱锥A BCD -中，10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P 在侧面ACD 上，且到直线AB 的距离为21，则PB 的最大值是_______．三、解答题18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，,E F 分别是1,CC BC 的中点.(1)若D 是1AA 的中点，求证：BD 平面AEF ；(2)若M 是线段AE 上的任意一点，求直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 21．如图，在四棱锥S ABCD -中，290,22,6,DAB ADC ABD CB BD SD SB SD BC ︒∠=∠=∠=====⊥（1）求证：平面SBC ⊥平面SBD（2）已知点P 在线段SC 上，且CP CSλ=，若平面与平面SBD 所成的二面角大小为60︒，求λ的值 22．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，22BC AD DC ==，四边形ABEF 是正方形.将正方形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2. 图1图2（1）求证:AC BM ⊥；（2）求平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值.参考答案1．C∵a =（2x ，1，3）与b =（1，﹣2y ，9）共线， 故有21x =12y -=39． ∴x=16，y=﹣32． 2．D 试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即()312220k k ⨯-+⨯-⨯=，解得75k =． 3．C连接PM ，因为M 、P 为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD ．由题意知AD 平行且等于11A D ．故PM 平行且等于11A D ．所以11PMA D 为平行四边形，故①正确．显然1A M 与1B Q 为异面直线．故②错误． 由①知1A M ∥1D P ．由于1D P 即在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内． 且1A M 即不在在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内．故③④正确 4．C∵两平面的法向量分别为 010011m n ==（，，），（，，），则两平面所成的二面角与m n ＜，＞相等或互补2,212m n cos m n m n ⋅===⋅⋅＜，＞ 故45m n =︒＜，＞.故两平面所成的二面角为45°或135°5．C以D 为坐标原点，直线1DA DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c=⎧⎨=⎩ 可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n ⋅+-=== 6．D因为D 是边AC 上的一点(包括端点)，∴设()1BD BA BC λλ=+- (01)λ≤≤ ∵∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，∴133122BA BC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()1BD AC BA BC BC BA λλ⎡⎤⋅=+-⋅-⎣⎦()()22511132BA BC BA BC BC BA λλλλλ=⋅-+---⋅=-+ ∵01λ，∴215513222λ--+.∴BD AC ⋅的取值范围是215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选D. 7．B设D (x ，y ，z )，则＝(x ＋1，y －1，z －2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x ，－y ，－1－z )， ∵＝2，∴∴∴D (，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)， ∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．8．B解：不妨设正方体棱长为4，3MC =，则2CE =，设MA DC O =，直线OE 交1D D 于N ，显然有OCE ODN ~，OCM ODA ~，OEM ONA ~， 所以3,,1244CM CO OC OC DA OD OC ===+， 2222312153MO MC CO +=+=，过C 作CG OM ⊥于G ,连结EG ,根据三垂线定理，则EG OM ⊥，则CGE α∠=， 在COM 中，根据等面积法有,312153CM CO OM CG CG ⋅=⋅⨯=，CG==2tan36CECGα===，OE==过C作CH OE⊥于H,连结MH,根据三垂线定理，则MH OE⊥，则CHMγ∠=，在COE中，根据等面积法有,212CE CO OE CH CH⋅=⋅⨯=，CG==tanCMCHγ===，213EM=，过C作CP ME⊥于P,连结OP,根据三垂线定理，则ME OP⊥，因为平面11//ADD A平面11BCC B，则OPCβ∠=，在CME△中，根据等面积法有,23CE CM ME CP CP⋅=⋅⨯=，CP==12tan62COCPβ===，tan tan tanβγα==>=>=βγα>>9．A则：1C E (1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n (2,2,1)=-- 则1,cos n C E =11n C En C E ⋅5333==⋅ 设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ 则53sin θ=261sin cos θθ=-=. 10．A解：∵在四面体OABC 中，,M N 分别在棱OA 、BC 上，且满足2OM MA =， 2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，∴11122223OG OM ON OA =+=⨯+12111()23363OB BC OA OB OC ⨯+=++. 11．B如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DN DQ D =，1BM A M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值 此时，22512CP ==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭ 12．A补成正方体，如图.,EF α⊥∴截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=，又//,//,MN AD KL BC 且,AD BC KN KL ⊥∴⊥可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A. 13．1-由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ，在正四面体中1(),2PE a b BC c b =+=-，所以211()()()22PE BC a b c b a c a b b c b ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 0001(22cos6022cos6022cos6022)12=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 14．①③④如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确；设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =+++-．由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知， 其最小值为22，故④正确．故答案为①③④15．0如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.16．①③④⑤解：由在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，111B C C D ⊥，11//BC B C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111.CD B C ⊥可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确；在④中，如图，点M 为11A D 中点，PQ 与1DD 所成的角即为PQ 与PM 所成的角，当Q 与1B ，或1C 重合时，PQ 与1DD 所成的角最大，其正切值为5，故④正确；在⑤中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 2，故⑤正确． 1757动点P 到直线AB 21∴动点P 落在以AB 21可知侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大由题意可得，点C到AB的距离为：2210484221-==则P到AB的距离为21可知：P为AC的中点又1422cos105ABBACAC∠===在BAP∆中，由余弦定理可得2285285cos57PB BAC=+-⨯⨯∠=本题正确结果：5718．（1）PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC PC⊥.又1AD CD==，在Rt ADC∆中，得2AC=，设AB中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG AB⊥，且2BC=因为222AC BC AB+=，所以AC BC⊥，又因为BC PC C⋂=，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.（2）以C为坐标原点，分别以射线CD､射线CP为y轴和z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-. 由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,32m nm n m n a ⋅===⋅+2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PAn PA n PA θ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.19．(1)连接1DC ，1BC ，∵,D E 分别是11,AA CC 的中点，∴11AD C E AD C E =，，∴四边形1ADC E 是平行四边形，所以1AE DC ∥.因为,E F 分别是1,CC BC 的中点，所以1EF BC ，又111,AE EF E DC BC C ⋂=⋂=，所以平面AEF ∥平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以BD 平面AEF .(2)由题意得1,,AB AC AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()0,2,1E ，()1,1,0F ， ∴ ()0,2,1AE =，()1,1,0AF =.设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为()1,1,2n =-. 设(),,M x y z ，且()01AM AE λλ=≤≤，所以,,0,2,1x y z ，得0x =，2y λ=，z λ=， 所以点()0,2,M λλ的坐标为，所以()12,2,2B M λλ=--.设直线1B M 与平面AEF 所成角为θ， 则111sin cos ,n B M n B Mn B M θ⋅==⋅ 2222221222112222=∴当25λ=时，()max sin 6θ=.所以直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值为6. 20．（Ⅰ）证明：连1AB 、1AC ，∵点Q 为线段1A B 的中点，∴A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥，又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥，∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ， ∴1AC ⊥平面1A BC ，而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC .（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 连接1A P 、1B Q ，设(),,Q x y z ， ∵1BQ BA λ=， ∴()(),2,2,2,2x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()2,22,2Q λλλ-. ∵点Q 在线段1A B 上运动，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量， 设平面1A PB 的法向量为()1,,n x y z =， 由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得()11,2,1n =， 设平面1B PQ 的法向量为()2,,n x y z =，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()010y x z λλ=⎧⎨+-=⎩， 令1z =得()211,0,11,0,n λλλλλ-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，取()21,0,n λλ=-，由题意得|(121,2,1cos ,|n n = 10==， ∴29920λλ-+=，解得13λ=或23λ=. ∴当13λ=或23λ=时，平面1A PQ 与平面1B PQ 21．（1）由题意，290,DAB ADC ABD CB BD ︒∠=∠=∠===BC BD ⊥， 因为,SD BC SD BD D ⊥⋂=，可得BC ⊥平面SBD ，因为BC⊂平面SBC ，故平面SBC ⊥平面SBD .（2）由（1）可得BC ⊥平面SBD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面SBD ， 设E 为BD 的中点，连接SE ，因为SB SD ==，所以SE BD ⊥，可得SE ⊥平面ABCD ，如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(2,4,0),(2,0,0),(1,1,2)A B C D S ，因为CP CSλ=，所以(2,43,2)P λλλ--，易得平面SBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =. 设(,,)n x y z = 为平面ABP 的法向量，(0,2,0),(2,43,2)AB AP λλλ==--， 因为平面SBD 与平面ABP 所成的角为60°所以00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，得(2,0,2)n λλ=-， 21cos60224λ==⋅+， 解得23λ=或2λ=-（不合题意）， 所以λ的值为23.22．（1）因为11ABE F 为正方形，所以1BE AB ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面11ABE F ，平面ABCD 平面11ABE F AB =， 1BE ⊂平面11ABE F ，所以1BE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1BE AC ⊥ 设1AD =，则2AC AB ==AC AB ∴⊥，且1AB BE B =， AC ∴⊥平面11AF E B ，又BM ⊂平面11AF E B ，AC BM ∴⊥,（2）如图，以点B 为坐标原点，分别以BC ,1BE 所在直线为x,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()1,1,0A ,()0,0,0B ,()2,0,0C ,(12E ,21,1,2M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 所以21,1,2BM ⎛= ⎝⎭,(12CE =-,121,1,2E M ⎛=- ⎝⎭， 设平面1CE M 的一个法向量为(),,n x y z =，由1100n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得220202x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =,得2z =，0y =，所以(1,0,2n =， 平面11ABE F 的法向量为()1,1,0AC =-，设平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角为θ， 则16cos cos ,623AC nAC n AC n θ⋅====⨯， 所以平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值为66。
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算练习新人教A版选修2-1
3.1。
1 空间向量及其加减运算课时跟踪检测一、选择题1．下列命题正确的有( ）①方向相反的两个向量是相反向量；②若A ，B ，C ,D 是不共线的四点，则错误!＝错误!是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件;③｜a |＝｜b |是向量a ＝b 的必要不充分条件;④错误!＝错误!的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：②③正确．答案:B2．设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点，且AO →＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD 是( ）A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵错误!＋错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!。
∴AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．答案:A3．(2019·甘肃武威十八中高二期末)空间中任意四个点A ，B ,C ，D ，则错误!＋错误!－错误! 等于（ ）A.错误!B ．错误!C 。
错误!D ．错误!解析：利用平面向量运算法则即可得出，错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：C4．已知空间向量错误!，错误!，错误!，错误!,则下列结论正确的是（ ）A 。
错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C 。
错误!＝错误!＋错误!＋错误!D.错误!＝错误!－错误!解析：B 中，错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!。
答案:B5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量错误!的共有（ ) ①（错误!＋错误!)＋错误!;②(错误!＋错误!）＋错误!;③(错误!＋错误!）＋错误!；④（错误!＋错误!）＋错误!.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，(错误!＋错误!)＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；对于②,（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!；对于③，（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!;对于④,(错误!＋错误!)＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
高中数学人教a版高二选修2-1_第三章_空间向量与立体几何_3.2第3课时 有答案
高中数学人教a 版高二选修2-1_第三章_空间向量与立体几何_3.2第3课时 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均不对【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.应选A.【答案】 A2．已知A (0，1，1)，B (2，－1，0)，C (3，5，7)，D (1，2，4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( )A.52266B ．－52266 C.52222D ．－52222【解析】 AB→＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为52266. 【答案】 A3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．于是AD→＝(0，1，0)．取PD 中点为E ，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE→＝22， ∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B4．如图3-2-28，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，则二面角B 1A 1B E 的余弦值为( )图3-2-28A ．－33B ．－32C.33D.32 【解析】 设AD ＝1，则A 1(1，0，2)，B (1，2，0)，因为E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，所以E (0，1，2)，F (1，1，1)，所以A 1E →＝(－1，1，0)，A 1B →＝(0，2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1E →·m ＝0，A 1B →·m ＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1，1，1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1，0，0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA →|m ||DA →|＝13＝33，又二面角B 1A 1B E 为锐二面角，所以二面角B 1A 1B E 的余弦值为33，故选C. 【答案】 C5.如图3-2-29，空间正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )图3-2-29A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建系，则A 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1M →||DN →|＝0. ∴〈A 1M →，DN →〉＝π2.【答案】 D 二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1，0，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0，1，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1， CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12， ∴cos 〈AM→，CN →〉＝1252·52＝25， 故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为25.【答案】257．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，0)，B (2，1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t ，0)(t ≠0)，AB→＝(1，3, 6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB→〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t |2＝74. 【答案】748．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．【解析】 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0，0，1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．所以A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，13， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE→＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1，3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111. 所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23. 【答案】 23三、解答题9.如图3-2-30所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.图3-2-30(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：连接OC ，由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，0，0)，C (0, 3，0)，A (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴BA→＝(－1，0，1)，CD →＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD →|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 10．四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 【解】 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0，0，0)，P (0，0，h )， (1)∵AC→＝(－a ，a ，0)，DP →＝(0，0，h )，DB →＝(a ，a ，0)， ∴AC→·DP →＝0，AC →·DB →＝0， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ，∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P (0，0，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA→|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.[能力提升]1．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不对【解析】 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1，0，2)，E (1，1，1)，D 1(0，0，2)，A (1，0，0)，所以A 1E →＝(0，1，－1)，D 1E →＝(1，1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎨⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0. 令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0，1，1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1.所以〈n ，EA→〉＝180°. 所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )图3-2-31A.55B.53C.255 D.35【解析】 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2， 则AB 1→＝(－2，2，1)，C 1B →＝(0，－2，1)， 所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝（－2）×0＋2×（－2）＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55.【答案】 A3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________．【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22， 又∵a ＞0，∴a ＝125. 【答案】1254.如图3-2-32，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．图3-2-32(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.【解】 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4) ，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。
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第三章 空间向量1
一、空间向量 （A ）
1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列各命题中的真命题有( )
①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量 ②OB →－OC →与OA 1→
－OD 1→
是一对相反向量
③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→
＋OB 1→
＋OC 1→
＋OD 1→
是一对相反向量 ④OA 1→
－OA →
与OC →
－OC 1→
是一对相反向量 A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
2．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为8
9
，则λ等于( )
A ．2
B ．－2
C ．－2或2
55
D ．2或－2
55
3．若a 、b 、c 是非零空间向量，则下列命题中的真命题是 ( )
A ．(a·b )c ＝(b·c )a
B ．a·b ＝－|a |·|b |，则a∥b
C ．a·c ＝b·c ，则a∥b
D ．a·a ＝b·b ，则a ＝b
4．已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是 ( )
A.DA →·PB →
＝0 B .PC →·BD →＝0 C.PD →·AB →＝0
D.PA →·CD →＝0
5．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是 ( )
A ．2，1
2
B ．－13，12
C ．－3,2
D ．2,2
6．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是( )
A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0
C ．若a 2
＝b 2
，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
7．以下四个命题中正确的是( )
A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量
C ．△ABC 为直角三角形等价于0AB AC ⋅=
D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
8．已知{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各组向量能构成基底的是( )
A ．a ，a ＋b ，a －b
B ．b ，a ＋b ，a －b
C ．a ＋2b ，a ＋b ，a －b
D ．a,2b ，b －c
9．给出下列两个命题：
①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；
②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量,,OA OB OC
不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，
B ，
C 一定
共面．其中正确的命题是( )
A ．仅①
B ．仅② C．①② D ．都不正确 10．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )
A ．x ＝13，y ＝1
B ．x ＝12，y ＝－4
C ．x ＝2，y ＝－1
4 D ．x ＝1，y ＝－1
11．已知a ＝(1,0，－1)，b ＝(1，－1,0)，单位向量n 满足n ⊥a ，n ⊥b ，则n ＝________.
答案：(
,333
± 12．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB 与CA
的夹角θ的大小是
____________．答案：
23
π 13．已知a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,0,2)，则a ·(b －c )＝________. 答案：5
二、空间向量在立体几何中的应用 （B ）
1．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC
上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；
（2） 证明AF ⊥平面
1A ED
（3） 求二面角1A ED F --的正弦值。
证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,
(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭
（1） 解：易得10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,1(0,2,4)A D =-
于是1113
cos ,5EF A D EF A D EF A D
==-
所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为
3
5
（2） 证明：已知(1,2,1)AF = ,131,,42EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,11,,02ED ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
于是AF ·1EA =0，AF ·ED
=0.因此，1AF EA ⊥,
AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂= 所以AF ⊥平面1A ED
(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z = ，则0
u EF u ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩
,即102102
y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 不妨令X=1,可得(1,21u →=-）。
由（2）可知，AF →
为平面1
A ED 的一个法向量。
于是
2cos
,==3
||AF AF
|AF|
u u u →
→
→→
→→
∙
，从而sin ,AF u →→
所以二面角1A -ED-F
2．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .
(1)PA 与BD 是否垂直？证明你的结论； (2)求二面角P －BD －C 的大小；
(3)求证：平面PAD ⊥平面PAB .
解：取BC 的中点O ，∵侧面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 是等边三角形，∴PO ⊥底面ABCD .以O
为原点，以OB →、OP →
为x 轴、z 轴正向建立如图空间直角坐标系O －xyz ，设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.
∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)，BD →
＝(－2，－1,0)，PA →
＝(1，－2，－3)．
(1)∵BD →·PA →
＝0，∴BD →⊥PA →
，∴BD ⊥PA .
(2)连接AO 与BD 相交于E ，连结PE ，由OA →·BD →
＝0得OA →⊥BD →
，即BD ⊥AO ，从而BD ⊥平
面PEO ，
∴PE ⊥BD .∴∠PEO 为二面角P －BD －C 的平面角．
在Rt△ABO 中，OE ＝OB 2OA ，sin∠OBE ＝5
5
，
在Rt△PEO 中，tan∠PEO ＝
PO
OE
＝15. (3)取PA 的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－1，32，
DM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
3
2，0，
32，PB →
＝(1,0，－3)． ∵DM →·PA →
＝0，DM →·PB →
＝0， ∴DM ⊥PA ，DM ⊥PB .∴DM ⊥平面PAB . ∵DM ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB .。