2018高考数学异构异模复习第十八章不等式选讲课时撬分练18不等式选讲理

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高考数学异构异模复习第十八章不等式选讲18.2不等式的证明课件理

第十八章不等式选讲
考点二不等式的证明
撬点·基础点重难点
1 不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法：要证明 a>b，只需证___a_－__b_>_0____.
a ②作商法：要证明 a>b，b>0，只要证__b_>_1____. (2)综合法从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．
(3)分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的_充__分__条__件___，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫分析法．
(4)反证法先假设要证的命题_不__成__立__，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) ___矛__盾__的__结__论__，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．
(5)放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这
种证明方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叫放缩法．
2 柯西不等式与排序不等式 (1)二维形式的柯西不等式定理 1 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当__a_d_＝__b_c___时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式定理 2 设 α，β 是两个向量，则_|α__·β_|≤__|_α_|·_|β_|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．
(3)二维形式的三角不等式定理 3 设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥___x_1_－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2__. (4)一般形式的柯西不等式定理设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1 ＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当_b_i＝__0__ (i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得_a__i＝__k_b_i (i＝1,2，…，n)时，等号成立．

2018高考数学异构异模复习第七章不等式课时撬分练7.1不等关系与不等式理201705240262

2018高考数学异构异模复习考案第七章不等式课时撬分练7.1 不等关系与不等式理时间：45分钟基础组1.[2016·衡水二中周测]若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，故选A.2. [2016·枣强中学仿真]设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π答案 D解析由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.3. [2016·衡水二中月考]已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x >y >zB ．z >y >xC ．z >x >yD ．y >x >z答案 D解析由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0<a <1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴y >x >z ，故选D.4．[2016·武邑中学热身]若a 1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n>b n答案 C解析取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a b ，则下列各式正确的是( ) A ．a lg x >b lg x B ．ax 2>bx 2C ．a 2>b 2D ．a ·2x>b ·2x答案 D解析 A 项，当lg x ＝0，即x ＝1时不满足；B 项，当x 2＝0时不满足；C 项，当a ＝1，b ＝－2时不满足；D 项，因为2x >0，所以a ·2x >b ·2x .综上可知选D.6．[2016·枣强中学模拟]若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析解法一：取a 1＝b 1＝13，a 2＝b 2＝23，那么a 1a 2＋b 1b 2＝49，a 1b 2＋a 2b 1＝49，a 1b 1＋a 2b 2＝59，有a 1a 2＋b 1b 2＝a 1b 2＋a 2b 1<12<a 1b 1＋a 2b 2，于是排除B 、C 、D 三个选项．故选A. 解法二：∵0<a 1<a 2，a 1＋a 2＝1，∴0<a 1<12，12<a 2<1，同理，00，a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， a 1b 1＋a 2b 2－12＝a 1b 1＋a 2b 2－a 1＋a 2 ·b 1＋b 22＝12[a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)] ＝12(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2的值最大．故选A.7．[2016·衡水二中期末]设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b aa －b 答案 D解析解法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证．解法二：y ＝a x(a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0b >0，且a ＋m b ＋m >ab，则实数m 的取值范围是________．答案 (－b,0) 解析由条件知，a ＋m b ＋m －ab>0，即ab ＋bm －ab －am b b ＋m >0， b －a mb b ＋m>0，又∵a >b >0，∴b －a <0，∴m m ＋b<0.解得－b <m <0.9．[2016·冀州中学仿真]已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ＝cos2θ，b ＝cos θ－sin θ，则a ________b ．(填“>”“<”或“＝”)答案 >解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，从而b ＝cos θ－sin θ>0，cos2θ>0.∵a b ＝cos2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>2sin π4＝1， ∴ab>1，从而a >b .10．[2016·武邑中学预测]已知－π2<α<β<π，则α－β2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 解析由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4.又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0，故α－β2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.11．[2016·衡水二中模拟]已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝ (a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a b .∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴a ＋b a －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b. 12．[2016·枣强中学期末]有下列命题：①若a >b ，则c －b <c －a ； ②若a >c ，b >c ，则a ＋b >2c ； ③若a c 2b ； ④若x <y ，则x 3<y 3.其中正确命题的序号是________．答案 ②④解析由不等式的性质可知①③不正确，②④正确．能力组13.[2016·衡水二中仿真]已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab1＋a 1＋b>0.14．[2016·枣强中学期中]设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b >0是f (x )>0在[0,1]上恒成立的________条件．(填“充分但不必要”“必要但不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要但不充分解析由⎩⎪⎨⎪⎧f 0 >0，f 1 >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋b >0.∴a ＋2b >0.而仅有a ＋2b >0，无法推出f (0)>0和f (1)>0同时成立．15．[2016·衡水二中热身]已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明 ∵xx ＋a－yy ＋b ＝bx －ayx ＋a y ＋b，又∵1a >1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0， ∴bx －ayx ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b.16．[2016·武邑中学期末]已知x ，y 为正实数，满足1≤lg (xy )≤2,3≤lg xy≤4，求lg (x 4y 2)的取值范围．解设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ， lg x y＝a －b ，lg (x 4y 2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg (x 4y 2)的取值范围为[6,10]．。

高考数学复习演练第十八章不等式选讲(含2014-真题)(2021年整理)

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不等式选讲考点不等式选讲1。

（2017•新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x)=｜x+1|+|x﹣1｜．（10分) （1）当a=1时,求不等式f（x）≥g（x）的解集；(2）若不等式f(x）≥g（x）的解集包含［﹣1，1］，求a的取值范围．1.（1)解：当a=1时，f(x)=﹣x2+x+4，是开口向下,对称轴为x= 的二次函数，g（x）=|x+1｜+|x﹣1|= ,当x∈(1，+∞）时,令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增,f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈［﹣1，1］时，g（x）=2，f(x)≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞,﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1)=f（﹣1）=2．综上所述,f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；(2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1］恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1］恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1］．2。

（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0,b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5)≥4；（Ⅱ)a+b≤2．2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：(a+b)（a5+b5）≥( + ）2=(a3+b3)2≥4，当且仅当= ,即a=b=1时取等号,(Ⅱ）∵a3+b3=2,∴（a+b)（a2﹣ab+b2）=2,∴（a+b）[（a+b)2﹣3ab］=2，∴(a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（)2 ,∴（a+b）3﹣2≤ ,∴（a+b)3≤2，∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立．3.（2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f（x)=｜x+1|﹣|x﹣2｜．（Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集;（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．3。

2018年高考数学总复习不等式选讲

第三节不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式与其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法与数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）；（2）；（3）.（变形后为充要条件）3.作差比较法二、含绝对值的不等式（1）；（2）（3）零点分段讨论三、基本不等式（1）（当且仅当等号成立条件为）（2）（当且仅当等号成立条件为）；（当且仅当时等号成立）（3）柯西不等式（当且仅当时取等号）①几何意义：②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：；；.有时去绝对值也可根据来去绝对值.例16.14 在实数范围内，不等式的解集为 .解析由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集为.变式1 不等式的解集是（）A. B. C. D.变式2 已知函数.（1）证明：；（2）求不等式的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 （2012辽宁理24）已知,不等式的解集为.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.解析（1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意.当时，得.(2)记，则，所以，因此，即的取值范围是.变式1 （2012新课标理24）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.变式 2 (2013重庆理16) 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .变式 3 (2013全国新课标I理24) 已知函数,.(1)当时，求不等式的解集；(2)设，且当时，，求的取值范围.三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 .解析不等式有解，则，故实数的取值范围是.变式1 (2012陕西理15)若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 （2013福建理23）设不等式的解集为，且 .(1)求的值；(2)求函数的最小值.分析先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值.解析（1）因为且，所以，且，解得.又，所以.(2)因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.变式1 设函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的值.变式2 (2013辽宁理24) 已知函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 已知关于的不等式的解集为，求的值.变式 3 (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数= .题型202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与与进行比较，得到大小关系.例16.18 已知均为正实数，且，求证：.分析比较与的大小可通过作差法.解析.因为，，所以,,.故.所以.评注作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.变式 1 已知，且,. 求证：.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为，另一端为所作辅助函数.（2）求并验证在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为或已知符号，作比较即得所证.例16.19 已知，求证：.分析属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明.解析原不等式等价于.令，.令，则，故在上是减函数，所以当时，，故. 故，所以在上是增函数.又，所以当时，成立.于是成立.变式1 证明：当时，.三、综合法与分析法思路提示字母分别表示一组不等式，其中为已知不等式，为待证不等式.若有，综合法是由前进式地推导，分析法是由倒退式地分析到.用分析法时，必须步步可逆.1.综合法（由因到果）例16.20 证明：.分析观察到与是负数，被开方数分别为，显然满足，这样可以考虑将分子有理化.解析，，，故，即.评注类似的问题可以总结为d的形式或者更广泛的形式.变式1 设，求证：.2.分析法（由果索因）例16.21 设，求证：.分析利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口.解析要证明，只要证，即证.因为，所以.故原不等式成立.评注在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.变式1 若，且，求证：.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 已知为不小于的正数，求证：不可能同时大于.分析假设三式都大于，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.解析假设三式都大于，即，有①同理②③三式相加得，矛盾，故原命题成立.评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.变式1 已知，,求证：.五、放缩法思路提示预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 已知正数满足，求证：.分析采用“添项”放缩法解析①同理②③①+②+③得.评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：，所以.变式1 证明：.例16.24 求证：.分析采用“分母”放缩法证明.解析由题意，，则，.所以原不等式成立.例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析由幂函数性质可知，，要构成三角形，只需，故，即证明，只需证明，即. ①由，且，由指数函数单调递减可知，要使得式①成立，只需.因此可知，要成立.只需成立.当时，，三角形为直角三角形；当时，即，此时三角形为钝角三角形；当时，即，此时三角形为锐角三角形.六、三角换元法思路提示若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 设实数满足，，求证：.分析由，联想到三角换元.解析令，，.当，即时，取得最大值，证毕.评注三角换元在不等式证明以与求函数的最值、解析几何中参数的范围与最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.变式1 设，，求证：.七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数.（2）构造辅助数列.（3）构造几何图形.例16.27 设，，若，求证：.分析构造一次函数证明.解析即.若视为未知数，并用代替，即证明时，.即证.设,即证时，.而是关于的一次函数，且，，因此当时，成立，从而原不等式成立.评注本题也可利用如下解法：，，即证，，即证，即，由，得，故成立.例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.分析不等式左右两边的个式子具有相同的结构形式，故考虑构造函数.解析，，说明函数在上单调递增，又为三角形的三边长，故，则.变式1 证明：.变式2 已知且，，求证：.例16.29 证明：当且时，有.分析本题通过构造辅助数列证明.解析构造数列，因为，所以数列为单调递减数列.所以，即.评注本题将看作参数构造辅助数列，判断数列的单调性从而证明结论.例16.30 设，求证：.分析根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明.解析如图16-34所示，构造正方形，设，则，则.变式 1 设，求证：.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式与向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设，.等号成立图.证明设，由，得，又，即，，故等号成立即.2.一般形式的柯西不等式设与为任意实数，则，当且仅当（规定时，）时等号成立.证法一：当全为时，命题显然成立.否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判别式不大于零，即，整理后得.证法二：向量的内积证法.令，，为与的夹角.因为，且，所以，即，等号成立或平行.柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.例16.31 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.解析①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故.②由①知，又，由柯西不等式得.变式 1 已知，，求证：.变式2 已知，.求证：.例16.32 设实数满足，求证：.解析由柯西不等式，.所以，所以.评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等.变式1 已知,且，求证：.变式 2 已知正实数满足，求证：.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式的解集是（）A. B. C. D.2.设，则（）A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于3.若，，则的大小关系是（）A. B. C. D. 由的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（）A. B. C. D.5. 的最大值为（）A. B. C. D.6.若正数满足，则①的取值范围是；②的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式的解集为 .8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .9.已知,.求证：.10.已知函数.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若的解集包含，求的取值范围.11. 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.12.已知函数.设数列满足，，数列满足，.（1）用数学归纳法证明：；（2）证明：.。

[配套K12]2018高考数学异构异模复习第十八章不等式选讲 18.2 不等式的证明撬题理

2018高考数学异构异模复习考案第十八章不等式选讲 18.2 不等式的证明撬题理1．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．答案 5解析由柯西不等式：a 2＋b 2·m 2＋n 2≥ma ＋nb ， ∴m 2＋n 2≥55＝ 5.2.设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．3．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，00，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .证明由基本不等式⎩⎨⎧ 1＋x ＋y 2≥331·x ·y 21＋x 2＋y ≥331·x 2·y 分别当且仅当x ＝y 2＝1，x 2＝y ＝1时，“＝”成立．因此(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥93x 3y 3＝9xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，“＝”成立．5．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 为正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解 (1)∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，“＝”成立，∴f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知，p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，∴(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9. 即p 2＋q 2＋r 2≥3.。

[精品]2018高考数学(理科)习题第十八章不等式选讲181和答案

1．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) 答案 A解析当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.2．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x ≤－2，－x ＋3，－2<x <12，3x ＋1，x ≥12.可得最小值为52，根据条件可得a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.3．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－53<x <13，则a＝________.答案－3解析由不等式的解集可知－53，13为不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3，解得a ＝－3.4.已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．点击观看解答视频解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．5．已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c＝|a ＋b |＋c .当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 7．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.解原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－5或x ≥－13.8.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．点击观看解答视频解 (1)证明：∵a >0，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a －(x －a )⎪⎪＝⎪⎪1a＋a ⎪⎪＝a ＋1a≥2a ·1a＝2.当且仅当a ＝1时取等号，∴f (x )≥2.(2)∵f (3)<5，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ＋3＋|a －3|<5，即1a ＋3＋|a －3|<5，∴1a －2<a －3<2－1a ，解得1＋52<a <5＋212， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52，5＋212. 9．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当a ＝b ＝2时，“＝”成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当a ＝b ＝2时，“＝”成立． ∴a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.10．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋xf 2(x )≤14.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x ∈－∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，得x ≤43，∴1≤x ≤43.当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1，得x ≥0， ∴0≤x <1.∴f (x )≤1的解集为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43.(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，得16⎝⎛⎭⎪⎫x －142≤4，∴－14≤x ≤34.∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34，∴M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，∴x 2f (x )＋xf 2(x )＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎪⎫x －122≤14.故要证的不等式成立．。

2018高考数学(文科)异构异模复习考案撬分法习题第十七章不等式选讲课时撬分练17-2Word版含答案

……………………………………………… ………………………………………………时间：60分钟基础组1.不等式|x |＋x ≤2的解集为________．答案 (－∞，1]解析当x ≥0时，原不等式即2x ≤2，得x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，原不等式即0≤2，总成立．综上知原不等式的解集为(－∞，1]．2．函数y ＝|2x －1|－2|x ＋1|的最大值为________．答案 3解析因为y ＝|2x －1|－2|x ＋1|＝|2x －1|－|2x ＋2|≤|2x －1－(2x ＋2)|＝3(当x ≤－1时取等号)，所以函数的最大值为3.3．不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >14解析解法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)，解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >14.解法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12－x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1x ＋＋x －或⎩⎪⎨⎪⎧x >1x ＋－x －.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >14.4．不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．答案 {x |x ≥1}解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2, 故原不等式的解集为{x |x ≥1}．5．若a >b >1，则a ＋1a 与b ＋1b的大小关系是________．答案 a ＋1a >b ＋1b解析 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －aab＝a －bab －ab.由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以a －bab －ab >0.即a ＋1a>b ＋1b.6．若1a <1b <0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a2b<2a －b ，其中正确的是________．答案 ②③④解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0，∴|b |>|a |，①错；∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，②对；ba＋a b >2b a ·a b＝2，③对；由b <0，④变形为a 2＋b 2>2ab 恒成立，④对． 7．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥ 2x －a2x －a ＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32. 8．以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a－b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<23，其中正确命题的序号是________．答案 ①②③解析 ①|a |－|b |≤|a －b |<1，所以|a |<|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |，所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ③|x |<2，|y |>3，所以1|y |<13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x |·1|y |<23.故三个命题都正确． 9．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析若|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，即不等式恒成立，则|x －1|＋|x ＋m |≥|(x ＋m )－(x －1)|＝|m ＋1|>3，解得m >2或m <－4.10．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．答案－1≤x ≤3解析不等式恒成立，只需不等式的左边的最小值≥|a ||x －1|，由绝对值三角不等式得|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |＝2|a |，故只需求解2|a |≥|a ||x －1|即可，解得－1≤x ≤3.11．已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，原不等式为|x －2|＋|x －1|≥2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <21≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥22x －3≥2，即x ≥52或x ≤12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥52或x ≤12. (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0，又a >0，∴实数a 的取值范围为a ≥4.12．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边边长的倒数成等差数列，求证：∠B <90°.点击观看解答视频证明假设∠B <90°不成立，即∠B ≥90°，从而∠B 是△ABC 的最大角， ∴b 是△ABC 的最大边，即b >a ，b >c . ∴1a >1b ，1c >1b，相加得1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b.这与已知1a ＋1c ＝2b矛盾，故∠B ≥90°不成立，从而∠B <90°.能力组13.若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z1＋z (x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________．答案 P <3解析 ∵1＋x >0,1＋y >0,1＋z >0， ∴x1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z <1＋x 1＋x ＋1＋y 1＋y ＋1＋z 1＋z＝3. 即P <3.14．设函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|，则f (x )的最小值是________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．答案 3解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ，x <1，3， 1≤x ≤4，2x －5，x >4，x <1时，5－2x >3，x >4时，2x －5>3，得f (x )min ＝3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <1，5－2x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≤5，求并集得x 的取值范围是． 15. 已知函数f (x )＝|x －1|.点击观看解答视频(1)解不等式：1≤f (x )＋f (x －1)≤2； (2)若a >0，求证：f (ax )－af (x )≤f (a )．解 (1)由题f (x )＋f (x －1)＝|x －1|＋|x －2|≥|x －1＋2－x |＝1. 因此只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2；当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52.综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52. (2)证明：由题f (ax )－af (x )＝|ax －1|－a |x －1|. 当a >0时，f (ax )－af (x )＝|ax －1|－|ax －a | ＝|ax －1|－|a －ax |≤|ax －1＋a －ax | ＝|a －1|＝f (a )．16. 已知x ＋y >0，且xy ≠0.点击观看解答视频(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 恒成立，试求实数m 的取值范围．解 (1)证明：∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0， ∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x .(2)①若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≥x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy ，又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝x ＋y 2－3xy xy <－3xy xy ＝－3，即x 3＋y 3xy x ＋y <－3，∴m >－6；②若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≤x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy ，又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy x ＋y≥1，∴m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－6,2]．。

不等式选讲-高考数学备考关键问题指导高端精品(2018版)(Word版含答案)

专题八不等式选讲【高考考场实情】不等式选讲为高考选考内容之一。

一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。

【考查重点难点】主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。

【存在问题分析】（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数4)(2++-=ax x x f ，11)(-++=x x x g ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；【名师点睛】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况：当1-<x 时，原不等式的解集为{}41≤≤-x x ；当11≤≤-x 时，原不等式的解集为{}21≤≤-x x ；当1>x 时，原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≤--21712171x x ，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.（二）不能对条件进行正确的等价转化【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-，求a 的取值范围．【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-”等价转化为“不等式)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含]1,1[-”的含义不理解.【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数21)(--+=x x x f . （Ⅱ）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.【解析】（Ⅱ）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m -+≥ 设2()()g x f x x x =-+ 由已知得2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，22111()3()(1)524=-+-=---≤-=-g x x x x g ，当21<<-x 时，22355()31()244=-+-=--+≤g x x x x ，当2≥x 时，1)2(413)21(3)(22=≤+--=++-=g x x x x g ，综上述得45)(max =x g ，故m 的取值范围为]45,(-∞.【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为max ()f x ≥)2f x x x m ≥-+解集非空，忽略了右边的代数式也是随着x 的变化而变化，左右两边的x 表示的是同一个数；错点二，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为“min ()m g x ≤”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在x 使得不等式()2f x x x m ≥-+成立，等价于存在x 使得不等式212x x x x m +---+≥成立，等价于2max (12)x x x x m +---+≥即可. （三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法. 【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知2,0,033=+>>b a b a ，证明：（Ⅰ）4))((55≥++b a b a ；（Ⅱ）2≤+b a ．（Ⅱ）因为33223()33a b a a b ab b +=+++()()()()ab a b a b a b a b =+≤=+2323+3+3+2++244所以()3+8≤a b，因此a+b ≤2.【名师点睛】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路. （四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；【解析】法一：因为0a >，所以12,11(),112.x a x a a f x ax a aa x a x a a ⎧+-≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩法二：因为111x x a x a x a a a a++-=++-≥+，又0a >所以1()2f x a a≥+≥. 【名师点睛】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解. 【解决问题对策】（一）强化绝对值不等式的求解训练【指点迷津】高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注. 【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数()214f x x x =+--．（I ）解不等式()2f x >；【解析】（Ⅰ）1521()334254x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩，，，，，．≤≥当12x ≤-时，原不等式可化为52x -->，解得7x <-，此时原不等式的解是7x <-；当142x -<<时，原不等式可化为332x ->，解得53x >，此时原不等式的解是543x <<；当4x ≥时，原不等式可化为52x +>，解得3x >-，此时原不等式的解是4x ≥；综上可知，原不等式的解集为5(,7)(,)3-∞-+∞U（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.【指点迷津】不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【变式一】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．若存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f xg x ≥成立，求a 的取值范围．【解析】存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，等价于存在]1,1[-∈x 使得不等式242x ax -++≥成立，即存在]1,1[-∈x 使得220x ax --≤，等价于]1,1[-∈x 时0)2(min 2≤--ax x . 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤-0481212a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->02112a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<02112a a解得22≤≤-a 或2>a 或2-<a 所以满足条件的a 的取值范围是R .【变式二】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．是否存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-，若存在，求a 的取值范围；若不存在说明理由．【解析】由242x ax -++≥的解集为[]1,1-，即220x ax --≤的解集为[]1,1-，得220x ax --=的两根为-1,1，即⎩⎨⎧=--=-+021021a a 方程无解，所以不存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-.（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用【指点迷津】均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注. 【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ,使得236a b +=成立. 【例题8】已知函数()21f x x =-，x R ∈. （Ⅰ）解不等式()1f x x <+；（Ⅱ）若对于x ，y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤求证： ()1f x <. 【解析】（Ⅰ）()1f x x <+等价于|21|1x x -<+，即210211x x x -⎧⎨-<+⎩≥或210121x x x -<⎧⎨-<+⎩求得02x <<，故不等式()1f x x <+的解集为(0,2)．（Ⅱ）1|1|3x y --≤Q ，1|21|6y +≤， ∴()|21|f x x =-=|2(1)(21)|x y y --++|2(1)||21|x y y --++≤112136⋅+<≤ 【新题好题训练】 1．设不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）令，由得，解得．∴.（Ⅱ）由不等式，的，令，要使，则，整理得，∴，解得.∴实数的取值范围．点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．（2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．2．已知,a b R +∈且221a b +=．（1）求a b +的最大值M ；（2）若不等式32x t x x -≥-+-对任意22,1x M M ⎡⎤∈+⎣⎦成立，求实数t 的取值范围．【答案】见解析.试题解析：（12a b+≥，得a b +≤a b =取最大值，M ∴=（2）由（1）得[]2,3x ∈，∴()()32321x x x x -+-=--+-=．故由题意得1x t -≥对[]2,3x ∈恒成立，1t x ∴≤-或1t x ≥+对[]2,3x ∈恒成立，∵当[]2,3x ∈时， ()min 11x -=， ()max 14x +=， ∴1t ≤或4t ≥故实数t 的取值范围][(),14,-∞⋃+∞为． 3．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x =+-，若x R ∀∈， ()f x λ≥成立，且*N λ∈. （1）求λ的值；（2）若,p q R ∈，且0p >， 0q >， 2p q λ+=，求112p q+的最小值. 【答案】（1）1λ=（2）4试题解析：（1）由()1f x x x =+-的最小值为1，根据()f x λ≥对x R ∀∈恒成立可知1λ≤，又∵*N λ∈则1λ=.（2）由（1）可知21p q +=，由()1111222p q p q p q ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 22242q p p q =++≥+=，当且仅当22q p p q =， 2p q =且21p q +=，即12p =， 14q =时112p q+有最小值为4.4．已知0,0,0a b c >>>.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4. (1)求a b c ++的值；(2)求111a b c++的最小值. 【答案】（1）4；（2）94.【解析】试题分析：（1）由()()()f x x a x b c a b c a b c ≥+--+=++=++,结合函数()f x 的最小值为4，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得()1111111344a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据基本不等式即可求得111a b c++的最小值. 试题解析：(1) ()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =++-+≥+--+=++=++ , 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，()f x ∴的最小值为,4a b c a b c ++∴++=.(2)法一（基本不不等式处理理）：()1111111344a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19344⎛≥+= ⎝. 当4,,3b ac a c b a b c a b a c b c ===⇒===.等号成立. 法二（柯⻄西不不等式处理理）： ()2111111994a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥=⇒++≥ ⎪⎝⎭. 5．选修4-5：不等式选讲已知函数()224f x x x =-++. （1）解不等式： ()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，试求2018201810071007m n +++的最小值.【答案】(1) 12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭(2)4试题解析：（1） ()224f x x x =-++32,2,{6,22, 32,2,x x x x x x --<-=+-≤≤+>可得当2x <-时， 3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解；当22x -≤≤时， 634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤；当2x >时， 3234x +≥-+，得13x ≥，可得2x >. ∴不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭.（2）根据函数()32,2,{ 6,22,32,2,x x f x x x x x --<-=+-≤≤+>,可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =，4m n +=，∴100710072018m n +++=. ∴2018201810071007m n +++ 100710071007100710071007m n m n m n ++++++=+++ 10071007210071007n m m n ++=++++4≥=，当且仅当2m n ==时，取得最小值为4.6．选修4-5：不等式选讲已知3a b c ++=，且,,a b c 都是正数.（1）求证： 11132a b b c c a ++≥+++；（2）是否存在实数m ，使得关于x 的不等式22222x mx a b c -++≤++对所有满足题设条件的正实数,,a b c 恒成立？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）[]2,2m ∈-【解析】（1）第（1）问，利用基本不等式证明11132a b b c c a ++≥+++. (2)第（2）问，由题得22x mx -++≤，再转化成210x mx -+≥恒成立，求出m 的取值范围.试题解析：（1）因为3a b c ++=，且,,a b c 都是正数，所以()()()11111116a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭ ()11333222662b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1a b c ===时，取等号，所以11132a b b c c a ++≥+++得证.7．已知不等式23x x a +≥－.（1）当0a =，解该不等式；（2）a 取何值时，该不等式成立.【答案】（1）1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）(],2a ∞∈-. 【解析】试题分析：(1)当0a =时，原不等式为230x x +-≥.两边平方，通过一元二次不等式求解；(2)令()23F x x x =+-,依题意，得()max F x a ≥.由绝对值三角不等式可得()F x 2222222x x x x x x x =+--≤+--=-≤.即可得到a 的范围.试题解析：(1)当0a =时，原不等式为230x x +-≥.23x x +≥.22449x x x ++≥,2240x x --≤.1x 12-≤≤.∴该不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)令()23F x x x =+-,依题意，得()max F x a ≥.()F x 2222222x x x x x x x =+--≤+--=-≤ .当且仅当0x =时，上述不等式等号同时成立.()2max F x ∴=.∴当(]a ,2∞∈-时，该不等式成立.8．已知()()2366f x x a a =-+-+. (1)解关于a 的不等式()10f >；(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值．【答案】（1）{|33a a -<<+；（2）3{3a b =±=-.试题解析：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－a <3＋∴原不等式的解集为{a |3－a <3＋(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于()61+3=3{ 613=3a ab ----⨯-解得3{3a b =±=-. 9．已知函数()3137f x x x =-++.（1）若不等式()23f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设0,0a b >>，且3a b +=，求证：【答案】(1) 25a -≤≤；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．（2）利用基本不等式转化证明即可．10．已知函数.(1)求不等式的解集； (2)若函数的最小值记为，设,且有证明：. 【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（2）由(1)可知函数的最小值为，即，，展开多项式，利用基本不等式可得结论.试题解析：(1) 求不等式等价于且；且；且，分别求解不等式组，再求并集即可得到满足不等式的解集为.(2)证明：由(1)可知函数的最小值为，即.所以,当且仅但时，等号成立，即所以得证.。

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2018高考数学异构异模复习考案第十八章不等式选讲课时撬分练18 不等式选讲理时间：60分钟基础组1.[2016·枣强中学期中]不等式|x |＋x ≤2的解集为________．答案 (－∞，1]解析当x ≥0时，原不等式即2x ≤2，得x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，原不等式即0≤2，总成立．综上知原不等式的解集为(－∞，1]．2．[2016·冀州中学期末]函数y ＝|2x －1|－2|x ＋1|的最大值为________．答案 3解析因为y ＝|2x －1|－2|x ＋1|＝|2x －1|－|2x ＋2|≤|2x －1－(2x ＋2)|＝3(当x ≤－1时取等号)，所以函数的最大值为3.3．[2016·衡水中学预测]不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >14 解析解法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)，解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >14. 解法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12－ 2x ＋1 ＋2 x －1 >0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤1 2x ＋1 ＋2 x －1 >0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ x >1 2x ＋1 －2 x －1 >0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >14.4．[2016·枣强中学热身]不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．答案 {x |x ≥1}解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3－x －3＋x －2≥3 或⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x <2x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2, 故原不等式的解集为{x |x ≥1}．5．[2016·衡水中学猜题]若a >b >1，则a ＋1a 与b ＋1b的大小关系是________．答案 a ＋1a >b ＋1b解析 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝ a －b ab －1 ab. 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以 a －b ab －1 ab>0. 即a ＋1a >b ＋1b. 6．[2016·衡水中学一轮检测]若1a <1b <0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a＋a b >2；④a 2b<2a －b ，其中正确的是________．答案 ②③④解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0，∴|b |>|a |，①错；∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，②对；b a＋a b >2b a ·a b＝2，③对；由b <0，④变形为a 2＋b 2>2ab 恒成立，④对． 7．[2016·冀州中学模拟]已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．答案 32解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥ 22 x －a2x －a ＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32. 8．[2016·衡水二中周测]以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<23，其中正确命题的序号是________．答案 ①②③解析 ①|a |－|b |≤|a －b |<1，所以|a |<|b |＋1；②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |，所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③|x |<2，|y |>3，所以1|y |<13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x |·1|y |<23.故三个命题都正确． 9．[2016·枣强中学仿真]若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析若|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，即不等式恒成立，则|x －1|＋|x ＋m |≥|(x ＋m )－(x －1)|＝|m ＋1|>3，解得m >2或m <－4.10．[2016·衡水二中月考]对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．答案－1≤x ≤3解析不等式恒成立，只需不等式的左边的最小值≥|a ||x －1|，由绝对值三角不等式得|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |＝2|a |，故只需求解2|a |≥|a ||x －1|即可，解得－1≤x ≤3.11．[2016·武邑中学热身]已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)．(1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，原不等式为|x －2|＋|x －1|≥2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤13－2x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <21≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥22x －3≥2，即x ≥52或x ≤12，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥52或x ≤12. (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2，∴a ≥4或a ≤0，又a >0，∴实数a 的取值范围为a ≥4.12．[2016·冀州中学猜题]在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边边长的倒数成等差数列，求证：∠B <90°.证明假设∠B <90°不成立，即∠B ≥90°，从而∠B 是△ABC 的最大角，∴b 是△ABC 的最大边，即b >a ，b >c .∴1a >1b ，1c >1b，相加得1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b. 这与已知1a ＋1c ＝2b 矛盾，故∠B ≥90°不成立，从而∠B <90°.能力组13.[2016·武邑中学仿真]若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z1＋z(x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________．答案 P <3解析 ∵1＋x >0,1＋y >0,1＋z >0，∴x1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z <1＋x 1＋x ＋1＋y 1＋y ＋1＋z 1＋z ＝3. 即P <3.14．[2016·衡水中学模拟]设函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|，则f (x )的最小值是________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．答案 3 [0,5]解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5－2x ，x <1，3， 1≤x ≤4，2x －5，x >4，x <1时，5－2x >3，x >4时，2x －5>3，得f (x )min ＝3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，5－2x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤4，3≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ x >4，2x －5≤5，求并集得x 的取值范围是[0,5]．15. [2016·冀州中学期中]已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式：1≤f (x )＋f (x －1)≤2；(2)若a >0，求证：f (ax )－af (x )≤f (a )．解 (1)由题f (x )＋f (x －1)＝|x －1|＋|x －2|≥|x －1＋2－x |＝1.因此只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2；当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52. 综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤52. (2)证明：由题f (ax )－af (x )＝|ax －1|－a |x －1|.当a >0时，f (ax )－af (x )＝|ax －1|－|ax －a |＝|ax －1|－|a －ax |≤|ax －1＋a －ax |＝|a －1|＝f (a )．16.[2016·衡水中学仿真]已知x ＋y >0，且xy ≠0.(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ； (2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 恒成立，试求实数m 的取值范围．解 (1)证明：∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0，∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x .(2)①若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≥x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy ，又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝ x ＋y 2－3xy xy <－3xy xy ＝－3，即x 3＋y 3xy x ＋y <－3，∴m >－6；②若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≤x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy ，又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy x ＋y ≥1， ∴m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－6,2]．。