空间向量及其应用
空间向量的几何应用
空间向量的几何应用引言：空间向量是三维空间中具有大小和方向的数学量，是解决几何问题的有力工具。
本文将讨论空间向量在几何中的应用，包括向量的表示、向量的运算和向量的几何性质。
一、向量的表示1.1 坐标表示法空间中的向量可以用坐标表示法表示，即用其坐标分量表示。
设向量A的坐标分量为(Ax, Ay, Az)，表示A在x、y、z三个坐标轴上的投影长度。
1.2 大小及方向空间向量除了可以用坐标表示法表示，还可以用大小和方向表示。
向量的大小表示为其长度，用|A|表示，可以通过勾股定理计算。
向量的方向表示为与坐标轴的夹角或者与其他向量的夹角。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则进行相加，得到一个新的向量。
向量A加向量B的结果表示为向量A+B。
具体的计算规则为将两个向量的对应坐标分量相加。
2.2 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量A减向量B的结果表示为向量A-B。
具体的计算规则为将两个向量的对应坐标分量相减。
2.3 向量的数量积向量的数量积又称为点积，是指两个向量相乘后取乘积的数量。
向量A和向量B的数量积表示为A·B，具体的计算规则为将两个向量的对应坐标分量相乘后相加。
2.4 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，是指两个向量相乘后取乘积的向量。
向量A和向量B的向量积表示为A×B，具体的计算规则为将两个向量的对应坐标分量按照一定的规则相乘后相加。
三、向量的几何性质3.1 平行向量如果两个向量方向相同或者相反，那么它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为0。
3.2 垂直向量如果两个向量的数量积为0，那么它们被称为垂直向量。
垂直向量的夹角为90度。
3.3 几何向量的共线条件三个向量共线的充分必要条件是其中两个向量的数量积等于第三个向量的数量积的相反数。
3.4 向量的投影向量的投影是指把一个向量投影到另一个向量上得到的新向量。
通过投影可以求解向量在某个方向上的分量。
第5节 空间向量及其应用
第5节 空间向量及其应用知识梳理1.空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积：非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 4.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； (2)交换律：a·b ＝b·a ；(3)分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 5.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.7.空间位置关系的向量表示1.在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a ·b ＝b ·a ，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 成立，但不满足结合律，即(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立.4.在利用MN →＝xAB →＋yAC →证明MN ∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC 内.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量.( ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a ⊥α；(3)若a ，b ，c 中有一个是0，则a ，b ，c 共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a ，b 〉＝π，则a ·b <0，故不正确.2.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF→|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2.所以|EF→|＝2，所以EF 的长为 2.4.(多选题)(2021·长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是( ) A.a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) B.c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) C.e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) D.g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，－24，40) 答案 ABC解析 对于A ，有b ＝－2a ，所以a 与b 是平行向量； 对于B ，有d ＝－3c ，所以c 与d 是平行向量； 对于C ，f 是零向量，与e 是平行向量；对于D ，不满足g ＝λh ，所以g 与h 不是平行向量.5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53 C.255D.35答案 A解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→＝(－2，2，1)， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 答案 18解析 因为OP→＝34OA →＋18OB →＋tOC →，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以根据空间向量共面的条件可知34＋18＋t ＝1，解得t ＝18.考点一 空间向量的运算及共线、共面定理1.(多选题)(2020·威海调研)如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON→＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( ) A.OM→＝12b －12c B.AN→＝13b ＋13c －a C.AP→＝14b －14c －34aD.OP→＝14a ＋14b ＋14c 答案 BD解析 对于A ，利用向量的平行四边形法则，OM→＝12OB →＋12OC →＝12b ＋12c ，A 错误；对于B ，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN→＝ON →－OA →＝23OM →－OA →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →－OA →＝13OB →＋13OC →－OA →＝13b ＋13c －a ，B 正确； 对于C ，因为点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，所以AP→＝34AN →＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＋13c －a ＝14b ＋14c －34a ，C 错误；对于D ，OP →＝OA →＋AP →＝a ＋14b ＋14c －34a ＝14a ＋14b ＋14c ，D 正确，故选BD. 2.(多选题)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A.|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B.若AB→，CD →共线，则AB ∥CD C.A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D.若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件 答案 CD解析 由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确； 若AB→，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确； 由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP→＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得P A →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确. 3.在空间四边形ABCD 中，若AB→＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A.(2，3，3)B.(－2，－3，－3)C.(5，－2，1)D.(－5，2，－1)答案 B解析 因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE→，OF →＝12(OA →＋OD →)，2所以EF→＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3).4.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP→＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________. 答案 平行解析 如图所示，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC→＝c ， 则VD→＝a ＋c －b ， 由题意知PM→＝23b －13c ，PN→＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA→＝32PM →＋32PN →， ∴VA→，PM →，PN →共面.又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .感悟升华 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则，就近表示所需向量. 2.(1)对空间任一点O ，OP→＝xOA →＋yOB →，若x ＋y ＝1，则点P ，A ，B 共线. (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法.②对空间任一点O ，OP→＝OM →＋xMA →＋yMB →.考点二 空间向量的数量积及应用【例1】如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点. (1)求证：EG ⊥AB ； (2)求EG 的长；(3)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值. (1)证明 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，由题意知EG→＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG→·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG→⊥AB →，即EG ⊥AB . (2)解 由(1)知EG→＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG→|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.(3)解 AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ， CE→＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.感悟升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角的平面角. (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解. 【训练1】如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值. (1)解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC →1|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明 ∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. ∴AC 1→⊥BD →，∴AC 1⊥BD . (3)解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66. 考点三 利用空间向量证明平行、垂直【例2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点.证明： (1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2).由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1).(1)向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以向量AB→＝(1，0，0)为平面P AD 的一个法向量，而BE→·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1，0，0)，向量PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，不妨令y ＝1，可得n ＝(0，1，1)为平面PCD 的一个法向量. 且n ·AB→＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →. 所以平面P AD ⊥平面PCD .感悟升华 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理，如在(2)中忽略BE ⊄平面P AD 而致误. 【训练2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角.求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP→＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1).∵n ·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM→.又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)法一 由(1)知，BA→＝(0，4，0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面P AB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)， 即⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1，0，3)，又∵平面P AD 的一个法向量n ＝(－3，2，1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .法二 如图，取AP 的中点E ，连接BE ， 则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1). ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE→·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0， ∴BE→⊥DA →，∴BE ⊥DA . 又P A ∩DA ＝A ，P A ，DA ⊂平面P AD ， ∴BE ⊥平面P AD . 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .A 级 基础巩固一、选择题1.已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A.P (2，3，3) B.P (－2，0，1) C.P (－4，4，0)D.P (3，－3，4)答案 A解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)，∴MP→·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.2.已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3C.π3D.π6答案 D解析 因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1， 所以b ＝(1，1，2)， 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝32×6＝32， 又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π6. 3.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0.4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.34a 2答案 C解析 如图，设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE→＝12(a ＋b )，AF →＝12c ， ∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2.5.(多选题)(2020·济南调研)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB→－CB →＝AC → B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→ C.AA′→＝CC ′→ D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 答案 ABC解析 如图，作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，则A 正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，则B 正确； C 显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB→＋BC →＝AC →，则D 不正确.综上，正确的有ABC.6.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A.斜交 B.平行C.垂直D.MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3. 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量. 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 二、填空题7.已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 答案 α∥β解析 设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ·AB→＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒y ＝z ， 由m ·AC→＝0，得x －z ＝0⇒x ＝z ，取x ＝1，∴m ＝(1，1，1)，m ＝－n ，∴m ∥n ，∴α∥β.8.在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点A (1，0，2)，B (0，2，1)，点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD ⊥BC ，那么|CD →|的最小值是________.答案255解析 设C (x ，0，0)，D (0，y ，0)， 因为A (1，0，2)，B (0，2，1)，所以AD→＝(－1，y ，－2)，BC →＝(x ，－2，－1). 因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝－x －2y ＋2＝0，即x ＋2y ＝2.因为CD→＝(－x ，y ，0)， 所以|CD →|＝x 2＋y 2＝（2－2y ）2＋y 2 ＝5y 2－8y ＋4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋45≥255. 9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP→＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________.答案 ①②③解析 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确； 又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确； ∵BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD →与AP →不平行，故④错误. 三、解答题10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB .(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)， C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0， P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0).因为EF→·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解 设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG→·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG→·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点.11.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，过点E 作EF ⊥PB 于点F .求证： (1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明 以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz . 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得A (a ，0，0)，P (0，0，a )，C (0，a ，0)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 为AC 的中点， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以P A →＝(a ，0，－a )，EG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， 则P A →＝2EG→，故P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a ，0)，所以PB →＝(a ，a ，－a ). 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2， 故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →，所以PB ⊥DE .由题可知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .B 级 能力提升12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A.(1，1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1答案 C解析 设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ， 又O 是正方形ABCD 对角线交点， ∴M 为线段EF 的中点.在空间坐标系中，E (0，0，1)，F (2，2，1). 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13.(多选题)(2021·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( ) A.AC 1＝66 B.AC 1⊥DBC.向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D.BD 1与AC 所成角的余弦值为63答案 AB解析 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA 1→·AB →＝AA 1→·AD →＝AD →·AB →＝6×6×cos 60°＝18， (AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2AA 1→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA 1→·AD →＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝|AA 1→＋AB →＋AD →|＝66，所以A 正确； AC 1→·DB →＝(AA 1→＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA 1→·AB →－AA 1→·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD→2＝0，所以B 正确； 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且向量A 1D →与AA 1→的夹角是120°，所以B 1C →与AA 1→的夹角也是120°，所以C 不正确；因为BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，所以|BD 1→|＝（AD →＋AA 1→－AB →）2＝62，|AC→|＝（AB →＋AD →）2＝63，BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝3662×63＝66，所以D不正确.14.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4. (1)求证：BD ⊥PC .(2)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值. 解 如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA ，DF ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，3，0)，D (0，0，0)，C (－3，3，0). 设PD ＝a ，则P (0，0，a )，(1)证明 BD→＝(－1，－3，0)，PC →＝(－3，3，－a )，因为BD →·PC →＝3－3＝0， 所以BD ⊥PC .(2)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0，0，a )，P A →＝(1，0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )，因为PE→＝λPC →，所以PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE→＝DP →＋PE →＝(0，0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ) ＝(－3λ，3λ，a －aλ).设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，P A →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，所以n ＝(a ，0，1)， 因为DE ∥平面P AB ，所以DE→·n ＝0， 所以－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0， 因为a ≠0，所以λ＝14.。
专题35空间向量及其应用
1专题35空间向量及其应用知识必备名称 概念表示 零向量 大小为0的向量 0 单位向量 大小为1的向量 相等向量 方向相同且大小相等的向量 a =b 相反向量 方向相反且大小相等的向量 a 的相反向量为a共线向量 方向相同或方向相反的向量 a//b 共面向量平行于同一个平面的向量2空间向量的运算空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λc (λ∈R )空间向量的数量积：（1）概念：已知空间两个向量a ⃗ ，b ⃗ ，定义它们的数量积（（或内积、点乘）为：a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos⟨a ⃗ ，b ⃗ ⟩（2）性质：a ⃗ ⊥b ⃗ ⇔a ⃗ ⋅b ⃗ =0；|a ⃗ |2=a ⃗ ⋅a ⃗ ；|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b⃗ |. （3）运算律：(λa ⃗ )⋅b ⃗ =λ(a ⃗ ⋅b ⃗ )；a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅a ⃗ ；(a ⃗ b ⃗ )⋅c =a ⃗ ⋅c b ⃗ ⋅c .3空间向量中的有关定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使得b =λa.（2）共面向量定理 如果两个向量a ，b （共共线，那么向量c （与向量a ，b （共面的充要条件是存在且一一有实实数 (x ，y )，使得c =xa yb.（3）空间向量基本定理如果三个向量a⃗，b⃗ ，c共共面，那么对空间任一向量p⃗，存在一一一个有实实数 x，y，z ，使p ⃗=xa ⃗yb ⃗ zc a ⃗，b ⃗ ，c 叫做空间的一个基底，记作{a⃗，b⃗ ，c}，其中a⃗，b⃗ ，c都叫做基向量.4空间向量的坐标表示及其应用设a⃗=(x1，y1，z1)，b⃗ =(x2，y2，z2)，则，①模长：|a⃗|=√x12y12z12；②加法：a⃗b⃗ =(x1x2，y1y2，z1z2)；③减法：a⃗b⃗ =(x1x2，y1y2，z1z2)；④数乘：λa⃗=(λx1，λy1，λz1)；⑤数量积：a⃗⋅b⃗ =x1x2y1y2z1z2；空间向量证明平行和垂直：设a⃗=(x1，y1，z1)，b⃗ =(x2，y2，z2)，则，①平行条件：x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2(λ∈R)；②垂直条件：x1x2y1y2z1z2=0；5空间位置关系的向量表示（1）直线的方向向量：直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.（2）平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量.（3）位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1//l2l1//l2⇔n1=λn2 l1⊥l2l1⊥l2⇔n1⋅n2=0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l//αl//α⇔n⋅m=0 l⊥αl⊥α⇔n=λm平面α，β的法向量分别为n，m α//βα//β⇔n=λm α⊥βα⊥β⇔n⋅m=06空间向量应用——求夹角&求距离⋆求夹角（1）求两条直线所成的角：设直线l1，l2的方向向量分别为v1⃗⃗⃗ ，v2⃗⃗⃗ ，则l1，l2所成角θ满足：cosθ=|cos⟨v1⃗⃗⃗ ，v2⃗⃗⃗ ⟩|=|v1⃗⃗⃗ ⋅v2⃗⃗⃗ ||v1⃗⃗⃗ ||v2⃗⃗⃗ |， θ∈[0，π2]（2）求直线和平面所成的角：设直线l的方向向量为v⃗，平面α的法向量为n⃗，则l与α所成角θ满足：23sinθ=|cos⟨v ⃗ ，n ⃗ ⟩|=|v ⃗ ⋅n ⃗ ||v ⃗ ||n ⃗ |， θ∈[0，π2]； （3）求两个平面所成的角（（二面角）：设平面α，β的法向量分别为n ⃗ 1，n 2⃗⃗⃗⃗ ，则α，β所成的二面角θ满足：|cosθ|=|cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |（θ为平面α，β所生成的二面角，θ∈[0，π]） ⋆求距离（1）求点到平面的距离： ①等体积法；②空间向量法：定点A 到平面α的距离，可设平面α的法向量为n ⃗ ，面α内一点B ，则点A 到平面α的距离为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |.（2）求直线到平面的距离（由于平行，转化为点到平面距离）： ①等体积法；②空间向量法：直线l 到平面α的距离，可设平面α的法向量为n ⃗ ，直线l 上任一点A ，面α内一点B ，则点A 到平面α的距离为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |.（3）求异面直线间距离： ①找到公垂线；②空间向量法：可设直线l 和m 的公垂线的方向向量为n ⃗ ，在两条直线上分别找到A 、B ，则异面直线的距离为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |.典型例题考点一空间向量及运算【例题1】下列说法正确的是（ ）A 若向量a ⃗ ，b ⃗ 共线，则向量a ⃗ ，b ⃗ 所在的直线平行B 若a ⃗ ，b ⃗ ，c 是空间三个向量，则对空间任一向量p ⃗ ，总存在一一的有实实数 (x ，y ，z )，使p ⃗ =xa ⃗ yb ⃗ zcC 若向量a ⃗ 、b ⃗ 所在的直线是异面直线，则向量a ⃗ 、b ⃗ 一定共共线D 若三个向量a ⃗ 、b ⃗ 、c 两两共面，则三个向量a ⃗ 、b ⃗ 、c 一定共面【例题2】如图所示，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1（，点M ，N （分别在AC 1（和BC （上，且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =kAC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =kBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤k ≤1)判断向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.4【例题3】对于空间一点O 和共共线三点A ，B ，C ，且有2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ） A O ，A ，B ，C 四点共面 B P ，A ，B ，C 四点共面C O ，P ，B ，C 四点共面D O ，P ，A ，B ，C 五点共面【例题4】在下列条件中，一定能使空间中的四点M ，A ，B ，C 共面的是（ ） A OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=15OA⃗⃗⃗⃗⃗ 13OB⃗⃗⃗⃗⃗ 12OC⃗⃗⃗⃗⃗ C MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗D OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗【例题5】如图，三棱锥O ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，用a ⃗ ，b ⃗ ，c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A 12(a ⃗ b ⃗ c )B 12(a ⃗ b ⃗ c )C12(a ⃗ b ⃗ c ) D12(a ⃗ b ⃗ c )【例题6】如图，棱长为1的正四面体A BCD 中，M 为棱BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（（ ） A 14B 14C 0D12【例题7】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1=2，E ，F 分别为棱AB ，A 1C 1的中点，则EF ⃗⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =__________5【例题8】已知向量p ⃗ 在基底{a ⃗ ，b ⃗ ，c }下的坐标为(1，2，3)，则p ⃗ 在基底{a ⃗ b ⃗ ，b ⃗ c ，c a ⃗ }下的坐标为（ ） A (0，1，2) B (0，2，1) C (2，1，0)D (1，2，1)【例题9】已知空间向量a ⃗ =(2，1，4)，b ⃗ =(1，1，2)，c =(7，5，m )若，a ⃗ ，b ⃗ ，c 共面，则实数m 的值为（ ） A 14 B 6 C 10D 12【例题10】向量a ⃗ =(2，3，1)，b ⃗ =(2，0，4)，c =(4，6，2)（，下列结论正确的是（ ） A a ⃗ //b ⃗ ，a ⃗ //c B a ⃗ //b ⃗ ，a ⃗ ⊥c C a ⃗ ⊥b ⃗ ，a ⃗ //cD 以上都共对【例题11】已知向量a ⃗ =(1，1，0)，b ⃗ =(1，0，2)，且ka ⃗ b ⃗ 与a ⃗ b ⃗ 互相平行，则实数k 的值为（ ） A 2 B 2 C 1 D 1【例题12】若A (2，2，0)，B (4，1，1)，C (2，m ，n )三点共线，则m n =( ) A 1 B 4 C 6 D 2 【例题13】若A (m 1，n 1，3)，B (2m ，n ，m 2n )，C (m 3，n 3，9)三点共线，则m n =__________【例题14】已知空间向量a ⃗ =(1，2，3)，b ⃗ =(2，1，1)，c =(2，0，3)，则a ⃗ ⋅(b ⃗ c )=( ) A10B 3√3C (4，2，12)D (5，0，15)【例题15】已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，0，z )，若PA ⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PA ⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的坐标为________【例题16】已知向量a⃗=(1，2，x)，向量b⃗ =(2，3，4)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数x为________【例题17】a⃗=(2，3，5)，b⃗ =(3，1，4)，则|a⃗2b⃗ |=__________【例题18】设a⃗⊥b⃗ ，⟨a⃗，c⟩=π3，⟨b ⃗ ，c ⟩=π6，且|a⃗|=1，|b ⃗ |=2，|c |=3，则|a ⃗b ⃗ c |=( )A √176√3B√174√3C6√3D92√3【例题19】已知向量a⃗=(1，0，√3)，单位向量b⃗ 满足|a⃗2b⃗ |=2√3，则a⃗，b⃗ 的夹角为（（）Aπ6Bπ4Cπ3D2π3【例题20】已知空间向量a⃗=(2，1，2)，b⃗ =(1，2，1)，则向量b⃗ 在向量a⃗上的投影向量是（）A(43，23，43)B(2，1，2)C(23，43，23)D(1，2，1)【例题21】已知空间向量a⃗=(2，1，3)，b⃗ =(4，2，x)，下列说法正确的是（）A若a⃗⊥b⃗ ，则x=103B若3a⃗b⃗ =(2，1，10)，则x=1C若a⃗在b⃗ 上的投影向量为13b⃗ ，则x=4D若a⃗与b⃗ 夹角为锐角，则x∈(103，∞)【例题22】已知向量a⃗=(1，3，2)，b⃗ =(2，1，1)，点A(3，1，4)，B(2，2，2).（1）求|2a⃗b⃗ |；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥b⃗ ？（O为原点）【例题23】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点.（1）求证：EG⊥AB；（2）求EG的长.67考点二空间向量应用【例题24】如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长与侧面棱长都是2，M 是PC 的中点. （1）求异面直线AD 和BM 所成角的大小. （2）求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值.【例题25】如图，已知点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA =60∘. （1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.【例题26】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB =1，AC =AA 1=√3，∠ABC =60∘. （1）证明：AB ⊥A 1C ；（2）求二面角A A 1C B 的余弦值.【例题27】如图，四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为矩形SA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45∘.（1）证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；（2）若EF =1BC ，求二面角B SC D 的余弦值.8【例题28】如图，在三棱锥P ABC 中，AB =BC =2√2，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC =2MB ，求点C 到平面POM 的距离.【例题29】如图，在正四棱锥P ABCD 中，PA =AB =3√2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PMPA =BNBD=13. （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求证：MN//平面PBC ，并求直线MN 到平面PBC 的距离.9。
空间向量的运用
空间向量的运用空间向量是三维空间中的一种表示方式，它可以用来描述物体的位置、方向和大小等特征。
在数学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用于各种计算和分析问题中。
本文将介绍空间向量的基本概念和运用，并探讨其在几何、物理和工程等方面的具体应用。
一、空间向量的基本概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，具有大小和方向两个基本特征。
在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，可以分为位移向量和力向量两类。
1. 位移向量：位移向量是用来描述物体在空间中移动的距离和方向，它的大小等于位移的长度，方向与位移的方向相同。
位移向量可以用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
2. 力向量：力向量是用来描述物体受力情况的向量，它的大小等于力的大小，方向与力的方向相同。
力向量通常用起点坐标和终点坐标表示，也可以用分量表示。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘等操作，这些运算可以对向量进行操作，得到新的向量。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量按照一定规则相加，得到一个新的向量。
向量的相加可以通过将两个向量的对应分量相加得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
2. 向量减法：向量减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到，或者通过平行四边形法则进行计算。
3. 数乘运算：数乘运算是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同，但大小变为原来的若干倍。
三、空间向量在几何中的运用空间向量在几何学中有许多应用，可以用来求解各种几何问题，比如计算线段长度、求解直线方程、判断点位置等。
1. 线段长度：通过计算线段的起点和终点坐标，可以得到线段的位移向量，进而计算线段的长度。
2. 直线方程：通过给定直线上的两个点或者一个点和一个方向向量，可以确定直线的方程，从而对直线进行分析和计算。
3. 判断点位置：通过已知点和一些向量信息，可以判断点的位置关系，比如点是否在直线上、是否在平面上等。
空间向量的应用认识空间向量的应用和几何解题方法
空间向量的应用认识空间向量的应用和几何解题方法空间向量的应用及认识空间向量的应用在数学中，空间向量是指具有大小和方向的向量，也称为三维向量。
空间向量在几何学和物理学中有广泛的应用，它们可以用于解决各种几何问题和实际应用中的物理问题。
本文将介绍空间向量及其应用，并讨论几种常见的解题方法。
一、空间向量的定义与性质空间向量是指由三个有序实数组成的有向线段。
假设有两点A和B，空间向量AB可以表示为→AB，它的大小等于线段AB的长度，方向则与线段AB的方向一致。
空间向量具有以下性质：1. 加法性质：如果有两个空间向量→AB和→BC，它们的和为→AC，即→AC = →AB + →BC。
2. 数乘性质：对于任意实数k，空间向量→AB乘以k的结果为k→AB，即k→AB = →BA。
3. 数量积性质：空间向量→AB和→AC的数量积为它们的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积，即→AB·→AC = |→AB| × |→AC| × cosθ。
二、空间向量的应用1. 几何问题中的位置关系：空间向量可以用于判断点的位置关系。
例如，已知三个点A、B和C，可以通过向量→AB和→AC的数量积来判断它们的位置关系。
若→AB·→AC = 0，则表示点C在向量→AB 的延长线上；若→AB·→AC > 0，则表示点C在向量→AB的同侧；若→AB·→AC < 0，则表示点C在向量→AB的异侧。
2. 几何问题中的求解：空间向量可用于求解几何问题，如线段的中点坐标、平行四边形的面积等。
通过定义空间向量→AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)，可以得到线段AB的中点坐标为[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2,(z1+z2)/2]；平行四边形的面积可以通过向量的叉积来计算，即以两个边向量的叉积的模作为平行四边形的面积。
3. 物理学中的应用：空间向量在物理学中也有广泛的应用。
空间向量的变换与应用
空间向量的变换与应用空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的工具。
在数学和物理学中，空间向量广泛应用于解决空间几何、力学、电磁学等问题。
本文将探讨空间向量的变换及其在实际应用中的重要性。
一、空间向量的定义空间向量是指在空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影。
向量的大小可以通过求模运算得到，即向量的大小等于各个坐标分量平方和的平方根。
二、空间向量的变换空间向量的变换包括平移、旋转和缩放。
下面将分别介绍这三种变换的定义和应用。
1. 平移变换平移变换是指将向量在空间中沿着某一方向移动一定的距离。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行平移变换时，只需要通过给向量的各个坐标分量加上对应平移量d(x, y, z)，即得到平移后的向量b(x+d_x, y+d_y,z+d_z)。
平移变换在计算机图形学中广泛应用，用于实现物体在空间中的移动效果。
比如，在游戏中，我们可以通过平移变换来实现角色的行走和物体的位置调整。
2. 旋转变换旋转变换是指通过旋转角度来改变向量的方向。
一般来说，旋转变换可以绕空间中的任意轴进行，包括X轴、Y轴、Z轴，以及不过原点的任意轴。
旋转变换的具体计算涉及到复杂的三角函数运算，这里不做详细介绍。
在实际应用中，旋转变换常用于计算机动画、机器人运动控制和三维建模中。
3. 缩放变换缩放变换是指通过乘以一个比例因子来改变向量的大小。
假设有一个向量a(x, y, z)，进行缩放变换时，只需要将向量的各个坐标分量分别乘以对应的缩放因子s(x, y, z)，即得到缩放后的向量b(s_x*x, s_y*y,s_z*z)。
缩放变换在计算机图形学和模型设计中非常常见，用于控制物体的大小和比例。
例如，在电影特效中，我们可以通过缩放变换来实现巨大怪兽的呈现效果。
三、空间向量的应用空间向量在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
空间向量及其应用(理)89张
向量的坐标表示
01
空间中任意一点P可以由三维实数 坐标系中的有序实数组(x, y, z)唯 一确定。
02
向量也可以由其起点A和终点B的 坐标确定，记作向量AB。
向量的坐标运算
向量加法
设向量AB=(x1, y1, z1)和向量 BC=(x2, y2, z2)，则向量AC= 向量AB+向量BC=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
机器人控制
在机器人控制中，可以通过向量表示机器人的位置和姿态， 从而方便地控制机器人的运动。
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向量的混合积与外积
向量的混合积
混合积是三个向量的乘积，表示三个向量构成的平行六面体的体积。混合积的 符号取决于三个向量的排列顺序。
外积
外积是两个向量的乘积，表示垂直于这两个向量的一个向量。外积的符号也取 决于两个向量的排列顺序。
03
向量在几何中的应用
向量在解决几何问题中的应用
利用向量表示点、线、面等几何元素，通过向量的 运算来研究几何性质。
空间向量及其应用(理)89张
目
CONTENCT
录
• 引言 • 向量的运算 • 向量在几何中的应用 • 向量的坐标表示与运算 • 向量的应用实例
01
引言
空间向量的定义与表示
空间向量
在三维空间中定义的向量，具有大小和方向。
向量表示
使用有向线段表示向量，起点为原点，终点为所表 示的点。
模
向量的长度或大小，用符号表示。
通过向量的数量积、向量积、混合积等运算，解决 平行、垂直、角度、长度等问题。
利用向量的投影和射影，解决点到直线的距离、点 到平面的距离等问题。
空间向量的线性关系与应用
空间向量的线性关系与应用在线性代数中，空间向量的线性关系及其应用是一项重要的研究内容。
本文将介绍空间向量的线性关系，分析其应用，并探讨其在实际问题中的应用案例。
一、空间向量的线性关系在三维空间中，向量是由坐标表示的，可以表示为(A1, A2, A3)，其中A1、A2、A3分别代表向量在X、Y、Z轴上的分量。
当多个向量之间存在线性关系时，我们可以通过线性组合的方式来表达这种关系。
具体来说，假设有n个向量v1、v2、v3......vn，每个向量都可以表示为(v1, v2, v3)、(v4, v5, v6)......(vn-2, vn-1, vn)。
如果存在一组实数k1、k2、k3......kn，使得k1v1 + k2v2 + k3v3 + ......+ knvn = 0，则称这些向量之间存在线性关系。
二、空间向量的应用空间向量的线性关系有很多实际应用，下面将介绍其中几个常见的应用。
1. 平面几何在平面几何中，通过空间向量的线性关系可以进行平面求交、相交线的夹角等计算。
通过求解线性方程组，可以确定平面的位置关系，帮助我们更好地理解和解决平面几何问题。
2. 向量运算空间向量的线性关系在向量运算中起着重要作用。
通过对向量的线性组合，我们可以进行向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，进一步拓展了向量的应用领域。
3. 物理学空间向量的线性关系在物理学中也有广泛的应用。
以力学为例，我们可以通过空间向量的线性关系来描述物体所受到的力的合成和分解，进而求解物体的运动状态和受力分析。
三、空间向量线性关系的应用案例下面将通过一个实际问题案例来说明空间向量线性关系的应用。
案例：假设有一辆汽车在平面上行驶，其行驶速度可以表达为一个向量v1。
另外，还有两个力F1和F2作用在汽车上，分别表示汽车所受到的推力和阻力，它们也可以用向量表示。
根据牛顿第二定律，我们知道力的合成可以通过向量的线性组合来表示。
假设F1的大小为a，方向与行驶方向相同，F2的大小为b，方向与行驶方向相反。
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B
1 1 1 1 1 A1O OG (c a b ) ( a b c ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 (a b ) c (a b ) c 4 4 2 D1 C1 1 2 2 1 2 (a b ) c A1 B1 4 2 G 1 2 2 1 2 (a b ) c D C 4 2 A O B 0.
求证：A1O 平面GBD.
D1 A1 D A O B B1 G C
C1
[例2] 在正方体ABCD A1 B1C1 D1中, O为AC与BD的交点, G为CC1的中点,
求证：A1O 平面GBD. [证明] 设 A1 B1 a , A1 D1 b , A1 A c . C1 则a b 0, b c 0, a c 0. D1
1 1 A1O BD (c a b ) (b a ) 2 2 1 c (b a ) (a b )( b a ) 2 D1 C 1 1 2 2 B1 c b c a (b a ) A1 2 G 1 2 2 ( b a ) 0. D C 2 A
A
P
E N
B
于是 EM FN ( PM PE ) ( PN PF ) PM PN PM PF PE PN PE PF 2 2 ab cos 60 a b cos 45 b cos 45 2 2 2 2 a b 0. EM NF 2 2 B1 C B
A1
M D N
1 5 1 . 4 2
A
5 同理 CN , 2 AM CN 则 cos AM CN 1 2 2 . 5 5 4
A1
D1 M D N
C1 B1 C B
A
[例2] 在正方体ABCD A1 B1C1 D1中, O为AC与BD的交点, G为CC1的中点,
[解析] 如图, B1 M B1 B BM
1 B1 B ( BA BC ) 2 1 1 A1 A A1 B1 A1 D1 2 2 A D 1 1 M c a c. 2 2 D B C 1 A 1 答案：A
B1
C1
2. P是二面角-AB- 棱上的一点, 分 别在、 平面上引射线PM、PN, 如果 ∠MPN=60, 那么二面角-AB- 的大小为 ( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
A
M P
E N
F B
2. P是二面角-AB- 棱上的一点, 分 别在、 平面上引射线PM、PN, 如果 ∠MPN=60, 那么二面角-AB- 的大小为 ( ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
[解析] 如图, 设PM=a, PN=b, 作ME⊥AB,
∠EPM=∠EPN=45,
A
M P
2 2 故PE a , PF b, 2 2
E N
F B
于是 EM FN ( PM PE ) ( PN PF ) PM PN PM PF PE PN PE PF 2 2 ab cos 60 a b cos 45 b cos 45 2 2 2 2 a b 0. EM NF 2 2 M 即二面角为 90. F
D1 M
D N C1 B1
3 10 A1 A. arccos B. arccos 2 10 3 2 C. arccos D. arccos A 5 5
C B
[解析] AM AA1 A1 M , CN CB BN ,
AM CN ( AA1 A1 M ) (CB BN ) 1 AA1 BN .而 AM 2 ( AA1 A1 M ) ( AA1 A1 M ) D 1 AA1 A1 M
而 A1O A1 A AO 1 A1 A ( AB AD) 2
A1 B1 G D A O B C
1 c (a b ), 2
BD AD AB b a ,
D1 C1 OG OC CG A1 B1 1 1 ( AB AD ) CC1 G 2 2 D C 1 1 (a b ) c , A O B 2 2
空间 向量及应用
第一课时：
空间向量及其运算
[课前导引]
AC和BD的交点, 若 A1 B1 a , A1 D1 b , A1 A c , 则下列式子中与 B1 M相等的是 ( ) 1 1 1 1 A. a b c B. a b c 2 2 2 2 1 1 1 1 D. a b c C. a b c 2 2 2 2
答案：C
A
P
E N
B
[考点搜索]
1. 空间向量的概念，表示及其运算. 2. 空间向量的基本定理，以及空间向
量的数量积的定义和性质.
3. 利用向量解决有关平行、垂直问题.
4. 利用向量求空间角.
5. 利用向量求空间距离.
[链接高考]
1的正方体ABCD A1 B1C1 D1 [例1] 在棱长为 中, M、 N分别为A1 B1和BB1的中点, 那么直线 AM与CN所成的角为( )
1. 平行四面体ABCD-A1B1C1D1中, M为
[解析] 如图, B1 M B1 B BM
1 B1 B ( BA BC ) 2 1 1 A1 A A1 B1 A1 D1 2 2 A 1 1 M c a c. 2 2
B
A1
D C C1 D1
B1