空间向量的应用题
空间向量的应用与新定义(五种题型)(试题版)
空间向量的应用与新定义题型一:空间向量的位置关系的证明1如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是BB1,DD1的中点，则下列结论正确的是()A.A1O⎳EFB.A1O⊥EFC.A1O⎳平面EFB1D.A1O⊥平面EFB12在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF⎳平面A1ACD.平面B1EF⎳平面A1C1D3如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中不正确的是()A.若D1Q⎳平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π4（多选）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别为AD,AB,B1C1的中点，以下说法正确的是()博观而约取 厚积而薄发A.三棱锥A -EFG 的体积为13B.A 1C ⊥平面EFGC.过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是33D.异面直线EG 与AC 1所成的角的余弦值为335（多选）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =1，点P 满足CP =λCD +μCC1，其中λ∈0,1 ,μ∈0,1 ，则下列结论正确的是()A.当B 1P ⎳平面A 1BD 时，B 1P 可能垂直CD 1B.若B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C.当λ=μ时，DP + A 1P 的最小值为2+52D.当λ=1时，正方体经过点A 1､P ､C 的截面面积的取值范围为62，26（多选）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB =DE =2，CF =1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B -GHF 的体积为定值；④三棱锥E -BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为．(填写所有正确结论的序号)7（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；②直线B1D1到平面CMN的距离是2 2；③存在点P，使得∠B1PD1=90°；④△PDD1面积的最小值是55 6．其中所有正确结论的序号是．8在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MP⊥CN，点P轨迹的长度是.9如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，BC=2，M为BC的中点．(1)求证：PB⊥AM；(2)求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．博观而约取 厚积而薄发10如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，M为线段A1C1上一点.(1)求证：BM⊥AB1；(2)若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A1到平面BCM的距离.11如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F⎳平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．12直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点．(1)求证：EF⎳平面ABC；(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D所成二面角的余弦值．13如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA,BD中点，PA=PD=AD=2．(1)求证：EF //平面PBC ；(2)求二面角E -DF -A 的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．题型二:空间角的向量求法1（多选）已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则()A.平面α⊥平面A 1B 1EB.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118πD.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π32（多选）已知梯形ABCD ，AB =AD =12BC =1，AD ⎳BC ，AD ⊥AB ，P 是线段BC 上的动点；将△ABD 沿着BD 所在的直线翻折成四面体A BCD ，翻折的过程中下列选项中正确的是()A.不论何时，BD 与A C 都不可能垂直B.存在某个位置，使得A D ⊥平面A BCC.直线A P 与平面BCD 所成角存在最大值D.四面体A BCD 的外接球的表面积的最小值为4π方法归纳【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.3如图，PO 是三棱锥P -ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．博观而约取 厚积而薄发(1)证明：OE⎳平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．4在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．5如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB ⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值．【整体点评】(1)方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.(2)方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.6在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．7如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO．(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-E的余弦值．8如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC =2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．博观而约取 厚积而薄发条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．9如图，ABCD为圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.(1)证明：BE⊥平面DEF；(2)若AB=BC=2，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的余弦值.10如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD=3，AB=BC=2，PA ⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)证明：若DM=2MP，直线MN⎳平面PAB；(2)求二面角C-PD-N的正弦值；(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由.11如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.12如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB =1，P 为棱AD 的中点，四棱锥S -ABCD 的体积为233．(1)若E 为棱SB 的中点，求证：PE ⎳平面SCD ；(2)在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为235若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.13如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =π3，∠B 1BD =π6，∠B 1BA =∠B 1BC ,AB =2A 1B 1=2,B 1B =3(1)求证：直线AC ⊥平面BDB 1；(2)求直线A 1B 1与平面ACC 1所成角的正弦值.题型三:空间向量的距离求法1已知直线l 过定点A 2,3,1 ，且方向向量为s=0,1,1 ，则点P 4,3,2 到l 的距离为()A.322B.22C.102D.22在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为棱DC 的中点，E 为线段AO 上的点，且AE =2EO ，若点F ,P 分别是线段DC 1，BC 1上的动点，则△PEF 周长的最小值为()博观而约取 厚积而薄发A.32B.922C.41D.423（多选）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD,SA=AB，O，P分别是AC,SC的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是()A.OM⊥PAB.存在点M，使OM⎳平面SBCC.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值4（多选）已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面边长分别为4，6，高为2，E是A1B1的中点，则()A.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为5223B.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为104πC.AE∥平面BC1DD.A1到平面BC1D的距离为41055（多选）如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B.若保持PM=2，则点M在侧面内运动路径的长度为π3C.三棱锥B-C1MD的体积最大值为16D.若M在平面ADD1A1内运动，且∠MD1B=∠B1D1B，点M的轨迹为线段6（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π7如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE 上的动点，则MN的最小值为．8如图，某正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧.若顶点B，C，D到平面α的距离分别为2，3，2，则该正方体外接球的表面积为.博观而约取 厚积而薄发9如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD=1.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90° .(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM∥平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求P到直线CE的距离.10如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA⎳BF，AB =AE=2BF=2(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离.11如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=1，SC=233，三棱锥S-BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点.(1)求证：直线BD ⊥平面SAC ；(2)求二面角E -BF -D 的余弦值；(3)判断直线SA 与平面BDF 的位置关系.如果平行，求出直线SA 与平面BDF 的距离；如果不平行，说明理由.题型四:空间线段点的存在性问题1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为23方法归纳【点睛】求空间几何体体积的方法如下：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．2（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()博观而约取 厚积而薄发A.满足MP⎳平面BDA1的点P的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥AD ，AD =12BC =3，PC =5，AD ⎳BC ，AB =AC ，∠BAD =150°，∠PDA =30°．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.博观而约取 厚积而薄发(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.题型五:立体几何的新定义1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为232（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()A.满足MP ⎳平面BDA 1的点P 的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AD=12BC=3，PC=5，AD⎳BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；博观而约取 厚积而薄发(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.。
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)[1]
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空间向量在立体几何中的应用:（1)直线的方向向量与平面的法向量: ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． （2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线l ,m 的方向向量分别是a ，b ,平面α ，β 的法向量分别是u ,v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ; ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ,k ∈R ; ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ,b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ,显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ,显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ,β 的法向量，则<m 1，m 2>与该二面角的大小相等或互补．（4）根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3,OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1,点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1,AE 的中点,求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A （3，0，0），B (0，4，0)，O 1（0，0，2)，A 1(3，0，2），B 1（0，4，2），E （3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2,2）,R (3，2，0）,⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ,∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：（1)证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1,B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一:设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A （4,0，0），M （2，0，4），N （4，2，4）,B (4，4，0)，E （0，2，4)，F （2，4，4)．取MN 的中点K ,EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O （2,2，0)，K （3,1,4），G （1，3，4）．MN ＝（2,2，0)，EF ＝(2，2,0)，AK ＝（－1,1,4），OG ＝（－1，1，4)， ∴MN ∥EF ,OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3），平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝（2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝（2，－2,1)．∵a ∥b ,∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0)，A (2，0,0），M (2，1，2）,C （0,2，0），N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ,连接B 1P ，B 1Q ，PQ ,PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角（锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A （0,0，0），B (0，a ，0），),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a aa C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a a D ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0),B (0，a ,0），A 1(0，0，a 2），)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝（p ，q ，r ）, 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0,0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC 【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C （0，0，0）,A (1，0，0），B （0，2，0)，P （1,0，1），由D 是PB 的中点,得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二:如图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0),)0,1,2(B ，C （0,1，0)，P (0，0,1），).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1,a 2，a 3），平面PBC 的法向量是b ＝（b 1,b 2，b 3）． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝（0,1，1）．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两个向量的夹角;应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题： 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是（ ） (A)2（B ）2（C)5（D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是（ ) (A)30° （B)45° (C)60° （D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） (A)31 （B ）32 （C)33 (D ）32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ,B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ,AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）（A)θ ＞ϕ,m ＞n （B ）θ ＞ϕ，m ＜n （C)θ ＜ϕ,m ＜n(D ）θ ＜ϕ,m ＞n二、填空题:5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图,正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图,在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点,N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ,A ∈PQ ，B ∈α ,C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．（Ⅰ）证明：BC ⊥PQ ；（Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图 9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2,2，0)，C （0，2，0)，E （0，2，1），A 1（2,0，4）．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A（Ⅰ）∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．（Ⅱ）设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝（4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A C A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ,y ，z 轴建立坐标系．则A （0，0,0)，B (1，0，0），)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0,0，2）,M （0，0，1），⋅-)0,42,421(N （Ⅰ）⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝（x ,y ,z ），则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ,得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． （Ⅱ）设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．（Ⅰ）证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ,α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ,又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ）由（Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点,分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图）．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角,则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°,∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z ）是平面ABC 的一个法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝（1,0,0）是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ,∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。
空间向量的应用 高中数学例题课后习题详解
第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系例1如图1.4-7在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12CC =，M 是AB的中点．以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．图1.4-7（1）求平面11BCC B 当的法向量；（2）求平面1MCA 的法向量．分析：（1）平面11BCC B 与y 轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面1MCA 可以看成由MC ，1MA，1CA 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．解：（1）因为y 轴垂直于平面11BCC B ，所以1(0,1,0)n=是平面11BCC B 的一个法向量．（2）因为4AB =，3BC =，12CC =，M 是AB 的中点，所以M ，C ，1A 的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2)．因此(3,2,0)MC =-，1(0,2,2)MA =- ．设2(,,)n x y z =是平面1MCA 的法向量，则2n MC ⊥ ，21n MA ⊥ ．所以221320,220.n MC x y n MA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩所以2,3.x z y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取3z =，则2x =，3y =．于是2(2,3,3)n =是平面1MCA 的一个法向量．练习1．空间中点、直线和平面的向量表示1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（）（2）若v 是直线l 的方向向量，则()v λλ∈R 也是直线l 的方向向量；（）（3）在空间直角坐标系中，()0,0,1j =是坐标平面Oxy 的一个法向量．（）【答案】①.√②.×③.√【解析】【分析】根据零向量的方向不确定可判断（1），由0λ=可判断（2），由j ⊥ 平面Oxy 可判断（3）.【详解】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确；（2）当0λ=时，0v λ=，所以()v λλ∈R 不一定是直线l 的方向向量，不正确；（3）在空间直角坐标系中，()0,0,1j = ，j ⊥平面Oxy ，所以()0,0,1j = 是坐标平面Oxy 的一个法向量，正确．2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c =，O 是1BD 与1B D的交点．以{},,a b c为空间的一个基底，求直线OA 的一个方向向量．【答案】111222a b c---【解析】【分析】依题意就是用{},,a b c表示OA ，根据空间向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：因为AB a = ，AD b = ，1AA c =，如图112OA OB BA D B BA=+=+()11112D A A A AB BA =+++因为11D A AD b =-=- ，11A A AA c =-=- ，所以()11112222OA b c a a a b c=--+-=--- 所以直线OA 的一个方向向量为111222a b c---3.在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12CC =．以D 为原点，以1111,,342DA DC DD ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz ，求平面1ACD 的一个法向量．【答案】()4,3,6（答案不唯一）【解析】【分析】求得1,AC AD 坐标，设出法向量，根据100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即可求解.【详解】由题可得()()()10,4,0,3,0,0,0,0,2C A D ，则()()13,4,0,3,0,2AC AD =-=-，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则1340320m AC x y m AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得3,6y z ==，则平面1ACD 的一个法向量为()4,3,6.2．空间中直线、平面的平行例2证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：如图1.4-11，a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α．求证：//αβ．分析：设平面α的法向量为n，直线a ，b 的方向向量分别为u r，v，则由已知条件可得0n u n v ⋅=⋅=，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量．证明：如图1.4-11，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u r ，v．因为//a α，//b α，所以0n u ⋅= ，0n v ⋅=．因为a β⊂，b β⊂，a b P = ，所以对任意点Q β∈，存在x ，y R ∈，使得PQ xu yv =+．从而()0n PQ n xu yv xn u yn v ⋅=⋅+=⋅+⋅=．所以，向量n也是平面β的法向量．故//αβ．倒3如图1.4-12，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12CC =．线段1B C上是否存在点P ，使得1//A P 平面1ACD ？图1.4-12分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量1B C ，1A P，以及平面1 ACD 的法向量n等都可以用坐标表示，如果点P 存在，那么就有10n A P ⋅=，由此通过向量的坐标运算可得结果．解：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A ，C ，1D 的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)，所以(3,4,0)AC =-，1(3,0,2)AD =- ．设(,,)n x y z = 是平面1ACD 的法向量，则0n AC ⋅=uuu rr ，10n AD ⋅= ，即340,320.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩所以2,31.2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取6z =，则4x =，3y =．所以，(4,3,6)n =是平面1ACD 的一个法向量．由1A ，C ，1B 的坐标分别为(3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)，得11(0,4,0)A B =，1(3,0,2)B C =-- ．设点P 满足11(01)B P B C λλ= ，则1(3,0,2)B P λλ=--，所以1111(3,4,2)A P A B B P λλ=+=--．令10n A P ⋅=，得1212120λλ-+-=，解得12λ=，这样的点P 存在．所以，当1112B P BC =，即P 为1B C 的中点时，1//A P 平面1ACD ．练习4.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．【答案】证明见解析【解析】【分析】先写出已知求证，再利用向量的数量积运算以及线面平行的定义即可证出．【详解】已知：直线,a b ，平面α，,a b αα⊄⊂，//a b ．求证：//a α．证明：设直线,a b 的方向向量分别为,u v ，平面α的一个法向量为n，因为//a b ，所以u v λ= ，由于n v ⊥ ，所以0n v ⋅= ，即有0n u n v λ⋅=⋅= ，亦即n u ⊥．因为a α⊄，所以//a α．5.如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点．直线AD 上是否存在点F ，使得//AE CF？【答案】不存在，证明见解析.【解析】【分析】把向量A E和CF 都用同一组基底来表示，然后根据向量平行的条件来证明不存在.【详解】假设直线AD 上存在点F 使//AE CF ，设()01AF AD λλ=≤≤，,,AB a AC b AD c ===，因为E 是BC 的中点，所以11112222AE AB AC a b =+=+ ，CF AF AC AD AC c b λλ=-=-=- ，若//AE CF ，则AE mCF = ，即()1122a b m c b λ+=- ，所以1122a b m c mb λ+=- ，即11022a m b m c λ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以1021020m m λ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，此时显然不成立，所以不存在点F ，使得//AE CF .6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1AB ，面11A C 的中心．求证：//EF 平面1ACD．【答案】证明见解析【解析】【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，求出平面1ACD 的一个法向量，利用向量关系即可证明.【详解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,2,2,1,1,1,1,2A C D E F ，则()()()12,2,0,2,0,2,1,0,1AC AD EF =-=-=-，设平面1ACD 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则可得()1,1,1n = ，0EF n ⋅= ，EF n ∴⊥，EF ⊄平面1ACD ，∴//EF 平面1ACD .3．空间中直线、平面的垂直例4如图1.4-14，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，11A AB A AD BAD ∠=∠=∠60=︒，求证：直线1A C ⊥平面11BDD B ．图1.4-14分析：根据条件，可以{AB ，AD ，1AA}为基底，并用基向量表示1AC 和平面11BDD B ，再通过向量运算证明1AC是平面11BDD B 的法向量即可．证明：设AB a = ，AD b = ，1AA c = ，则{a ，b ，c}为空间的一个基底，且1A C a b c =+- ，BD b a =- ，1BB c =．因为11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以2221a b c === ，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=r r r r r r ．在平面11BDD B 上，取BD ，1BB为基向量，则对于平面11BDD B 上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(,)λμ，使得1BP BD BB λμ=+ ．所以，1111A C BP A C BD A C BB λμ⋅=⋅+⋅ ()()()0a b c b a a b c c λμ=+-⋅-++-⋅=．所以1AC是平面11BDD B 的法向量．所以1A C ⊥平面11BDD B ．例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图1.4-15已知：如图1.4-15，l α⊥，l β⊂，求证：αβ⊥．证明：取直线l 的方向向量u r，平面β的法向量n．因为l α⊥，所以u r是平面α的法向量．因为l β⊂，而n 是平面β的法向量，所以u n ⊥．所以αβ⊥．练习7.已知(3,,)(,)u a b a b a b =+-∈R 是直线l 的方向向量，()1,2,3n =是平面α的法向量．（1）若//l α，求a ，b 的关系式；（2）若l α⊥，求a ，b 的值．【答案】（1）530a b -+=；（2）153,.22a b ==-【解析】【分析】（1）由//l α得u n ⊥ ，所以0u n ⋅=，进而可得结果；（2）由l α⊥得//u n，所以3123a b a b+-==，进而解得,a b .【详解】（1）由//l α得u n ⊥，所以0u n ⋅=，即31()2()30a b a b ⨯++⨯+-⨯=，整理得530a b -+=；（2）由l α⊥得//u n，所以3123a b a b +-==，解得152a =，32b =-.8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以D 为原点，{}1,,DA DC DD为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：11A C BC ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】用基底表示出向量11,AC BC ，证明110AC BC ⋅=.【详解】由题意，111AC DC DA DC DA DD =-=--,111BC DC DB DD DA =-=-,所以221111110A C BC DC DD DD DA DD DA DC DA DA DD ⋅=⋅-⋅--⋅++⋅= 所以11A C BC ⊥.9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 是CD 的中点，F 是BC 的中点．求证：平面1EAD ⊥平面1EFD ．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()0,1,0E ，()1,0,0A ，()10,0,1D ，1,2,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,1,0AE =- ，()10,1,1ED =- ，1,1,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设面1EAD 的法向量为(),,n x y z = ，则1·0·0n AE n ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即00x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n = ；设面1EFD 的法向量为(),,m x y z = ，则1·0·0m EF m ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即1020x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令2x =，则1y z ==-，所以()2,1,1m =--；因为()()2111110n m =⨯+⨯-+⨯-= ，所以n m ⊥ 所以平面1EAD ⊥平面1EFD．1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题例6如图1.4-18在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点．图1.4-18（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离．分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．解：以1D 为原点，11D A ，11D C ，1D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)A ，(1,1,1)B ，(0,1,1)C ，1(0,1,0)C ，11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(0,1,0)AB = ，1(1,1,1)AC =-- ，10,,12AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,,02FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，10,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）(0,1,0)a AB == ，113(1,1,1)3AC u AC ==-- ，则21a = ，33a u ⋅= ．所以，点B 到直线1AC 的距离为2216()133a a u -⋅=-= ．（2）因为111,,02FC EC ⎛⎫==-⎪⎝⎭ ，所以1//FC EC ，所以//FC 平面1AEC ．所以点F 到平面1AEC 的距离即为直线FC 到平面1AEC 的距离．设平面1AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则10,0.n AE n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩所以,2.x z y z =⎧⎨=⎩取1z =，则1x =，2y =，所以，(1,2,1)n =是平面1AEC 的一个法向量．又因为10,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以点F 到平面1AEC的距离为||66||AF n n ⋅== ．即直线FC 到平面1AEC 的距离为66．练习10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1B C 的距离等于__________；直线DC 到平面1AB 的距离等于_________；平面1DA 到平面1CB 的距离等于__________．【答案】①.1②.1③.1【解析】【分析】根据点面距、线面距、面面距的定义及正方体的性质计算可得；【详解】解：在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面1B C ，所以AB 即为点A 到平面1B C 的距离，故点A 到平面1B C 的距离为1，因为//DC AB ，AB Ì面1B A ，DC ⊄面1B A ，所以//DC 面1B A ，所以AD 即为直线DC 到平面1AB 的距离，故直线DC 到平面1AB 的距离为1，又平面1//DA 平面1CB ，所以平面1DA 到平面1CB 的距离为1故答案为：1，1，111.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．（1）求点1A 到直线1B E 的距离；（2）求直线1FC 到直线AE 的距离；（3）求点1A 到平面1AB E 的距离；（4）求直线1FC 到平面1AB E 的距离．【答案】（1）53；（2）305；（3）23；（4）13.【解析】【分析】（1）建立坐标系，求出向量11A B 在单位向量11||B Eu B E =上的投影，结合勾股定理可得点1A 到直线1B E 的距离；（2）先证明1//,AE FC 再转化为点F 到直线AE 的距离求解；（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；（4）把直线1FC 到平面1AB E 的距离转化为1C 到平面1AB E 的距离，利用法向量进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则11111(1,0,1),(1,1,1),(0,0,(1,1,(0,1,1),(1,0,0).22A B E F C A （1）因为111111221(1,1,),(,,),(0,1,0)2333||B E B E u A B B E =---==---=，所以1123A B u ⋅=- .所以点1A 到直线1B E3==.（2）因为111(1,0,),(1,0,),22AE FC =-=- 所以1//AE FC ，即1//,AE FC 所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离.1(,0,(0,1,).552||AE u AF AE ==-=255,,410AF AF u =⋅= 所以直线1FC 到直线AE305=（3）设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =，11(0,1,1),(1,0,),2AB AE ==- 1(001)AA =,,.由10,10,2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2z =，则2,1y x =-=，即(1,2,2)n =-.设点1A 到平面1AB E 的距离为d ，则123AA n d n ⋅== ，即点1A 到平面1AB E 的距离为23.（4）因为1//,AE FC 所以1//FC 平面1AB E ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离等于1C 到平面1AB E 的距离.()111,0,0C B = ，由（3）得平面1AB E 的一个法向量为(1,2,2)n =-，所以1C 到平面1AB E 的距离为1113C B n n ⋅= ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为13.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面1A DB 与平面11D CB 的距离．【答案】33【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算平面1A DB 的法向量为(1,1,1)n =--，再由DC n d n⋅= 可得解.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，1(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(0,1,0)A B D C ，1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,0)DA DB DC ===设平面1A DB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，不妨令1x =，则1,1y z =-=-，所以(1,1,1)n =--，所以平面1A DB 与平面11D CB间的距离33DC n d n ⋅=== 例7如图1.4-19，在校长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，求直线AM 和CN夹角的余弦值．图1.4-19分析：求直线AM 和CN 夹角的余弦值，可以转化同量MA 与CN的余弦值．为此需要把向量MA ，CN 用适当的基底表示出来，进而求得向量MA ，CN夹角的余弦值．解：化为向量问题如图1.4-19，以{CA ，CB ，CD}作为基底．则12MA CA CM CA CB =-=- ，1()2CN CA CD =+．设向量CN 与MA的夹角为θ，则直线AM 和CN 夹角的余弦值等于|cos |θ．进行向量运算11()22CN MA CA CD CA CB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭ 211112424CA CA CB CD CA CD CB =-⋅+⋅-⋅1111128482=-+-=．又ABC 和ACD △均为等边三角形，所以3||||2MA CN ==．122cos 3||||3322CN MACN MA θ⋅==⋅ ．回到圆形问题所以直线AM 和CN 夹角的余弦值为23．例8图1.4-22，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，13AA =，90ACB ∠=︒，P 为BC 的中点，点Q ，R 分别在棱1AA ，1BB 上，12A Q AQ =，12BR RB =．求平面PQR 与平面111A B C夹角的余弦值．图1.4-22分析：因为平面PQR 与平面111A B C 的夹角可以转化为平面PQR 与平面111A B C 的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．解：化为向量问题以1C 为原点，11C A ，11C B ，1C C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面111A B C 的法向量为1n u r ，平面PQR 的法向量为2n u u r，则平面PQR 与平面111A B C 的夹角就是1n u r 与2n u u r的夹角或其补角．进行向量运算因为1C C ⊥平面111A B C ，所以平面111A B C 的一个法向量为1(0,0,1)n =．根据所建立的空间直角坐标系，可知(0,1,3)P ，(2,0,2)Q ，(0,2,1)R ．所以(2,1,1)PQ =--，(0,1,2)PR =-．设2(,,)n x y z = ，则220,0,n PQ n PR ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20,20,x y z y z --=⎧⎨-=⎩所以3,22.x z y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取2(3,4,2)n =，则121212229cos ,29n n n n n n ⋅==⋅．回到图形问题设平面PQR 与平面111A B C 的夹角为θ，则12229cos cos ,29n n θ==．即平面PQR 与平面111A B C的夹角的余弦值为29．练习13.在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA =90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A.10B.12C.15D.10【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值.【详解】如图建立空间直角坐标系，设BC =CA =CC 1=1，则A (1，0，1)，B (0，1，1)，D 111022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，F 11002⎛⎫⎪⎝⎭，，，∴1BD =11,,122⎛⎫--⎪⎝⎭，1AF =1,0,12⎛⎫⎪⎝-⎭-，∴|cos<11BD AF ，>|=1111||||||BD AF BD AF ⋅34=3010.故选：A.14.PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（）．A.12B.22 C.33D.63【答案】C【解析】【分析】过PC 上一点D 作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．能证明点O 在∠APB 的平分线上，通过解直角三角形PED 、DOP ，求出直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值．【详解】解：在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．过点O 作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，因为DO ⊥平面APB ，则DE ⊥PA ，DF ⊥PB ．△DEP ≌△DFP ，∴EP ＝FP ，∴△OEP ≌△OFP ，因为∠APC ＝∠BPC ＝60°，所以点O 在∠APB 的平分线上，即∠OPE ＝30°．设PE ＝1，∵∠OPE ＝30°∴OP 123303cos ==︒在直角△PED 中，∠DPE ＝60°，PE ＝1，则PD ＝2．在直角△DOP 中，OP 3=，PD ＝2．则cos ∠DPO 3OP PD ==．即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是33．故选：C15.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，求平面1AA B 与平面11A BC 夹角的余弦值．【答案】77【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求解平面1AA B 与平面11A BC 的法向量，利用法向量求解夹角的余弦值．【详解】因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取BC 的中点O ，则AO BC ⊥所以AO ⊥平面11BB C C .取11B C 的中点H ，所以AO ,BO ,OH 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则113),(1,0,0),3),(1,2,0)A B A C -,所以1(1,0,3),(0,2,0)AB AA =-= ,11(2,2,0),(3)BC BA =-=- .设平面1AA B 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r ，则1111130,20,n AB x n AA y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令11z =得1(3,0,1)n = .同理可得平面11A BC 的一个法向量为2(3,3,1)n =- .12212127cos ,7||||27n n n n n n ⋅〈〉===⨯ 设平面1AA B 与平面11A BC 夹角为θ，易知θ为锐角，则127cos |cos ,|7n n θ=〈〉= ，即平面1AA B 与平面11A BC 夹角的余弦值为77.16.如图，ABC 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =∠=∠︒．求：（1）直线AD 与直线BC 所成角的大小；（2）直线AD 与平面BCD 所成角的大小；（3）平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．【答案】（1）90°（2）45︒（3）55【解析】【分析】（1）作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；（2）显然平面BCD 的一个法向量为()10,0,1n = ，利用空间向量法求出线面角；（3）求出平面CBD 的一个法向量为1n u r 以及平面ABD 的一个法向量为2n u u r ，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．【详解】解：设1AB =，作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，得下列坐标：()0,0,0O ，3,0,02D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（1）,0,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0BC =(),0,0,1,0022AD BC ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭，所以AD 与BC 所成角等于90°．（2）33,0,22AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，显然()10,0,1n = 为平面BCD的一个法向量12cos ,2AD n <>= ∴，直线AD 与平面BCD 所成角的大小45︒（3）设平面ABD 的法向量为()2,,n x y z =则1022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以22·0·0n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即1302233022y z x z ⎧-=⎪⎪-=⎩，令1z =，则1x =，y =则()2n = 设平面ABD 和平面BDC 的夹角为θ，则1212||5cos 5||n n n n θ⋅===⨯ 因此平面ABD 和平面BDC例9图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为1kg ，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g 取29.8m/s ，精确到0.01N ）．图1.4-23分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．解：如图1.4-24，设水平面的单位法向量为n ，其中每一根绳子的拉力均为F ．因为,30n F 〈〉=︒ ，所以F 在n 32F n ．所以8根绳子拉力的合力 383|2F n F n == 合．又因为降落伞匀速下落，所以||||19.89.8F G ==⨯=合礼物（N ）．所以||||9.8F n =所以|| 1.41F =≈（N ）．图1.4-24例10如图1.4-25，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．图1.4-25（1）求证：//PA 面EDB ；（2）求证：PB ⊥平面EFD ；（3）求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小．分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题．解：以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设1DC =．图1.4-26（1）证明：连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ．依题意得(1,0,0)A ，(0,0,1)P ，110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是它的中心，故点G 的坐标为11,,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，且(1,0,1)PA =-uu r ，11,0,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以2PA EG =，//PA EG ．而EG ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ，因此//PA 平面EDB ．（2）证明：依题意得(1,1,0)B ，(1,1,1)PB =- ．又110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故110022PB DE ⋅=+-= ．所以PB DE ⊥．由已知EF PB ⊥，且EF DE E ⋂=．所以PB ⊥平面EFD ．（3）解：已知PB EF ⊥，由（2）可知PB DF ⊥，故EFD ∠是平面CPB 与平面PBD 的夹角．设点F 的坐标为(,,)x y z ，则(,,1)PF x y z =- 因为PF k PB =，所以(,,1)(1,1,1)(,,)x y z k k k k -=-=-，即x k =，y k =，1z k =-．设0PB DF ⋅= ，则(1,1,1)(,,1)1310k k k k k k k -⋅-=+-+=-=．所以13k =，点F 的坐标为112,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点E 的坐标为110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以111,,366E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．所以111112,,,,1366333cos 2||||6663FE FD EFD FE FD ⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪⋅∠==⋅ 所以60EFD ∠=︒，即平面CPB 与平面PBD 的夹角大小为60°．练习17.如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4AB =，6AC =，8BD =，CD =，求平面α与平面β的夹角．【答案】3π【解析】【分析】利用向量求解，CD CA AB BD =++ ，两边平方可求平面α与平面β的夹角．【详解】设平面α与平面β的夹角为θ，由CD CA AB BD =++ 可得()22222222CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD CA BD=++=+++⋅+⋅+⋅ 3616642cos ,CA BD CA BD=+++ 11696cos θ=-所以1cos 2θ=，即平面α与平面β的夹角为3π.18.如图，在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求异面直线AN ，CM 所成角的余弦值．【答案】78【解析】【分析】连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，推导出异面直线AN ，CM 所成角就是EMC ∠，利用余弦定理解三角形，能求出结果．【详解】连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，则//ME AN ，EMC ∴∠是异面直线AN ，CM 所成的角，AN = ，ME EN ∴==，MC =又EN NC ⊥ ，EC ∴=2227cos28EM MC EC EMC EM MC +-∴∠===⨯，∴异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值为78．19.如图，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，3OA OC ==，2OB =．求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】31717【解析】【分析】构建以O 为原点，,,OB OC OA 为x 、y 、z 轴的正方向的空间直角坐标系，写出AB 、AC 、OB 的坐标，进而求面ABC 的法向量m ，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【详解】构建以O 为原点，,,OB OC OA 为x 、y 、z 轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示，∴(0,0,3)A ，(2,0,0)B ，(0,3,0)C ，则(2,0,3)AB =- ，(0,3,3)AC =- ，(2,0,0)OB = ，若(,,)m x y z = 是平面ABC 的一个法向量，则230330AB m x z AC m y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，则3(,1,1)2m = ，∴317|cos ,|||17||||172OB m OB m OB m ⋅<>== ，故直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为31717.习题1.4复习巩固20.如图，在三棱锥A BCD -中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且2EF FA =．设BC a = ，BD b = ，BA c = ，求直线AE ，BF的方向向量．【答案】直线AE 的方向向量22a b c AE +-= ，直线BF 的方向向量46a b c BF ++= .【解析】【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得AD 、AC ，即可求AE ，再由2EF FA =知3AE AF = ，即可求BF .【详解】在△BAD 中，BD b = ，BA c = ，则AD BD BA b c =-=- ，在△BAC 中，BC a = ，BA c = ，则AC BC BA a c =-=- ，∵在△DAC 中，E 是CD 的中点，∴222AD AC a b c AE ++-== ，而2EF FA =，即236AE a b c AF +-== ，∴在△BAF 中，2466a b c a b c BF BA AF c +-++=+=+= .∴直线AE ，BF 的方向向量分别为22a b c AE +-= 、46a b c BF ++= .21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）求平面11BCC B 的一个法向量；（2）求平面1A BC 的一个法向量．【答案】(1)()1,1,0n = ；(2)()2,2,1m = .【解析】【分析】(1)求出平面内的两个向量()1,1,0BC =-uu u r ，()10,0,2BB =uuu r ，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量；(2)求出平面内的两个向量()1,1,0BC =-uu u r ，()11,0,2BA =- ，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量.【详解】易知()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B ，()10,0,2A .(1)()1,1,0BC =-uu u r ，()10,0,2BB =uuu r ，设面11BCC B 的法向量为()111,,n x y z = ，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1111,0x y z ===，则()1,1,0n = ，所以平面11BCC B 的一个法向量为()1,1,0n = ；(2)()1,1,0BC =-uu u r ，()11,0,2BA =- ，设面1A BC 的法向量为()222,,m x y z = ，则100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取2222,1x y z ===，则()2,2,1m = ，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,2,1m = 22.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 是11C D 的中点．求证：1//A E CF．【答案】见解析【解析】【分析】取11A B 的中点为G ,根据几何体的特征分别得到//BG CF ，1//A E BG ，从而得证.【详解】取11A B 的中点为G ,则根据平行六面体的特征可得11//B G C F ，11B G C F =，所以四边形11B GFC 为平行四边形，则11//B C GF ,11B C GF =,又因为11//B C BC ,11B C BC =,所以//GF BC ,GF BC =,所以四边形GFCB 为平行四边形，所以//BG CF ,又因为11//,A G EB A G EB =,所以四边形1A EBG 为平行四边形.所以1//A E BG ，进而1//A E CF .23.如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．求证：//PQ 平面BCD ．【答案】证明见解析【解析】【分析】要证线面平行，需找线线平行，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，取CD 的四等分点H ，使DH ＝3CH ，且AQ ＝3QC ，通过四边形OPQH 为平行四边形及线面平行的判定定理即得结论．【详解】证明：如图所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，∴PO //MD 且PO 12=MD ，取CD 的四等分点H ，使DH ＝3CH ，且AQ ＝3QC ，∴PO //QH 且PO ＝QH ，∴四边形OPQH 为平行四边形，∴PQ //OH ，PQ 在平面BCD 外，且OH ⊂平面BCD ，∴PQ //平面BCD ．24.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在BD 上，且13BE BD =；点F 在1CB 上，且113CF CB =．求证：（1）EF BD ⊥；（2）1EF CB ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3，则()0,0,0D ，()3,3,0B ，()0,3,0C ()13,3,3B ，因为13BE BD =，113CF CB =，所以()2,2,0E ，()1,3,1F ，所以()1,1,1EF =- ，()3,3,0DB = ，所以1313100DB EF =-⨯+⨯+⨯= ，所以EF BD⊥（2）由（1）可知()13,0,3CB = ，所以11313100CB EF =-⨯+⨯+⨯= ，所以1EF CB ⊥25.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，求点O 到直线1A E 的距离．【答案】26【解析】【分析】建立空间坐标系，求解直线1A E 的单位方向向量，结合勾股定理进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(,1,0),(1,,)222A E O ，因为1111122(,1,1),(,,)2333||A E A E u A E =--==-- ，111(0,,)22OA =- 所以123OA u ⋅=- .所以点O 到直线1A E的距离为6==.26.如图，四面体OABC 的所有棱长都是1，D ，E 分别是边OA ，BC 的中点，连接DE．（1）计算DE 的长；（2）求点O 到平面ABC 的距离．【答案】（1）22；（2）63．【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE ，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【详解】（1）因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++ ，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-= ，即22DE = ，所以DE 的长为22．（2）因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC的外接圆半径为11sin 6023⨯= ，所以点O 到平面ABC的距离为63OA OO d OO '⋅=='．27.如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．求证：MN AB ⊥，MN CD ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题意证明()11022MN AB AC AD AB AB ⎡⎤⋅=+-⋅=⎢⎥⎣⎦ 即可.【详解】由题意可知，,,AB AC AD 三个向量两两间的夹角为60 ，因为M ，N 分别是AB ，CD 的中点，所以()1122MN AN AM AC AD AB =-=+- ,则()()2111222MN AB AC AD AB AB AC AB AD AB AB ⎡⎤⋅=+-⋅=⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦()2221cos 60cos 6002a a a =+-= ，所以MN AB ⊥，同理可证MN CD ⊥.28.如图，M ，N 分别是正方体ABCD A B C D ''''-的棱BB '和B C ''的中点，求：（1）MN 和CD '所成角的大小；（2）MN 和AD 所成角的大小．【答案】（1）3π；（2）4π.【解析】【分析】构建以D 为原点，,,DA DC DD ' 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，写出A 、C 、D ¢、M 、N 的坐标，进而可得MN 、CD ' 、DA ，利用空间向量夹角的坐标表示求其夹角的余弦值，即可求MN 和CD '、MN 和AD 所成角.【详解】构建以D 为原点，,,DA DC DD ' 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)D '，(2,2,1)M ，(1,2,2)N ，（1）(1,0,1)MN =- ，(0,2,2)CD '=- ，又MN 和CD '所成角范围为[0,]2π，∴1|cos ,|||2||||MN CD MN CD MN CD '⋅'<>==' ，故MN 和CD '所成角为3π.（1）(2,0,0)DA = ，又MN 和AD 所成角范围为[0,]2π，∴2|cos ,|||2||||MN DA MN DA MN DA ⋅<>== ，故MN 和AD 所成角为4π.29.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是AB ，1BB ，11B C ，11C D ，1D D ，DA各棱的中点．（1）求证：1A C ⊥平面EFGHKL ；（2）求1DB 与平面EFGHKL 所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）223【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，可由1100A C LK A C KH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 证得；（2）利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解.【详解】如图所示建立空间直角坐标系，（1）1111(1,0,1),(0,1,0),(0,0,),(0,,1),(,0,0)222A C K H L ，()11111,0,,0,,,1,1,12222LK KH A C ⎛⎫⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则1100A C LK A C KH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以11,A C LK A C KH ⊥⊥,LK KH 为平面EFGHKL 的两条相交直线，所以1A C ⊥平面EFGHKL ；（2）由（1）知平面EFGHKL 的法向量为1(1,1,1)AC =--11(1,1,1),(1(0,0,0),,1,1)D D B B =，因为1111111cos ,3||||AC DB AC DB AC DB ⋅<>===-⋅，求1DB 与平面EFGHKL3=.综合运用30.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 是CD 的中点．求证：1B E ⊥平面1AED ．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明11EB ED ⊥ ，1EB EA ⊥，即可得证；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0E ，()10,0,1D ，()11,2,1B 所以()11,1,1EB = ，()10,1,1ED =- ，()1,1,0EA =-所以()111011110EB ED =⨯+⨯-+⨯= ，()11111100EB EA =⨯+⨯-+⨯=，所以11EB ED ⊥ ，1EB EA ⊥ ，因为1ED EA E = ，1,ED EA ⊂平面1AED ．所以1B E ⊥平面1AED ．31.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F A G ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【解析】【分析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，令1,,AB a BC b BB c ===写出EF 、EG uuur 、PQ 、PR ，进而求面EFG 、面PQR 的法向量m 、n，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F A G ===，1CP CQ CR ===，∴(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ，∴(0,1,1)EF = ，(1,0,1)EG =- ，(0,1,1)PQ =-- ，(1,0,1)PR =-，设(,,)m x y z = 是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，(1,1,1)m =- ，设(,,)n i j k = 是面PQR 的一个法向量，则00PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1i =，(1,1,1)n =- ，∴面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.32.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为CD 的中点，求点1D 到平面1AEC的距离．【答案】3【解析】【分析】建立空间坐标系，求解平面1AEC 的法向量，结合点到平面的距离公式求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则111(1,0,0),(0,1,1),(0,,0),(0,0,1)2A C E D .设平面1AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，11(1,1,1),(1,,0),2AC AE =-=- 1(1,0,1)AD =- .由10,10,2n AC x y z n AE x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令2y =，则1,1x z ==-，即(1,2,1)n =-.设点1D 到平面1AEC 的距离为d ，则13AD n d n ⋅=== ，即点1D 到平面1AEC的距离为3.33.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，Q 为11B C 的中点，点P 在棱1AA 上，1:1:3AP AA =．求平面ABCD 与平面BQP的夹角．【答案】346arccos 46【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别求解两个面的法向量，利用法向量的夹角求解即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，11(1,1,0),(1,0,),(,1,1)32B P Q ，112(0,1,(,1,323BP PQ =-=- ，设平面BPQ 的法向量为(,,)n x y z =，则10312023n BP y z n PQ x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩ ，不妨令1y =，则3,6z x ==，所以(6,1,3)n =平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =，所以346cos ,||||46n mn m n m ⋅<>==⋅.所以面ABCD 与平面BQP 的夹角为346arccos4634.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是棱1AA 的中点，O 是1BD 的中点．求证：OM 分别与异面直线1AA ，1BD 垂直，并求OM 的长．【答案】见解析.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0可证得垂直，利用模长公式可求线段长.【详解】如图建立空间直角坐标系，则111111(,,(1,0,),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,0,1)2222O M A A B D ，所以1111(,,0),(0,0,1),(1,1,1)22OM AA BD =-==--，因为110,0OM AA OM BD ⋅=⋅=，所以11,OM AA OM BD ⊥⊥22112||()()222OM =+-=.拓广探索35.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 90BAC =︒∠，2AB AC ==，13AA =，M 是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．在线段1A N 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面1A CM。
含有向量的综合应用题
含有向量的综合应用题在数学和物理学中，向量是一种常见且重要的概念。
它不仅仅是一种数值，更是一个有方向和大小的量。
向量的应用广泛，可以用于解决各种实际问题。
本文将通过几个综合应用题，来探讨向量在实际问题中的运用。
问题一：风的影响某船沿着河流平行岸边行驶，船速为v米/秒。
当船行驶到一特定地点时，风使船受到了风压的侧向作用，导致船的速度相对于水流有一个斜角α。
已知风的速度为u米/秒，水流速度为w米/秒，请问船的速度v是多少？解析：为了解决这个问题，我们可以利用向量的方法。
以正北方向为y轴正方向，正东方向为x轴正方向，建立一个坐标系。
设船的速度v的向量表示为V，风速向量u表示为U，水流速度向量w表示为W。
由题目可知，船的速度相对于水流速度的角度为α，即向量V和向量W 之间的夹角为α。
由于船的速度受到了风的影响，船的速度与风速的向量和向量的和为零。
根据向量的性质，可以得到以下方程组：Vx + Ux = 0Vy + Wy = 0其中Vx，Vy分别表示向量V在x轴和y轴上的分量，Ux，Wy分别表示向量U和向量W在x轴和y轴上的分量。
又根据勾股定理可得：|V|^2 = Vx^2 + Vy^2|U|^2 = Ux^2 + Uy^2|W|^2 = Wx^2 + Wy^2利用向量的内积和模的定义，可以得到：Vx = -UxVy = -WyVx^2 + Vy^2 = (Ux + Wx)^2 + (Uy + Wy)^2将上述方程带入，再利用三角函数的关系，即可求得v的数值。
问题二：力的合成一个力的向量可以表示为F1 = 3i + 4j，另一个力的向量表示为F2 = 2i - 6j，若力F1和力F2的夹角为θ，求力的合成F。
解析：要求两个力的合成，可以使用向量的加法。
力F1和力F2的合成向量F可以表示为F = F1 + F2。
根据向量的加法运算，可以得到：F = (3i + 4j) + (2i - 6j)化简得：F = 5i - 2j力的合成F是一个向量，其中i和j分别表示x轴和y轴方向上的分量。
空间向量在立体几何中的应用-立体几何
点，A是α内任一点，则点P到α的距离d= | PA·m | .
|m|
考点一 用向量证明平行、垂直问题
如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD为矩形，且PA=AD， E,F分别为线段AB,PD的中 点.求证：
(1) AF∥平面PEC;
相等或互补 .
5.空间的距离
(1)一个点到它在一个平面内 正射影 的距离，叫做 点到这个平面的距离.
(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离 都 相等 ，且叫做l到α的距离.
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(3)和两个平行平面同时 垂直 的直线，叫做两 个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两 个平面的 公垂线段 .两平行平面的任两条公垂线段的长 都相等，公垂线段的 长度 叫做两平行平面的距离， 也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.
EC=(
a
22 ,1,0),∴AF=
1
2 EP+
1 EC,
2
2
2
又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 11
∴AF·PD=(0, 2, 2)·(0,1,-1)=0, AF·CD=(0, 1 , 1 )·(-a,0,0)=0,
22 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D,
∴m⊥n.
∴平面ADE⊥平面A1D1F.
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考点二 用向量求线线角与线面角 如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA ′ D′D所成角的大小
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解. 返回目录
1.4空间向量的应用-1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时
距离问题
核心素养
能用向量方法解决点到
直线、点到平面、互相
平行的直线、互相平行
的平面的距离问题.(直
观想象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水
渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
所以点 B1 到平面 AD1C 的距离 d=
||
8
= 3.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用空间向量求点线距
例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求
点B到直线A1C1的距离.
)
3
A.
2
2
B.
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
=(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(-1,0,1),
|· |
∴两平面间的距离 d=
||
=
|-2+0+1|
2
=
2
2
.故选 B.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
1 1
2
d= |1 | - 1 ·|
= 8-
-1+3+0
空间向量的应用专题训练卷(含解析)
空间向量的应用专题训练卷一、单选题1．（2020·江苏如东�高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．102C ．155D ．1052．（2020·河北新华�石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A 6B 26C 15D 10 4．（2020·黑龙江道里�哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A 3B 23C 5D 255．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25C ．35D ．456．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<8．（2020·浙江衢州�高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π二、多选题11．（2019·江苏徐州�高二期末）下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦512．（2020·山东平邑�高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为6313．（2020·福建厦门�高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．（2019·安徽埇桥�北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.四、双空题18．（2020·浙江宁波�高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.19．（2018·北京海淀�高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．20．（2020·山东德州�高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA AC BC ===，则异面直线1BC 与11A B 所成角为______；二面角1A BC C --的余弦值是______.21. 如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为________，二面角A SC M --大小为________.五、解答题22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A D 的中点，H 为平面11AA D D 内的点.（1）若1C H ⊥平面BDE ，确定点H 的位置； （2）求点1C 到平面BDE 的距离.23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点.（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求直线1B C 到平面1A BD 的距离.24．（2019·天津南开�崇化中学高二期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，且2PC PD ==，M ，N 分别为棱PC ，AD 的中点.（1）求证：BC PD ⊥；（2）求异面直线BM 与PN 所成角的余弦值； （3）求点N 到平面MBD 的距离.25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.26．（2019·浙江衢州�高二期中）四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，222AB CD BC ===，E 为线段PC 的中点，PC CB ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PCB ；（2）若2PB =，求直线DP 与平面APC 所成角正弦值.27. （2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．102C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,58BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为105. 故选：D ．2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则11111cos ,666MN OD MN OD MN OD ⋅===⋅． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．65C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴1410cos ,558BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105 4．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==，AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A ．32B ．233C ．55D ．255【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C ，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CAt ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA x tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =，故21,1,n t ⎛= ⎝⎭.因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12， 所以直线AB 与平面ACD 5. 即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 故B 到平面ACD的距离为22551112AB n d n⋅===++.故选：D5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =则1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，1112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：B6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α︒=，因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ， 所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，2222A D A B A =所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，则2AB →，1B C →可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1B C →的夹角为60︒， 所以60β︒=或120β︒=，即sin sin αβ=， 故选：B7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】D 【解析】设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,022D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()113,1,0=A B ，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，1111cos 25B D AC BD ACθ⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，1212sin 5BD n BD nθ⋅∴==⋅2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，则11130312022m AB a b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，332cos 57m n m nθ⋅∴===⋅231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<故选：D8．（2020·浙江衢州 高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【答案】A 【解析】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC →=，131,222B D →⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，)113,1,0A B →=，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111cos 25B D ACB D ACθ→→→→⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=，121sin 5B D nB D nθ→→→→⋅∴==⋅， 222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=，则11130312022m A B ab m B D a bc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,2m →⎫=--⎪⎭， 二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，3θ为锐角，即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 33cos m nm nθ→→→→⋅∴===⋅ 231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A.9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A 【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ， 所以二面角C AB D --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22， 所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β， 故110cos β11CD CB CD CB ， 1103112112， 所以2γβα≤≤，故选：A.10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A 【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=. 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-， 由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23， 所以212212388BD AB h BD AB h h ⋅==⋅+⋅+， 即2222,16,483h h h h ===+. 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A二、多选题11．（2019·江苏徐州 高二期末）下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5【答案】ABD 【解析】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错； 对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022==⨯l 与平面α5，故D 对； 故选：ABD ．12．（2020·山东平邑 高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB13．（2020·福建厦门 高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134【答案】BC 【解析】如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ， 则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 设2AB =； 则123AA =； 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，1，0)，(0A ，1-，23)，(0C ，1，23)；1(3B ，0，0)， ∴()10,2,23AC =-．底面ABC 的其中一个法向量为：()0,0,23m =，1AC ∴与底面ABC 的成角的正弦值为111123cos ,2423m AC m AC m AC -<>===⨯⨯，； A ∴错B 对．11A B 的中点K 的坐标为3(2，12-，0)；∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：133,,022KC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭；1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：11111133cos 4,43AC KC AC KC AC KC <>===⨯⨯，； 故C 对D 错； 故选：BC ．三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 102342131022444in cos n PA n PAθθ===--⋅=⋅++++， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3． 故答案为：π3． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 【答案】16【解析】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM====+=-∴⋅=故EM ,AN 116=。
空间向量的应用(一)(精练) 讲义 (解析版)
1.4.1 空间向量应用（一）【题组一 平面法向量的求解】1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )A ．(－1，1，1)B ．(1，－1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33 【答案】C【解析】设n ＝(x ，y ，z)为平面ABC 的法向量，AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n·AB →＝0，n·AC →＝0，化简得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z.故选 C. 2．（2018·浙江高三其他）平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，则下列命题正确的是（ ）A ．α、β平行B ．α、β垂直C ．α、β重合D ．α、β不垂直【答案】B【解析】平面α的法向量(2,2,2)u =-，平面β的法向量(1,2,1)v =，因为2420u v =-+=，所以两个平面垂直．故选：B ．3．（2019·山东历下.济南一中高二期中）在平面ABCD 中，(0,1,1)A ，(1,2,1)B ，(1,0,1)C --，若(1,,)a y z =-，且a 为平面ABCD 的法向量，则2y 等于（ ）A ．2B ．0C ．1D ．无意义 【答案】C 【解析】由题得，(1,1,0)AB =，(1,1,2)AC =--，又a 为平面ABCD 的法向量，则有00a AB a AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即10120y y z -+=⎧⎨-+=⎩，则1y =，那么21y =.故选：C【题组二 空间向量证平行】1．（2019·安徽埇桥，北大附宿州实验学校高二期末（理））已知平面α的法向量是()2,31-，，平面β的法向量是()4,2λ-，，若α//β ，则λ的值是（ ） A ．310-B ．-6C ．6D ．103 【答案】C【解析】因为α//β，故可得法向量()2,31-，与向量()4,2λ-，共线， 故可得23142λ==--，解得6λ=.故选：C. 2（2019·乐清市知临中学高二期末）已知平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）A ．()4,22-，B ．()2,0,4C ．()215--，，D ．()42,2-，【答案】D【解析】平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，设平面β的法向量为(),,x y z ，则()(2,1,1),,,0x y z λλ=≠-，对比四个选项可知，只有D 符合要求，故选：D.3.（2020.广东.华侨中学）如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1 【答案】 C【解析】设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，∵AM ∥平面BDE ，且AM⊂平面ACEF ，平面ACEF∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴M 为线段EF 的中点．在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.4.如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，棱长为a ，M ，N 分别为A1B 和AC 上的点，A1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB1C1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB1C1C 内【答案】 B【解析】以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M ＝AN ＝2a 3，则M ⎝⎛⎭⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，2a 3. 又C1D1⊥平面BB1C1C ，所以C1D1→＝(0，a ，0)为平面BB1C1C 的一个法向量．因为MN →·C1D1→＝0，所以MN →⊥C1D1→，又MN⊂平面BB1C1C ，所以MN ∥平面BB1C1C.【题组三 空间向量证明垂直】1．（2019·湖北孝感.高二期中（理））已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)n y =，若AB α⊥，则（ ）A ．6x =，2y =B ．2x =，6y =C ．3420x y ++=D ．4320x y ++=【答案】A 【解析】因为AB α⊥，所以AB n ∥，由2413x y ==，得6x =，2y =.故选A2．（2020·宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知直线l 的一个方向向量()2,3,5d =，平面α的一个法向量()4,,u m n =-，若l α⊥，则m n +=______．【答案】16- 【解析】l α⊥，//d u ∴，且()2,3,5d =，()4,,u m n =-，4235m n -∴==，解得6m =-，10n =-.因此，16m n +=-.故答案为：16-.3．（2020·陕西富平.期末（理））若直线l 的方向向量为(1,0,2)a =-，平面α的法向量为(2,0,4)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A ．l αB ．l α⊥C ．l α≠⊄D ．l 与α斜交【答案】B【解析】由题得，2n a =，则//n a ，又n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，可得l α⊥. 故选：B4. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，⊂ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB.求证：平面BCE ⊥平面CDE.【答案】【解析】设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，以A 为原点，分别以AC ，AB 所在直线为x 轴，z 轴，以过点A 垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，C(2a ，0，0)，B(0，0，a)，D(a ，3a ，0)， E(a ，3a ，2a)．所以BE →＝(a ，3a ，a)，BC →＝(2a ，0，－a)，CD →＝(－a ，3a ，0)，ED →＝(0，0，－2a)．设平面BCE 的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·BE →＝0，n1·BC →＝0可得⎩⎨⎧ ax1＋3ay1＋az1＝0，2ax1－az1＝0，即⎩⎨⎧x1＋3y1＋z1＝0，2x1－z1＝0.令z1＝2，可得n1＝(1，－3，2)． 设平面CDE 的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·CD →＝0，n2·ED →＝0可得 ⎩⎨⎧ －ax2＋3ay2＝0，－2az2＝0，即⎩⎨⎧－x2＋3y2＝0，z2＝0.令y2＝1，可得n2＝(3，1，0)．因为n1·n2＝1×3＋1×(－3)＋2×0＝0.所以n1⊥n2，所以平面BCE ⊥平面CDE.5.如图所示，已知四棱锥P—ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD.证明：(1)PA ⊥BD ；(2)平面PAD ⊥平面PAB.【答案】见解析【解析】 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，⊂PBC 为等边三角形，平面PBC∩底面ABCD ＝BC ，PO⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD.以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，3)，∴BD →＝(－2，－1，0)，PA →＝(1，－2，－3)．∵BD →·PA →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA →⊥BD →，∴PA ⊥BD.(2)取PA 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32. ∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)， ∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB.∵DM →·PA →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥PA →，即DM ⊥PA. 又∵PA∩PB ＝P ，PA ，PB⊂平面PAB ，∴DM ⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB.6.(2019·林州模拟)如图，在四棱锥P—ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(a ，a ，0)，C(0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，P(0，0，a)，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD.(2)解 设G(x ，0，z)，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG →·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a) ＝a22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点．。