【数学】沪科版八年级上册第15章轴对称图形与等腰三角形【学案】角的平分线的性质
八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.4角的平分线第2课时角的平分线的判定教案沪科版
第2课时角的平分线的判定◇教学目标◇【知识与技能】1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理,培养学生探索知识的能力.2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等.【过程与方法】从事物特殊性入手,总结归纳事物的一般性.体现在研究问题时注意纯粹性与完备性,准确、全面地思考问题.【情感、态度与价值观】渗透点的集合的数学思想.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线的性质和判定;点到角的边的距离要强调垂直关系.【教学难点】分清文字命题中的题设(已知)和结论,掌握证明题格式;把角平分线看作点的集合.◇教学过程◇一、情境导入我们已经学习过角的平分线的概念,它有什么重要性质呢?怎样找到这个角的平分线?(1)有一张剪好的纸片(如图1),怎样找到这个角的平分线?(引导学生回答)(2)大家知道,只要把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线,如图2.如果我们把对折后的纸片继续折一次,然后把纸片展开,就会出现两条折痕,如图3中的PM和PN,不难发现,这两条折痕的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质,还有其他的性质.二、合作探究定理1角平分线上的点到角两边的距离相等.题设:一个点在一个角的平分线上.结论:它到角的两边的距离相等.已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明:∵OC是∠AOB的平分线,(已知)∴∠AOC=∠BOC.(角平分线的定义)∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)在△PDO和△PEO中,∴△PDO≌△PEO.(AAS)∴PD=PE.(全等三角形的对应边相等)定理应用所具备的条件和定理的作用:条件有3个,分别是角的平分线、点在该平分线上和垂直距离,作用是证明线段相等.如图,填写使BC=BD成立所需的条件.猜想图中,由BC⊥AC于点C,BD⊥AD于点D,BC=BD,可以得到什么结论?定理2角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE,如图.求证:点P在∠AOB的平分线上.证明:经过点P作射线OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义)在Rt△PDO和Rt△PEO中,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL)∴∠AOC=∠BOC.(全等三角形的对应角相等)∴OC是∠AOB的平分线.∴P在∠AOB的平分线上.由定理1,2可知:在一个角内,到角的两边的距离相等的点,都在这个角的平分线上;反过来,角的平分线上的点到角的两边距离相等.于是得到下面的结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.典例已知:如图,△ABC中,∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.求证:AP平分∠BAC.[解析]过点P分别作PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB,垂足分别为点M,N,Q.∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)同理,PN=PM.∴PN=PQ.(等量代换)∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)这个例子说明:三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.三、板书设计角的平分线的判定1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.◇教学反思◇学生通过自己动手操作、自己推导、自己发现,得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥了探究意识,体验并掌握了合作交流的学习方法,同时进一步锻炼了数学语言表达能力以及规范书写证明过程的能力.。
初中数学沪科版八年级上册第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线(2)
活动二：用尺规作图的方法完成“经过一点作已知直线的垂线” （1）(点 C 在直线上)
A
C
B
（2）（点 C 不在直线上）
A
.C B
活动三： 已知：OP 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OP 上任意一点，过点 P 作 PC⊥OA,PD⊥OB,垂足
分别 是点 C、点 D, 求证：PD=PC
【总结】：角平分线定理：
课 题：角平分线的性质定理的导学案
课型：新授课 主备人 ：
【学习目标】：1、会用尺规作图作角平分线；
。
2、通过探索、证明角平分线定理，训练学生的思维能力。
【重、难点】：角平分线的定理的证明。
【知识链接】：
什么是角的平分线？
【自主预习】：
自学教材 141－142 页的内BC 折纸，使 AB 与
重合，得到的折痕 AD 就是
∠ABC 的角平分线。
2、度量法：用量角器量出∠ABC 的
，再用直尺过点
画射线。
3、角是
图形，角平分线所在的
是它的
。
4、用尺规作图的方法作出∠AOB 的平分线 OC.（不写作法，只保留作图痕迹）
A
O B
【探究活动】：
活动一 1、你能利用三角形全等的知识证明 OC 是∠AOB 的平分线吗？
。
【达标测试】：
1、已知∠AOB 的角平分线 OC，点 P 在 OC 上，且点 P 到 OA 的距离为 4cm，则
点 P 到边 OB 的距离是＿＿＿
2、 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离 相等.
3、△ABC 中，AB＝AC，M 为 BC 中点，MD⊥AB 于 D，ME⊥AC 于 E，求证：BD＝CE
沪科版八年级上册15.角的平分线的性质课件
1
∴S
1
△
பைடு நூலகம்
ABC
＝
S
△
1
ABD+S
△
BCD
＝
2
AB•DE+
2 BC•DF ＝
1
2
DE•(AB+BC)＝ 28，
即 2 DE×(6+8)＝ 28， ∴ DE ＝ 4．
角的平分线的性质
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
角的平分线的性质
3. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法．
作业提升
请完成教材课后习题
1
1
2.“以大于2 MN 的长为半径画弧”是因为若以小于 2 MN
的长为半径，则画出的两弧不能相交；
感悟新知
(3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图15.4-1).
3.“画射线OC”不能叙述为“ 连接OC”， 因为角平分线是射线而不是线段； 4. 根据作图可知△ OMC ≌ △ ONC，(SSS) 所以OC 平 分∠ AOB.
感悟新知
(2)解：AF+BE ＝ AE．理由如下： 由(1)可知DC ＝ DE，又∵ AD=AD， ∴ Rt △ DCA ≌ Rt △ DEA，(HL) ∴ AC ＝ AE， ∴ AF+FC ＝ AE，即AF+BE ＝ AE．
感悟新知
例4 [模拟·济南章丘区]如图15.4-6，BD 平分∠ ABC 交 AC 于点D，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ BC 于F，AB ＝ 6，BC ＝ 8，若S △ ABC ＝ 28，求DE 的长．
八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质教案沪科版
15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性;2.掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作法.【过程与方法】1.培养学生用直尺和圆规作图的能力及语言表述能力;2.培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中,培养学生的几何直觉;培养学生探究问题的兴趣,增强探究问题的信心;体验数学活动的探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线及垂线的尺规作法.【教学难点】角平分线的尺规作法的探索过程.◇教学过程◇一、情境导入1.什么是角平分线?2.如图,已知∠AOB,如何作∠AOB的平分线?3.度量法:用量角器作∠AOB的角平分线.4.说明:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是对称轴.5.设问:除了这种方法,还有什么方法能作∠AOB的平分线呢?二、合作探究典例1如图,以点B为圆心,任意长为半径画弧,与角的两边分别相交于点A,C,分别以点A,C为圆心,相同的半径画弧,相交于点D,则BD是角的平分线的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS[解析]由作图可知,△ABD和△CBD中,BA=BC,AD=CD,再加上BD为公共边,可有SSS判定两个三角形全等.[答案] A典例2如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点D到AB的距离是()A.9B.8C.7D.6[解析]∵BC=16,BD=10,∴CD=6.由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD=6.[答案] D三、板书设计角的平分线的作法与性质1.已知∠AOB,求作:∠AOB的平分线.2.过直线外一点作已知直线的垂线.◇教学反思◇本节课开头设计的折纸和画一画的活动,丰富了学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.。
数学沪科版八年级(上册)15.4第2课时角平分线的性质及判定
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的
点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
A
E
10
6
D
∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2.
B
8
C
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.
将三次数据填入下表：
A
PD PE
D
C
第一次
p
第二次
O
第三次
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写
出猜结想：：_角P_D_的_=_平P_E_分__线_ 上的点到角的两边的距离相等.
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
A
定理的作用：判断点是否在角平分线上. D
C
应用格式：
P
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O
E
B
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图
A
D
N
F
P
M
∵PD=PE=PF.（已证）
∴PD=PF（等量代换） B
C E
∴AP平分∠BAC.（角平分线上的点到角两边的距
新沪科八上第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4.2 角的平分线的性质和判定【习题课件】
基础巩固练
7．如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，BC，CA 的 距离 OF＝OD＝OE.若∠A＝70°，则∠BOC＝_1_2_5_°____.
基础巩固练
8．如图，在△ACB 中，∠C＝90°，△ACB 的周长为 12，∠CAB 与∠CBA 的平分线交于点 D，点 D 到 AB 的距离为 1，则 S△ABC ＝____6____.
能力提升练
方法二：∵AE∥CF，BD⊥AE，∴GD⊥CF. ∵AG 平分∠EAC，∴BG＝HG. 在 Rt△AGH 和 Rt△AGB 中，AHGG＝＝ABGG，， ∴Rt△AGH≌Rt△AGB(HL)． ∴AH＝AB.同理可得，CD＝CH. ∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
能力提升练
11．如图，在△ABC 中，DE 是 BC 边的垂直平分线，垂足为 E， AD 平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC 交 AC 的延固练
2．[2017·芜湖期中]如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分
∠CAB，DE⊥AB 于 E，则下列结论中正确的是( D )
A．BD＋ED＝AC
B．BD＋ED＝AD
C．DE 平分∠ADB D．ED＋AC＞AD
基础巩固练
3．[改编·淮安]如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 A 为
证明：过点 G 作 GH⊥AC 于 H，如图．
能力提升练
方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，∴GD⊥CF. ∵AG，CG 分别平分∠EAC 和∠FCA， ∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD. 易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC. 又由 CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB， 易得 CD＝CH，AB＝AH.∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质作业沪科版
15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质知识要点基础练知识点1角平分线的尺规作图1.小明同学画∠AOB的平分线,作法如下:①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交两边于点C,D;②分别以点C,D为圆心,相同的长度为半径作弧,两弧交于点E;③则射线OE就是∠AOB的平分线.小明这样做的依据是(D)A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.尺规作图:如图,已知∠AOB和C,D两点,求作一点P,使PC=PD,且点P在∠AOB的平分线上.(不写作法,保留作图痕迹)解:如图所示,P点即为所求.知识点2过一点作已知直线的垂线3.(漳州中考)下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是(B)知识点3角平分线的性质4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AB的中点,点D在∠B的平分线上,DE⊥AB,则(B)A.BC>AEB.BC=AEC.BC<AED.以上全不对5.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,DE=2,AC=3,则△ADC的面积是(A)A.3B.4C.5D.66.如图,已知OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的最小值为2.综合能力提升练7.(莆田中考)如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是(D)A.PC⊥OA,PD⊥OBB.OC=ODC.∠OPC=∠OPDD.PC=PD8.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2x,y+1),则y关于x的函数关系为(B)A.y=xB.y=-2x-1C.y=2x-1D.y=1-2x9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足.则下列结论:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任意一点到AB,AC的距离相等;④AD上任意一点到B,C的距离相等.其中正确的是(D)A.①②B.③④C.①②③D.①②③④10.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E ,BC=50,DE=14,则△BCE的面积等于350.11.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.证明:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹,不要求写作法)(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.解:(1)∠ABC的平分线如图所示.(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°,∴∠A=180°-70°-70°=40°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=35°,∴∠BDC=∠ABD+∠A=35°+40°=75°.13.如图,在△ABC中,AB=AC,D是底边BC的中点,作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.①在△BDE和△CDF中,∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,∴△BDE≌△CDF.②∴DE=DF.③(1)上面的证明过程是否正确?若正确,请写出①,②和③的推理根据.(2)请你写出另一种证明此题的方法.解:(1)正确.①等边对等角,②AAS,③全等三角形的对应边相等.(2)连接AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD平分∠BAC(等腰三角形三线合一),又∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF.拓展探究突破练14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AG⊥BC于点G,BD平分∠ABC,AE⊥BD于点H,交BC于点E,AG与BD相交于点F.求证:AD=EF.证明:∵BD平分∠ABC,AE⊥BD,∴BH为AE的垂直平分线.∵点F在BD上,∴AF=EF.∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD.∵∠BAC=90°,AG⊥BC,∴∠ABD+∠ADB=90°,∠DBC+∠BFG=90°.∴∠ADB=∠BFG.∵∠AFD=∠BFG,中小学教案、试题、试卷精品资料∴∠ADB=∠AFD,∴AF=AD.又∵AF=EF,∴AD=EF.。
沪科版八年级上册数学教学课件 第15章 轴对称图形与等腰三角形 线段的垂直平分线
A
B
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
在这里只能确定这一个点P，在线段AB的垂直平分线上， 但不能说明经过P点的直线就是线段AB的垂直平分线.
第四环节 实际应用，归纳提高：
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是
△ABC内一点，OB=OC.
求证：直线AO 垂直平分线段BC．
证明：∵AB=AC（已知），∴点A在线段BC的垂直平分线上 （线段BC的垂直平分线判定定理）. ∵OB=OC（已知）， ∴点O在线段BC的垂直平分线上（线段BC的垂直平分线判定定 理）， ∴直线 AO 垂直平分线段BC（两点确定一条直线） ．
3、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB的
垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF， A
求∠AFC的度数. 解：∵AB=AC,∠BAC=120°
E
1
2
B
F
C
∴∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°.（等边对等角）
∵AB的垂直平分线EF,
∴FB=FA,（线段垂直平分线性质定理）
如果一个点到一条线段两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
这是一个真命题吗？如果是真命题，请你加以证明.
已知：PA=PB． 求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
4、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上.
P
用符号语言表示：
∵PA=PB,
∴∠1=∠B=30°. （等边对等角）
又∵∠AFC=∠1 +∠ B,（三角形外角和定理）∴∠AFΒιβλιοθήκη =30°+30°=60°.
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第1课时 角的平分线的性质
学校 班级 小组 姓名
学习目标：
1、探索角平分线的性质定理和它的逆定理，能利用它们证明两个角相等或线段相等。
2、培养良好的逻辑思维能力，进一步发展推理证明意识和能力。
学习重点：角平分线性质定理和逆定理
学习难点：运用角平分线性质定理简化证明线段相等的问题
学习过程
一、知识链接
1、角平分线：如果一条射线把一个角分成两个_________角，那么这条射线叫做这个角的__________________
2、角是______________图形，_____________________是它的对称轴。
二、自主学习
做一做：1、做角的平分线
方法一：折叠法：
方法二：量角器法：
方法三：尺规法：
作法：1、_____________________________________________
2、_____________________________________________
3、_____________________________________________
2、经过一点作已知直线的垂线
（1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线AB 和AB 上一点C
求作：AB 的垂线，使它经过点C
作法：________________________________________________________
_________________________________________________________
已知：直线AB和AB外一点C
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：（1）___________________________________________________ （2）_________________________________________________
（3）_________________________________________________
（4）_________________________________________________
（一）新知梳理
1、角平分线性质定理：_________________________________________________ 已知，如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上任意一点，过点P分别作PC⊥OA
于C，PD⊥OB于D，求证：PC=PD
2、角平分线性质定理的逆定理：_____________________________________
_____________________________________________________________________
已知：
求证：
证明：
（二）自我展示
已知，如图，∠C=∠C′=90°，AC=AC′
求证：（1）∠ABC=∠ABC′（2）BC=BC′（要求：不用三角形全等的判定）
（三）归纳提升
点在角的平分线上
性质定理
逆定理
点到这个角的两边距离相等
三、学习小结：通过本节课学习你有哪些收获？
四、达标检测
1、△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，已知CD=5，则D到AB的距离是_________________
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=CD，求证：∠B=∠C
学习反思：。