2014广东各地高三文数调研试题(惠州)

惠2014届高三第一次调研考试数学试题（文科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.已知集合{}{}41,3,2,1<<∈==x Z x N M ，则 （ ） A.N M ⊆ B.N M = C.}3,2{=N M D.)4,1(=N M 2.复数i-12等于（ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 3.在数列{}n a 中，11=a ，公比2q =，则4a 的值为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．164.某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．40B ．36C ．30D ．205.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,+∞上单调递减的函数是（ ） A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=6.已知平面向量a,b 的夹角为6π，且=3⋅a b ，3=a ，则b 等于（ ） A.3 B. 32 C.332 D. 2 7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）A. 6+B.C. 6+D. 8.执行如图所示程序框图．若输入3x =，则输出的k 值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69.圆()221x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（ ）．A ．2B ．2- C． D ．210.设函数3()4(02)f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ， 且123x x x <<则下列结论正确的是（ ）A .11x >-B .20x <C .201x <<D .32x >二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11.在ABC △中，若13,1,cos 3b c A ===，则a = . 12.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是 .13.定义映射:f A B →，其中{}(,),A m n m n R =∈，B R =，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =，②若n m >，(,)0f m n =； ③[](1,)(,)(,1)f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = . 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线过圆C ：θρcos 22=的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线的极坐标方程为 ． 15.(几何证明选讲选做题) 如图示，C D 、是半圆周上的两个三等分点，直径4AB =，CE AB ⊥，垂足为E ，则CE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()1sin cos f x x x =+⋅.（1）求函数)(x f 的最小正周期和最小值；（2）若3tan 4x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求)24(xf -π的值.B17.（本小题满分12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18.（本小题满分14分）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，E 是棱CD 上中点，P 是棱1AA 中点，（1）求证：//PD 面1AB E ；（2）求三棱锥1B AB E -的体积．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a S 在直线20x y +-=上，*n N ∈．（1）证明数列{}n a 为等比数列，并求出其通项； （2）设12()log n f n a =，记1(1)n n b a f n +=⋅+20．（本小题满分14分）如图，A ,B是椭圆22221(x y a b a b +=>>顶点, AB =AB 的斜率为12-．（1） 求椭圆的方程；（2）设直线l 平行于AB ， 与,x y 轴分别交于点M N 、，与椭圆相交于C D 、，证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．21．(本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =-（1）若1a =，求函数()h x 的极值；（2）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）在函数()y f x =的图象上是否存在不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，使线段AB 的中点的横坐标0x 与直线AB 的斜率k 之间满足0()k f x '=？若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由.惠州市2014届高三第一次调研考试试题C数 学（文科）答案【解析】1. {}{}142,3N x Z x =∈<<=，故}3,2{=N M ，选C 2.22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，选D 3.数列{}n a 为11a =，2q =等比数列，3418a a q ==，选B 4.设从乙社区抽取n 户，则90180270360270n=++，解得30=n ，选C5.ln y x =不是偶函数，cos y x =是周期函数，在区间(0,)+∞上不是单调递减，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增，故选D 。

6.cos 33,6a b a b b π⋅===∴=C7.由三视图可知，三棱柱的高为12，所以三棱柱的侧面积为2316⨯⨯=，两底面积为1222⨯⨯，所以表面积为6+，选A.8. ;4,23;3,18;2,13;1,8;0,3==========k x k x k x k x k x 5,2328=>=k x ，故选C 9. ,120==-=r a d 解得2±=a ，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，0<a ，故选C 。

10．43)(2-='x x f ，令332,043)(2±==-='x x x f 故又因为(1)30f a -=+<，(0)0f a =>，(1)30f a =-<，(2)0f a =>，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，20x <<1，选C.二、填空题11. 22 12. 2113.214. cos ρθ= 15.3【解析】11.由余弦定理222222311cos ,22313b c a a A bc+-+-===⋅⋅解得22=a12.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为211121=⋅⋅ 13.由题意可知，(1,1)1f =，(1,2)0f =，(2,2)(11,2)2((1,2)(1,1))2(01)2f f f f =+=+=+=14. 圆C的直角坐标方程为(222x y +=，故圆心C 为()02，，过圆心且与OC 垂直的直线为x =，转为极坐标方程为cos ρθ=15.依题意知,30,4Rt ABC CAB AB ∆∠== ,则2,BC AC ==1122ABCS AB CE AC BC ∆== ,代入解得CE =。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.解：（1）已知函数即1()1sin 2,2f x x =+ ……………………………2分22T ππ∴==… ………………………………………………………3分 当322()2x k k Z ππ=+∈时，即3()4x k k Z ππ=+∈，…………………………4分 f x =+⋅-=min 11()1(1)22…………………………………………………………6分（2）111()1sin 2()1sin 1cos 42242222x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………8分由sin 3tan cos 4x x x ==，22sin cos 1x x +=，解得：4cos 5x =±………10分4(0,),cos 0cos 25x x x π∈>∴= ……………………………………11分所以17()1cos 4225x f x π-=+= …………………………………12分17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，BA OA 1B 1CBD 1C 1ADEPQ 所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于3215860=⨯人.…4分 （2）设第三组的乘客为d c b a ,,,，第四组的乘客为1，2；“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A .………………………………5分 所得基本事件共有15种，即：12,2,1,2,1,,2,1,,,2,1,,,d d c c cd b b bd bc a a ad ac ab …………………8分其中事件A 包含基本事件2,1,2,1,2,1,2,1d d c c b b a a ，共8种，………10分 由古典概型可得158)(=A P ， ………………………12分 18.解：（1）取1AB 中点Q ，连接PQ ，则PQ 为中位线，111PQ//2A B ，…………2分 而正方体1111ABCD-A BC D ，E 是棱CD 上中点，故1121//D B AE ，………………4分 DE //PQ ∴，所以四边形DE PQ 为平行四边形。

QE PD //∴， ……………6分而⊂QE 面E AB 1，⊄PD 面E AB 1， 故E AB PD 1//面……………………………8分（2）正方体1111ABCD-A BC D 中，ABE BB 面⊥1，故1BB 为高，21=BB ………10分AB CD // 2222121=⋅⋅=⋅==∴∆∆BC AB S S ABC ABE…………12分 故3431111=⋅==∆--ABC ABE B E AB B S BB V V ………14分19.解：（1）2n n a S += …………………………………1分1n ∴=时，111122,1a S a a +==∴=………………2分 2n ≥时，2n n a S +=，112n n a S -=+=………………………3分两式相减得：1()0n n i n n n n i n a a S S a a a ----+-=-+=，112n n a a -=，………5分{}n a ∴是以11a =为首项，12为公比的等比数列. ………………6分11()2n n a -∴=…………………………………………7分12(2)2n T n ⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭……14分20．（1）解：依题意，),0(),0,(b B a A ，22b a AB +=，2100-=-=--=ab ab k整理得 1,2ba ⎧=⎪ ………………………………2分解得 2a =，1b =． ………………………………3分所以 椭圆的方程为2214x y +=． ………………………4分 （2）证明：由于l //AB ，设直线l 的方程为12y x m =-+，将其代入2214x y +=，消去y ，整理得2224440x mx m -+-=． ………6分设11(,)C x y ，22(,)D x y ．所以 22122121632(1)0,2,2 2.m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪=-⎩ ………8分证法一：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ．由(2,0)M m ，(0,)N m ，则12S S =⇔1211|2|||||||22m y m x ⨯⨯=⨯⨯⇔12|2|||y x =………………10分因为 122x x m +=，所以 11121|2||2()||2|||2y x m x m x =⨯-+=-+=，…13分从而12S S =． ………………………………………14分证法二：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ．则12S S =⇔||||MC ND =⇔线段,CD MN 的中点重合． ………………10分 因为 122x x m +=，所以 122x x m +=，1212112222y y x x m m ++=-⋅+=．故线段CD 的中点为1(,)2m m ． 因为 (2,0)M m ，(0,)N m ，所以 线段MN 的中点坐标亦为1(,)2m m ．……13分 从而12S S =． ………………………………………14分21.解：（1）()y h x =的定义域为(0,)+∞………………………………………………1分分 故(0,1)x ∈()0,h x '>()h x 单调递增；(1,)x ∈+∞()0,h x '<()h x 单调递减，…………………3分1x =时，()h x 取得极大值(1)0h =，无极小值。