高中数学向量.板块二.平面向量基本定理与坐标表示.学生版
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.12.3.2平面向量基本定理平面向量
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.12.3.2平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示导学案无答案新人教A 版必修4一、【温故互查】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________ 2．怎样理解向量的数乘运算λa（1）模：|λa |= ______；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向_______；λ<0时λa 与a 方向_______；λ=0时λa=0 3. 向量共线定理 ：__________________________________________________________ 二、【设问导读】 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?结 论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ1 =0时 ；λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。
这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。
【练1】如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD探究（二）：平面向量的坐标表示探究3： 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？1、非零向量a 、b 的夹角的定义： _________________________________ 。
高中数学课件 平面向量的基本定理及坐标表示共25页
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高中数学课件 而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精讲)(学生版)
第02讲平面向量基本定理及坐标表示(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量基本定理的应用高频考点二：平面向量的坐标表示高频考点三：平面向量共线的坐标表示角度1：由坐标判断是否共线角度2：由向量平行求参数角度3：由坐标解决三点共线问题第四部分：高考真题感悟1、平面向量的基本定理1.1定理：如果e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 1.2基底：不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （1）不共线的两个向量可作为一组基底，即0⃗ 不能作为基底； （2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3）a 用基底e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 两种表示，即a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =μ1e 1⃗⃗⃗ +μ2e 2⃗⃗⃗ ，则{λ1=μ1λ2=μ2，进而求参数. 2、平面向量的正交分解不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3、平面向量的坐标运算3.1平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个不共线的单位向量i,j 作为基底，存在唯一一组有序实数对(x,y )使a =xi +yj ,则有序数对(x,y )，叫做a 的坐标，记作a =(x,y ). 3.2平面向量的坐标运算（1）向量加减：若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ±b ⃗ =(x 1±x 2,y 1±y 2)； （2）数乘向量：若a=(x,y )，则λa =(λx,λy )； （3）向量数量积：若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ⋅b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2； （4）任一向量：设A =(x 1,y 1),B =(x 2,y 2)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2－x 1，y 2－y 1). 4、平面向量共线的坐标表示若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∥b ⃗ 的充要条件为x 1y 2−x 2y 1=01．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知向量a =(1,m )，b ⃗ =(2,−3)，且a //b ⃗ ，则m =（ ） A ．−32B ．23C ．−12D ．322．（2022·吉林毓文中学高一期中）向量a =(−1,3)，b ⃗ =(2,−1)，则a −2b⃗ 等于（ ） 第一部分：知 识 点 精 准 记 忆第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试A ．(−5,5)B ．(5,−5)C ．(−3,1)D ．(1,−1)3．（2022·辽宁实验中学高一期中）m ⃗⃗ =(3,−2)，n ⃗ =(1,x)，若()m m n ⊥+，则x = ( ) A ．−8B ．−6C ．6D ．84．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）已知向量a 、b ⃗ 满足a =(0,4)，b ⃗ =(3,0)，则|a −b ⃗ |=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·山西运城·高一期中）与向量a =(3,−4)方向相同的单位向量为（ ） A ．(35,45)B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(−35,−45)D ．(35,−45)高频考点一：平面向量基本定理的应用例题1．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）如图，在ΔABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13a ⃗ +12b ⃗ B ．14a ⃗ +12b ⃗ C ．15a ⃗ +12b ⃗ D ．16a ⃗ +12b ⃗例题2．（2022·山西吕梁·二模（文））在△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 是AD 上一点．若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=（ ） A ．16B ．12C ．14D ．13例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）如图所示，在△OAB 中，C 是AB 中点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OC =________（请用a ⃗ ,b⃗ 表示OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）.例题4．（2022·全国·高一专题练习）如图，平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是DC 的中点，以a ⃗ ,b⃗ 为基底表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________.例题5．（2022·江苏·高一专题练习）下列结论：①若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，则存在实数x ，y ，使a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ；②若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ；③若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 共面，b ⃗ ，c ⃗ 不共线，则存在实数x ，y ，使a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ；④若a ⃗ =xb ⃗ +yc ⃗ ，则向量a ⃗ ，b⃗ ，c ⃗ 共面．其中，正确的个数是______． 题型归类练1．（2022·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=________ 2．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）已知△ABC 中，点D 满足DC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=___________.3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD b ，求BE ⃗⃗⃗⃗⃗ （用a ,b⃗ 表示）．4．（2022·全国·高一单元测试）如图，矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG⃗⃗⃗⃗⃗ =GD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)用向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)用向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .高频考点二：平面向量的坐标表示例题1．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））已知向量a ⃗ =(0,2)，b ⃗ =(−1,3)，c ⃗ =(−2,5)，且c ⃗ =xa ⃗ +2b ⃗ ，则x 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．-2D ．2例题2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ =(−1,2)的夹角为π，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，A 点的坐标为(3,4)，则B 点的坐标为（ ） A ．(−1,3)B ．(3,4)C ．(1,−8)D ．(5,0)例题3．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知向量a ⃗ =(−1,1)， b ⃗ =(1,−2)， 若ma ⃗ +nb ⃗ =(9,−8) (m,n ∈R )， 则m −n 的值为______．例题4．（2022·上海市复旦中学高一期中）已知P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若P 1(1,2)、P 2(3,−1)，则点P 坐标为______________.例题5．（2022·河北武强中学高一期中）已知A (1,3)，B (2,−2)，C (4,1). (1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求D 点的坐标； (2)设向量a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若ka ⃗ −b⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，求实数k 的值. 题型归类练1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知点A(−1,4),B(2,6),C(3,0)，则满足GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 的G 的坐标为______.2．（2022·广东·仲元中学高一期中）已知M(−2,7)、N(6,1)，点P 是线段MN 上的点，且PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为________．3．（2022·河南·临颍县第一高级中学高一阶段练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点分别为A (−1,1)，B (2,0)，C (3,3)．(1)求点D 的坐标；(2)求平行四边形ABCD 的面积．4．（2022·山东潍坊·高一期中）如图所示，已知矩形ABCD 中，AB =2,AD =1,DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 与MN 相交于点E ．(1)若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ和μ的值； (2)用向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =3BC ，E 是线段CD 上的点，直线BD 与直线AE 相交于点P ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD b ，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )．(1)若A (1,1)，D (7,4)，C (2,3)，E 是线段CD 的中点，求与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量的坐标； (2)若DE =2EC ，用a ，b ⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求出实数λ的值．高频考点三：平面向量共线的坐标表示角度1：由坐标判断是否共线1．（多选）（2022·山东泰安·高一期中）在下列向量组中，可以作为基底的是（）A．e1⃗⃗⃗ =(0,0)，e2⃗⃗⃗ =(1,2)B．e1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e2⃗⃗⃗ =(5,−2)C．e1⃗⃗⃗ =(3,5)，e2⃗⃗⃗ =(6,8)D．e1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e2⃗⃗⃗ =(−2,3)2．（2022·重庆八中高一期中）已知向量a=(2,−1)，则与a平行的单位向量的坐标为（）A．(−2√55,√55)B．(−2√55,√55)或(2√55,−√55)C．(√55,−2√55)D．(√55,−2√55)或(−√55,2√55)3．（2022·湖南·高一课时练习）已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)，求证：//AB CD.角度2：由向量平行求参数例题1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知向量a⃗=(1,2x)，b⃗=(x,x+1)，且a⃗，b⃗方向相反，则x的值为（）A．1 B．1 C．−12D．12例题2．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知向量a⃗=(2,4)，b⃗=(1,m)，若a⃗与a⃗+b⃗共线，则实数m=（）A．−12B．－2 C．12D．2例题3．（2022·河北沧州·二模）已知向量a⃗=(3,1),b⃗=(1,−2)，且(a⃗−b⃗)∥(a⃗+λb⃗)，则实数λ=__________.例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量a⃗=(1,2)，b⃗=(2,−2)，c⃗=(1,λ)．若c⃗ //(2a⃗+b⃗)，则λ=________．例题5．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量a⃗=(3,4)，b⃗=(1,2)，c⃗=(−2,−2)．(1)求|a⃗ |，|b⃗|的值；(2)若(a⃗+b⃗)//(−b⃗+kc⃗ )，求实数k的值．角度3：由坐标解决三点共线问题例题1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知平面直角坐标系中，点O 为原点，A (1,3)，B (2,−1)，()4,C m ．若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知A(−2,a),B(a +1,3),C(−1,2)三点共线，求实数a 的值．例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知平面内有两两不重合的三点A (1,−2a )，B (2,a )，C (2+a,0).若A ，B ，C 三点共线，求实数a 的值.题型归类练1．（2022·四川眉山·三模（理））已知向量a =(1,2)，b ⃗ =(2,k )，a ∥b⃗ ，则k =___________. 2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知向量a =(−1,2)，b ⃗ =(1,2022)，向量m ⃗⃗ =a +2b ⃗ ，n ⃗ =2a −kb ⃗ ，若m n ∥，则实数k =______.3．（2022·安徽·砀山中学高一期中）向量a =(2,3)，b ⃗ =(x,5)，且a ∥b⃗ ，则x =______． 4．（2022·河北·沧县中学高一期中）已知e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的非零向量，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +8e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ). (1)证明：A,B,D 三点共线.(2)若点A (sin θ,cos θ)(θ∈R ),B(√3,3),C(−1,−√3)共线，求θ的值.5．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知a =(1,0),b ⃗ =(2,1)． (1)当k 为何值时，ka −b ⃗ 与a +2b⃗ 共线． (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +3b ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +mb⃗ ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高一期中）设A 、B 、C 、D 为平面直角坐标系中的四点，O 为原点坐标，且，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3) OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5，2)． (1)若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标; (2)若kAB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，求实数k 的值．1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（ ）A ．12(a +b ⃗ ) B ．12(a −b ⃗ ) C ．12(b ⃗ −a ) D ．12a+b ⃗ 2．（2021·全国·高考真题（理））已知向量a =(1,3),b ⃗ =(3,4)，若(a −λb ⃗ )⊥b ⃗ ，则λ=__________． 3．（2019·江苏·高考真题）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ABAC的值是_____.。
平面向量.02平面向量的基本定理及坐标运算(A级).学生版
一 、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2）基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =． 由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =， 所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+， 即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0， 不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--， 由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛 盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =． （4）证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP知识内容向量的基本定理及坐标运算E 2E 1e 2e 1O ANM关于基底{},OA OB 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+ ……①，并且满足①式的点P 一定在l 上． 证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数 t ，使AP t AB =()t OB OA =-，∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+，则AP t AB =，即P 在l 上． 其中①式可称为直线l 的向量参数方程式（5）向量AB 的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2OM OA OB =+．可推广到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1()2OM OA OB =+存在．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．（3设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ== 注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标． （5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．1. 平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )A ． AB CD - B ． 1122AB CD -+ C ． 1()2AB CD - D ． ()AB CD -- DBA【例3】 （2008全国）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +CBA【例4】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．例题精讲【例5】如图，平行四边形ABCD中，E F、的交点,若AB=a，、的中点，G为DE BF、分别是BC DCAD=b，试以a，b为基底表示DE、BF、CG．AB【例6】设P是正六边形OABCDE的中心，若OA a=，OE b=，试用向量a，b表示OB、OC、ODO．【例7】（2009北京）已知向量a，b不共线，()R=+∈，d a bc ka b k∥，那么（）=-，如果c d A．1k=且c与d反向k=且c与d同向B．1C．1k=-且c与d同向D．1k=-且c与d反向【例8】已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），则AP等于（）B 'D 'DCBA PA ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭ C ．()AB AD λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭D ．()AB BC λ-，0λ⎛∈ ⎝⎭【例9】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += ．【例10】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．FDB【例11】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【例12】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONMCBA2．平面向量的坐标表示与运算【例13】 设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ．【例14】 若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________．【例15】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ． ()7,2【例16】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．【例17】 若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC =【例18】 若()3,2M -， ()5,1N --且 12MP =MN , 求P 点的坐标；【例19】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【例20】 已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果//c d 那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例21】 已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．2【例22】 在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥,已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C,则D点的坐标为___________．【例23】已知向量()3,1a=，()1,3b=，(),7c k=，若()a c-∥b，则k= ．【例24】在直角坐标系xOy中，已知(3,13)A--，(0,2)B，(2,12)C，求证：A、B、C三点共线．【例25】已知()12a=，，()32b=-，，当ka b+与3a b-平行，k为何值（）A．14B．－14C．－13D．13【例26】已知(1,2),(3,2)a b==-,当实数k取何值时,k a＋2b与2a-4b平行？【例27】 点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【例28】 如的其中一个四等分点P 的坐标．【例29】 若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，()21b =-，，则a = ．【习题1】若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = ( )A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ． a +3b【习题2】已知a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 等于( )A ．9B ．6C ．5D ．3【习题3】（2009广东）已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【习题4】已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．2【习题5】已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C ． 12D ．1【习题6】设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个课堂检测【习题7】设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ= ．【习题8】（2010陕西）已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________．【习题9】已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【习题10】（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( )A ．14a ＋12b B ． 23a ＋13b C ． 12a ＋14b D ． 13a ＋23b。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 新人
2．关于两向量的夹角 (1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的 范围是[0°，180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一
平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2，在具体求 λ1， λ2 时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求 解．
跟踪训练 3 已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是将O→B分成 2 1 两部分的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝ a，O→B＝b.
2．两向量夹角概念的正确理解 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量 平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的 角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量C→A与向量A→B的 夹角，∠BAD 才是向量C→A与向量A→B的夹角．
|自我尝试|
1．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作
为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的
向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基
底中的向量．其中正确的说法是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内 所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错；②对； 由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．
高中数学向量第二节(平面向量的基本定理及坐标表示)精编专题复习pdf版
已知向量 a (2,4) ， b (1,1) ，则 2a b （ ）
A． (5,7) 例3
B． (5,9)
C． (3,7)
解析： 2a b (4,8) (1,1) (5,7) ．
D． (3,9)
答案：A
已知 a (1,0) ， b (2,1) ，（1）当 k 为何值时， ka b 与 a 2b 共线；（2）若
例如：如图所示，AB CD ，位置不同，但 AB (2 1,4 2) (1,2)
和 CD (3 2,3 1) (1,2) 坐标相同.
3．坐标运算
坐标
设 a (x1, y1) ， b (x2 , y2 )
加法
a b (x1 x2 , y1 y2 )
减法
a b (x1 x2 , y1 y2 )
[平面向量]
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理 如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，有且只有一对实数 1 ，2 ，使 a 1e1 2 e2 ，我们把 不共线的向量 e1 ， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC， BC 的中点，已知 AM c ， AN d ，试用 c ，
数乘
a (x1,x2 )
a∥b
x1 y2 x2 y1
例如： a (1,2) ， b (3,4) ，则：
a b (1 3,2 4) (4,6) ，
a b (1 3,2 4) (2,2) ，
2 | 12
[平面向量]
2a (21,2 2) (2,4) ，
若 a (1,2) 与 b (m, 4) 平行，则满足1 4 2m ，得 m 2 ．
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.4平面向量共线的坐标表
2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.4 平面向量共线的坐标表示优化练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.4 平面向量共线的坐标表示优化练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3。
2-2.3。
4 平面向量共线的坐标表示[课时作业]［A组基础巩固］1．若错误!＝（3,4）,A点的坐标为（－2，－1)，则B点的坐标为（）A．（1,3) B．（5，5）C．(1,5）D．(5,4)解析:设B(x,y)，则有错误!＝(x－（－2)，y－(－1）)＝(x＋2,y＋1)＝（3，4），所以错误!解得错误!所以B（1,3）．答案:A2．下列各组向量中,可以作为基底的是( )A．e1＝（0,0），e2＝（－2,1)B．e1＝（4，6），e2＝(6，9）C．e1＝(2，－5），e2＝（－6,4）D．e1＝（2，－3）,e2＝错误!解析：因为零向量与任意向量共线，故A错误．对于B，e1＝2（2,3),e2＝3（2,3）,所以e1＝错误! e，即e1与e2共线．对于D，e1＝4错误!＝4e2,所以e1与e2共线．2答案：C3．已知A，B,C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B（－5，2），若C点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）A．－13 B．9C．－9 D．13解析：设C点坐标为(6，y),则错误!＝(－8,8)，错误!＝（3,y＋6）,因为A,B,C三点共线，所以错误!＝错误!，所以y＝－9.答案：C4．设向量a＝（1，－3），b＝(－2，4)，若表示向量4a,3b－2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )A．(1，－1) B．（－1，1)C．（－4，6) D．(4，－6)解析：由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝3(－2，4)－2（1，－3)＝(－8,18)，4a＋（3b－2a）＝－c，所以（4，－12）＋(－8，18）＝－c,所以c＝(4，－6)．答案:D5．已知两点A（2，－1)，B（3,1）,与错误!平行且方向相反的向量a可能是（）A．a＝(1，－2) B．a＝(9,3）C．a＝（－1,2）D．a＝（－4,－8）解析：∵错误!＝（1，2)，∴a＝(－4，－8）＝－4(1,2）＝－4错误!，∴D正确．答案：D6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A（5,－1)，B(－1，7)，C（1,2)，则顶点D的坐标为________．解析:设D(x,y），由错误!＝错误!，所以（x－5，y＋1）＝(2，－5),所以x＝7,y＝－6。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
一览众山小
诱学导入
材料：若向量a与向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得b=λa(a≠0)，向量用坐标表示后，两个向量共线的条件也可以变为坐标的形式.
问题：在直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么，怎样用坐标表示两个向量共线呢? 导入：将b=λa中的向量换成坐标，消掉λ即可.
温故知新
1.平面向量的基本定理如何理解?
答:对于平面上的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量λ1e1和λ2e2，使得a=λ1e1+λ2e2.当e1与e2互相垂直时，叫做把向量a正交分解，但是，在直角坐标平面内，只有用e1=(1,0)，e2=(0,1)作为标准正交基底，向量x i+y j的坐标是(x,y)，本书中所谈到的坐标都是这样的坐标.向量用坐标表示后，向量的加、减及实数与向量的积的运算就可转化为向量的坐标运算了.
2.两个向量共线的条件是怎样定义的?
答:若向量a与向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得b=λa(a≠0).在由b=λa导出平面向量的坐标表示向量共线的条件时，是在假设a≠0的情况下导出的，事实上，如果在讨论平行时，规定零向量可以与任一向量平行，所以可去掉a≠0的假设.
1。
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题型一： 平面向量基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c【例3】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )A . AB CD - B . 1122AB CD -+ C.1()2AB CD - D. ()AB CD -- DBA【例4】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +CB典例分析板块二.平面向量基本定理与坐标表示【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．AC【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且, AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP .【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBAB A CPNM【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、ODO．【例10】 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .【例11】 已知向量a ，b 不共线，()c ka b k =+∈R ，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例12】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）B 'D 'DCBA PA ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭C ．()AB AD λ+，02λ⎛∈ ⎝⎭，D ．()AB BC λ-，02λ⎛∈ ⎝⎭， ABCH•M【例13】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += ．【例14】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．【例15】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF aFC a=-，1DE bEC b=-，若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+= ．FB【例16】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【例17】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONMCBA【例18】 在△OAB 中，11,42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .【例19】 如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值范围是 ；当12x =-时，y 的取值范围是 ．【例20】 已知P 是ABC ∆所在平面内一点,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为S .证明:只有唯一的一点P 使得S 与P 重合.【例21】 点M 、N 、S 分别是OAB ∆的边OA 、OB 、AB 上的点，OA a =，OB b =，⑴若M 、N 分别是OA 、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P ，求OP ； ⑵若OS 是AOB ∠的角平分线，求OS ．⑶若:1:3OM OA =，:1:4ON OB =，线段AN 与BM 交于点Q ，求OQ ．【例22】 如图，设P 、Q 为△AB C 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13【例23】 如图，已知ABC ∆的面积为214cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点， 且::2:1AD DB DE CE ==，AE 、CD 交于点P ，求APC ∆的面积．ABCD E P【例24】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．题型二: 平面向量的坐标表示与运算【例25】 设向量(2,3)AB =，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为 ．【例26】 若(2,1)a =，(3,4)b =-则34a b +的坐标为_________．【例27】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ． ()7,2【例28】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ．【例29】 若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则-2=【例30】 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；【例31】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【例32】 若向量()1a x =-，与()2b x =-，共线且方向相同，求x【例33】 已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例34】 已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2【例35】 若向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c = ( )A .3a +bB . 3a -b C.-a +3b D. a +3b【例36】 在平面直角坐标系xoy 中，四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D ∥B C,已知点A (－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.【例37】 已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．【例38】 在直角坐标系xOy 中，已知(3,13)A --，(0,2)B ，(2,12)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．【例39】 已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A14 B －14C －31D 31【例40】 已知(1,2),(3,2)a b ==-,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b 平行？【例41】 点(2,3)A 、(5,4)B 、(7,10)C ，若(R)AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【例，求线段AB 的其中一个四等分点P 的坐标．【例43】 若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，()21b =-，，则a = .【例44】 设O 为坐标原点，向量()12OA =，．将OA 绕着点O 按逆时针方向旋转90︒得到向量OB ，则2OA OB +的坐标为 ．【例45】 正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(03)OP =，，(40)OS =，，则RM =（ ）A ．7122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．7122⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(74)，D ．7722⎛⎫⎪⎝⎭，【例46】 已知(10)(21)a b ==，，，， ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？【例47】 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.【例48】 已知向量(2,2),(5,)a b k =-=，若a b +不超过5，则k 的取值范围是．【例49】 已知向量(1sin )a θ=，，(13cos )b θ=，，则a b -的最大值为 ．【例50】 已知向量a =(1sin ,1)θ-，b =1(,1sin )2θ+，若a //b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒【例51】已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP OA t AB=+，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。
(2)四边形O AB P能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。