2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.2 1.2.1 第二课时 三角函数线
2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：复习课(二) 三角函数的图象与性质
复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换1．题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．2．若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．[典例] 已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43. [答案] －45 －43[类题通法]利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．[题组训练]1．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6 解析：选C 由三角函数的定义知： tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－cos π6sin π6＝－3212＝－ 3.又sin5π6＞0，cos 5π6＜0. 所以α是第四象限角，因此α的最小正值为5π3.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.3．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三1．题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．2．(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．[典例] 已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2. 即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ) ＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15. [类题通法]三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形． (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．[题组训练]1．若sin (π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A ．－23B ．－66C.66 D.23解析：选A sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－1－sin 2α＝－23. 2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( ) A.73 B.75 C.54D.53解析：选B 1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.3．计算：sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝________. 解析：因为sin4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32， cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝cos 25π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝cos π6＝32， 所以sin4π3cos ⎝⎛⎭⎫－25π6＝－32×32＝－34. 答案：－344．已知sin(180°＋α)＝－1010，0°＜α＜90°， 求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．解：由sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°， 得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[典例] (广东高考)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.[类题通法]解决条件求值应学会的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．[题组训练]1．(重庆高考)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：选A tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.2．计算：cos π12cos 5π12＝________.解析：cos π12cos 5π12＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14.答案：14.3．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且tan(α＋β)＝2tan α.4tan α2＝1－tan 2α2，则α＋β＝________.解析：∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2tanα24tanα2＝12， ∴tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β＝π4. 答案：π44．在△ABC 中，sin B ＝cos A ，若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .解：因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34.因sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32，知A ＝30°. 从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°.综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解：选D r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32， ∴x ＝－2 3.故选D.2．若－2π＜α＜－3π2，则 1－cos (α－π)2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D1－cos (α－π)2＝1－cos (π－α)2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2， ∵－2π＜α＜－3π2，∴－π＜α2＜－3π4，∴cos α2＜0，∴⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14， 即cos 2α＝14. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝3，故选D.4．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－8 解析：选D ∵sin α－cos α＝－52， ∴1－2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝－18，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝－8. 5．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2解析：选A ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝⎝⎛⎭⎫－132＋11＋2×⎝⎛⎭⎫－13＝103，故选A. 6．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2β的值为( )A ．1B ．－1 C.2425D ．－45解析：选C 由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos 2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝2425. 7．在0°～720°中与2π5角终边相同的角为________．解析：因为25π＝25π×⎝⎛⎭⎫180π°＝72°， 所以终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝72°； 当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°中与2π5角终边相同的角为72°，432°.答案：72°，432°8．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝_______________________. 解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝34. 因为α为钝角，即π2＜α＜π，所以－3π4＜π4－α＜－π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＜0， 则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝－74. 答案：－749．已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－22，则 2cos 2 θ2－sin θ－tan5π42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________.解析：∵tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝－22， ∴tan θ＝－22或tan θ＝ 2. ∵π2＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴tan θ＜0，∴tan θ＝－22， 2cos 2 θ2－sin θ－tan 5π42sin (θ＋π4)＝2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1＋221－22＝3＋2 2.答案：3＋2 2 10．求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°.解：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋sin 50°＝cos 40°＋sin 50°1＋3sin 10°cos 10°cos 20°1＋cos 40°＝cos 40°＋cos 40°·2sin (10°＋30°)cos 10°2cos 220°＝cos 40°＋12cos 220°＝ 2. 11．已知cos α－sin α＝3 25，且π＜α＜3π2，求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值． 解：∵cos α－sin α＝325， ∴1－2sin αcos α＝1825， ∴2sin αcos α＝725. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425， ∴sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×－425325＝－2875. 12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0, ∴6tan 2α＋5tan α－4＝0，解得tan α＝－43或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴tan α＜0， ∴tan α＝－43.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.。
2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)2讲学案：第一章1.1 空间几何体的结构
空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2~4，思考并完成以下问题1．空间几何体是如何定义的?分为几类？2．多面体有哪些？能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶点吗？3．常见的多面体有哪些？它们各自的结构特征是怎样的?[新知初探] 1．空间几何体概念定义空间几何体空间中的物体，若只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体2．空间几何体的分类分类定义图形及表示相关概念空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点:棱与棱的公共点空间几何体旋转体由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体轴：形成旋转体所绕的定直线3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征分类定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边如图可记底面（底）：两个互相平行的面侧面：其余各面形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱作：棱柱ABCDA′B′C′D′侧棱：相邻侧面的公共边顶点:侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面（底）:多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点:各侧面的公共顶点棱台用一个平行于棱锥底面的平如图可记上底面：原棱锥的截面错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)棱柱的侧面都是平行四边形( ）（2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥（）（3）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( ）答案：(1）√（2)×(3)×2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析:选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的,而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________（填序号）．(1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形；（3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．（3）不正确,上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)棱柱的结构特征[典例] 下列关于棱柱的说法中,错误的是( ）A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形［解析］显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C。
高中数学人教A版三维设计浙江专版必修4讲义：第一章 1.3 第一课时 诱导公式(一) Word版含答案
三角函数的诱导公式第一课时诱导公式(一)预习课本P23～25，思考并完成以下问题(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？(2)诱导公式的内容是什么？(3)诱导公式1～4有哪些结构特征？[新知初探]1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α.4．α＋k ·2π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．( )(2)公式sin(－α)＝－sin α，α是锐角才成立．( ) (3)公式tan(π＋α)＝tan α中，α＝π2不成立．( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知cos(π＋θ)＝36，则cos θ＝( ) A ．36 B ．－36 C ．336D ．－336答案：B3．若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3答案：B4．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________. 答案：－4给角求值问题[典例] 求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6.[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°； (2)sin4π3·cos 19π6·tan 21π4. 解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.(2)原式＝sin 4π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋7π6·tan ⎝⎛⎭⎫4π＋5π4 ＝sin4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6·tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·tan π4＝⎛⎫⎪⎪⎝⎭3-2×⎛⎫⎪⎪⎝⎭3-2×1＝34.化简求值问题[典例]化简：(1)cos(－α)tan(7π＋α)sin(π－α)；(2)sin(1 440°＋α)·cos(α－1 080°)cos(－180°－α)·sin(－α－180°).[解](1)cos(－α)tan(7π＋α)sin(π－α)＝cos αtan(π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin(4×360°＋α)·cos(3×360°－α)cos(180°＋α)·[－sin(180°＋α)]＝sin α·cos(－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[活学活用]化简下列各式：(1)cos(α＋π)sin2(α＋3π)tan(α＋π)cos3(－α－π)；(2)sin(kπ－α)cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]cos(kπ＋α)(k∈Z)．解：(1)原式＝－cos α·sin2α－tan α·cos3α＝tan2αtan α＝tan α .(2)当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ－α)cos[(2n－1)π－α]sin[(2n＋1)π＋α]cos(2nπ＋α)＝sin(－α)·cos(－π－α)sin(π＋α)·cos α＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[(2n＋1)π－α]·cos[(2n＋1－1)π－α]sin[(2n＋1＋1)π＋α]·cos[(2n＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.给值(或式)求值问题[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值． [解] 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6的值； (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. (2)sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝23. 2．[变条件]若将本例中条件“cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33”改为“sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33，α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6”，则结论如何？解：因为α∈⎝⎛⎭⎫2π3，7π6，则α－π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π. cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－13＝63. 3．[变条件，变设问]tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α. 解：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π6＋α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr.4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． 解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.11。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象 含答案
1．4.3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的性质与图象[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π＋5π6，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A ．⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的值域是________． 答案：[0,1][典例] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．[活学活用]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期是( ) A ．4 B ．4π C ．2πD ．2解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π∪⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－51．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间． 解：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z. 题点二：比较大小2．比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． 解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5， ∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内递增， ∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 题点三：求最值或值域3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域． 解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]． 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．层级一 学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A ．⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B ．π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( ) A ．±1 B ．1 C ．±2D ．2解析：选A g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1. 4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是_____________________________________． 解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得． 答案：⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是_________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°； (2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4与tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°， 又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是增函数， ∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5， 又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5.10．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的周期是π2.(2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)． 令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)， 解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3.层级二 应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z) 6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]． 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z. 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。
高中数学人教A版三维设计浙江专版必修讲义第一章 应用举例含答案
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思
路．
[活学活用]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某
人在喷水柱正西方向的 A 处测得水柱顶端的仰角为 45°，沿 A 向北偏东 30°方向前进 100 m
到达 B 处，在 B 处测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( )
sin C sin B
AC·sin C 4·sin 120°
即 AB＝
＝
＝4 3.
sin B sin 30°
7
2．一艘船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 n mile
的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( )
45°，
而 β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点 A 在点 B 的北偏西 15°.故选 B.
3．从 A 处望 B 处的仰角为 α，从 B 处望 A 处的俯角为 β，则 α，β 的关系为( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
解析：选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知 α＝β，故应选 B.
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A 在
点 B 的( )
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
D．北偏西 10°
解析：选 B 如图所示，∠ACB＝90°，又 AC＝BC，∴∠CBA＝
3
所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.
2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 1-3 第二课时 诱导公式二 含答案 精品
第二课时 诱导公式(二)预习课本P26～27，思考并完成以下问题 (1)π2－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？ (2)诱导公式五、六有哪些结构特征？[新知初探]诱导公式五和公式六[点睛] 这两组公式实现正弦和余弦的相互转化．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( ) 答案：(1)× (2)×2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案：C3．若cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案：A4．化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案：－cos α[典例] 化简： sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α).[解] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.化简：(1)cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α；(2)sin(－α－5π)cos ⎝⎛⎭⎫α－π2－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos(α－2π)． 解：(1)原式＝cos[－(π－α)]sin α·sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝cos (π－α)sin α·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α(－sin α) ＝－cos αsin α·(－cos α)(－sin α) ＝－cos 2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos α· cos [－(2π－α)]＝sin [－(α＋π)]cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos αcos(2π－α) ＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α ＝sin 2α＋cos 2α ＝1.[典例] 求证：2sin ⎝⎭θ－3π2cos ⎝⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.[证明] 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立．求证：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin 2α.证明：左边＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·[－sin(2π－α)]cos α＝sin αcos α[－(－sin α)]cos α＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α＝右边，故原式成立.[典例] 已知cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＝58，求cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．[解] ∵cos (π－θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ－1＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＝11＋cos θ＝58，∴cos θ＝35.∴cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11－cos θ＝11－35＝52.已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．解：cos(105°－α)－sin(15°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]－sin [90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－23.层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π＋α).解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13. 所以原式＝－2sin α＝23.层级二 应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC ．23mD ．32m解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A ．355B ．377C ．31010D ．13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223 B ．223 C ．－23D ．23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫132＝－223.5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α， 所以sin α＝－15.又α是第三象限的角， 所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.8．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝1 2.又0<α<π，则sin α＝2 2.将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0<β<π，故cos β＝±3 2.。
2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：第一章 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本P34～37，思考并完成以下问题 (1)周期函数的定义是什么？(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？[新知初探]1．周期函数 (1)周期函数的概念条件 周期函数ƒ(x )的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x )的最小正周期[点睛] 对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝sin π3，则π3是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)若T 是函数ƒ(x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( ) (3)函数y ＝3sin 2x 是奇函数．( ) (4)函数y ＝－cos π3x 是偶函数．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．函数ƒ(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( ) A ．T ＝2π的奇函数 B ．T ＝2π的偶函数 C ．T ＝π的奇函数 D ．T ＝π的偶函数 答案：B3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x )＝sin x cos x 是______(填“奇”或“偶”)函数． 答案：奇三角函数的周期[典例]求下列函数的周期．(1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)ƒ(x )＝|sin x |. [解] (1)[法一 定义法]∵ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2π ＝cos ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π3＝ƒ(x ＋π)， 即ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π.[法二公式法]∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴ω＝2. 又T ＝2π|ω|＝2π2＝π. ∴函数ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期T ＝π. (2)[法一 定义法] ∵ƒ(x )＝|sin x |,∴ƒ(x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )的周期为π. [法二 图象法]∵函数y ＝|sin x |的图象如图所示．由图象可知T ＝π.求下列函数的周期． (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3； (2)y ＝|cos x |. 解：(1)T ＝2ππ2＝4， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的周期为4. (2)函数y ＝|cos x |的图象如图所示，由图象知T ＝π.A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性． (1)[解析] ∵f (x )的定义域是R.且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， ∴函数为奇函数． [答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．判断函数奇偶性的方法[活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)ƒ(x )＝x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝sin(cos x )．解：(1)函数ƒ(x )的定义域为R ， ∵ƒ(x )＝x cos(π＋x )＝－x cos x ，∴ƒ(－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x cos x ＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x )为奇函数．(2)函数ƒ(x )的定义域为R ，∴ƒ(－x )＝sin []cos (－x )＝sin(cos x )＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )为偶函数.[典例] 定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值． [解] ∵ƒ(x )的最小正周期是π， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵ƒ(x )是R 上的偶函数， ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝32. [一题多变]1．[变条件]若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ƒ ⎝⎛⎭⎫π3 ＝－sin π3＝－32.2．[变设问]若本例条件不变，求ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6的值． 解：ƒ ⎝⎛⎭⎫－19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫19π6＝ƒ ⎝⎛⎭⎫3π＋π6 ＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12. 3．[变条件]若本例条件为：函数ƒ(x )为偶函数且ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )，ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3的值．解：∵ƒ ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋π)＝ƒ(x )，即T ＝π，ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝ƒ ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ ⎝⎛⎭⎫π3＝1.层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 2＝sin x2，故为奇函数． 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π.答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. 答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性． (1)ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )． ∴该函数ƒ(x )是奇函数． (2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义 域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x ) ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )， ∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )， 图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二 应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数 解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋3π2 ＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A. 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π， 又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C. 5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：226．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的最小正周期为T ＝2π. 答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x)(ƒ(x)≠0)．(1)求证：函数ƒ(x)是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x＋2)＝－1ƒ(x)，∴ƒ(x＋4)＝－1ƒ(x＋2)＝－1－1ƒ(x)＝ƒ(x)，∴ƒ(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x)的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章1.11.1.1任意角含答案
1．1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：[点睛]对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．与45°角终边相同的角是()A．－45°B．225°C．395°D．－315°答案：D3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角答案：A4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．答案：－25°395°[典例]下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．[答案] C[活学活用]如图，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置，接着再旋转－30°到OC 的位置，则∠AOC 的度数为________．解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．[解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.[典例]并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.[典例] 已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] 法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，得 n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得 n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置． 解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)． ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一 学业水平达标1．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是( ) A ．390°，690° B ．－330°，750° C ．480°，－420°D ．3 000°，－840°解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在的象限是( ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限解析：选A 由题意知α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ， 当k ＝2n ＋1，n ∈Z ， α＝2n ·180°＋180°＋45° ＝n ·360°＋225°，在第三象限， 当k ＝2n ，n ∈Z ， α＝2n ·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。
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第二课时三角函数线预习课本P15～17，思考并完成以下问题(1)有向线段是如何定义的？(2)三角函数线是如何定义的？[新知初探]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线[点睛]三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值．()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A ．π4B ．3π4 C ．7π4D ．3π4或7π4 答案：D4．sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案：>[典例] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线． [解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .1．利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin2π3与sin 4π5；②tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan2π3＝AT ； 4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′， 由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0， 所以①sin2π3>sin 4π5，②tan 2π3<tan 4π5. 题点二：利用三角函数线解不等式2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋2π3 ≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .题点三：利用三角函数线求函数的定义域 3．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解：由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z .层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0，∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，229．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin 5π6，有向线段OM ＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示．交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4 <x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知：cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6 <θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |， ∴sin α<α<tan α.。