第五讲 符号表示

2.由数值矩阵转换为符号矩阵 数值矩阵和符号型变量是两种不同的数据类型， 因此，不能直接进行运算。使用sym函数进行转 换 >>M=[30 1 1 1;6 2 5 9;9 8 12 4;32 45 62 0] >> s=sym(M) s=
[ 30, 1, 1, 1] [ 6, 2, 5, 9] [ 9, 8, 12, 4] [ 32, 45, 62, 0]
四、识别对象类型的指令
class isa whos 例：a=1;b=2;c=3;d=4 Mn=[a,b;c,d] Mc='[a,b;c,d] ' Ms=sym(Mc) class(Mn) ,isa(Mc,’char’), whos Ms
五、符号表达式和符号函数的运算
1.符号表达式的操作 四则运算（+ - * /） 合并同类型（collect） 多项式分解（hornor） 因式分解 （factor） 简化 （simplify simple） ……
三、符号矩阵的生成
1.使用sym函数直接生成符号矩阵 >>a1=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi;sin(x),cos(x), log(x);sin(x)^2,sin(22*x),exp(x)]') a1 = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi] [ sin(x), cos(x), log(x)] [ sin(x)^2, sin(22*x), exp(x)]
八、符号矩阵及符号数组的运算
1.符号矩阵的四则运算
A+B和A-B，若A与B为同型阵列时，分别对对 应的分量进行加减 A*B为线性代数中的矩阵乘法，要求A的列数 等于B的行数，否册系统将返回出错信息 A\B实现矩阵的左除法，X=A\B是A*X=B的解， 近似等于inv(A)*B,若X不存在或者不唯一，给 出警告信息 A/B实现矩阵的右除法，X=B/A为X*A=B的解， 近似等于B*inv(A),若X不存在或者不唯一，给 出警告信息
第五讲
符号函数及基本运算
符号计算的特点
运算以推理解析的方式进行，因此不受误差 积累问题的困扰； 符号计算或给出完全正确的封闭解，或给出 任意精度解； 符号计算指令的调用比较简单，与经典教科 书公式相似； 计算所需时间较长。
一、符号变量的生成和使用
符号型数据变量使用专门的函数sym和syms sym函数：生成单个的符号变量 symbol1=sym(‘American’) syms函数:一次创建任意多个符号变量 syms a b c
小结
讲述了符号变量的生成和应用 符号函数和符号方程的生成 符号矩阵的生成 识别对象类型的指令 符号表达式和符号函数的运算 符号表达式和符号函数的运算
符号对象与其它数据对象间的转换
符号矩阵及符号数组的运算
符号常数形成的差异 a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]; a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]); a3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e'); a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]'); a24=a2-a4;
七、符号对象与其它数据对象间的转换
符号和数值的转换 s=sym(A) 将数值对象A转换为符号常数s A=double(X) 将符号常数X转换为双精度数值A 字符表达式和符号变量的转换 s=sym(‘A’) 将对象A转换为符号常数s R=simple(S) 将已有的符号表达式化为最简形 >> y=sym('cos(x)^2-sin(x)^2') y =cos(x)^2-sin(x)^2 >> y=simple(y) y = cos(2*x)
六、符号表达式和符号函数的运算
针对浮点运算的数值计算 >> y=1/3+2/11+3/19 y =0.6730 结果与真实值存在误差 针对精确运算的符号算法 >> y=sym(1/3+2/11+3/19) y =422/627 可以完全保证数值的精度，但是占用更多资源 任意精度的符号算法 digits(D) 设置数值的精度为D位 vpa(S,D) 显示符号表达式S在精度D下的值 vpa(pi,1000)
二、符号函数和符号方程的生成
符号函数的生成 直接声称符号函数（表达式） syms x y z a fun=sin(x)+cos(y)+z^a 使用sym函数声称符号函数（表达式） f1=sym(‘sin(x)^2+cos(x)^2’) f1^z
符号方程的生成 生成符号方程的方法和使用sym函数生成符号 函数类似，但是不能采用直接生成法 >>equation1=sym(‘sin(x)+cos(x)=1’) equation1= sin(x)+cos(x)=1
通用置换指令（subs）
subs(s)命令将符号函数s中的变量用所调用 的函数或者Matlab工作区间中的变量置换； subs(s,new)命令将s中的自由符号变量用 new置换； subs(s,old,new)命令将s中的old和new置换。 syms a x;f=a*sin(x)+5 f1=subs(f,’sin(x)’,sym(‘y’)) f1= a*y+5 f2=subs(f,{a,x},{2,pi/3})
举例（二）
求f=x/(1+u2),g=cos(y+fai)的复合函数 >> syms x y u fai t; >> f=x/(1+u^2); >> g=cos(y+fai); >> fg1=compose(f,g) %自变量由机器指定 fg1 = cos(y+fai)/(1+u^2) >> fg2=compose(f,g,u,fai,t) %指定自变量 fg2 = x/(1+cos(y+t)^2)
2.符号数组的四则运算
A.*B按参量A与B对应的分量进行相乘，A与 B必须为同型阵列，或至少有一个标量。 A./B 数组的右除法运算，按对应的分量进 行相除 A.\B数组的左除法运算，按对应的分量进行 相除
举例
>> q=sym('[3,4,9,6;x,y,z,w;a,b,c,d]') >> p=sym('[x,1/x,x^2,x^3;a,b,c,d;5,2,3,6]') >> q.*p ans = [ 3*x, 4/x, 9*x^2, 6*x^3] [ x*a, y*b, z*c, w*d] [ 5*a, 2*b, 3*c, 6*d] >> r=q*p
举例（一）
求f=x2 的反函数 >> syms x， f=x^2; >> g=finverse(f) Warning: finverse(x^2) is not unique. g = x^(1/2) %x2 反函数有两个，finverse只给出主反函数 >> fg=simple(compose(g,f)) %验算g(f(x))是否等于x fg=x
2.符号函数的求反和复合
反函数的运算 g=finverse(f)命令用于求函数f的反函数，其中 f为 一符号表达式，x为单变量，函数g也是一个符号函 数，且满足g(f(x))=x g=finverse(f,v)命令所返回的函数表达式的自变量 是v,g的表达式要求满足g(f(v))=v，当f包括不止一个 变量时最好使用该命令。 反函数的复合 fg=compose(f,g,v,w,t) 对f(v)和v=g(w)求复合函 数 fg=f(g(w))|w=t fg=compose(f,g)，对f(*)和v=g(*)求复合函数 fg=f(g(*))
3.符号函数的置换和应用
符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是： 有些表达式会多次出现在不同地方，为了使 表达式简洁易读，使用置换指令：subexpr和 subs
自动执行的子表达式置换指令

[RS,ssub]=subexpr(S,ssub)运用符号变量 ssub置换子表达式重写S为RS。
>> syms a b c d W >> [V,D]=eig([a b;c d]) >>[RVD,W]=subexpr([V;D],W) V= [ -(1/2*d-1/2*a-1/2*(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2))/c, -(1/2*d1/2*a+1/2*(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2))/c] [ 1, 1] D= [ 1/2*d+1/2*a+1/2*(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2), 0] [0, 1/2*d+1/2*a-1/2*(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)] >> [RVD,W]=subexpr([V;D],W) RVD = [ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c] [ 1, 1] [ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0] [ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W] W =(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)
举例
>> m=sym('[x,x^2,x*2,1/x]') >> n=sym('[2*x,y,x,x^2]') >> m+n ans =[ 3*x, x^2+y, 3*x, 1/x+x^2] >> a=m'*n a= [ 2*conj(x)*x, conj(x)*y, conj(x)*x, conj(x)*x^2] [ 2*conj(x)^2*x, conj(x)^2*y, conj(x)^2*x, conj(x)^2*x^2] [ 4*conj(x)*x, 2*conj(x)*y, 2*conj(x)*x, 2*conj(x)*x^2] [ 2/conj(x)*x, 1/conj(x)*y, 1/conj(x)*x, 1/conj(x)*x^2] >> b=m\n >> c=m/n