《金版学案》2016届高考数学文科一轮复习课件3-3两角和与差及二倍角三角函数公式
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件 理 北师大
x＋1≥0， 应有2x－－1x＞≠00，，
2－x≠1.
即xx≠≥1－，1， x＜2，
有－x≠11≤. x＜2，
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}．
• (2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， • ∴1＜2x＋1＜3， • 即f(x)的定义域是(1,3)．
【变式训练】 1.(1)求函数f(x)＝lgx92－－x22x的定义域； (2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．
．
知识点
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幂函数、 函数与 方程
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象， 了解它们的变化情况．
3.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
4.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似 解．
函数的 图象
• 求函数解析式的类型与求法
• (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
• (2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取 值范围．
(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其
他未知量，如f(－x)、f
1 x
等，要根据已知等式再构造其他等式组成方
x2，x＞0， 3.已知函数f(x)＝1，x＝0，
－1x，x＜0.
(1)画出函数的图象； (2)求f(1)，f(－1)，f[f(－1)]的值．
解析： (1)分别作出f(x)在x＞0，x＝0，x＜0段上的图象，如图所 示，作法略．
• 【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数教师用书 文 北师
第五节 两角和与差及二倍角的三角函数[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos2α)；②cos 2α＝12(1＋cos2α)．(3)公式的逆用：①1±sin2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)s in20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12D [sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15C ．15D ．45D [∵cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos2θ＝1－191＋19＝45.]4．(2017·某某二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________.【导学号：66482165】－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.【导学号：66482166】π3[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.]三角函数式的化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos2x .[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角函数式的求值☞角度1 给角求值(1)2cos 10°－si n 20°sin 70°＝( )A.12 B ．32C ． 3D ． 2(2)sin50°(1＋3tan10°)＝________. (1)C (2)1[(1)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.(2)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]☞角度2 给值求值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B ．15C ．－15D ．－725(2)(2016·某某十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )【导学号：66482167】A.1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sin α＝2cos2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.] ☞角度3 给值求角已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角.三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 5分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 12分 [规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (1)(2016·某某高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．3π2D ．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (1)B (2)1[(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.][思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防X]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的X 围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该X 围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．。
2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件：4.3 和、差、倍角的三角函数
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3 2． (2012· 高考大纲全国卷 )已知 α 为第二象限角， sin α＝ ，则 5 sin 2α＝ ( ) 24 12 A. － B. － 25 25 12 24 C. D. 25 25
3 解析：选 A.∵ α 为第二象限角且 sin α＝ ， 5 4 2 ∴ cos α＝－ 1－ sin α＝－ ， 5 3 4 24 － ∴ sin 2α＝ 2sin α· cos α＝ 2× × 5 ＝－ . 5 25
考点突破
考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及应用
两角和差的形式是相对而言的．如 α－ β＝ α＋(－ β)， α＝ (α＋β)－β 等．要注意公式的正用、逆用、变形用．
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例1
4 已知 α， β 均为锐角， cos αcos 2α＋ sin 2αsin α＝ ， 5
1 tan(α－β)＝－ ，求 tan β 和 tan(α＋ β)的值． 3
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例2
π π 3 若 0＜x＜ ，sin( －x)＝ ，求 sin 2x 的值和 cos x 的值． 4 4 5
利 用 角 度 变 换 ， 寻 找 函 数 关 系 ： sin 2x ＝
【思路分析】
π cos 24－ x ， 进而可求 cos 2x， 而 cos 2x＝ 2cos2x－ 1， 求 cos x.
2
7 2 24 1－ ＝ ， 25 25 24 1＋ 25 7 2 ＝ . 2 10
∴ cos x＝
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【思维总结】
π π 2α， ＋ α， － α 三角之间有必然的内在联系， 4 4
本题的变形就用了这种关系． π π π 如：cos 2α＝ sin( ± 2α)＝2sin( ± α)cos( ± α)等． 2 4 4
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
(5)tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan (α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案：C 【反思感悟】 理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键.
【高分训练】
(2021 年泸州市模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图3-3-1中直角三角形两锐角分别
为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为 9∶25，
答案：12
⊙三角变换与数学文化的创新问题 新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数 学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一， 以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容.
[例 4]公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
θ＋cos θ)sin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2
＝______.
解析：由 θ∈(0，π)，得 0＜2θ＜π2， ∴cos 2θ＞0，∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)sin
解析：原式＝1－cos22α－π3＋1－cos 22α＋π3－sin2α＝1－ 12cos2α－π3＋cos 2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cos π3－sin2α＝1－ co2s2α－1－c2os 2α＝12.
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第3课时 函数的奇偶性与周期性精品课件 理
• 2．对于有些复杂的函数，有时需要将函数进行化简或应用定义的等价
形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔
＝±1(f(x)≠0)．
• 3．对于分段函数的奇偶性的判断应分段逐一判断，然后统一下结论．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝ x＋1x；
• (2)对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周期、利用周期性 求函数值，以及解决与周期有关的函数综合问题．充分利用题目 提供的信息，迁移到有定义的范围上进行求值是解答此类问题的 关键．
• (2010·全国新课标卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－ 2)＞0}＝( )
(2)∵f(x)的定义域为[－2,2]， －2≤1－m≤2
∴有－2≤1－m2≤2 ， 解得－1≤m≤ 3 ① 又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1， 即－2＜m＜1 ② 综合①②可知，－1≤m＜1.
值是( )
A．－13
1 B.3
1 C.2
D．－12
解析： ∵函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数，
∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝13.
∴a＋b＝13. 答案： B
• 3．已知f(x)在R上满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则 f(2 013)＝( )
数；
• 若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 即非奇非偶函数．
• 【思考探究】 奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函 数具有奇偶性的什么条件？
《金版新学案》高三数学一轮复习 第三章 第3课时课件 理 新人教A版
1 (2)y＝ 2＋log x＋ tan x. 2 π － x 解析： (1)由函数 1－ 2cos2 ≥0，得 sin
2 x≤ ， 2 利用单位圆或三角函数的图象， 易 得 所 求 函 数 的 定 义 域 是
5π π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z . 4 4
y＝sin x
y＝cos x
【思考探究】 2.正弦函数和余弦函数的图象 的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有 什么关系？
提示：
y＝sin x 与 y＝cos x 的对称轴方程
中的 x 都是它们取得最大值或最小值时相 应的 x， 对称中心的横坐标都是它们的零点．
1． 使函数 y＝1＋3cos 2x(x∈R)取最大值的自变 量 x 的集合为( ) A．{0} B．{x|x＝kπ，k∈Z} C．{x|x＝2kπ，k∈Z}
2．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0， 可用诱导公式将函数变为 y＝－Asin(－ωx－ φ) ， 则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的 减区间，减区间为原函数的增区间． 对于函数 y＝Acos(ωx＋φ)的单调性的讨论与 以上类似．
已知函数 f(x)＝ 3(sin x－cos x)－2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； π π (2)设 x∈－3，3 ， 求 f(x)的值域和单调递增区 间． 解析： (1)∵f(x)＝－ 3(cos2x－sin2x)－ 2sin xcos x π ＝－ 3cos 2x－sin 2x＝－2sin2x＋3 ， ∴f(x)的最小正周期为 π.
π D.x|x＝2kπ＋2，k∈Z
答案： B
π － x 2．函数 y＝tan 的定义域是( 4 π A.x|x≠4，x∈R π B.x|x≠－4，x∈R π x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z ， x ∈ R C. 4 3π x | x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z ， x ∈ R D. 4
2016届高考数学文科一轮复习课件3-3两角和与差及二倍角三角函数公式
链
解析：原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin（68°－
接
23°）＝sin 45°＝f(r(2),2).
第十三页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
课前自修
4．下列各式中，值为12的是( A )
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin 2α＝____2_s_in__α_c_o_s__α_(简记为S2α)；
cos 2α ＝ __co__s2_α_－__s_i_n_2_α_＝__2_c_o_s2_α_－__1_＝__1_－__2_s_i_n_2_α___( 简 记 为
栏 目
C2α)；
2tan α
高考总复习数学（文科）
第一页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
第三章 三角函数与解三角形
第三节 两角和与差及二倍角三角函 数公式
第二页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
栏
目
考纲要求
链 接
第三页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
考纲要求
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
栏 目 链 接
考点探究 变式探究
1．(1)计算：log1sin 15°＋log1cos 15°＝____2____．
2
2
(2)若 α∈0，π2 ，且 sin 2α＋cos 2α＝14，则 tan α的值等
栏 目 链
于_____3___．
接
第二十一页，编辑于星期五：二十一点 十三分。
高考总复习数学两角和与差及二倍角的三角函数公式ppt课件
2tanα
sin2α＝___2_s_in_α_c_o_s_α___；tan2α＝____1_－__t_a_n_2α__.
3．降次公式
1＋cos2α
1－cos2α
cos2α＝_______2_____；sin2α＝________2____.
5
4．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)． 其中 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2， tanφ＝ba，角 φ 称为辅助角．
8
考点 1 三角函数式的化简 例 1：已知函数 f(x)＝sincoxs＋2xπ4. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若 f(x)＝43，求 sin2x 的值．
9
解：(1)由题意，sinx＋π4≠0，∴x＋π4≠kπ(k∈Z)． 即 x≠kπ－π4 (k∈Z)．
函数 f(x)的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z
1－sin2B＝－
3 ＝－3 10
10 10 .
20
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2
5
5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又∵π2<A<π，π2<B<π，
∴π<A＋B<2π，∴A＋B＝74π.
21
【方法与技巧】通过求角的某种三角函数值来求角，在选 取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
即ffxxmmainx＝＝－2＋1＋a＋a＋1，1， ∴2a＋3＝3，即 a＝0.
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考点 2 三角函数式的求值
例 2：化简求值：(1)tan15°； (2)1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°； (3)11－＋ttaann1155°°； (4)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°. 解：(1)体会正用公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝ 1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－13＝2－ 3. (2)体会逆用公式：1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°＝tan(42°＋18°)＝tan60° ＝ 3.又Biblioteka α为第二象限角，∴sinα＝2
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A．7
B．－7
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π 7 4 (2)已知 cosα－6＋sin α＝ 3，则 sinα＋6π的值是( 5
A．－
2 3 5
2 3 B. 5 4 D. 5
4 C．－ 5
考点探究
思路点拨：由题设，需先求出 cos α 的值，再运用和、差、二倍 角公式． 点评：(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同 角的三角函数运算规律” ，对公式要会“正用” “逆用” “变形用” ； (2)常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式综合考查三角函 数求值问题． (3)三种常见公式变形： ①正切和差角公式变形： tan x±tan y＝tan(x± y)· (1∓tan x· tan y)． ②倍角公式变形：降幂公式．
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考点探究
cos2α＝ 1＋cos 2α 1－cos 2α ，sin2α＝ . 2 2
α α2 α cos ，1＋cos α＝2cos2 ，1－cos ③升幂变形：1± sin α＝sin2 ± 2 2
30°＝－f(r(3),2)；sin215°＋cos215°＝1.
考点探究
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考点探究
考点1 三角公式的正用、逆用与变形运用
4 【例 1】 (1)若 sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝ ，且 α 是第二 5
π 象限角，则 tan ＋α等于( 4
) 1 C. 7 D．－ 1 7 )
高考总复习数学（文科）
第三章 三角函数与解三角形
第三节 两角和与差及二倍角三角函
数公式
考纲要求
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考纲要求
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切 公式． 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、 正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的 内在联系． 栏 目 链 接
β)，且对任意角 α，β 都成立； ⑤存在实数 α，使 tan 2α＝2tan α. 其中正确的是( A．①③④
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B
) C．②③④ D．②③⑤
B．①②⑤
课前自修
解析：①正确.对于任意的实数 α，β，两角和与差的正弦、余 弦公式都成立.②正确.如取 β＝0，因为 sin 0＝0， 所以 sin（α＋0）＝sin α＝sin α＋sin 0. ③错误.因为 f(π,2)＜A＋B＜π， 所以 cos （A＋B） ＜0， 即 cos Acos B－sin Asin B＜0.所以 sin Asin B＞cos Acos B. ④错误.变形可以， 但不是对任意角 α， β都成立.α， β， α＋β≠k π＋f(π,2)，k∈Z. ⑤正确.当 α＝kπ（k∈Z）时，tan 2α＝2tan α.
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课前自修
3．计算 sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的结果 等于( B ) 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 3
解析：原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin 栏 目 链 接
（68°－23°）＝sin 45°＝f(r(2),2).
Cα±β)；
tan α ±tan β
tan(α±β)＝___________________( 1 tan α tan β 简记为Tα±β)．
课前自修
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式
2sin αcos α sin 2α＝______________( 简记为S2α)； cos 2α ＝ ____________________________________( 简记 cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 为C2α)； 栏 目 链 接
课前自修
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课前自修
基 础 回 顾
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin αcos β±cos αsin β 简记为Sα±β)； sin(α±β)＝_______________________( 栏 目 链 接
cos(α±β) ＝ _____________________________( 简记为 cos α cos β sin α sin β
2tan α tan 2α＝____________( 简记为T2α)． 1－tan2α
课前自修
三、二倍角余弦公式的变式
1＋cos 2α 1－cos 2α 2 1．降幂公式：cos α＝ ，sin α＝ . 2 2
2
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
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课前自修
1 4．下列各式中，值为 的是( A ) 2 A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
解析：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝f(1,2)；cos215°－
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sin215°＝cos 30°＝f(r(3),2)；2sin215°－1＝－cos
课前ห้องสมุดไป่ตู้修
四、辅助角公式
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 φ 角所在的象限 b 由 a，b 的符号确定，φ 角的值由 tan φ＝ 确定)． a
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课前自修
基 础 自 测
1．给出下列命题： ①两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的； ②存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立； ③在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定； ④公式 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan 1－tan αtan β
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1－tan 15° 2. ＝( B ) 1＋tan 15° A．1 B. 3 2 C. D. 3 3 2
解析：f(1－tan 15°,1＋tan 15°)＝f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 15°tan 45°)＝tan （45°－15°）＝ tan 30°＝f(r(3),3).故选B.