第二章系统可靠性模型

① I
② I
[0 1 1 0]
（2）双补律
( A') ' A
（3）等幂律
①A A A ②A
A A
（4）德摩根(De Morgan)律
14
① (A B) A·B
其文氏图为
② (A·B) A B
图 De Morgan 律 ① 文氏图
其文氏图为
② 集合不相容:若集合A与集合B没有公共元素，则称为
A和B不相容，或称为不相交，如图2—13所示。
图2-12A集与B集相交的文氏图
图2-13A集与B集不相交的文氏图
A、B公共元素
2. 容斥原理计算公式
27
设有n个任意集合A1、A2、...、An , 用数学归纳法可以
证得容斥原理计算公式为
A1 A2... An
22 二、容斥原理
容斥原理是集合数学中的一个基本概念。在生活和工作 中有许多问题可以用容斥原理得到正确的解决。
因为可靠性主要是研究产品失效或可靠的概率，而产品 失效或可靠是由於组成该产品的某些零部件失效或可靠这些 事件形成的。
设一产品失效事件为M，形成其的事件由A、B、C组成。 则这产品失效的概率为：
① Φ∪A = A ,
I∪A = I
② Φ∩A = Φ ,
I∩A = A
（6）补元律
A A I A A Φ
注意：集合代数运算也应先∩后∪运算，（即先 乘除后加减）。
3.布尔代数的有关基本定理
12
在数学系统中，如果变量只能取0 或 1（失效或不失 效），上述定义的并、交、补，且满足以上6条基本规律， 该系统叫布尔代数，“∪” 、“∩”、“′ ” 叫布尔运算。 交这算符号∩可简化为“ ·”，而且可以省略，如
n
Ai
Ai Aj
Ai Aj Ak -... A1A2...An
i 1
1i jn
1i jk n
n (1)i1

Aj1 Aj2 ...Aji
i1
1 j1 j2 ... ji n

(2 -1)
式（2—1）中符号|A|表示集合A内的元素数目，（假设 它是可数的、有限的），或表示文氏图中集合A的“面积” （假设其元素是不可数的）。
上面等式成立吗？不一定，根据概率论理论，只有当A、 B、C互斥（即不相容）时，上式才能成立。
当A、B、C事件相容时，如何求P（M）？ 下面举例说明。
24 例如某研究室订《人民日报》有2人，订《北京日报》2 人，订《参考消息》5人，订《广播电视》3人。同时又知有1 人订了2种报，有3人订了3种报。请确定该单位有多少人订报？
√√
参考消息 √ √ √ √ √
广播电视报 √
√
√
订报人 甲 乙 丙 丁 戊
由此例可见，相容事件的算法，通俗地说，是一种 “加加减减”、逐项逼近的算法。
为了方便地解决这类问题，这里介绍容斥原理的计 算公式。
1.集合相容和不相容
26
① 集合相容:若集合A与集合B有公共元素，则称为 A和B相容，或称为相交，如图2—12所示。
分配律的文氏图见图2—9所示 。
图2-9
图2-9
10 （4）吸收律
① A∪（A∩B）=A
［（A+AB）= A ］
② A∩（A∪B）=A
［（A（A+B）= A）］
吸收律的文氏图见图2—10所示
图2-10
图2-10
（5）基元律
11
设Φ为空集：不可能事件，无元素的集合；
I为全集：必然事件，一切可能元素的集合。则有
Pr (x1x2 x3)
i1
1 j1 j2 j3 3
(1)11 Pr (x1) pr (x2 ) P(x3)
(1)21 Pr (x1x2 ) Pr (x1x3) Pr (x2x3) (1)31 Pr (x1x2x3)
Pr (x1) Pr (x2 ) Pr (x3) Pr (x1x2 ) Pr (x1x3) Pr (x2x3) Pr (x1x2x3)
图 De Morgan 律 ② 文氏图
（5）覆盖律
①A∪A'B＝A∪B
覆盖律文氏图为。 ② A（A'∪B）= AB
覆盖律文氏图为。
15
图 覆盖律 ① 文氏图 图 覆盖律②文氏图
16 ③ AB∪A'C∪CB = AB∪A'C
覆盖律文氏图见下图
图 覆盖律③文氏图
17
④ （A∪B）(A'∪C）(C∪B） = （A∪B）(A'∪C）
28
同理可以证明任意事件 x1、x2、... 、xn 的并事件
发生的概率为
Pr (x1 x2 ... xn )
n (1)i1
Pr (x j1 x j2 ...x ji )
i1
1 j1 j2 ... ji n

(2 - 2)
29 下面举例说明以上容斥原理计算公式的应用。
换，补（“ˊ”）不变所得到新的表达式，就叫做原表
达式的对偶式。
②对偶定理—可以证明布尔代数的任何一个定理的对 偶式都成立，并是一条定理，称原定理的对偶性定理。
如果能证明原定理成立，则其对偶定理必定成立。
上述集合代数的6个基本规律和布尔代数的7个基本定
理（除双补律外—因为双补律只有1个式子），它们的①
Pr (AC) Pr (BC) Pr (ABC)
31 例2—2 求1、2、…、500中能被3或被5除尽的数的个数。
解：设 A1为1～500中能被 3 除尽的数的集合，A2为 1～500中能被 5 除尽的数的集合。
1
第 二 章 系统可靠性模型(2)
第二节 集合代数、布尔代数、容斥 原理及不交型算法--------------（2）
一、布尔代数---------------------------（2） 二、容斥原理 -------------------------（22） 三、不交型算法-----------------------（34） 四、例题--------------------------------（46）
式和②式，或③式和④式都是对偶定理。
20 例1：写出下列布尔表达式的对偶式 。
ABCD AB(A BC)
解： 将上式中的∪→∩（式中省略“∩”标注）， ∩→∪和补“ ′ ”不变，得上式的对偶式为：
A B (C D)( A B) A(B C)
注意：布尔代数的运算时也应先∩后∪运算， （即先乘除后加减）。
(我们希望能用下式求出产品的失效概率)
P(M ) P(A B C)
P( A) P(B) P(C)
23 若己知P(A )、P(B )、P(C )，则 A、B、C事件和的概率等 于A、B、C事件概率的和,即
P(M ) P(A B C)
P( A) P(B) P(C)
A∩B = A·B = AB
书中讲了布尔代数的七个定理 : (1) 基元互补律、(2) 双 补律、(3)德·摩根定律（Ｄｅ Ｍｏｒｇａｎ律）、(4) 等 幂律、(5) 复盖律、（6）归并律和（7）对偶性定理。
13 （1）基元互补律
设Φ为空集：不可能事件，无元素的集合；
I为全集：必然事件，一切可能元素的集合。则有
例2—1 求并事件A∪B∪C 的发生概率。
解：设A=x1，B=x2，C=x3 。
由式（2 - 2）Pr (x1 x2 ... xn n (1)i1
Pr (x j1 x j2 ...x ji )
i1
1 j1 j2 ... ji n

3
Pr (x1 x2 x3) 1i1
覆盖律文氏图见下图 所示。
图覆盖律④文氏图
18 （6）归并律
① AB AB A ② (A B)(A B) A
归并律的文氏图如图2-11所示。
图 2-11 归并律的文氏图
（7）对偶性定理
19
① 对偶式—设在任一布尔表达式中，如果把其中的
并与交（即∪与∩）互换，空集与全集（即Φ与 I ）互
7 2. 集合代数的基本规律 设 A、B、C 3个集合。Φ 为空集：是没有任何元素的集合。
I 为全集：是在所讨论的一定范围内包含一切可能元素 的集合。
（1）交换律
① A∪B = B∪A , [A+B = B+A ] ② A∩B = B∩A , ［A·B =B·A]
（2）结合律 ①（A∪B）∪C = A∪（B∪C）
显然，C3的元素只能由 集合B以外的元素所组成。
图2-7（c)集合的补B'
6 并、交、补是集合代数中3个最基本的运算。它们用文
氏图（Venn Diagram）表示为：
① 图2-7（a）为A与B的并集; ③ （c）为B的补集。
② （b）为A与B的交集;
图2-7（a)集合的并A ∪B
图2-7（b)集合的交A ∩B 图2-7（c)集合的补B'
Байду номын сангаас0
即 Pr (x1 x2 x3 )
Pr (x1) Pr (x2 ) Pr (x3) Pr (x1x2 ) Pr (x1x3) Pr (x2x3) Pr (x1x2x3)
因为设A=x1，B=x2，C=x3,所以A∪B∪C 的并事件 发生概率为
Pr ( A B C) Pr (A) Pr (B) Pr (C) Pr (AB)
∪+
2
第二节 集合代数、布尔代数、容斥原理及 不交型算法
为了便于下面进行系统可靠性的特征量的计算，需要布 尔代数这方面的数学知识，因此，首先介绍布尔代数。