4.3.3.余角与补角(1)导学案
《余角和补角》 导学案
《余角和补角》导学案一、学习目标1、理解余角和补角的概念。
2、掌握余角和补角的性质，并能运用其解决简单的几何问题。
3、培养观察、分析和推理能力，体会数学在实际生活中的应用。
二、学习重点1、余角和补角的概念。
2、余角和补角的性质。
三、学习难点余角和补角性质的应用。
四、知识回顾1、角的度量单位：度、分、秒。
2、直角的度数为 90°。
五、新课导入在生活中，我们常常会遇到一些与角的数量关系有关的问题。
比如，在一幅三角板中，有两个角的度数之和等于 90°，而在一些图形中，两个角的度数之和等于180°。
那么，这些角之间有着怎样的特殊关系呢？今天我们就来学习余角和补角。
六、余角的概念如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。
其中一个角是另一个角的余角。
例如，若∠1 ＋∠2 ＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。
练习 1：已知∠A ＝ 20°，则∠A 的余角为多少度？解：因为互为余角的两个角的和为 90°，所以∠A 的余角＝ 90° 20°＝ 70°七、补角的概念如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。
其中一个角是另一个角的补角。
例如，若∠3 ＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，∠3 是∠4 的补角，∠4 也是∠3 的补角。
练习 2：已知∠B ＝ 110°，则∠B 的补角为多少度？解：因为互为补角的两个角的和为 180°，所以∠B 的补角＝ 180°110°＝ 70°八、余角和补角的性质1、同角（或等角）的余角相等。
2、同角（或等角）的补角相等。
证明性质 1：已知∠1 ＋∠2 ＝ 90°，∠1 ＋∠3 ＝ 90°则∠2 ＝ 90°∠1，∠3 ＝ 90°∠1所以∠2 ＝∠3证明性质 2：已知∠4 ＋∠5 ＝ 180°，∠4 ＋∠6 ＝ 180°则∠5 ＝ 180°∠4，∠6 ＝ 180°∠4所以∠5 ＝∠6练习 3：已知∠7 与∠8 互余，∠8 与∠9 互余，求证∠7 ＝∠9证明：因为∠7 与∠8 互余，所以∠7 ＋∠8 ＝ 90°因为∠8 与∠9 互余，所以∠8 ＋∠9 ＝ 90°所以∠7 ＝ 90°∠8，∠9 ＝ 90°∠8所以∠7 ＝∠9练习 4：已知∠10 与∠11 互补，∠11 与∠12 互补，求证∠10 ＝∠12证明：因为∠10 与∠11 互补，所以∠10 ＋∠11 ＝ 180°因为∠11 与∠12 互补，所以∠11 ＋∠12 ＝ 180°所以∠10 ＝ 180°∠11，∠12 ＝ 180°∠11所以∠10 ＝∠12九、余角和补角的应用1、在几何图形中，通过寻找余角和补角来求解角的度数。
4.3.3 余角和补角
课堂导学
知识点2：余角和补角的性质 【例2】如下图，点O是直线ED上一点，且∠AOB＝
∠COD＝90°. (1)试说明∠AOC＝∠BOD； (2)若∠BOD＝50°，求∠AOE.
【解析】(1)根据同角的余角性质可解题； (2)利用(1)得∠AOC＝∠BOD＝50°可求得 ∠AOE的度数．
4．3.3 余角和补角
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°，∴∠2与∠3互余．
4．3.3 余角和补角
课堂导学
8．如下图，点A、O、E在同 一条直线上，OB、OC、 OD都是射线，∠1＝∠2， ∠1与∠4互为余角． (2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由．
∠3＝∠4 理由：由(1)知∠1＋∠4＝90°，
课堂导学
10．如上图，下列说法中错误的是( A )
A．OA方向是北偏东30° B．OB方向是北偏西15° C．OC方向是南偏西25° D．OD方向是东南方向
4．3.3 余角和补角
课后巩固
11．已知∠A＝65°，则∠A的余角等于( D )
A．115°
B．55°C．35°Fra bibliotekD．25°
12．一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数
课堂导学
【答案】解：(1)∵∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝90°， ∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD； (2)∵∠COD＝90°， ∴∠COE＝180°－∠COD＝90°， ∵∠BOD＝50°，∴∠AOC＝50°， ∴∠AOE＝∠COE－∠AOC＝40°.
【点拔】本题考查了余角和为90°的性质，同角的余 角相等的性质，要熟练掌握．
4．3.3 余角和补角
课堂导学
知识点1：余角和补角的概念 【例1】一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这
4.3.3 余角和补角[5页]
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一课一案 创新导学
1.余角和补角的定义及性质: 如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余;如果∠1+∠2=180°, 那么∠1与∠2互补. 2.互为余角和互为补角的两个角不一定都有公共顶点或公共 边,它们主要反映的是两角的数量关系,而与这两个角的位置 无关. 3.在表示方位角时,一般把南北写在前面,东西写在后面,即 写成南偏东多少度、北偏东多少度等.
一课一案 创新导学
第四章 几何图形初步
4.3 角 4.3.3 余角和补角
一课一案 创新导学
1.能说出互余或互补角的概念以及互余、互补角的性质, 并能根据性质解决有关问题源自 2.能根据方位角的概念,画出方位角.
一课一案 创新导学
点钟方向是军事上常用的辨别 方向的一种方法.点钟方向就好比 自己站在钟表表盘的中央,表盘上 的12个数字分别指向12个方向,正前方向是0或12点钟方向, 左边是9点钟方向,右边是3点钟方向,正后方是6点钟方向.这 种表示位置的方法比说东、南、西、北、左边、右边更加准 确,更能有效地确定目标所在的位置,更有利于领导者的临阵 指挥.你能准确说出4点钟方向和10点钟方向吗?
一课一案 创新导学
1.如果三个角的和等于90°或180°,那么这样的三个角叫做互 为余角或补角吗? 不是,只有两个角的和等于90°或180°,才称为互余或互补. 2.一个角的余角或补角与这个角的位置有关吗? 没有关系,只有数量有关系. 3.任何一个角都有余角吗?任何一个角都有补角吗?一个锐角的 余角和补角之间有怎样的关系? 只有锐角才存在余角,只有小于180°的角才有补角; 一个锐角的余角比它的补角小90°.
4.3.3余角与补角(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于余角与补角的概念掌握得还算不错，但在具体应用上还存在一些问题。尤其是当涉及到不规则图形时，他们往往不知道如何找出互为余角或补角的角对。这说明我们在教学过程中，需要更多地结合实际图形进行讲解，让学生有更直观的感受。
在讲授新课的时候，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释余角与补角的定义和性质，这样有助于学生更好地理解。同时，通过分组讨论和实验操作，让学生在实践中掌握这些概念，提高了他们的动手能力和团队协作能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角与补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点理并掌握余角与补角的概念，能够准确判断两个角是否为余角或补角。
-重点掌握余角与补角的性质，如互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
-重点运用余角与补角的性质解决实际问题，如找出图形中的余角或补角，计算角度等。
-重点通过实例和练习，让学生体会余角与补角在几何证明和计算中的应用。
-难点在于培养学生的空间观念和几何直观，使其能够将余角与补角的概念应用于不同的几何情境中。
举例：在一个不规则的五边形中，指导学生识别并计算互为补角的角对，解释如何利用补角性质解决角度计算问题，帮助学生突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“4.3.3余角与补角”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个角的和为90°或180°的情况？”比如，一块三角形的直角板，其中一个角是90°，那么其他两个角就是余角。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余角与补角的奥秘。
余角与补角(1)
七年级数学导学案4．3．3 余角与补角（1）七年级班组别姓名家长签名学习目标：1．在具体情境中了解余角、补角的概念．2．了解等角的余角与补角的性质，能运用这个性质解决简单的实际问题．学习重点：等角的余角与补角的性质．学习难点：推导“等角的余角与补角的性质”的过程．一、预习案：1．①如果∠1＝35°，∠2＝55°，那么∠1＋∠2＝_______.如果∠A＝42°，那么当∠B＝_______时，∠A＋∠B＝90°．②三角尺中，有一个角是直角(90°),那么另两个角的和是________度．一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．2．（1）在上面的这些角中，哪两个角是互为余角的？（2）已知∠A＝72°，那么∠A的余角是______度．（3．度量P137图4.3-14的两个角，∠1＝____，∠2＝____，计算：∠1＋∠2＝_____．一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．（1）上面的∠1与∠2互为补角吗？（2）试举出两个互为补角的例子．（3）①已知∠A＝72°，则∠A的补角＝______度．②如果∠α＝62°23′，则∠α的余角＝______，则∠α的补角＝______．④已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．二、探究点：1．如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？2．如果∠1与∠2互补，∠1与∠3互补，那么∠2与∠3相等吗？为什么？3．如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？4．如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，并且∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？5．余角的性质：补角的性质：三、归纳小结：我的收获是：四、当堂检测：P138练习第1、2、3题．。
4.3.3余角和补角(第1课时)教案
4.3.3余角和补角第1课时学习目标：1.掌握一个角的余角和补角的概念2.掌握余角和补角的性质.重点：认识角的互余、互补关系及性质.难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并用规范的语言描述性质. 复习旧知 计算：（1）29°19′+60°41′=90° （2）45°+45°=90° （3）28°+62°=90° （4）90°+90°=180° （5）60°+120°=180° （6）34°34′+145°26′=180° 新课讲解一、余角的定义如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为互余， 即其中一个角是另一个角的余角。
几何语言：∵∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互为余角或： ∵∠1与∠2互为余角，∴∠1+∠2=90°二、补角的定义如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角． 即其中一个是另一个角的补角。
几何语言：∵∠3+∠4=180°，∴∠3与∠4互为补角或： ∵∠3与∠4互为补角，∴∠3+∠4=180°注意：互余、互补是两个角之间的数量关系，互余和互补的两个角只与度数的和有关，与位置无关. 三、针对练习1、 图中各角，哪些互为余角？21432、图中各角，哪些互为补角？3、判断正误，对的打√，错的打×(1)270角与630角互为余角. ( √ )(2)480角与1420角互为补角. ( × )(3)互补的两个角，不可能相等. ( × )(4)∠A+ ∠B+ ∠C=1800,则∠A、∠B、∠C互为补角.( × )(5)若∠1和∠2互余，则∠1、∠2一定是锐角. ( √ )4、计算与思考∠A ∠A的余角∠A的补角9°81°171°22°68°158°60°30°120°37°53°143°57°42′32°18′122°18′x 90°-x 180°-x观察∠A的余角和补角的结果，你能得出什么结论？结论：一个锐角的补角比它的余角大90°.四、余角和补角的性质1、余角的性质(1) 画一画：已知∠α(如图所示)，请画出∠α的余角.(2)图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？解：∵∠1=90°-∠α，∠2=90°-∠α∴∠1=∠2问：通过计算你得出什么结论？结论：同角的余角相等.如图所示，已知∠α与∠1互余，∠β与∠2互余，且∠α=∠β，则∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？∵∠1=90°-∠α，∠2=90°-∠β又∵∠α=∠β∴∠1=∠2问：通过计算你得出什么结论？等角的余角相等3、补角的性质(1)画一画已知∠α(如图所示)，请画出∠α的补角(2)图中∠α的补角∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？解：∵∠1=180°-∠α，∠2=180°-∠α∴∠1=∠2问：通过计算你得出什么结论？结论：同角的补角相等.如图所示，已知∠α与∠1互补，∠β与∠2互补，且∠α=∠β，则∠1，∠2的大小有什么关系？为什么？∵∠1=90°-∠α，∠2=90°-∠β又∵∠α=∠β ∴∠1=∠2问：通过计算你得出什么结论？ 等角的补角相等 五、例题讲解如图，点A ，O ，B 在同一直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：∵点A ，O ，B 在同一直线上， ∴∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.又∵射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ∴∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC =12(∠AOC+∠BOC ) = 90°. ∴∠COD 和∠COE 互为余角，同理∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 也互为余角. 六、随堂检测1.一个角是70°39′，求它的余角和补角. 解：它的余角=90°-70°39′=19°21′它的补角=180°-70°39′=109°21′2. ∠α的补角是它的3倍， ∠α是多少度？ 解：∵ ∠α的补角是它的3倍 ∴180°- ∠α=3 ∠α则∠α=45°3、如图，已知∠ACB 和∠CDB 都是直角. (1) 图中哪几对角互余？ 解： ∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90°∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90°(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 解： ∠B=∠2（同角的余角相等）∠A=∠1（同角的余角相等） 课堂小结谈谈你对余角和补角的认识.（畅所欲言） 板书设计OABC D E 4.3.3余角和补角第1课时同（等）角的余角相等 同（等）角的补角相等。
4.3.3余角和补角—教案
4.3.3 余角和补角——教案教材分析：1、教材的地位和作用余角和补角是人教版七年级上册“图形知识初步”这一章中非常重要的基本概念。
前面学生学习了角的度量和大小的比较，已经为学习余角和补角打下了一定的基础，通过探索余角和补角性质的学习，为今后证明角的相等提供了一种依据和方法。
2、教材内容教材中本节内容是通过一副三角尺引入余角和补角的概念，然后通过例题得到的结论推出余角和补角的性质，最终使学生能综合运用上述性质来解决问题。
学情分析：本节内容是《4.3角》这一节中的第三节，在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验。
具备了一定的图形认识能力和借助图形分析和解决问题的能力，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
我校学生学习基础比较薄弱，识图能力较差，基于以上原因，为更好的使学生理解余角和补角的概念，并为下一节性质作铺垫，特制定此教学内容。
教学目标：1、通过现实情境，掌握余角和补角的概念；2、使学生能用简单的代数思想——方程思想来处理图形的数量关系；3、培养学生的识图能力、发展空间观念和知识运用能力，进一步感受学习数学的意义. 教学重点：认识角的互余、互补关系教学难点：方程思想来处理图形的数量关系课时安排：《4.3.3余角和补角》第一课时教学手段：观察、探究、合作交流、多媒体辅助教学学法指导：通过学生动脑想，勤钻研，主动地学习，增加学生主动参与的机会，增加学生的参与意识，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法。
4321教学过程：一、创设情境，引入新课：让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。
设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。
二、探究新知：1、探究互为余角的定义：教师活动：操作多媒体演示。
《余角和补角》 导学案
《余角和补角》导学案一、学习目标1、理解余角和补角的概念。
2、掌握余角和补角的性质，并能运用其解决简单的几何问题。
3、培养学生的空间观念和逻辑推理能力。
二、学习重难点1、重点（1）余角和补角的概念。
（2）余角和补角的性质。
2、难点余角和补角性质的应用。
三、知识链接1、角的度量：我们知道角可以用度来度量，1 度等于 60 分，1 分等于 60 秒。
2、直角的度数：直角的度数为 90 度。
四、学习过程（一）余角的概念1、观察与思考观察下面两个角：∠1 ＋∠2 ＝ 90°我们就说∠1 是∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角。
2、定义如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。
3、练习（1）已知∠A ＝ 20°，则∠A 的余角为_____度。
（2）若∠α ＝35°18′，则∠α 的余角为_____。
（二）补角的概念1、类似地，观察下面两个角：∠3 ＋∠4 ＝ 180°我们就说∠3 是∠4 的补角，∠4 是∠3 的补角。
2、定义如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。
3、练习（1）已知∠B ＝ 120°，则∠B 的补角为_____度。
（2）若∠β ＝75°36′，则∠β 的补角为_____。
（三）余角和补角的性质1、探究（1）如图，已知∠1 与∠2 互余，∠3 与∠4 互余，如果∠1 ＝∠3，那么∠2 与∠4 有什么关系？因为∠1 与∠2 互余，所以∠1 ＋∠2 ＝ 90°，即∠2 ＝ 90°∠1。
因为∠3 与∠4 互余，所以∠3 ＋∠4 ＝ 90°，即∠4 ＝ 90°∠3。
又因为∠1 ＝∠3，所以∠2 ＝∠4。
（2）如图，已知∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，如果∠1 ＝∠3，那么∠2 与∠4 有什么关系？因为∠1 与∠2 互补，所以∠1 ＋∠2 ＝ 180°，即∠2 ＝ 180°∠1。
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4.3.3.余角与补角(1)
导学案
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A
吉昌中学 七 年 数学（上） 导学案
制作人：霍雨佳 复核人：曹三成 审核人： №： 班级： 小组： 姓名：
课题 4.3.3.余角与补角（1） 课 型 预习展示课 时 间
学习
目标
1．在具体情境中了解余角、补角的概念。
2．了解等角的余角与补角的性质，能运用这个性
质解决简单的实际问题。
3．学习进行简单的推理，学习有条理的表达。
重 点
等角的余角与补角的性质。
难 点
推导“等角的余角与补角的性质”的过程。
学 习 内 容 （资 源）
学法
指导
一、知识回顾:
1．① 如果∠1＝35°，∠2＝55°，那么∠1＋∠2＝_______.如果∠A＝42°，那么当∠B＝_______时，∠A＋
∠B＝90°。
② 三角尺中，有一个角是直角(90°),那么另两个角的和是________度。
2. ①一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角
的余角。
② 如果两个角的和等于 度 ( ），就说这两个角 ，简称互补。即其中一个角是另
一个角的 。例如：如果∠1与∠2互补,那么∠1+∠2= 。
二、新知探究:
1.已知∠A＝72°，那么∠A的余角是____________度。
2.已知∠A的余角是∠A的两倍，你能求出∠A的度数吗？说说你的想法。
3.已知∠A＝72°，则∠A的补角＝___________度。
4.如果∠＝62°23′，则∠的余角＝__________，则∠的补角＝__________。
5.已知∠A的补角是∠A的两倍，你还能求出∠A的度数吗？
6. 若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。
7.思考: ∠1与∠2、∠3都互补，∠2与∠3的大小有什么关系_
__________________________________。
8.
余角的性质：
补角的性质：
三、巩固新知：
1.如图，∠AOC＝∠COB＝90°，∠DOE＝90°，A、O、B三点在一直线上
（1）写出∠COE的余角，∠AOE的补角；
（2）找出图中一对相等的角，并说明理由。
2.若和互余，且：=7：2，求、的度数。
3.如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
请认真阅读课本
第137页内容，并填
写第一、二大题。
请认真阅读课本
第137页例3，模仿
例题做一做。（按照
步骤书写）
要善于总结自己
这一节课的收获和疑
问，问题也要及时找
同学或者老师帮你解
决，这样更有利于把
所学的知识形成体
系，对今后的学习很
有益处。
方法
总结
①本节课都学习了什么内容？ ②你学会了哪些知识或解题方法？
③你还存在什么问题？ ④你打算如何解决问题？
AB
C
O
E
D