2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4.3导数的存在性问题练习理北师大版
2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数与导数的运算练习理北师大版
3.1导数与导数的运算中心考点·精确研析考点一导数的计算1. 以下求导运算正确的选项是()A.(sin a) ′=cos a(a为常数)B.(sin 2x) ′=2cos 2xC.(cos x) ′=sin xD.(x -5 ) ′=-x-62. 函数 f(x)=x2+ln x+sin x+1的导函数f′(x)=()A.2x+ +cos x+1B.2x- +cos xC.2x+ -cos xD.2x+ +cos x3. 函数 f(x)=的导函数 f ′(x)= ()A.tan xB.-C.-D.-4. 函数 f(x)=的导函数 f ′(x)=()A.2B.C. D.5. 设 f ′(x) 是函数f(x)=+x 的导函数 , 则 f ′(0) 的值为 ________________ .【分析】1. 选 B.(sin a) ′=0(a 为常数 ),(sin2x) ′=2cos 2x,(cos x) ′=-sin x,(x -5 ) ′=-5x -6 .2. 选 D. 由 f(x)=x2+ln x+sin x+1得f′(x)=2x++cos x.3. 选 D.f ′(x)==-.4. 选 D.f ′(x)=() ′=′=′=.5. 因为 f(x)=+x,因此 f ′(x)=+1=+1, 因此 f ′(0)=+1=0.答案 :0题 2 中 , 若将“ f(x)=x2+ln x+sin x+1”改为“ f(x)=+” ,则f′(x) =________________ .【分析】因为f(x)=+=,因此 f ′(x)=′==.答案 :【秒杀绝招】清除法解T3,依据sin x=0时f(x)无心义,因此f′(x )也无心义清除A,C,cos x=0时f(x)存心义,因此f′(x)也应存心义清除 B.考点二导数的应用【典例】 1. 若函数 f(x)=e ax+ln(x+1),f′(0)=4,则a=________________ .2. 已知函数f(x)的导函数为 f ′(x), 且 f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)=________________ .3.(2020 ·宝鸡模拟 ) 二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点, 若其导函数为 f ′(x)=3x -, 则f(x)= ____________.【解题导思】序号联想解题1由 f ′(0)=4,想到求 f ′(x), 列方程2由 f ′(e) 想到求 f ′(x) 并代入 x=e由二次函数 y=f(x) 的图像经过坐标原点, 想到设函数的分析3式为 f(x)=ax2+bx【分析】 1. 由 f(x)=e ax +ln(x+1),得f′(x)=ae ax+,因为 f ′(0)=4, 因此 f ′(0)=a+1=4, 因此a=3.答案 :32. 因为 f(x)=2xf′(e)-ln x,因此 f ′(x)=2f ′(e) - , 令 x=e 得 :f ′(e)=2f ′(e) - , 即 f ′(e)=.答案 :3. 依据题意 , 二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点, 设其分析式为f(x)=ax2+bx,则有f′(x)=2ax+b,又由 f ′(x)=3x - , 得 2ax+b=3x-,则 a= ,b=- , 故 f(x)=x2- x.2答案 : x - x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时 , 要分清哪是变量哪是参数 , 参数是常量 , 其导数为零 .(2) 注意利用题目条件建立方程, 求出参数的值. 此时要注意差别函数f(x)及其导数 f ′(x).1.(2020 ·宜昌模拟 ) 已知 f ′(x) 是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)· 2x+x2,则f′(2)=()A. B.C. D.-2【分析】选 C. 因为 f ′(x)=f ′(1) · 2x ln 2+2x, 因此 f ′(1)=f ′(1) · 2ln 2+2, 解得 f ′(1)=, 因此f ′(x)=· 2x ln 2+2x,因此f′(2)=×22 ln 2+2×2=.2. 函数 f(x)=ln x+a的导函数为 f ′(x), 若方程 f ′(x)=f(x)的根x0小于 1, 则实数 a 的取值范围为A.(1,+ ∞)B.(0,1)C.(1,)D.(1,)【分析】选 A. 由函数 f(x)=ln x+a可得f′(x)=, 因为使得 f ′(x 0)=f(x0)建立的0<x0<1, 则=ln x0 +a(0<x 0<1).因为>1,ln x0<0,因此a= -ln x0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用1. 考什么 : (1) 求切线方程、求切点坐标、与切线相关求参数的值或取值范围.(2)命考察数学运算、直观想象、逻辑推理的中心修养题2.怎么考 : 与直线的方程、不等式等联合考察直线的斜率、直线的点斜式方程、精导数的几何意义等问题解3. 新趋向 : 以三角函数、指数函数、对数函数为载体, 与求导数和导数的几何意义读交汇考察 .1. 注意两类切线问题的差别(1) “过”与“在” : 曲线 y=f(x) “在点 P(x ,y ) 处的切线”与“过点P(x ,y ) 的切线”的差别 : 前者 P(x 0,y 0) 为切点 , 尔后者 P(x 0,y 0) 不必定为切点 .(2) “切点” 与“公共点” : 某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个( 即除了切点以外可能还有其余公共点).2. 利用导数求曲线的切线方程学若已知曲线 y=f(x) 过点 P(x 0,y 0), 求曲线过点 P 的切线方程 , 则需分点 P(x 0,y 0) 是霸切点和不是切点两种状况求解.好(1) 当点 P(x 0,y 0) 是切点时 , 切线方程为方y-y 0=f ′(x 0)(x-x 0).法(2) 当点 P(x 0,y 0) 不是切点时 , 可分以下几步 :第一步 : 设出切点坐标 P ′(x 1, f(x 1));第二步 : 写出曲线在点 P ′(x , f(x)) 处的切线方程y-f(x )=f ′(x )(x-x);11111第三步 : 将点 P 的坐标 (x 0,y 0) 代入切线方程求出 x 1;第四步 : 将 x的值代入方程 y-f(x 1)=f ′(x )(x-x), 可得过点 P(x ,y ) 的切线方111程 .已知切点求切线的方程问题【典例】 (2019 ·全国卷Ⅰ ) 曲线 y=3(x 2+x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 ________________________.【分析】 y ′=3(2x+1)ex+3(x 2+x)e x =3(x 2+3x+1)e x ,因此 k=y ′|x=0 =3,因此曲线 y=3(x 2+x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=3x, 即 3x-y=0.答案 :3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的重点是什么?提示 : 重点是确立切点坐标 .未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数f(x)=x3+x-16, 若直线 l 为曲线 y=f(x) 的切线 , 且经过原点 , 则直线 l 的方程为________________ .【分析】设切点坐标为(x ,y ),则直线 l 的斜率为f′=3+1,因此直线l 的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16,因为直线l 过原点,因此 0=(3+1)(0-x0)++x -16,整理得 ,=-8, 因此 x0=-2,因此 y0= (-2)3+(-2)-16=-26,f ′=3×(-2) 2+1=13.因此直线l 的方程为y=13x.答案 :y=13x怎样从题目条件判断能否知道切点?提示 : 从题目条件的表达方式判断 , 一般来说 , “过××点”的切线 , 都是不知道切点 . 知道切点的表达方式为“在××点处的切线” .求参数的值【典例】 (2019 ·全国卷Ⅲ ) 已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b, 则() A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e -1 ,b=1D.a=e -1 ,b=-1【分析】选 D. 令 f(x)=ae x+xln x,x-1则 f ′(x)=ae +ln x+1,f ′(1 )=ae+1=2, 得 a= =e .f(1)=ae=2+b, 可得 b=-1.切线问题中能够用来列出等量关系的依照有哪些?(2)切点在切线上 ;(3)切点在曲线上 .1.(2018 ·全国卷 I) 设函数 f=x3+x2+ax. 若 f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x【分析】选 D.因为 f(x) 为奇函数 , 因此 f(-x)=-f(x),即a=1,因此f(x)=x3+x,因此f′(0)=1,因此切线方程为 y=x.【一题多解】选 D.因为 f(x)=x 3+(a-1)x2+ax 为奇函数 ,因此 f ′(x)=3x 2为偶函数 , +2(a-1)x+a因此 a=1, 即 f ′(x)=3x 2+1, 因此 f ′(0)=1,因此曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.2.(2019 ·吉安模拟 ) 已知过点P(1,1) 且与曲线y=x3相切的直线的条数有() A.0 B.1 C.2 D.3【分析】选 C. 若直线与曲线相切于点(x 0,y 0)(x 0≠ 0),则 k===+x0+1,因为 y′=3x 2, 因此=3,因此 3=+x0+1, 因此 2-x 0-1=0,因此 x0=1或 x0=-,因此过点P(1,1)与曲线 y=x3相切的直线方程为 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0, 因此共有 2 条 .3.(2020 ·十堰模拟 ) 若直线 y=12x+m与曲线 y=x3-2 相切 , 则 m=________________.设切点为 (s,t),可得3s2=12,12s+m=s3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14.答案 :14 或-181. 设点 P 是曲线 y=x 3-x+上的随意一点,则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为()A.∪B.C.∪D.【分析】选 C. 因为 y′=3x 2-≥ -, 故切线的斜率k≥ -, 因此切线的倾斜角α的取值范围为∪.2. 如图 ,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3 处的切线方程为________________.【分析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于- , 即 f ′(3)= - . 又 g(x)=xf(x),因此g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,因此g(3)=3f(3)=3,g′(3)=1+3×=0, 则曲线 g(x) 在 x=3 处的切线方程为y-3=0.答案 :y-3=03.阅读资料 : 求函数 y=e x的导函数 .解 : 因为 y=e x, 因此 x=ln y,因此 x′=′,因此1=·y′,因此y′=y=e x.借助上述思路, 曲线 y=,x ∈在点(1,1)处的切线方程为________________ .【分析】因为y=,因此 ln y=ln,因此·y′=ln+,因此 y′=,当 x=1 时,y ′=4,因此曲线y=,x ∈在点(1,1)处的切线方程为y-1=4, 即 y=4x-3.答案 :y=4x-3。
2021高考数学一轮复习导数及其应用学案理
2021高考数学一轮复习导数及其应用学案理知识点一、导数的差不多运算1．差不多初等函数的导数公式2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．3、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 小题速通1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1034．(2021·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．5．函数y ＝ln 2x ＋1x的导数为________．易错点1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范畴及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2 2、若函数f (x )＝2x＋ln x 且f ′(a )＝0，则2aln 2a＝( )A ．－1B ．1C ．－ln 2D ．ln 2知识点二、导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度确实是位移函数s (t )对时刻t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 小题速通1.(2020·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________． 3．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 易错点1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.(2021·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．知识点三、利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系(1)若f ′(x )>0，则f (x )在那个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在那个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在那个区间内是常数． 2．利用导数判定函数单调性的一样步骤(1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)依照结果确定f (x )的单调性及单调区间．小题速通1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞) 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范畴为( )A ．(－∞，－26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞) D ．[－5，＋∞) 易错点若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立． 若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范畴是________．知识点四、利用导数研究函数的极值与最值1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 小题速通1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2021·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．0D ．不存在4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范畴为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范畴是________． 易错点1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点确实是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2021·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.知识点五、定积分1．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)； (2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分差不多定理一样地，假如f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，同时F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，那个结论叫做微积分差不多定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪⎪ba，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．小题速通1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 2.⎠⎛01(e x＋x)d x ＝________.3．(2020·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 易错点定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果能够为负． 由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23 B.13 C .12 D.14过关检测练习一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( )A ．e B.1e C.1e 2 D.122．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情形为( )A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范畴是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02|x 2－1|d x C .⎠⎛02(x 2－1)d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范畴是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2) 二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范畴是________． 10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.11．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.12．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m的取值范畴为________． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若关于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范畴．14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．高考研究课：一 导数运确实是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点考点 考查频度 考查角度导数的几何意义5年7考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标定积分未考查题型一、导数的运算[典例] (1)(2020·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x (3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 方法技巧1、可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2、求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，如此能够减少运算量，提高运算速度，减少差错． 即时演练1．(2020·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( )A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6 D ．3x 2＋12x ＋11 2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.题型二、导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常显现在解答题的第1问中，难度较低，属中、低档题. 常见的命题角度有： 1求切线方程； 2确定切点坐标；3已知切线求参数值或范畴； 4切线的综合应用.角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝exx(x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．角度三：已知切线求参数值或范畴3．(2021·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范畴是________．4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范畴是________．角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)．(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值．方法技巧利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．题型三、定积分及应用[典例] (1)(2020·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 (2)设f (x )＝)⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43 D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.方法技巧求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分差不多定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③关于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法依照定积分的几何意义可利用面积求定积分． 即时演练1．(2020·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________．3．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．高考真题演练1．(2020·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2021·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．3．(2021·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________. 4．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 5．(2020·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.高考达标检测一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( ) A ．20 B ．－20 C ．－540 D ．5402．(2020·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －23．(2020·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线通过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC .1eD ．－1e4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－25．(2020·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范畴为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 6．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0 D ．4x －2y －1＝0二、填空题7．若a 和b 是运算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________． 8．已知函数f (x )＝e ax＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．9．(2021·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．10．设过曲线f (x )＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范畴是________． 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范畴；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范畴．12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5.能力提高训练题1．(2020·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 32．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范畴是________．高考研究课：二、函数单调性必考，导数工具离不了全国卷5年命题分析[典例] (2021·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性．方法技巧导数法判定函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的阻碍进行分类讨论． 即时演练1．(2021·芜湖一模)函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( )A.()0，＋∞B.()－∞，0C.()－∞，1D.()1，＋∞ 2．(2021·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0. 题型二、利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有： 1y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识；2比较大小；3已知函数单调性求参数的取值范畴； 4构造函数解不等式.角度一：y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <02.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )角度二：比较大小3．设定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (2－x )＝f (x )，f ′xx －1<0，若x 1＋x 2>2，x 1<x 2，则( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定角度三：已知函数单调性求参数的取值范畴4．(2020·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范畴是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)5．(2020·成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范畴是________．方法技巧由函数的单调性求参数的范畴的方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范畴问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上确实是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，如此就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范畴．(4)若已知f (x )在D 上不单调，则f (x )在D 上有极值点，且极值点不是D 的端点．角度四：构造函数解不等式6．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0的解集为________．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范畴是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 2．(2020·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范畴是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范畴．高考达标检测一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x (a ∈R)，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) 2．(2021·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．关于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′x≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)4．已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0 B ．x 1＋x 2＞0 C ．x 21－x 22＞0 D ．x 21－x 22＜05．(2021·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋4)＝－f (x )，且函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值为( ) A ．e 2B ．eC ．2D ．1 二、填空题7．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．8．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x .若函数f (x )在定义域上为减函数，则实数a 的取值范畴是________． 9．(2020·兰州诊断)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范畴是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0.讨论f (x )的单调性．11．(2020·武汉调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范畴； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．12．(2020·湖南十校联考)函数f (x )＝13x 3＋|x －a |(x ∈R ，a ∈R)．(1)若函数f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范畴；(2)若函数f (x )在R 上不单调时，记f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )．能力提高训练题1．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________．2．已知函数f (x )＝(a －1)ln x －a 2x 2＋x (a ∈R)，g (x )＝－13x 3－x ＋(a －1)ln x .(1)若a ≤12，讨论f (x )的单调性；(2)若过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13可作函数y ＝g (x )－f (x )(x >0)图象的两条不同切线，求实数a 的取值范畴．高考研究课：三、极值、最值两考点，利用导数巧推演全国卷5年命题分析极值 5年6考 求极值、由极值求参数 最值 5年5考 求最值、证明最值的存在性题型一、运用导数解决函数的极值问题函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.常见的命题角度有：1知图判定函数极值；2已知函数求极值；3已知极值求参数值或范畴.角度一：知图判定函数极值1.(2020·赤峰模拟)设函数f (x )在定义域R 上可导，其导函数为f ′(x )，若函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)角度二：已知函数求极值2．已知函数f (x )＝x －1＋aex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．角度三：已知极值求参数值或范畴3．设函数f (x )＝ln x －1ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范畴是( )A ．(－1,0)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝ax －x 2－ln x ，若函数f (x )存在极值，且所有极值之和小于5＋ln 2，则实数a 的取值范畴是________．方法技巧利用导数研究函数极值的一样流程题型二、运用导数解决函数的最值问题[典例] (2020·日照模拟)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R)． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .方法技巧 求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．即时演练1．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范畴是( ) A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)2．(2020·南昌模拟)已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x >0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范畴；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范畴．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·ex －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．12．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范畴是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则 f ′(x 0)＝04．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范畴．5．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 2e －x .(1)求f (x )的极小值和极大值； (2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范畴．6．(2021·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R)有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范畴．7．(2021·山东高考)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判定有无极值，有极值时求出极值．高考达标检测一、选择题1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－233．(2020·浙江瑞安中学月考)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163题：①f (x )的解析式为：f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]；②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．(2021·长沙二模)已知函数f (x )＝x x 2＋a (a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( ) A.3－1 B.34 C.43 D.3＋16．已知直线l 1：y ＝x ＋a 分别与直线l 2：y ＝2(x ＋1)及曲线C ：y ＝x ＋ln x 交于A ，B 两点，则A ，B 两点间距离的最小值为( ) A.355 B ．3 C.655 D ．3 2二、填空题7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范畴是________．8．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯独一个极值点，则实数k 的取值范畴为________． 9．(2020·湘中名校联考)已知函数g (x )＝a －x 21e≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范畴是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．11．设函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ，a >0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)讨论函数f (x )的零点个数．12．已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1∈(0,1]，证明f(x1)－f(x2)≥－34＋ln 2.能力提高训练题1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的图象与x轴相切于点(c,0)，且f(x)有极大值4，则c＝( ) A．－3 B．－1C．1 D．32．已知函数f (x )＝12x 2＋(1－m )x ＋ln x .(1)若函数f (x )存在单调递减区间，求实数m 的取值范畴；(2)设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数f (x )的两个极值点，若m ≥72，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．高考研究课：四、综合问题是难点，3大题型全冲关全国卷5年命题分析[典例] 一辆火车前行每小时电力的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 方法技巧利用导数解决生活中的优化问题的4步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回来实际问题作答． 即时演练1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家猎取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C．9万件D．7万件2．据环保部门测定，某处的污染指数与邻近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k ＞0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．题型二、利用导数研究函数的零点或方程根[典例] 已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．方法技巧利用导数研究零点或方程根的方法研究方程根的情形，能够通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，依照题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，能够使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 即时演练1．已知函数f (x )＝e 2x－ax 2＋bx －1，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，若f (1)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，函数f ′(x )在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范畴是( )A ．(e 2－3，e 2＋1) B ．(e 2－3，＋∞) C ．(－∞，2e 2＋2)D ．(2e 2－6,2e 2＋2)2．(2021·西安一模)已知函数f (x )＝x ＋1＋ax－a ln x ．若函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线与直线2x ＋y －1＝0平行．(1)求a 的值；(2)若方程f (x )＝b 的区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b 的取值范畴．题型二、利用导数研究与不等式有关的问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题. 常见的命题角度有： 1证明不等式； 2不等式恒成立问题.角度一：证明不等式1．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x (a >0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：当0<x <1a时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ；(3)设函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 的中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.方法技巧利用导数证明不等式的方法能够从所证不等式的结构和特点动身，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一样步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．如：证明：f (x )＞g (x )(x ∈D )，令F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈D ，只需证明F (x )min ＞0(x ∈D )即可，从而把证明不等式问题转化求F (x )min 问题．角度二：不等式恒成立问题2．(2021·四川高考)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．方法技巧1．利用导数研究不等式恒成立问题的思路第一要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范畴；也可分离变量，构造函数，直截了当把问题转化为函数的最值问题． 2．不等式成立(恒成立)问题常见转化方法(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b . (3)f (x )＞g (x )恒成立F x ＝f x －g xF (x )min ＞0.(4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)min ＞g (x 2)max .②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)min ＞g (x 2)min .③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)max ＞g (x )min .④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)max ＞g (x 2)max .高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范畴．2．(2021·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x .(1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且关于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范畴；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.4．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若关于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范畴．高考达标检测1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范畴．2．已知函数f (x )＝ln x －a x ＋a x2(a ∈R)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若f (x )在[1，＋∞)内为单调增函数，求实数a 的取值范畴； (3)关于n ∈N *，求证：11＋12＋22＋12＋33＋12＋…＋n n ＋12<ln(n ＋1)．3．已知函数f (x )＝sin x －x cos x (x ≥0)．(1)求函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线方程；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，不等式f (x )<ax 3恒成立，求实数a 的取值范畴； (3)设m ＝∫π20f(x)d x ，g(x)＝6m 4－πx 2f(x)，证明：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫132·…·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <e .4．(2021·天津高考)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数．(1)求g (x )的单调区间；(2)设m ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，求证：h (m )h (x 0)<0；(3)求证：存在大于0的常数A ，使得关于任意的正整数p ，q ，且pq∈[1，x 0)∪(x 0,2]，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪p q－x 0≥1Aq 4.。
2021-2022年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的综合应用真题演练集训理新人教A版
2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的综合应用真题演练集训理新人教A 版1．[xx·新课标全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 答案：D解析：∵ f (0)＝－1＋a ＜0，∴ x 0＝0.又x 0＝0是唯一的整数，∴ ⎩⎨⎧f －1≥0，f 1≥0，即⎩⎨⎧e －1[2×－1－1]＋a ＋a ≥0，e 2×1－1－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又a ＜1，∴ 32e≤a ＜1，故选D.2．[xx·陕西卷]如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x答案：A解析：设所求函数解析式为y ＝f (x )，由题意知f (5)＝－2，f (－5)＝2，且f ′(±5)＝0，代入验证易得y ＝1125x 3－35x 符合题意，故选A.3．[xx·辽宁卷]当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝2x －4x 3－x 2－4x －3·3x2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－x －9x ＋1x4＞0， ∴φ(x )在(0,1]上单调递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6.∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－x －9x ＋1x4，当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0； 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上可知，a 的取值范围为[－6，－2]．4．[xx·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.(1)解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x ＋2a )． (ⅰ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点． (ⅱ)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点．(ⅲ)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减， 在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2＋a (x 2－1)2， 而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e 2－x 2－(x 2－2)e x2. 设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0. 从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.5．[xx·新课标全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围． (1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)解：由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f 1－f 0≤e－1，f －1－f0≤e－1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m－m >e －1； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m＋m >e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．6．[xx·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，讨论h (x )零点的个数．解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x ＜0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )＜0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；若a ＜－54，则f (1)＜0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)＜0，故x ＝1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x ＞0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． ①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调． 而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3＜a ＜0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a3，1上单调递增，故在(0,1)上，当x ＝ －a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫ －a 3＝2a3－a3＋14. a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＞0，即－34＜a ＜0，则f (x )在(0,1)上无零点．b ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点．c ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＜0，即－3＜a ＜－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54＜a ＜－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3＜a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点． 综上，当a ＞－34或a ＜－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54＜a ＜－34时，h (x )有三个零点．课外拓展阅读巧用导数妙解有关恒成立、存在性问题“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．方法一 分离参数法[典例1] [改编题]设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则a 的取值范围是( )A ．(e ，＋∞)B ．[e ，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] A[解析] 解法一：f ′(x )＝1x－a ，g ′(x )＝e x －a ，由题意得，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0恒成立，即当x ∈(1，＋∞)时，a ≥1x恒成立，则a ≥1.因为g ′(x )＝e x－a 在(1，＋∞)上单调递增， 所以g ′(x )＞g ′(1)＝e －a .又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，则必有e －a ＜0，即a ＞e. 综上，可知a 的取值范围是(e ，＋∞)．解法二：f ′(x )＝1x－a ，g ′(x )＝e x－a .由题意得，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≤0恒成立，即当x ∈(1，＋∞)时，a ≥1x恒成立，则a ≥1.当a ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(1，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上无最值，不符合题意；当0＜a ≤e 时，由g ′(x )＞0得x ＞ln a ，又ln a ≤1，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上无最值，不符合题意； 当a ＞e 时，由g ′(x )＞0得x ＞ln a ，又ln a ＞1，故g (x )在(1，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，此时有最小值，为g (ln a )＝eln a－a ln a ＝a －a ln a .由题意知ln a ＞1，所以a ＞e. 综上，可知a 的取值范围是(e ，＋∞)． 技巧点拨在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题结果取交集．一般而言，在同一“问题”中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集．方法二 构造函数法[典例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2xx ≤0，ln x ＋1x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0][答案] D[解析] |f (x )|≥ax ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－－x 2＋2x ≥ax x ≤0，①lnx ＋1≥ax x ＞0.②(1)由①得x (x －2)≥ax 在区间(－∞，0]上恒成立． 当x ＝0时，a ∈R ；当x ＜0时，有x －2≤a 在区间(－∞，0]上恒成立，所以a ≥－2.(2)由②得ln(x ＋1)－ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，设h (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ＞0)，则h ′(x )＝1x ＋1－a (x ＞0)，可知h ′(x )为减函数．当a ≤0时，h ′(x )＞0，故h (x )为增函数，所以h (x )＞h (0)＝0恒成立；当a ≥1时，因为1x ＋1∈(0,1)，所以h ′(x )＝1x ＋1－a ＜0，故h (x )为减函数，所以h (x )＜h (0)＝0恒成立，显然不符合题意；当0＜a ＜1时，对于给定的一个确定值a ，总可以至少找到一个x 0＞0，满足h (x 0)＝ln(x 0＋1)－ax 0＜0成立．如当a ＝12时，取x 0＝4，则h (x 0)＝ln 5－2＜0成立，可知当0＜a ＜1时，不符合题意．故a ≤0.由(1)(2)可知，a 的取值范围是[－2,0]． 方法探究本题的切入点不同，构造的函数也是不相同的，也可以构造函数结合选项利用函数图象及排除法去完成．典例2也可以通过构造函数求解，但是在问题的求解中如果可以分离出参数，尽量用分离参数法去求解．相对而言，多数题目都可以采用分离参数法去求解，而且采用分离参数法对于问题的求解会相对容易．方法三 等价转化法[典例3] 设f (x )＝a x＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.由g ′(x )＞0得x ＜0或x ＞23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是单调递减函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上是单调递增函数， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527， g (x )max ＝g (2)＝1.故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max .由(1)可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，可知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0；当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0. 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．温馨提示如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”问题，那么需要对问题作等价转化，使之变成与典例2、典例3相关的问题去求解，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使问题的求解出错．。
2021版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第3章 导数及其应用 3.3 文档
1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x 中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，假如f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了便利，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形肯定在x轴下方．(×)(4)若f(x)是偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(√)(5)若f(x)是奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.(√)(6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是ʃ10(x2－x)d x.(×)1．定积分ʃ2－2|x2－2x|d x等于()A．5B．6C．7D．8答案 D解析ʃ2－2|x2－2x|d x＝ʃ0－2(x2－2x)d x＋ʃ20(2x－x2)d x ＝(x33－x2)|0－2＋(x2－x33)|2＝83＋4＋4－83＝8.2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4答案 D解析如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S阴＝ʃ20(4x－x3)d x＝(2x2－14x4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25ln113C．4＋25ln5 D．4＋50ln2答案 C解析令v(t)＝0得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ40(7－3t＋251＋t)d t＝(7t－32t2＋25ln(1＋t))|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.4．(2021·湖南)ʃ20(x－1)d x＝________.答案0解析ʃ20(x－1)d x＝(12x2－x)|20＝12×22－2＝0.5．(教材改编)若ʃT0x2d x＝9，则常数T的值为________．答案 3解析∵ʃT0x2d x＝13x3|T0＝13×T3＝9.∴T 3＝27，∴T ＝ 3.题型一 定积分的计算例1 (1)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.(2)设f (x )＝错误!则ʃ错误!f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56D ．不存在 答案 (1)23(2)C解析 (1)ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·x 33|10＝23.(2)如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要留意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有确定值符号的被积函数，要先去掉确定值号再求积分．(1)若ʃπ20(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－3D. 3 (2)定积分ʃ20|x －1|d x ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)ʃπ20(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )|π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.(2)ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 答案 π2＋e －1e －2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x . 由于ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e－2.命题点2 利用定积分求平面图形面积例3 (1)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( ) A.23 B.13 C.12D.14(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为43，则k ＝________.答案 (1)D (2)2解析 (1)由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)d x ＋ʃ112(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )|112＝14.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为ʃk 0(kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)|k 0＝k 32－k 33＝43，即k 3＝8，解得k ＝2.思维升华 (1)依据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.题型三 定积分在物理中的应用例4 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6s 间的运动路程为______m. 答案 494解析 由图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)，2(1≤t ≤3)，13t ＋1(3≤t ≤6).由变速直线运动的路程公式，可得 s ＝ʃ612v (t )d t ＝ʃ1122t d t ＋ʃ312d t ＋ʃ63(13t ＋1)d t ＝t 2|112＋2t |31＋(16t 2＋t )|63＝494(m)． 所以物体在12s ～6s 间的运动路程是494m.思维升华 定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：假如变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为_______________________________________________________________． 答案 342解析 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝ʃ101F (x )d x ＝ʃ101(x 2＋1)d x＝(13x 3＋x )|101＝342， 即变力F (x )对质点M 所做的功为342.5．利用定积分求面积时易错点典例 已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，则函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．易错分析 本题在依据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错．解析 由题意，F (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xF (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛01210x 2d x ＋⎠⎛121(－10x 2＋10x )d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪12＋(5x 2－103x 3)⎪⎪⎪112＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54. 答案 54温馨提示 (1)利用定积分求图形的面积要依据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积；(2)留意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正．[方法与技巧]1．求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )． (2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后依据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间． [失误与防范]1．若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和． 2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要留意：面积非负，而定积分的结果可以为负．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223D ．22－2答案 D解析 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积S ＝π40⎰(cos x －sin x )d x ＋π2π4⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )π40|＋(－cos x －sin x )π2π4|＝sin π4＋cos π4－cos0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.3JB.233JC.433JD ．23J答案 C解析 ʃ21F (x )cos30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为433J.4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( ) A.2π5B.43C.32D.π2答案 B解析 依据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)． 由于f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1， 即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43.5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 依据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.6．ʃ10(e x＋x )d x ＝________.答案 e －12解析 ʃ10(e x ＋x )d x ＝(e x ＋12x 2)|10＝e ＋12－1 ＝e －12.7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析 所求面积S ＝ʃπ3－π3cos x d x ＝sin x |π3－π3＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 答案 36解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝5×2＋(32x 2＋4x )|42 ＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)]＝36(焦)．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31 ＝23＋16＋43＝136. 10．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t (单位：s)所走过的路程s ＝4t 2(单位：m)，若介质阻力F 与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10m /s 时，F ＝5 N ，求物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功． 解 ∵物体经过时间t 所走过的路程s ＝4t 2， ∴速度v (t )＝s ′＝8t .设F ＝k v (t )，由“当v ＝10m/s 时，F ＝5N ”知k ＝12，∴F ＝4t .d W ＝F d s ＝4t ·d(4t 2)＝32t 2d t .∵s ∈[1,4]，∴t ∈[12，1]，∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功 W ＝ʃ11232t 2d t ＝32t 33|112＝283(J)．B 组 专项力量提升 (时间：15分钟)11．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13.故选B. 12．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.13．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8答案 A解析 S ＝ʃm 20(m －x )d x ＝(mx －23x 32)|m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.14．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s 至第2s 间的1s 内经过的路程是________m. 答案 6.5解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21 ＝32×4＋4－(32＋2)＝10－72＝132(m)． 15．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________． 答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ， 由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.。
2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.导数的应用课时1导数与函数的单调性文
2021年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性文题型一 不含参数的函数的单调性 例1 求函数f (x )＝ln xx的单调区间．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝ln x x ，所以f ′(x )＝1－ln x x2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)， 单调递减区间为(e ，＋∞)．思维升华 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ．令f ′(x )＝x cos x ≥0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.题型二 含参数的函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a ＋1x－1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当－12≤a ≤0时，讨论f (x )的单调性．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，此时f ′(x )＝1x ＋1－2x 2，f ′(2)＝12＋1－24＝1.又因为f (2)＝ln 2＋2＋22－1＝ln 2＋2，所以切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 整理得x －y ＋ln 2＝0.(2)f ′(x )＝1x ＋a －1＋a x 2＝ax 2＋x －a －1x2＝ax ＋a ＋1x －1x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2. 此时，在(0,1)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 在(1，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当－12≤a <0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a x －1x 2.当－1＋a a ＝1，即a ＝－12时，f ′(x )＝－x －122x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当－12<a <0时，－1＋a a >1，此时在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上，当a ＝0时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－12<a <0时，f (x )在(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上单调递增； 当a ＝－12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈(0, 1－a2a)时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a ，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0, 1－a2a)上单调递减，在( 1－a2a，＋∞)上单调递增．题型三 利用函数单调性求参数例3 设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x)max ＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)． 引申探究 在本例3(3)中，1．若g (x )在(－2，－1)内为减函数，如何求解？解 方法一 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数， ∴g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′－2≤0，g ′－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－3]． 方法二 ∵g ′(x )＝x 2－ax ＋2，由题意可得g ′(x )≤0在(－2，－1)上恒成立， 即a ≤x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x，x ∈(－2，－1)的值域为(－3，－2 2 ]， ∴a ≤－3，∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]． 2．若g (x )的单调减区间为(－2，－1)，求a 的值． 解 ∵g (x )的单调减区间为(－2，－1)， ∴x 1＝－2，x 2＝－1是g ′(x )＝0的两个根， ∴(－2)＋(－1)＝a ，即a ＝－3.3．若g (x )在(－2，－1)上不单调，求a 的取值范围．解 由引申探究1知g (x )在(－2，－1)上为减函数，a 的范围是(－∞，－3]，若g (x )在(－2，－1)上为增函数，可知a ≥x ＋2x 在(－2，－1)上恒成立，又y ＝x ＋2x的值域为(－3，－2 2 ]，∴a 的范围是[－22，＋∞)，∴函数g (x )在(－2，－1)上单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)， 故g (x )在(－2，－1)上不单调，实数a 的取值范围是(－3，－22)． 思维升华 已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．已知函数f (x )＝e xln x －a e x(a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1e x ＋1垂直，求a 的值；(2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x －a e x ＝(1x－a ＋ln x )e x，f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·1e＝－1，得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝(1x－a ＋ln x )e x，若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立． 即1x－a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立．所以a ≥1x＋ln x ，在x >0时恒成立．令g (x )＝1x＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2(x >0)，由g ′(x )>0，得x >1； 由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在[1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (x )＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)．故f (x )不可能是单调递减函数． 若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x－a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立，所以a ≤1x＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]．5．分类讨论思想研究函数的单调性典例 (14分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．思维点拨 依据g (x )的切线条件可得g ′(1)＝0得a ，b 关系，代g (x )后消去b ，对a 进行分类讨论确定g ′(x )的符号． 规范解答解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ， 则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .[2分]由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得：g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.[4分](2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－2a ＋1x ＋1x＝2ax －1x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1， 由g ′(x )<0，得x >1，[6分]当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，[7分]若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；[9分]若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，[11分]若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0.[12分] 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，12a )上单调递减，在(12a ，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在(0，12a)上单调递增，在(12a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[14分] 温馨提醒 (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． (2)本题求解先分a ＝0或a >0两种情况，再比较12a和1的大小．[方法与技巧]1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域． 2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．[失误与防范]1．f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．2．注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．3．讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是____________． 答案 (2，＋∞)解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x. 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增， 此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x>0，解得x >2.2．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，52]解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝52.3．设函数f (x )＝x －2sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2上的减函数，则实数t 的取值范围是______________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π－π6，k ∈Z解析 由题意得f ′(x )＝1－2cos x ≤0，即cos x ≥12，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，∵f (x )＝x －2sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2上的减函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，t ＋π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，∴2k π－π3≤t ≤2k π－π6(k ∈Z )．4．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则的大小关系为________________． 答案解析 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，当x 1<x 2时，g (x 1)<g (x 2)，即f x 1<f x 2，所以．5．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．答案 c <a <b解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f (12)，即有f (3)<f (0)<f (12)，c <a <b .6．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． 答案 (0,1)解析 函数的定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．7．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________． 答案 [34，＋∞)解析 f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立， 即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在x ∈[－1,1]时恒成立． 令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.8．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为____________．答案 (－∞，－2)解析 ∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1. 由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3. 当x <－2时，g ′(x )<0，∴g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数．∴函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 10．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x ， ∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2. 又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1， ∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数． ∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立． 即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围是(－∞，2]．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ， ∴f ′(x )＝x －9x(x >0)， 当x －9x≤0时，有0<x ≤3， 即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.12． f (x )，g (x ) (g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则f x g x<0的解集为____________． 答案 (－3,0)∪(3，＋∞)解析 f x g x是奇函数， ∵当x <0时，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x <0，则f x g x 在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数．又f (－3)＝0，则有f －3g －3＝0＝f 3g 3，可知f x g x<0的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)．13．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 (－19，＋∞) 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a . 当x ∈[23，＋∞)时， f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是(－19，＋∞)． 14．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －1x －3x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.15．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0，当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝－1＋1－aa ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数．若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)上是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )>0，所以当a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)．。
2021高考数学一轮复习统考第3章导数及其应用高考大题冲关(1)高考中函数与导数问题的热点题型课件北师大版
①当－
a 2
≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4
＋4a＋a2＝8，得a＝±2 2－2，均不符合题意．
②当1<－
a2 ≤4，即－8≤a<－2时，－
a 10
≤
4 5
<1，f(x)在[1,4]上的最小值
为f－a2＝0，不符合题意．
③当－
a 2
>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取
25x－2x－2
x
.
由f′(x)>0得0<x<25或x>2.
故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．
解
(2)f′(x)＝10x＋2ax2x＋a，a＜0， 由f′(x)＝0得x＝－1a0或x＝－a2. 当x∈0，－1a0时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈－1a0，－a2时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈－a2，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 易知f(x)＝(2x＋a)2 x≥0，且f－a2＝0.
第三章 导数及其应用
高考大题冲关系列(1) 高考中函数与导数问题的热点题型
命题动向：函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工 具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点．常涉及的问题有：讨论 函数的单调性(求函数的单调区间)，求极值、最值、切线方程、函数的零 点或方程的根，求参数的范围及证明不等式等，涉及的数学思想有：函数 与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等，中、高档难度均有．
例2 (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导 数．
2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4.3 导数的存在性问题练习 苏教版
3.4。
3 导数的存在性问题考点一关于函数零点或方程的根的存在性问题【典例】1。
（2020·泰安模拟)若函数f（x)=ax3—x2+1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是( ）A. B.(-，0）C。
（0,） D.2。
（2020·扬州模拟)已知函数f(x）=若方程[f(x）]2=a 恰有两个不同的实数根x1，x2,则x1+x2的最大值是________.【解题导思】序号联想解题1由存在唯一的零点x0，且x0>0，想到分离变量a构建新函数2由［f(x)］2=a恰有两个不同的实数根，想到f（x)=,数形结合求x1，x2,构建函数.【解析】1。
选A。
由函数f(x）=ax3—x2+1存在唯一的零点x0,且x0〉0等价于a=有唯一正根，即函数y=g(x）=的图象与直线y=a在y轴右侧有1个交点，又y=g（x)为奇函数且g′(x）=,则y=g（x）在（-∞，—)，(,+∞）上为减函数,在(—,0），（0,)上为增函数,则满足题意时y=g（x）的图象与直线y=a的位置关系如图所示,即实数a的取值范围是a<-。
2。
作出f（x)的函数图象如图所示,由[f（x）]2=a,可得f(x)=,所以>1,即a>1,不妨设x1〈x2，则2==，令=t（t〉1）,则x1=-，x2=ln t,所以x1+x2=ln t-,令g（t）=ln t—,则g′（t）=,所以当1<t<8时,g′（t）〉0，g（t）在(1，8)上递增;当t〉8时，g′（t）〈0，g(t）在(8，+∞）上递减；所以当t=8时，g(t)取得最大值g（8)=ln 8—2=3ln 2-2。
答案：3ln 2—2题1条件改为f（x)=ax3-3x2+1，其他条件不变，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0〉0，则a的取值范围为________.【解析】当a=0时,不符合题意。
a≠0时，f′(x)=3ax2-6x,令f′（x)=0,得x1=0，x2=。
2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的极值、最值练习理北师大版
3.3利用导数研究函数的极值、最值中心考点·精确研析考点一用导数解决函数的极值问题命 1. 考什么 : (1) 考察求值、解方程、解不等式等问题.题 (2) 考察数学运算、直观想象、逻辑推理的中心修养及数形联合、分类与整合等数学思想.精 2. 怎么考 : 与函数图像、方程、不等式、函数单一性等知识联合考察求函数极值、知函数极值求参数等解问题.读 3. 新趋向 : 函数极值、导数的几何意义及函数图像等知识交汇考察为主1. 求函数 f(x) 极值的一般解题步骤(1) 确立函数的定义域 ;学 (2) 求导数 f ′(x);霸 (3) 解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的全部根;(4)列表查验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右双侧好值的符号 .方 2. 已知函数极值点或极值求参数的两个要领法 (1) 列式 : 依据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组, 利用待定系数法求解.(2)考证 : 由于导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 , 因此利用待定系数法求解后一定考证根的合理性 .由图像判断函数的极值【典例】 (2020 ·咸阳模拟 ) 已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如下图, 则=.【分析】 f ′(x)=3ax 2+2bx+c;依据图像知 ,x=-1,2是 f(x) 的两个极值点 ;因此 x=-1,2 是方程3ax2+2bx+c=0 的两实数根 ;依据根与系数的关系得,因此 2b=-3a,c=-6a,因此===1.答案 :1由函数 f(x)的图像确立极值点的主要依照是什么?提示 : 局部最高 ( 低 ) 点的横坐标是极大( 小 ) 值点 .求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x-1+(a ∈ R,e 为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴 , 求 a 的值 .(2)求函数 f(x) 的极值 .【分析】 (1) 由 f(x)=x-1+, 得 f′(x)=1 -.又曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x 轴 ,因此 f′(1)=0,即1-=0, 解得 a=e.(2)f′(x)=1 -,当 a≤ 0 时 ,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数, 因此函数f(x) 无极值 .当 a>0 时 , 令 f ′(x)=0, 得 e x=a, 即 x=ln a, 当x∈ (- ∞,ln a) 时, f ′(x)<0;当 x∈ (ln a,+ ∞) 时 , f′(x)>0,因此 f(x) 在 (- ∞,ln a) 上单一递减 ,在 (ln a,+ ∞) 上单一递加, 故 f(x)在x=ln a处获得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.当 a>0 时 ,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.已知函数极值状况求参数值(范围)【典例】设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令 g(x)=f ′(x), 求 g(x) 的单一区间 .(2)已知 f(x) 在 x=1 处获得极大值 , 务实数 a 的取值范围 .【分析】 (1) 由 f ′(x)=l n x-2ax+2a,可得 g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).因此 g′(x)= -2a=.当 a≤ 0,x ∈(0,+ ∞) 时,g ′(x)>0, 函数g(x) 单一递加 ;当 a>0,x ∈时,g′(x)>0,函数g(x)单一递加,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单一递减.因此当 a≤0 时 ,g(x)的单一增区间为(0,+∞);当 a>0 时 ,g(x)的单一增区间为, 单一减区间为.(2) 由 (1) 知,f ′(1)=0.①当 a≤ 0 时,f ′(x) 在(0,+ ∞) 内单一递加,因此当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单一递减;当 x∈(1,+ ∞) 时,f ′(x)>0,f(x) 单一递加 .因此 f(x) 在 x=1 处获得极小值 , 不合题意 .②当 0<a< 时,>1, 由 (1) 知 f ′(x) 在内单一递加,可适当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈时,f ′(x)>0.因此 f(x) 在 (0,1)内单一递减,在内单一递加,因此f(x)在x=1处获得极小值,不合题意.③当 a= 时 ,=1,f ′(x) 在 (0,1) 内单一递加 , 在(1,+ ∞) 内单一递减, 因此当 x∈(0,+ ∞) 时,f ′(x) ≤0,f(x) 单一递减 , 不合题意 .④当 a> 时,0<<1, 当 x∈时,f′(x)>0,f(x)单一递加, 当 x∈(1,+ ∞) 时,f ′(x)<0,f(x)单一递减 .因此 f(x) 在 x=1 处获得极大值 , 切合题意 .综上可知 , 实数 a 的取值范围为.1. 设函数 f(x) 在 R上可导 , 其导函数为 f ′(x), 且函数y=(1- x)f ′(x) 的图像如下图, 则以下结论中必定成立的是()A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1)C. 函数 f(x)有极大值f(2)和极小值 f(-2)D. 函数 f(x)有极大值f(-2)和极小值 f(2)【分析】选 D.由题图可知 , 当 x<-2 时 ,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2<x<1时,0<1-x<3,此时f′(x)<0;当1<x<2时 ,-1<1-x<0,此时f′(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此能够获取函数f(x)在x=-2处获得极大值 , 在 x=2 处获得极小值.2. 设函数 f(x)=ln x+ax2-x, 若 x=1 是函数 f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为.【分析】函数f(x)=ln x+ax2-x, 函数定义域为 (0,+ ∞),f ′(x)=+2ax-.若 x=1 是函数 f(x) 的极大值点 , 则f ′(1)=0, 解得a= ;f ′(x)= + x- ==;当 f ′(x)>0 时 ,0<x<1 或 x>2;函数在 (0,1) 和(2,+ ∞) 上单一递加;当 f ′(x)<0 时 ,1<x<2, 函数在 (1,2) 上单一递减 ;因此函数在x=1 时有极大值 ; 函数在 x=2 时有极小值为f(2)=ln 2-2.答案 :ln 2-23.(2019 ·荆门模拟 ) 已知函数f(x)=x2+2x-2xe x.求函数f(x)的极值.【分析】由于函数f(x)=x2+2x-2xe x(x∈R),因此 f ′(x)=2x+2 -2e x -2xe x=(2x+2)(1-e x ),由 f ′(x)=0, 得 x=-1 或 x=0,列表议论 , 得:x(-∞,-1) - 1(-1,0)0(0,+ ∞)f ′(x) -0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘因此当 x=-1 时 ,f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×= -1,当 x=0 时 ,f(x)极大值=f(0)=0.x设函数 f(x)=e (sin x-cos x)(0≤ x≤2 016π), 则函数 f(x)的各极大值之和为() A. B.C. D.【分析】选 D. 由于函数f(x)=e x(sin x-cos x),因此 f ′(x)=[e x (sin x-cos x)] ′=e x(sin x-cos x)+e x(cos x+sin x)=2e x sin x;令 f ′(x)=0, 解得x=kπ(k ∈ Z);因此当 2kπ<x<2kπ+π,f ′(x)>0,原函数增 , 当 2kπ+π<x<2kπ+2π,f ′(x)<0,原函数减 ; 因此当 x=2kπ+π, 函数 f(x)获得极大 , 此 f(2k π+π)=e 2kπ+π [sin(2k π+π)- cos(2k π+π)]=e 2kπ+π ;又因 0≤x≤ 2 016π, 因此 0 和 2 016π都不是极点 , 因此函数f(x) 的各极大之和 :eπ +e3π +e5π +⋯ +e2 015π =.考点二用数解决函数的最【典例】 (2019 ·黄模 ) 已知函数f(x)=-ax, 曲 y=f(x)在x=1的切点(2,-1).(1)求数 a 的 ;(2)b>1, 求 f(x)在区上的最大和最小.【解思】序号目拆解利用求的方法求出函数利用数的几在切点的切斜率, 再利(1)何意求参数用切点坐与切的斜率之的关系求出 a 的利用 x 分的方法,研究函数 f(x)合 b 的取范 , 用求的性(2)的方法判断函数的性求函数 f(x) 的从而求出函数的极, 而最求出函数的最【分析】 (1)f(x)的函数f ′(x)=? f ′(1)==1-a,依意 , 有=1-a,即=1-a, 解得 a=1.(2) 由 (1) 得 f ′(x)=,当 0<x<1 时,1-x 2>0,-ln x>0,因此 f ′(x)>0, 故 f(x) 在 (0,1) 上单一递加 ;当 x>1 时 ,1-x 2<0,-ln x<0,因此 f ′(x)<0, 故 f(x) 在(1,+ ∞) 上单一递减,因此 f(x) 在区间 (0,1) 上单一递加 , 在区间 (1,+ ∞) 上单一递减.由于 0< <1<b, 因此 f(x)的最大值为f(1)=-1.设 h(b)=f(b)-f=ln b-b+,此中 b>1 则 h′=ln b>0,故 h(b) 在区间 (1 ,+ ∞) 上单一递加 .当 b→ 1 时 ,h(b) → 0? h(b)>0 ? f(b)>f.故 f(x)的最小值为f=-bln b-.求函数 f(x) 在闭区间 [a,b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间 [a,b] 不含参数 , 则只要对函数 f(x) 求导 , 并求 f ′(x)=0 在区间 [a,b] 内的根 , 再计算使导数等于零的根的函数值, 把该函数值与f(a),f(b)比较,此中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值 .(2)若所给的闭区间 [a,b] 含参数 , 则需对函数 f(x) 求导 , 经过对参数分类议论 , 判断函数的单一性 , 从而获取函数f(x) 的最值 .(2019 ·南昌模拟 ) 设函数 f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).(1)议论 f(x) 的单一性 .【分析】 (1) 函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞),f ′(x)= -4mx=,当 m≤ 0 时,f ′(x)>0,因此 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递加;当 m>0时 , 令 f ′(x)>0, 得 0<x<,令 f ′(x)<0得x>, 因此 f(x)在上单一递加,在上单一递减.(2) 由 (1) 知, 当 m>0时 ,f(x)在上单一递加,在上单一递减.因此 f(x)max=f=ln-2m·-n=-ln 2-ln m--n=-ln 2,因此 n=- ln m- , 因此 m+n=m- ln m-,令 h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1 -=, 因此 h(x) 在上单一递减,在上单一递加 , 因此 h(x) min=h= ln 2,因此 m+n的最小值为ln 2.考点三用导数解决生活中的优化问题【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工, 每千克蘑菇的成本为20 元 , 而且每千克蘑菇的加工费为t 元(t为常数 , 且 2≤ t ≤ 5). 设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25 ≤ x≤ 40), 依据市场检查, 日销售量q 千克与 e x 成反比 , 当每千克蘑菇的出厂价为30 元时 , 日销售量为100 千克 .(1)求该工厂的每天收益 y 元与每千克蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式 .(2) 若 t=5, 当每千克蘑菇的出厂价x 为多少时 , 该工厂的每天收益y 最大 ?并求最大值 .序号联想解题依据已知条件得出日销量函数表达式q= (k ≠ 0), 将 x=30,q=100(1)待定系数法求函数关系k 的值 , 从而获取收益 y 与出厂价 x代入日销量函数表达式中求出之间的函数关系式 .经过求函数最值 , 解答实质将 t=5 代入函数中 , 依据导数求得函数的单一区间, 从而得函数的(2)最值 .问题【分析】 (1) 设日销量q=(k ≠ 0),则=100, 因此 k=100e 30, 因此日销量q=,因此 y=(25 ≤ x≤ 40).(2) 当 t=5 时 ,y=,y′=.由 y′≥ 0 得 x≤ 26, 由 y′≤ 0, 得 x≥26,因此 y 在区间 [25,26] 上单一递加 , 在区间 [26,40] 上单一递减 , 因此当 x=26 时,y max=100e4, 即当每千克蘑菇的出厂价为 26 元时 , 该工厂的每天收益最大 , 最大值为 100e4元 .利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)剖析实质问题中各量之间的关系, 成立实质问题的数学模型 , 写出实质问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2) 求函数的导数 f ′(x), 解方程 f ′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和 f ′(x)=0 处的点的函数值的大小 , 最大 ( 小 ) 者为最大 ( 小 ) 值 .(4)回归实质问题作答 .某商场销售某种商品的经验表示, 该商品每天的销售量y( 单位 : 千克 ) 与销售价钱x( 单位 : 元 / 千克 ) 知足关系式 y=+10(x-5)2,此中2<x<5,a为常数.已知销售价钱为 4 元 / 千克时 , 每天可售出该商品10.5 千克 .(1)求 a 的值 ;(2)若该商品的成本为 2 元 / 千克 , 试确立销售价钱x 的值 , 使商场每天销售该商品所获取的收益最大.【分析】 (1) 由于 x=4时 ,y=10.5,因此+10=10.5, 因此 a=1.(2) 由 (1) 可知 , 该商品每天的销售量2 y=+10(x-5) ,因此商场每天销售该商品所获取的收益f(x)=(x-2)=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.从而 ,f ′(x)=10[(x -5) 2+2(x-2)(x-5)]=30(x-3)(x-5).于是 , 当 x 变化时 ,f ′(x),f(x)的变化状况如表:x(2,3)3(3,5)f ′(x)+0-f(x)单一递加极大值 41单一递减由表可得 ,x=3 是函数 f(x)在区间(2,5)内的极大值点, 也是最大值点 .因此当 x=3 时 , 函数 f(x)获得最大值,且最大值等于41.答 : 当销售价钱为 3 元 / 千克时 , 商场每天销售该商品所获取的收益最大.2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的极值、最值练习理北师大版-11-。
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3.4.3 导数的存在性问题核心考点·精准研析考点一关于函数零点或方程的根的存在性问题【典例】1.(2020·泰安模拟)若函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( )A. B.(-,0)C.(0,)D.2.(2020·深圳模拟)已知函数f(x)=若方程[f(x)]2=a恰有两个不同的实数根x1,x2,则x1+x2的最大值是________________. 【解题导思】序号联想解题1 由存在唯一的零点x0,且x0>0,想到分离变量a构建新函数由[f(x)]2=a恰有两个不同的实数根,想到f(x)=,数形结合求x1,x2,2构建函数.【解析】1.选A.由函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0,且x0>0等价于a=有唯一正根, 即函数y=g(x)=的图像与直线y=a在y轴右侧有1个交点,又y=g(x)为奇函数且g′(x)=,则y=g(x)在(-∞,-),(,+∞)上为减函数,在(-,0),(0,)上为增函数,则满足题意时y=g(x)的图像与直线y=a的位置关系如图所示,即实数a的取值范围是a<-.2.作出f(x)的函数图像如图所示,由[f(x)]2=a,可得f(x)=,所以>1,即a>1,不妨设x1<x2,则2==,令=t(t>1),则x1=-,x2=ln t,所以x1+x2=ln t-,令g(t)=ln t-,则g′(t)=,所以当1<t<8时,g′(t)>0,g(t)在(1,8)上递增;当t>8时,g′(t)<0,g(t)在(8,+∞)上递减;所以当t=8时,g(t)取得最大值g(8)=ln 8-2=3ln 2-2.答案:3ln 2-2题1条件改为f(x)=ax3-3x2+1,其他条件不变,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围为________________.【解析】当a=0时,不符合题意.a≠0时,f′(x)=3ax2-6x,令f′(x)=0,得x1=0,x2=.若a>0,由图像知f(x)有负数零点,不符合题意.若a<0,由图像结合f(0)=1>0知,此时必有f>0,即a×-3×+1>0,化简得a2>4,又a<0,所以a<-2.答案:(-∞,-2)导数法研究函数零点的存在性问题的策略(1)基本依据:函数零点的存在性定理.(2)注意点:函数零点的存在性定理是函数存在零点的充分不必要条件.(3)基本方法:导数法分析函数的单调性、极值、区间端点函数值,画出函数的草图,数形结合求参数的值.(4)常见技巧:将已知等式适当变形,转化为有利于用导数法研究性质的形式.已知函数f(x)=x+e x-a, g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为自然对数的底数,若存在x0使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数 a的值为( )A.ln 2B.ln 2-1C.-ln2D.-ln 2-1【解析】选D.f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令y=x-ln(x+2),y′=1-=,故y=x-ln(x+2)在(-2,-1)上是减函数,(-1,+∞)上是增函数,故当x=-1时,y有最小值-1-0=-1,而e x-a+4e a-x≥4(当且仅当e x-a=4e a-x,即x=a+ln 2时,等号成立);故f(x)-g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故a+ln 2=-1,即a=-1-ln 2.考点二关于函数极值、最值的存在性问题【典例】(2019·大连模拟)已知x=1是函数f(x)=ax2+-xln x的极值点.(1)求实数a的值.(2)求证:函数f(x)存在唯一的极小值点x0,且0<f(x0)<.(参考数据:ln 2≈0.69,16e5<74,其中e为自然对数的底数)【解题导思】序号题目拆解(1)求实数a 的值由f′(1)=0求a,并用极值的定义检验(2)函数f(x)存在唯一的极小值点x0,且0<f(x0)<结合(1)分析函数f(x)的单调性,利用零点存在性定理确定极小值点x0所在区间,计算f(x0)的取值范围【解析】(1)因为f′(x)=2ax--ln x,且x=1是极值点,所以f′(1)=2a-=0,所以a=.此时f′(x)=--ln x ,设g(x)=f′(x) ,则g′(x)=-=.则当0<x<2时,g′(x)<0,g(x)为减函数.又g(1)=0,g(2)=-ln 2<0,所以当0<x<1时,g(x)>0 ,f(x) 为增函数;当1<x<2时,g(x)<0 ,f(x)为减函数.所以x=1为f(x)的极大值点,符合题意.(2)当x>2时,g′(x)>0,g(x)为增函数,且g(4)=-2ln 2>0 ,g(2)<0,所以存在x0∈(2,4),g(x0)=0.当2<x<x0时,g(x)<0 ,f(x)为减函数;当4>x>x0时,g(x)>0 ,f(x) 为增函数,所以函数f(x)存在唯一的极小值点x0.又g=-ln ,已知16e5<74,可得e5<⇒5<4ln ,所以g<0,所以<x0<4 ,且满足--ln x0=0.所以f(x0)=+-x0ln x0=-+x0∈.导数法研究函数极值、最值存在性问题的原则(1)弄清用导数法求函数(不含参数)的极值、最值的一般步骤,及关键步骤要注意的问题.(2)在某区间上函数存在极值点,即方程f′(x)=0一定有根,但方程有根,并不一定是极值点,还要判断函数的单调性,看原函数在此根的左右两侧是否出现单调性改变,通常要结合函数图像解决.(3)在某区间上函数存在最值,通常假设存在最值,根据题目条件求出后构建方程,解出参数的值并进行检验.(2019·抚顺模拟)已知函数f(x)=ln x-ax-3(a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)有最大值M,且M>a-5,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),由已知得f′(x)=-a,当a<0时,f′(x)>0,所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增,无减区间;当a>0时,令f′(x)=0,得x=,所以当x∈时f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时f′(x)<0,f(x)单调递减.(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在(0,+∞)内单调递增,无最大值,当a>0时,函数f(x)在x=取得最大值,即f(x)max=f=ln -4=-ln a-4,因此有-ln a-4>a-5,得ln a+a-1<0,设g(a)=ln a+a-1,则g′(a)=+1>0,所以g(a)在(0,+∞)内单调递增,又g(1)=0,所以g(a)<g(1),得0<a<1,故实数a的取值范围是(0,1).考点三关于不等式的存在性问题【典例】1.已知f(x)=ln x-+,g(x)=-x2-2ax+4,若对∀x1∈(0,2], ∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则a的取值范围是 ( )A. B.C. D.【解题导思】序号联想解题由对∀x1∈(0,2],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,想到f(x1)min≥g(x2)min【解析】选A.因为f(x)=ln x-+,x∈(0,2],所以f′(x)=--=,令f′(x)=0,解得x=1或x=3(舍),从而0<x<1,f′(x)<0;1<x<2,f′(x)>0;所以当x=1时,f(x)取最小值,为,因此∃x∈[1,2],使得≥-x2-2ax+4成立,所以a≥,因为y=-+在[1,2]上单调递减,所以y=-+的最小值为-+=-,因此a≥-.2.已知函数f(x)=ax-e x(a∈R),g(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)∃x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-e x成立,求a的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)函数f(x)的单调区间求f′(x),依据f′(x)=0解的情况,分类讨论(2)∃x0∈(0,+∞),使不等对不等式适当变形,转化为求函数最值问题式f(x)≤g(x)-e x成立【解析】(1)因为f′(x)=a-e x,x∈R.当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在R上单调递减;当a>0时,令f′(x)=0得x=ln a.由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a);由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(ln a,+∞).综上,当a≤0时,f(x)的单调减区间为R;当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,ln a);单调减区间为(ln a,+∞).(2)因为∃x0∈(0,+∞),使不等式f(x)≤g(x)-e x,所以ax≤,即a≤.设h(x)=,则问题转化为a≤,由h′(x)=,令h′(x)=0,则x=.当x在区间(0,+∞)内变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:x (0,) (,+∞) h′(x)+ 0 -h(x) ↗↘极大值由上表可知,当x=时,函数h(x)有极大值,即最大值为.所以a≤.1.不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值,可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值,这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.特别需要关注等号是否成立,以免细节出错.2.两个常用结论(1)∃x∈I,使得f(x)>g(x)成立⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I).(2)对∀x1∈D1,∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min,f(x)的定义域为D1,g(x)的定义域为D2.(2020·西安模拟)已知函数f(x)=x3+x2+ax.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a的最小值.(2)若函数g(x)=,对∀x1∈,∃x2∈,使f′(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由题设知f′(x)=x2+2x+a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥-(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立,而函数y=-(x+1)2+1在[1,+∞)单调递减,则y max=-3,所以a≥-3,所以a的最小值为-3.(2)“对∀x1∈,∃x2∈,使f′(x1)≤g(x2)成立”等价于“当x∈时,f′(x)max≤g(x)max”.因为f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在上单调递增,所以f′(x)max=f′(2)=8+a.而g′(x)=,由g′(x)>0,得x<1,由g′(x)<0,得x>1,所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 所以当x∈时,g(x)max=g(1)=.由8+a≤,得a≤-8,所以实数a的取值范围为.。