应用于回归系统谐波阻抗的两种方法比较

中国高等学校电力系统及其自动化专业第29届学术年会，湖北宜昌：三峡大学，2013 M-174 应用于回归系统谐波阻抗的两种方法比较 张韶光1，安海清1，华俊2，贾秀芳1 1华北电力大学电气与电子工程学院 2南昌大学信息工程学院

Email: shaoguang.z@163.com

摘 要：电网中电力电子装置与非线性设备的广泛应用导致谐波污染日益严重，正确划分电力系统中各个谐波源的谐波责任已经成为关键问题。准确划分各谐波源在公共连接点处的谐波责任要以准确估计系统等值谐波阻抗为基础。相关学者提出了最小二乘法和偏最小二乘法回归系统等值谐波阻抗。本文分析了两种算法的核心思想，并指出了最小二乘法的局限性和偏最小二乘法的优越性。IEEE14节点仿真计算验证了结论的有效性。

关键词：电能质量；谐波责任；最小二乘法；偏最小二乘法 Comparison of Two Methods Used in the Regression of the System Harmonic Impedance

Zhang Shaoguang1, An Haiqing1, Hua Jun2, Jia Xiufang1 1 College of Electrical and Electronic Engineering 2 College of Information Engineering Email: shaoguang.z@163.com

Abstract: Harmonic pollution is becoming increasingly serious because of power electronic devices and nonlinear devices widely used in power grid. Correctly division of harmonic contribution of the harmonic sources has become keyissue. Classification of harmonic responsibility of each harmonic source accurately is based on estimating the equivalent harmonic impedance. In order to estimate equivalent harmonic impedance, some scholars proposed the least squares method and partial least squares method. This paper analyzes the core idea of the two algorithms, and points out the limitations of the least square method and the advantages of partial least square method. The IEEE14-bus system verifies the validity of the conclusions.

Keywords: power quality; harmonic contribution; least squares method; partial least squares method

1 引言 从国内外的研究现状[1-8]来看，很多学者对最小二乘法和偏最小二乘法做了详细的阐述，并应用于谐波责任分离问题。针对提出的算例,两种方法回归出的等效系统谐波阻抗是相同的，而实际上两种方法在数学上有区别，这说明提出的算例过于理想化。因此本文提出新的算例找到两种方法回归系统谐波阻抗不同的情况，并在此基础上比较两种算法的优劣。 本文首先介绍了系统谐波责任定量划分要解决的本质问题：回归出等效系统谐波阻抗和背景谐波电压；其次在理论上推导了最小二乘和偏最小二乘两种算法；最后利用IEEE14节点标准模型得出数据并分析计算。通过分析两组仿真数据并对比，验证了最小二乘法的局限性和偏最小二乘法的优越性。 2 谐波责任划分 谐波责任定量化分可以分为两类情况：一是单母线多谐波源负荷接入，讨论某一谐波源在该母线处的谐波责任问题；二是多母线多谐波源负荷接入，讨论某一谐波源在某一特定母线上的谐波责任问题。 图1所示为关注母线多谐波源负荷接入模型：母线X一侧通过变压器与系统侧相连，另一侧与若干用户负荷相连。为了方便，母线两侧分别称为系统侧和用户侧。假设用户侧的负荷A，负荷B，负荷C是主要谐波源用户，讨论某个谐波源（如负荷A）在母线X处的谐波责任。

XA

BCD

图1 关注母线多负荷接入模型 资助信息：河北省自然科学基金(E2011502097)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(12MS145)。 中国高等学校电力系统及其自动化专业第29届学术年会，湖北宜昌：三峡大学，2013 M-174 图2所示为多条母线多谐波源负荷接入模型，输配电网络中三条母线上分别接入了三个谐波源A、B、C。若在母线X处监测到严重的谐波畸变，要定量确定某一谐波源（如谐波源A）在母线X处的谐波责任。

图2 多母线多谐波源接入模型 以h次谐波为例，讨论谐波源A对母线X的h次谐波责任。在母线X处测得的h次谐波电压记为hXU󰀅，谐波源A注入接入母线的h次谐波电流记为hAI󰀅，则谐波源A处的h次谐波电流与母线X处的h次谐波电压满足如下关系：

,,0hXhXAhAhXUZIU=+󰀅󰀅󰀅 (1)

其中，,hXAZ为负荷A的谐波自/互阻抗，,0hXU󰀅为

母线X上的h次背景谐波电压。背景谐波电压是除了谐波源A以外的其余谐波源在母线X上产生的谐波电压。 令,,hXAhXAhAUZI=󰀅󰀅，其中,hXAU󰀅为用户A在母线X处贡献的h次谐波电压。 要确定用户A在母线X处的h次谐波电压责任，经过数学推导，必须由监测仪表测量出的hXU󰀅和hAI󰀅回归出,hXAZ。

3 最小二乘法和偏最小二乘法原理 由于研究的是实数域的最小二乘法，因此在分别使用两种回归方法之前，首先要进行测量量和回归量实部虚部的分离。将式(1)按实部虚部展开可以得到：

,,,0,,,0hXrhXArhArhXAxhAxhXrhXxhXArhAxhXAxhArhXx

UZIZIUUZIZIU=−+⎧

⎪

⎨=++⎪⎩

(2)

其中，下标为r的量表示该量对应的实部，下标为x的量表示该量对应的虚部。根据下面的两种算法分别回归系数,hXArZ、,hXAx

Z。

3.1 最小二乘法 假设给出了一组观测数据(,kkUV)(1,2kn=󰀢)一直这组数据近似满足线性关系：

UaVb=+ (3) 将观测数据代入 (3) 式有：

kkkUaVbε=++ (4)

其中,ab分别是要回归的未知量，kε是随机误差

项。 定义误差平方和如下式所示： ()()21,nkkkfabUaVb∑=⎡⎤=−+

⎣⎦ (5)

极小化(),fab可得,ab的估计，该方法称为最小二乘法。函数(),fab对,ab分别求偏导，并令偏导数为0，有： ()()()

()()()

11,20,210nkkkknkkkfabVUaVbafabUaVbb∑∑=

=

∂⎧

⎡⎤=−−+=

⎪⎣⎦

⎪∂

⎨∂⎪

⎡⎤=−−+=

⎣⎦⎪

∂⎩

(6)

求解方程组，得到参数,ab的值有：

()()()

()()()()()

()

1112211211112211nnnkkkkkkknnkkkknnnnkkkkkkkkknnkkkknVUVUanVVVUVVUbnVV∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========

⎧−

⎪=

⎪

−⎪

⎪

⎨

⎪−

⎪=

⎪−⎪⎩

(7)

为了方便将式（2-2）写成矩阵形式： UAVε=+ (8)

其中 ()()12,,,,,nUuuuVab′′==󰀢

()12

12

111,nnvvA

vεεεε

⎡⎤⎢⎥⎢⎥=

⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

=

󰀣󰀣

󰀢 则最小二乘解为： ()1VAAAU−′′= (9)

3.2 偏最小二乘法 假设自变量u和因变量12,,,pvvv󰀢存在如下的线性关系：

1122pp

uavavav=++󰀢

(10)

其中，na是线性模型的系数。为确定na，采集n个样本点构成自变量与因变量的数据表()12,,pnpVvvv×=󰀢和1nU×

。

首先在V中提取1t，1t是12,,,pvvv󰀢的线性组合，并要求1t的方差最大化以及1t与因变量V的相关系数最大。提取1t后，分别进行,UV对1t的回归，若回归方程达到了满意的精度，算法终止，否则对U的残余