江西理工大学601高等数学2014年考研专业课真题试卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)-理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z A. i +1 B. i --1 C. i +-1 D. i -12.函数)ln()(2x x x f -=的定义域为A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞ 3.已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a A. 1 B. 2 C. 3 D. 1- 4.在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC∆的面积是A.3B.239 C.233 D.335.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A.7B.9C.10D.11 8.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰A.1-B.13-C.13 D.19.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A.45π B.34π C.(6π- D.54π10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为A.1B.2C.3D.4(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ）A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.13.若曲线xy e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.14.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1c o s 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为四.简答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16（本小题满分12分）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈- （1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；(2)若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.17.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足.(1)令，求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围.19.(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD .（1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图，已知双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点F,点A,B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB,BF ∥OA(O 为坐标原点)， （1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点P(x 0,y 0)(y 00≠)的直线l ：1020=-y y a xx 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N 。
江西理工大学高等数学(二)答案
《高等数学》试题解答一、填空题：（3×5=15分）1．设y x z =，则=∂∂yz x x y ln . 2. 积分=⎰⎰Dxydxdy 16 ，其中D 为40 ,20≤≤≤≤y x .3. L 为2x y =点(0, 0)到(1, 1)的一段弧，则=⎰ds y L []155121-. 大根号4x^2+1 4. 级数∑∞=-1)1(n p nn 当p 满足10≤<p 时条件收敛. 5. 方程0)1(=+-dy e dx ye x x 的通解为)1(x e C y +=.分离变量二、选择题：（3×5=15分）1．方程0)4(sin )cos 3(32=-++dy y x dx x y x 是 （ C ）. x Q y P ∂∂=∂∂(A) 可分离变量微分方程 (B) 一阶线性方程(C) 全微分方程 (D) （A ）、（B ）、（C ）均不对 2．),(y x f z =在),(00y x 可微，则yz x z ∂∂∂∂ ,在) ,(00y x （ D ）. （A ）连续 （B ）不连续 （C ）不一定存在 （D ）一定存在3．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n 是（ A ）. ∑∞=-212n n （A ）发散 （B ）收敛（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛4．曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积为（ B ）.（A ）⎰⎰⎰+Ωdv y x )(22； （B ）⎰⎰⎰11 02 0 r πdz rdr θd ；“先一后二”（C ）⎰⎰⎰+----2222 0 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ； （D ）⎰⎰⎰10 1 0 2 0 dz rdr θd π。
5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为（ B ）.（A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++（C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+三、)(22x y f z -=，其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22x z ∂∂.（8分） 解：)2()(22x x y f z x -⋅-'=)2()(2)2()(2222x x y f x x y f z xx -⋅-''--⋅-'= )(4)(222222x y f x x y f -''+-'-=四、计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点)0 ,1(A 到)1 ,0(B ，再到)0 ,1(-C 的有向折线.（8分） 解：作11 ,0:≤≤-=x y CA ,……………….1分⎰=ABCA []d xdy y e y e D x x ⎰⎰--)2cos (cos =2⎰⎰D dxdy =2， 0 ⎰=CA2=∴I五、计算⎰⎰++∑dxdy zx dzdx yz dydz xy 222，其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +=的公共部分的外表面.（8分） 解：()d xdydz x z y I ⎰⎰⎰Ω++=222⎰⎰⎰ππϕϕθ=2044020sin dr r d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221564π六、求级数∑∞=22n n nx 的收敛域及和函数.（8 分）解：收敛域为：)1 ,1(-=)(x S ∑∞=22n n nx ∑∞=-=212n n nx x '⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=22n n x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x 1112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(122x x 七、计算曲面积分⎰⎰+∑dS y x )(22，其中∑为锥面)(322y x z +=被平面3=z截下的带锥顶的部分.（8分） 解：dxdy y x y y x x y x I xy D ⎰⎰+++++=22222222331)( ⎰⎰+=xyD dxdy y x )(222⎰⎰πθ=303202dr r d π=9八、求函数22y x z +=在适合条件132=+y x 下的极小值.（7分） 解：作⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=132),,(22y x y x y x f λλ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==λ+==λ+=λ0132032022y x f xy f x f y x 1372-=λ，1312,1318==∴y x 1336min =z 九、求方程x e y y y 323=+'-''的通解.（8分） 解：特征方程：0232=+-r r特征根:2,121==r r对应齐次方程的通解为：x x e C e C Y 221+= 1=λ是单根，可设非齐次方程的特解为x Axe y =* 代入原方程得:x xe y A 3,3*-=∴-= 原方程的通解为：x x x xe e C e C y 3221-+=十、把)0( ,)(π<<=x x x f 展开为余弦级数.（7分） 解：π=π=⎰π002xdx a ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰为偶数为奇数n n n nxdx x a n 0 4cos 220πππ ∑∞=π<<-π--π=120 ,)12cos()12(42n x x n n x 十一、已知曲线积分⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x n x dy x f ydx x f x n x e 与路径无关， 其中)(x f 可微，0)0(=f ，试确定)(x f ，并计算曲线积分的值.（8分） 解：依题意有：)()(1)1(x f x f x n x e n x '=+++ 讨论 )()(1x f x f x n '=+ n x C x f )1()(+=令)(x C C =，利用常数变易法得：C e x C x +=)( n x n x e x C x f )1()1()(+++=∴由10)0(-=⇒=C f)1()1()(-+=∴x n e x x f)()(0x yf dy x f I y==⎰。
2014年高考理科数学江西卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共22页）数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第一大题和第二大题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第三大题和第四大题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.z 是z 的共轭复数,若2z z +=,()i 2z z -=(i 为虚数单位),则z =( )A .1i +B .1i --C .1i -+D .1i - 2.函数2()ln()f x x x =-的定义域为( )A .(0,1)B .[0,1]C .(,0)(1,)-∞+∞ D .(,0][1,)-∞+∞3.已知函数||()5x f x =,2()()g x ax x a =-∈R .若[(1)]1f g =,则a =( )A .1B .2C .3D .1-4.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若22()6c a b =-+,π3C =,则ABC △的面积是( ) A .3B .932C .332D .33 5.一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是( )A .B .C .D .6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A .成绩B .视力C .智商D .阅读量 7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )A .7B .9C .10D .11 8.若120()2()d f x x f x x =+⎰,则10()d f x x =⎰( )A .1-B .13-C .13D .19.在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( )A .4π5B .3π4C .(625)π-D .5π410.如右图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11AB =,7AD =,112AA =.一质点从顶点A 射向点(4,3,12)E ,遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理）,将第1i -次到第i 次反射点之间的线段记为(2,3,4)i L i =,1L AE =,将线段1L ,2L ,3L ,4L 竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( )A .B .C .D .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）第Ⅱ卷二、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 11(1).(不等式选做题)对任意,y x ∈R ,|1||||1||1|x x y y -++-++的最小值为 ( )A .1B .2C .3D .411(2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段1(01)y x x =-≤≤的极坐标方程为 ( )A .1cos sin ρθθ=+,π02θ≤≤B .1cos sin ρθθ=+,π04θ≤≤C .cos sin ρθθ=+,π02θ≤≤D .cos sin ρθθ=+,π04θ≤≤三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.12.10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是 .13.若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是 .14.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α,且1cos 3α=,向量1232=-e e a 与123=-e e b 的夹角为β,则cos β= . 15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 .四、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中a ∈R ,ππ(,)22θ∈-. （Ⅰ）当2a =,π4θ=时,求()f x 在区间[0,π]上的最大值与最小值； （Ⅱ）若π()02f =,(π)1f =,求a ,θ的值.17.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列*{},{}(0,)n n a b b n ≠∈N 满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=. （Ⅰ）令nn na cb =,求数列{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若13n n b -=,求数列{}n a 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数2()()12()f x x bx b x b =++-∈R . （Ⅰ）当4b =时,求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在区间1(0,)3上单调递增,求b 的取值范围.19.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB PD ⊥；（Ⅱ）若90BPC ∠=,2PB =,2PC =,问AB 为何值时,四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值. 20.（本小题满分13分）如图,已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的右焦点为F ,点A ,B 分别在C 的两条渐近线上,AF x ⊥轴,AB OB ⊥,BF OA ∥(O 为坐标原点). （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点000(,)(0)P x y y ≠的直线l ：0021x x y y a -=与直线AF 相较于点M ,与直线32x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时,||MFNF恒为定值,并求此定值.21.（本小题满分14分）随机将*1,2,,2(,2)n n n ∈≥N 这2n 个连续正整数分成A ,B 两组,每组n 个数.A 组最小数为1a ,最大数为2a ；B 组最小数为1b ,最大数为2b ,记21a a ξ=-,21b b η=-.（Ⅰ）当3n =时,求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C 发生的概率()P C ； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的事件C ,C 表示C 的对立事件,判断()P C 和()P C 的大小关系,并说明理由.3 / 11,0)(1,)+∞，故选：【解析】()g x ax =1，故选：【提示】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论数学试卷第7页（共22页）数学试卷第8页（共22页）第Ⅱ卷5/ 11数学试卷 第11页（共22页）数学试卷 第12页（共22页）22222211112222221111221122(32)(3)99232||3|912496e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ---+=---+-+ 192311124961338223322++-+= 【提示】根据平面向量求其夹角的余弦值数学试卷 第15页（共22页）数学试卷 第16页（共22页）+(21)n +-++(23)n -13)n --++10n n b +=，PAD 平面ABCDABCD ，BC14633m m-，即63AB=时，四棱锥63BP⎛= (0,BC= CD⎛=-设平面BPC的法向量1(,n x y=，则由1n PC⊥，1n BC⊥得3⎧⎪⎨，1(1,0,1)n=，同理可求出平面DPC的法向量210,2n⎛=的余弦值为1212cos||||2n nn nθ⋅==⋅9/ 11数学试卷 第19页（共22页）数学试卷 第20页（共22页）1,22n -，.,2,,2),(-n nn≥时，3n时，(P3①.n1620，所以①式成立11/ 11。
2014考研数学(一)真题
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。
,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。
（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。
（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。
（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。
2014江西高考真题数学理(含解析)
主（正）视
6.某人研究中学生的性别与成绩、 视力、 智商、 阅读量这 4 个变量之间的关系， 随机抽查 52 名中学生， 得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（
成绩 性别 男 女 总计 不及格 及格 总计 6 10 16 A.成绩 14 22 36 20 32 52 视力 性别 男 女 总计 4 12 16 B.视力 16 20 36 好 差 总计 20 32 52 智商 性别 男 女 总计 偏高 8 8 16 正常 总计 12 24 36 20 32 52
1
0
f ( x )dx, 则 f ( x )dx （
0
）
1 3
C．
1 3
D．1
9．在平面直角坐标系中， A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2 x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为（
A．
） D．
4 5
B．
3 4
C． (6 2 5)
5 4
10.如右图， 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，AB =11， AD =7，
3， 12 ，遇长方体的面反 AA1 =12，一质点从顶点 A 射向点 E 4，
射（反射服从光的反射原理） ，将 i 1 次到第 i 次反射点之间的 线段记为 Li i 2,3, 4 ， L1 AE ，将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直 放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
E 4， 3， 12 ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理） ，将 i 1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 Li i 2,3, 4 ， L1 AE ，将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（
考研14年的新 江西理工大学专业英语考试题
14年江西理工大学考研回忆版可以保证百分之90的准确率zhuan业英语复试题本文记录考题的三分之二，因时间原因以后补上剩下的三分之一英汉互翻译1kirchhoff current law 基尔霍夫电流定律2crossover frequency 变频3permanent magnet 永磁体4rotating machine 运转机5state variable 状态变量6无线传感器网络Wireless sensor network7单片机Single Chip Microcomputer8嵌入式控制系统embedded microcotroller9稳定性分析stabililty analysis10人工智能arctifical intellegent11电力电子power electronics12剪切角频率The shear angle frequency二翻译句子1 the various schemes differ in how well they are optmized for moving data quickly ,they多种方案的不同，关键在于怎样传送数据快，最适合实时控制，花费最少的硬件，产生可靠的分支，大距离，和高效率。
suitable for real time control ,the cost of hardware implementations ,their networking capability for branches ,spurs and long distances ,and for howe power is distributed2 the type of RAM used in microcomputers has one disadvantage ;it is volatile that is ,the contents of the memory are lost when the power supply is interrupted or turn offRAM用于微机系统有其缺点，就是存储的内容在断电和突发性关机的条件下会丢失数据。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)文
2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014江西,文1)若复数z 满足z (1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|=( ). A.1 B.2C. 2D. 3答案:C解析:∵z (1+i)=2i,∴|z|·|1+i |=|2i |.∴|z|· =2.∴|z|=2.(2014江西,文2)设全集为R ,集合A={x|x 2-9<0},B={x|-1<x ≤5},则A ∩(∁R B )=( ). A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3)答案:C解析:由已知可得A={x|-3<x<3},∁R B={x|x ≤-1或x>5},故A ∩∁R B={x|-3<x ≤-1}=(-3,-1]. 3.(2014江西,文3)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ). A.118B.19C.16D.112答案:B解析:掷两颗均匀的骰子,共有36个基本事件,其中和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个.故所求概率为436=19.4.(2014江西,文4)已知函数f (x )= a ·2x ,x ≥0,2-x ,x <0(a ∈R ),若f [f (-1)]=1,则a=( ).A.14B.12C.1D.2答案:A解析:由题意可知f(-1)=21=2,则f[f(-1)]=f(2)=a ·22=4a=1.故a=14.5.(2014江西,文5)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则2sin 2B -sin 2Asin 2A的值为().A.-19B.13C.1D.72答案:D解析:∵3a=2b,∴由正弦定理得ab=sin A sin B =23. ∴sin 2A sin 2B =49.∴2sin 2B -sin 2A sin 2A =2×sin 2B sin 2A -1 =2×9-1=9-1=7.6.(2014江西,文6)下列叙述中正确的是( ).A.若a,b,c ∈R ,则“ax 2+bx+c ≥0”的充分条件是“b 2-4ac ≤0”B.若a,b,c ∈R ,则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a>c”C.命题“对任意x ∈R ,有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ,有x 2≥0”D.l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β 答案:D解析:对于A 项,当a<0时不成立.对于B 项,当b=0时,“a>c”推不出“ab 2>cb 2”. 对于C 项,否定应为存在x ∈R ,x 2<0,故C 不正确. 对于D 项,由线面垂直的性质可得α∥β成立.故选D .7.(2014江西,文7)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ).表1成绩性别不及格 及格 总计A.成绩B.视力C.智商D.阅读量答案:D 解析:根据χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),代入题中数据计算得D 选项χ2最大.故选D .8.(2014江西,文8)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( ).A.7B.9C.10D.11答案:B解析:i=1,S=0,S=0+lg 1=lg 1,执行“否”:i=3,S=0+lg 1+lg 3=lg 1,执行“否”:i=5,S=lg 15+lg 57=lg 17,执行“否”:i=7,S=lg 1+lg 7=lg 1,执行“否”:i=9,S=lg 19+lg 911=lg 111<-1,执行“是”:输出i=9.结束.故选B . 9.(2014江西,文9)过双曲线C:x 2a2−y 2b2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A,若以C 的右焦点为圆心,半径为4的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( ). A.x 2−y 2=1 B.x 2−y 2=1 C.x 2−y 2=1 D.x 2−y 2=1 答案:A解析:设双曲线的右顶点为B,则B(a,0).不妨取渐近线y=b x,则A 点的坐标为(a,b), 从而可知|OA|=c.∵由已知可得|OF|=|AF|=c=4, ∴△OAF 为边长是c 的等边三角形. 又AB ⊥OF,∴|OB|=a=2,|AB|=b=2 3. 故所求的双曲线方程为x 24−y 212=1. 10.(2014江西,文10)在同一直角坐标系中,函数y=ax 2-x+a与y=a 2x 3-2ax 2+x+a (a ∈R )的图像不可能．．．的是( ).答案:B解析:显然当a=0时,D 中图象是可能的,当a ≠0时,由y=a 2x 3-2ax 2+x+a (a ∈R )求导得y'=3a 2x 2-4ax+1, 令y'=0,得x=1或x=1.函数y=ax 2-x+a 2的图像的对称轴为x=12a,不管a>0还是a<0,都有1在1与1之间,而由B 中图像可知1<1<1. 因此B 项中图像不可能.当a>0时,可判断得A ,C 项中图像都有可能.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014江西,文11)若曲线y=x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 . 答案:(e ,e )解析:设切点P 的坐标为(x 0,y 0),由y=x ln x,得y'=ln x+1, 则切线的斜率k=ln x 0+1.∵由已知可得ln x 0+1=2.∴x 0=e . ∴y 0=x 0ln x 0=e . ∴切点的坐标为(e ,e ). 12.(2014江西,文12)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=13,若向量a =3e 1-2e 2,则|a |= .答案:3解析:由题意知|a |2=a 2=(3e 1-2e 2)2=9e 12+4e 22-12e 1·e 2=9+4-12×1=9.故|a |=3.13.(2014江西,文13)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n=8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为 . 答案: -1,-7解析:由题意知当d<0时,S n 存在最大值,∵a 1=7>0,∴数列{a n }中所有非负项的和最大. 又∵当且仅当n=8时,S n 取最大值, ∴ a 8≥0,a 9<0.∴ 7+7d ≥0,7+8d <0,解得-1≤d<-78.14.(2014江西,文14)设椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D,若AD ⊥F 1B,则椭圆C 的离心率等于 . 答案: 3解析:连接AF 1,∵OD ∥AB,O 为F 1F 2的中点,∴D 为BF 1的中点. 又AD ⊥BF 1,∴|AF 1|=|AB|. ∴|AF 1|=2|AF 2|.设|AF 2|=n,则|AF 1|=2n,|F 1F 2|= 3n. ∴e=c a=|F 1F 2||AF 1|+|AF 2|=3n3n=33.15.(2014江西,文15)x ,y ∈R ,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y 的取值范围为 .答案:[0,2]解析:∵|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当0≤x ≤1时取等号,|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当0≤y ≤1时取等号, ∴|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.① 又∵|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②∴只有当0≤x ≤1,0≤y ≤1时,①②两式同时成立.∴0≤x+y ≤2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014江西,文16)已知函数f(x)=(a+2cos 2x)cos (2x+θ)为奇函数,且f π4=0,其中a ∈R ,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值.(2)若f α =-2,α∈ π,π ,求sin α+π 的值.分析:(1)由函数f(x)为奇函数,可知函数y=cos (2x+θ)为奇函数,求出θ的值,再把x=π4代入f (x )中求a 的值.(2)由(1)化简f(x),利用f α =-2,求出sin α,进而利用平方关系求出cos α,再用两角和的正弦公式求解. 解:(1)因为f(x)=(a+2cos 2x)cos (2x+θ)是奇函数,而y 1=a+2cos 2x 为偶函数,所以y 2=cos (2x+θ)为奇函数. 又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f(x)=-sin 2x ·(a+2cos 2x), 由f π =0得-(a+1)=0,即a=-1. (2)由(1)得,f(x)=-1sin 4x, 因为f α =-1sin α=-2,即sin α=4,又α∈ π,π ,从而cos α=-3, 所以有sin α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=4-3 310. 17.(本小题满分12分)(2014江西,文17)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-n,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列.分析:(1)利用a n =S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2求出通项公式. (2)运用分析法,寻求使a 1,a n ,a m 成等比数列时,m,n 的关系,分析对∀n>1时,m 的值是否为自然数,且m>n 是否成立,进行证明. (1)解:由S n =3n 2-n,得a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n-2,所以数列{a n }的通项公式为:a n =3n-2.(2)证明:要使得a 1,a n ,a m 成等比数列,只需要a n 2=a 1·a m ,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n 2-4n+2,而此时m ∈N *,且m>n.所以对任意的n>1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列.18.(本小题满分12分)(2014江西,文18)已知函数f(x)=(4x 2+4ax+a 2) x ,其中a<0. (1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值.分析:(1)按照求单调区间的步骤进行,第一步:求定义域;第二步:计算f'(x);第三步:在定义域上,求f'(x)>0的解集得递增区间;(2)第一步:计算f'(x),并求f'(x)=0的x 值,得出f(x)的单调性;第二步:f(x)的解析式可化为f(x)=(2x+a)2 x ,分析出f(x)≥0且f -a =0;第三步:结合第一,二步的分析,只需讨论x=-a 与区间[1,4]的关系,求出f(x)在[1,4]上的最小值,建立a 的方程求解.解:(1)当a=-4时,由f'(x)=x=0得x=2或x=2,由f'(x)>0得x ∈ 0,2 或x ∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为 0,2 和(2,+∞). (2)因为f'(x)=(10x+a )(2x+a )2 x ,a<0,由f'(x)=0得x=-a 或x=-a . 当x ∈ 0,-a10 时,f(x)单调递增; 当x ∈ -a 10,-a2 时,f(x)单调递减,当x ∈ -a,+∞ 时,f(x)单调递增,易知f(x)=(2x+a)2 x ≥0,且f -a=0.①当-a2≤1时,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a 2=8,得a=±2 2-2,均不符合题意.②当1<-a ≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f -a=0,不符合题意.③当-a2>4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a 2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10.19.(本小题满分12分)(2014江西,文19)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥BC,A 1B ⊥BB 1. (1)求证:A 1C ⊥CC 1;(2)若AB=2,AC= 3,BC= 7,问AA 1为何值时,三棱柱ABC-A 1B 1C 1体积最大,并求此最大值.分析:(1)证明线线垂直可用线面垂直证明,即用已知的线线垂直证明线面垂直,利用线面垂直的性质得线线垂直.(2)设出变量,建立体积函数求最值.解法一:设A 1A=x,求出A 1B,A 1C 的长,利用余弦定理求cos ∠BA 1C,sin ∠BA 1C,进而得出S △A 1BC ,从而求出体积函数,配方后求出最值.解法二:过A 1作BC 的垂线A 1D,利用线面垂直证明AD ⊥BC,设A 1A=x,利用等面积法求出AD,再利用勾股定理求出A 1D,表示出S △A 1BC ,从而求出体积函数,配方后求出最值. (1)证明:由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC,又BB 1⊥A 1B,故BB 1⊥平面BCA 1,即BB 1⊥A 1C, 又BB 1∥CC 1, 所以A 1C ⊥CC 1. (2)解法一:设AA 1=x,在Rt △A 1BB 1中,A 1B= A 1B 12-BB 12= 4-x 2, 同理,A 1C= A 1C 12-CC 12= 3-x 2.在△A 1BC 中,cos ∠BA 1C=A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ·A 1C=-2(4-x )(3-x ),sin ∠BA 1C=12-7x 2(4-x )(3-x ),所以S △A 1BC =12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C=12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S 直·l=S △A 1BC ·AA 1=x 12-7x 22.因x 12-7x 2= 12x 2-7x 4= -7 x 2-6 2+36,故当x= 67=427时,即AA 1=427时,体积V 取到最大值3 77. 解法二:过A 1作BC 的垂线,垂足为D,连接AD.由AA 1⊥BC,A 1D ⊥BC,故BC ⊥平面AA 1D,BC ⊥AD. 又∠BAC=90°, 所以S △ABC =1AD ·BC=1AB ·AC 得AD=2 21. 设AA 1=x,在Rt △AA 1D 中, A 1D= AD 2-AA 12= 127-x 2, S △A 1BC =1A 1D ·BC= 12-7x 2.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S 直·l=S △A 1BC ·AA 1=x 12-7x 2.因x 12-7x 2= 12x 2-7x 4= -7 x 2-672+367,故当x= 6=42时,即AA 1=42时,体积V 取到最大值3 7.20.(本小题满分13分)(2014江西,文20)如图,已知抛物线C:x 2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C 相交于A,B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D(O 为坐标原点). (1)证明:动点D 在定直线上;(2)作C 的任意一条切线l(不含x 轴),与直线y=2相交于点N 1,与(1)中的定直线相交于点N 2,证明:|MN 2|2-|MN 1|2为定值,并求此定值.分析:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),设出AB 的直线方程,与抛物线方程x 2=4y 联立求出x 1x 2,利用A,B 坐标写出AO 与BD 的直线方程,解出点D 的坐标,消去参数x 1,x 2,y 1,y 2即可.(2)设出切线l 的方程,利用直线与抛物线相切,简化l 的方程,进而求出N 1与N 2的坐标,代入|MN 2|2-|MN 1|2中化简即可.(1)证明:依题意可设AB 方程为y=kx+2,代入x 2=4y,得x 2=4(kx+2),即x 2-4kx-8=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1x 2=-8,直线AO 的方程为y=y1x 1x;BD 的方程为x=x 2.解得交点D 的坐标为 x =x 2,y =y 1x 21,注意到x 1x 2=-8及x 12=4y 1,则有y=y 1x 1x 2x 12=-8y 14y 1=-2. 因此D 点在定直线y=-2上(x ≠0).(2)解:依题设,切线l 的斜率存在且不等于0,设切线l 的方程为y=ax+b(a ≠0),代入x 2=4y 得x 2=4(ax+b),即x 2-4ax-4b=0, 由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a 2. 故切线l 的方程可写为y=ax-a 2. 分别令y=2,y=-2得N 1,N 2的坐标为 N 1 2+a ,2 ,N 2 -2+a ,-2 .则|MN 2|2-|MN 1|2= 2a-a 2+42- 2a+a 2=8, 即|MN 2|2-|MN 1|2为定值8.21.(本小题满分14分)(2014江西,文21)将连续正整数1,2,…,n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数F (n )为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F (12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p (n )为恰好取到0的概率. (1)求p(100);(2)当n ≤2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g (n )为这个数中数字0的个数,f (n )为这个数中数字9的个数,h (n )=f (n )-g (n ),S={n|h (n )=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p (n )的最大值.分析:(1)由题意先将1~100按序排好,确定1位数,2位数和3位数的个数,即可求得F(100),再求出含有0的个数m,则p(100)=mF (100);(2)因为F(n)由这些数的位数确定,故要依据n 的位数进行分类讨论,将F(n)表示成分段函数;(3)要根据n 的位数不同分别确定这些数字中含0与9的个数,然后求和即得g(n),f(n).再由h(n)=1,即f(n)-g(n)=1确定n 的取值,从而得出p(n)的表达式,最后利用p(n)的单调性求解其最值.解:(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=11;(2)F(n)= n ,1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1 107,1 000≤n ≤2 014.(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)=0,1≤n≤9,k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,11,n=100.同理有f(n)=0,1≤n≤8,k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N*,b∈N.n-80,89≤n≤98,20,n=99,100.由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},当n=9时,p(9)=0,当n=90时,p(90)=g(90)F(90)=9171=119.当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由y=k关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=8169, 又8<1,所以当n∈S时,p(n)的最大值为1.。
2014年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
由中值定理得：存在 ( ,) {( x, y) x y 2} 使得
x y 2 2 cos2
1 x cos2
dxdy y
f
(,) 1dxdy
x y 2
2f
( , )
所以
1 2
|x| y 2
2
cos2
1 x
cos2
y
dxdy
1
．
5．设向量组1 ,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）． A．1 2 ，2 3 ，3 1 B．1 2 ，2 3 ，3 1 C．1 2 ，2 3 ，3 1 D．1 2 ，2 3 ，3 1
【解析】令 x a ，则
f (a) 2 f (a) a1ektdt a1ektdt 0
a
a
所以 f (x) 在 x a 处取得极小值．
3．函数 f (x, y) cos x 在点 ( , 2) 处的全微分为（）． y
…… 依次进行下去有
f (n) (x) (1)n2 (n 1)! f ' (x)e(n1) f (x) (1)n1(n 1)!enf (x)
e 把 x＝0 代入，有 f (n) (0) ＝ (1)n1(n 1)! nf (0) ＝ (1)n1(n 1)! ．
【答案】B
【解析】由题设条件可知：
，两边同时求逆，有
7．设随机变量 X 的概率分布为
则 D(X 0.7) （）．
A．0 B．0.7 C．1.4 D．2.1 【答案】C
【解析】由已知得 EX 0， D(X 0.7) D X EX 2 (EX )2 ＝0.4＋0.3＋0.3＋0.4