实验六 回归分析的MATLAB实现
基于Matlab的回归分析
Matlab 回归分析许多实际问题往往需要对大量数据进行分析，尤为重要的是统计分析(statistical analysis)。
如统计预报中的预测、经验公式中的参数确定等等，常常用到各种统计方法。
回归分析（regression analysis ）是研究各变量间相互关系的一种统计方法。
在回归分析中，分析者所关心的问题有以下几个方面：(1) 拟合：建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的研究提供线索；(2) 变量选择：在一批自变量中确定哪些变量确实对因变量有影响，而哪些没有的影响；(3) 估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断；(4) 预测：根据已经观测的数据来预测因变量在未经观测的自变量上的值。
本章主要介绍一元或多元线性回归以及非线性回归的基本方法，介绍怎样使用MATLAB 软件进行回归分析，并且应用回归方程对因变量进行各种预测。
1 回归模型及回归分析 1.1 一元线性回归模型一元线性回归模型：2;~(0,)Y a bx N εεσ=++⎧⎨⎩ 或 ),(~2σbx a N Y + 称Y 与x 之间存在线性回归关系，其中的参数a 和b 称为一元线性回归的回归系数。
解决的问题归纳为以下几个方面：1） 在回归模型中如何估计参数a 、b 和 σ2？ 2） 建模的假设是否正确？3） 如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测？ 1. 回归系数a 、b 的最小二乘估计已知观测值为 (,)x y i i （i =1，2，…,n）。
将它代入回归模型中有如下关系： y a bx i i i =++ε 其中i = 1，2，…,n。
采用最小二乘法，求观测值与期望值的离差平方和最小。
min (,)[()]Q a b y a bx i i ni =-+=∑12求出的解记为 a b ∧∧,，回归方程为： y a b x ∧∧∧=+。
(可用MATLAB 软件求解) 2. 回归模型的统计检验回归模型的假设（f(x)= a+bx ）是否成立？该问题可转化为对系数b 提出假设，0:;0:10≠=b H b H然后判断H 0是否成立，这就是假设检验问题。
利用MATLAB进行回归分析
利用MATLAB进行回归分析一、实验目的：1．了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB实现的方法；2. 练习用回归分析解决实际问题。
二、实验内容：题目1社会学家认为犯罪与收入低、失业及人口规模有关，对20个城市的犯罪率y（每10万人中犯罪的人数）与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数3x（千人）进行了调查，结果如下表。
（1）若1x~3x中至多只许选择2个变量，最好的模型是什么？（2）包含3个自变量的模型比上面的模型好吗？确定最终模型。
（3）对最终模型观察残差，有无异常点，若有，剔除后如何。
理论分析与程序设计：为了能够有一个较直观的认识，我们可以先分别作出犯罪率y与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数x（千人）之间关系的散点图，根据大致分布粗略估计各因素造3成的影响大小，再通过逐步回归法确定应该选择哪几个自变量作为模型。
编写程序如下：clc;clear all;y=[11.2 13.4 40.7 5.3 24.8 12.7 20.9 35.7 8.7 9.6 14.5 26.9 15.736.2 18.1 28.9 14.9 25.8 21.7 25.7];%犯罪率（人/十万人）x1=[16.5 20.5 26.3 16.5 19.2 16.5 20.2 21.3 17.2 14.3 18.1 23.1 19.124.7 18.6 24.9 17.9 22.4 20.2 16.9];%低收入家庭百分比x2=[6.2 6.4 9.3 5.3 7.3 5.9 6.4 7.6 4.9 6.4 6.0 7.4 5.8 8.6 6.5 8.36.7 8.6 8.4 6.7];%失业率x3=[587 643 635 692 1248 643 1964 1531 713 749 7895 762 2793 741 625 854 716 921 595 3353];%总人口数（千人）figure(1),plot(x1,y,'*');figure(2),plot(x2,y,'*');figure(3),plot(x3,y,'*');X1=[x1',x2',x3'];stepwise(X1,y)运行结果与结论：犯罪率与低收入散点图犯罪率与失业率散点图犯罪率与人口总数散点图低收入与失业率作为自变量低收入与人口总数作为自变量失业率与人口总数作为自变量在图中可以明显看出前两图的线性程度很好，而第三个图的线性程度较差，从这个角度来说我们应该以失业率和低收入为自变量建立模型。
MATLAB回归分析
MATLAB回归分析回归分析是统计学中常用的一种方法，用于建立一个依赖于自变量（独立变量）的因变量（依赖变量）的关系模型。
在MATLAB环境下，回归分析可以实现简单线性回归、多元线性回归以及非线性回归等。
简单线性回归是一种最简单的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
在MATLAB中，可以通过`polyfit`函数进行简单线性回归分析。
该函数可以拟合一元数据点集和一维多项式，返回回归系数和截距。
例如：```matlabx=[1,2,3,4,5];y=[2,3,4,5,6];p = polyfit(x, y, 1);slope = p(1);intercept = p(2);```上述代码中，`x`是自变量的数据点，`y`是因变量的数据点。
函数`polyfit`的第三个参数指定了回归的阶数，这里是1，即一次线性回归。
返回的`p(1)`和`p(2)`分别是回归系数和截距。
返回的`p`可以通过`polyval`函数进行预测。
例如：```matlabx_new = 6;y_pred = polyval(p, x_new);```多元线性回归是在有多个自变量的情况下进行的回归分析。
在MATLAB中，可以使用`fitlm`函数进行多元线性回归分析。
例如：```matlabx1=[1,2,3,4,5];x2=[2,4,6,8,10];y=[2,5,7,8,10];X=[x1',x2'];model = fitlm(X, y);coefficients = model.Coefficients.Estimate;```上述代码中，`x1`和`x2`是两个自变量的数据点，`y`是因变量的数据点。
通过将两个自变量放在`X`矩阵中，可以利用`fitlm`函数进行多元线性回归分析。
返回值`model`是回归模型对象，可以通过`model.Coefficients.Estimate`获得回归系数。
matlab回归建模过程
matlab回归建模过程（原创版）目录一、回归分析概述二、MATLAB 中回归分析的主要函数三、回归模型的建立与应用四、回归模型的优化与改进五、总结正文一、回归分析概述回归分析是一种用于研究因变量与自变量之间关系的统计分析方法。
在实际应用中，回归分析常用于预测、优化以及解释变量之间的关系。
在MATLAB 中，有多个函数可以用于进行回归分析，如 regress 和 polyfit 等。
二、MATLAB 中回归分析的主要函数1.regress 函数：regress 函数主要用于线性回归，可以进行一元和多元回归分析。
该函数可以提供更多的信息，如残差等。
regress 函数的语法如下：```matlab[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, X, alpha)```其中，y 为因变量，X 为自变量矩阵，alpha 为置信度。
函数返回值中，b 表示线性方程的系数估计值，bint 表示系数估计值的置信度为 95% 的置信区间，r 表示残差，rint 表示各残差的置信区间，stats 用于检验回归模型的统计量，包括 R2 统计量、F 值和显著性概率 P 值等。
2.polyfit 函数：polyfit 函数用于进行多项式拟合，可以进行线性或非线性回归分析。
其语法如下：```matlab[p, s] = polyfit(x, y, n)```其中，x 和 y 分别为自变量和因变量的数据矩阵，n 为多项式的阶数。
函数返回值中，p 表示多项式系数，s 表示残差。
三、回归模型的建立与应用在使用 MATLAB 进行回归分析时，首先需要准备自变量和因变量的数据矩阵。
然后，根据实际问题选择合适的回归模型，如线性回归或多项式回归。
接下来，使用相应的函数建立回归模型，并根据模型进行预测或分析。
例如，对于一个含常数项的一元线性回归模型，可以利用 regress 函数建立模型，模型表达式为：```matlaby = b * x + a```其中，a 表示常数项，b 表示回归系数。
用MATLAB求解回归分析
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） ） 2、预测和预测误差估计： 、预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显 著性为1-alpha的置信区间Y ± DELTA.
4、预测及作图： [;,x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、 农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。 下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。
得结果：b = -16.0730 0.7194 stats = 0.9282 180.9531 0.0000 bint = -33.7071 0.6047 1.5612 0.8340
ˆ ˆ ˆ ˆ 即 β 0 = −16.073, β 1 = 0.7194 ； β 0 的置信区间为[-33.7017，1.5612], β 1 的置信区间为[0.6047,0.834];
回 归 系 数 的 区 间 估 计 F 检验回归模型的 计 数 ： 系数r2、 、 F 的 p 差 区 间 时 为 水 0 平 05 ） . 性 残 信 省 著 置 （缺 显
系数 r2 F > F1F k 的 n-k-1
1
回归 H0 F H0 回归模型 回归 .
p< α
3、 、
区间： 区间：
rcoplot
r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000 p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
数学建模回归分析matlab版
案例一：股票价格预测
总结词
基于历史销售数据，建立回归模型预测未来销售量。
详细描述
收集公司或产品的历史销售数据，包括销售额、销售量、客户数量等，利用Matlab进行多元线性回归分析，建立销售量与时间、促销活动、市场环境等因素之间的回归模型，并利用模型预测未来销售量。
案例二：销售预测
基于历史人口数据，建立回归模型预测未来人口增长趋势。
非线性模型的评估和检验
非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的，需要通过非线性函数来拟合数据。
非线性回归模型
Matlab提供了非线性最小二乘法算法，可以用于估计非线性回归模型的参数。
非线性最小二乘法
03
CHAPTER
线性回归分析
一元线性回归分析是用来研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系的统计方法。
回归分析在许多领域都有广泛的应用，如经济学、生物学、医学、工程学等。
它可以帮助我们理解变量之间的关系，预测未来的趋势，优化决策，以及评估模型的性能和可靠性。
回归分析的重要性
模型评估指标
用于评估模型性能的统计量，如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）等。
误差项
实际观测值与模型预测值之间的差异，通常用 ε 表示。
总结词
对数回归模型的一般形式为 (y = a + blnx) 或 (y = a + bln(x))，其中 (y) 是因变量，(x) 是自变量，(a) 和 (b) 是待估计的参数。在Matlab中，可以使用 `log` 函数进行对数转换，并使用 `fitlm` 或 `fitnlm` 函数进行线性化处理，然后进行线性回归分析。
详细描述
多项式回归模型是一种非线性回归模型，适用于因变量和自变量之间存在多项式关系的情况。
Matlab中的回归分析技术实践
Matlab中的回归分析技术实践引言回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于研究因变量和一个或多个自变量之间的关系。
Matlab是一种强大的数值计算软件，具有丰富的统计分析工具和函数。
通过Matlab中的回归分析技术，我们可以深入理解数据背后的规律，并预测未来的趋势。
本文将介绍Matlab中常用的回归分析方法和技巧，并通过实例演示其实践应用。
一、简单线性回归分析简单线性回归是回归分析的最基本形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的线性关系。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数进行简单线性回归分析。
以下是一个示例代码：```Matlabx = [1, 2, 3, 4, 5]';y = [2, 4, 6, 8, 10]';lm = fitlm(x, y);```这段代码中，我们定义了两个向量x和y作为自变量和因变量的观测值。
使用`fitlm`函数可以得到一个线性回归模型lm。
通过这个模型，我们可以获取回归系数、拟合优度、显著性检验等信息。
二、多元线性回归分析多元线性回归分析允许我们研究多个自变量与一个因变量的关系。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数进行多元线性回归分析。
以下是一个示例代码：```Matlabx1 = [1, 2, 3, 4, 5]';x2 = [0, 1, 0, 1, 0]';y = [2, 4, 6, 8, 10]';X = [ones(size(x1)), x1, x2];lm = fitlm(X, y);```这段代码中，我们定义了两个自变量x1和x2，以及一个因变量y的观测值。
通过将常数项和自变量组合成一个设计矩阵X，使用`fitlm`函数可以得到一个多元线性回归模型lm。
通过这个模型，我们可以获取回归系数、拟合优度、显著性检验等信息。
三、非线性回归分析在实际问题中，很多情况下变量之间的关系并不是线性的。
非线性回归分析可以更准确地建模非线性关系。
利用Matlab进行线性回归分析
利用Matlab进行线性回归分析回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
可以通过软件Matlab实现。
1.利用Matlab软件实现在Matlab中，可以直接调用命令实现回归分析，（1）[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)，其中b是回归方程中的参数估计值，bint是b的置信区间，r和rint分别表示残差及残差对应的置信区间。
stats包含三个数字，分别是相关系数，F统计量及对应的概率p值。
（2）recplot(r,rint)作残差分析图。
（3）rstool(x,y)一种交互式方式的句柄命令。
以下通过具体的例子来说明。
例现有多个样本的因变量和自变量的数据，下面我们利用Matlab，通过回归分析建立两者之间的回归方程。
% 一元回归分析x=[1097 1284 1502 1394 1303 1555 1917 2051 2111 2286 2311 2003 2435 2625 2948 3, 55 3372];%自变量序列数据y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];%因变量序列数据X=[ones(size(x')),x'],pause[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05),pause%调用一元回归分析函数rcoplot(r,rint)%画出在置信度区间下误差分布。
% 多元回归分析% 输入各种自变量数据x1=[5.5 2.5 8 3 3 2.9 8 9 4 6.5 5.5 5 6 5 3.5 8 6 4 7.5 7]';x2=[31 55 67 50 38 71 30 56 42 73 60 44 50 39 55 7040 50 62 59]';x3=[10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10 6 11 11 9 9]';x4=[8 6 9 16 15 17 8 10 4 16 7 12 6 4 4 14 6 8 13 11]';%输入因变量数据y=[79.3 200.1 163.1 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155 201.4 100.2 135.8 223.3 195]';X=[ones(size(x1)),x1,x2,x3,x4];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)%回归分析Q=r'*rsigma=Q/18rcoplot(r,rint);%逐步回归X1=[x1,x2,x3,x4];stepwise(X1,y,[1,2,3])%逐步回归% X2=[ones(size(x1)),x2,x3];% X3=[ones(size(x1)),x1,x2,x3];% X4=[ones(size(x1)),x2,x3,x4];% [b1,b1int,r1,r1int,stats1]=regress(y,X2)% [b2,b2int,r2,r2int,stats2]=regress(y,X3);% [b3,b3int,r3,r3int,stats3]=regress(y,X4);。