陕西省西安中学2020届高三第一次模拟考试 数学(理)

西安中学高三第一次模拟考试数学（理）一.选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合{}290A x x =-＜，{}B x x N =∈，则A B =I ( )A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2. 已知命题:sin 1P x R x ∀∈≤，，则p ⌝为( ) A. 00sin 1x R x ∃∈≥，B ．sin 1x R x ∀∈≥，C ．00sin 1x R x ∃∈>，D ．sin 1x R x ∀∈>， 3.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b +=( ) A.1- B.12-C.12D.14. 已知双曲线22220,0():1x y C a a b b -=＞＞的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A. 2 B ．103 C.10 D ．2 2 5. 下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( )A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()200,0102,,x x x f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩ 6. 若(cos )cos 2f x x =，则(sin)12f π= ( )A．12-B．32-C．12D．327. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种B．36种C．54种D．72种9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是()A ．BC ．D ．10.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，为C 的左焦点，P为C 上一点，满足，且，则椭圆C 的方程为A.221255x y +=B.2214525x y += C.2213010x y += D.2213616x y +=11. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是( )A ．15 B ．15C ．1510D ．2155 12. 已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()(1)()40f x m f x m ++++=（m ∈R ）有四个相异的实数根，则m 的取值范围是( )A ．44,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ B.()4,3-- C.4,31e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ D.4,1e e ⎛⎫--+∞ ⎪+⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2a =r ，3b =r ，,a b r r 的夹角为30o ，//(2)(2)a b a b λ++r r r r，则()()a b a b λ+•-=r rr r _________．14. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为22，则该几何体外接球的体积为________．15. 设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则OB OA ⋅的最大值是_________．16. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_______ __． ①()f x 是周期函数； ②()f x 的对称轴方程为,4k x k Z π=∈； ③()f x 在区间3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数； ④方程6()5f x =在区间3,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有6个根. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）侧俯 主如图，在三棱锥中，，，，，，分别为，中点． （1）求证：；（2）求二面角 的大小．18. （本小题满分12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E (ξ)和方差D (ξ)．参考公式和参考临界值见后：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . 参考临界值：理科方向 文科方向 总计 男 110 女 50 总计P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82819. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，22log (1)1n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.20. （本小题满分12分）从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，函数2()(ln )a g x x x x=+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求实数0x 和a 的值；（3）证明：211ln(2n 1).(n )241nk N k +=>+∈-（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()()()(),0,,11,212a b a b b a f x x x ∈+∞-=-=++-. （1）求22a b +的最小值；（2）若对任意(),0,a b ∈+∞，都有()()224f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.西安中学高三第一次模拟考试理科数学答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B C B D B A D A A二.填空题13. 1 14. 43 15. 516. ①②④三.解答题17. （1）连接．因为，所以．因为，，所以．又，所以．而，所以．（2）因为且交于，，所以，则以为原点建立空间直角坐标系，如图：所以，，，所以，．设平面的法向量，所以令，得．，所以平面的法向量为．由图知 ，由图知 ，所以 ，即二面角的大小为．18. 解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向 文科方向 总计 男 80 30 110 女 40 50 90 总计12080200又K 2＝200×(80×50－30×40)120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关．(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为p ＝80200＝25. 依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，所以P (ξ＝i )＝C i 3⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫1－253－i (i ＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P2712554125361258125所以期望E (ξ)＝np ＝65，方差D (ξ)＝np (1－p )＝1825.19. 解析：（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②① －②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-．（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++L L L ()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦L()72121072147212-⨯=-+-2810729=-+11202=．20. 解：（1）因为232pMF =+=,所以2p =，即抛物线C 的方程是24x y = （2）由24x y =得24x y =，'2x y =.设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-， ①则直线PB 的方程为()222242x xy x x -=-，②由①和②解得：1212,24x x x x x y +==，所以1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+由24x yy kx t⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --= ,则12124,4x x k x x t +==- 所以()2,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点，坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即(),0k ，又因为直线PQ 的方程为ty x t k=-+，所以线段CD 的中点(),0k 在直线PQ 上， 即线段CD 被线段PQ 平分,因此，四边形PCQD 是平行四边形。