最新-2018年中考数学四边形的证明与计算 精品
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精讲试题20171
专题八 三角形、四边形中的相关证明及计算年份 题型考点 题号 分值 难易度三角形的三边关系、三角形的中位2017 选择题、填 空题、解答 题 线、三角形 全等，三角 形的外心、 正方形性质、平行四边形性质、矩形的性质三角形的内心、外心等概念、三角形内外角的关系、三角9、11、16、 17、18、 23、25 3＋2＋2＋3 ＋3＋9＋11 ＝33 容易题、 中等题、 较难题 2016 选择题、填 空题、解答 题 形全等证 明、等边三 角形的判 定、平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的判定三角形的中位线、三角形内外角关6、9、13、 16、19、21 3＋3＋2＋2 ＋4＋9＝23 容易题、 中等题、 较难题2015 选择题、填 空题 系、等腰三 角形的性 质、平行四 边形的判定、矩形、正方形的性质15、16、 19、20、22 2＋2＋3＋3 ＋10＝20 容易题、 中等题、 较难题 此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性命题 大，既可出容易题，如 2017年 9，11题，又可出较难题如 2016年 19题， 规律 每年都会在解答题中涉及 1～2题，预测 2018年选择、填空、解答均会出现.解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明 1【例1】(重庆中考B卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC. 又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC； (2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．2(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，1∴∠ABE＝×90°＝30°.3在Rt△ABE中，∵AB＝2，2 4∴AE＝3，BE＝3，3 34∴ED＝3，∴AD＝2 3.34 8∴S菱形BFDE＝ED·AB＝3×2＝ 3.3 32．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝2 5，求BE的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD＝∠AFE，FD＝FE.∵EG∥CD，∴∠EGF＝∠AFD，∴∠EGF＝∠AFE，∴EG＝EF＝FD，∴EG綊FD，∴四边形EFDG是平行四边形．又∵FD＝FE，∴▱EFDG是菱形；(2)连接ED交AF于点H. ∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，1 1FH＝GH＝GF，EH＝DH＝DE.2 2∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，3EF AF∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴＝.FH EF即EF2＝FH·AF，1∴EG2＝AF·GF；21(3)∵AG＝6，EG＝2 5，EG2＝AF·GF，21∴(2 5)2＝(6＋GF)GF.2∵GF>0，∴GF＝4，∴AF＝10.∵DF＝EG＝2 5，∴AD＝BC＝AF2－DF2＝4 5，1DE＝2EH＝2 EG2－（GF）2＝8.2∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，EC DE EC 8 8 5∴＝，即＝，∴EC＝，DF AF 2 5 10 512 5∴BE＝BC－EC＝.5【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．4。
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)
九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践问题情境在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG．数学思考（1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG；（2）连接FC，求∠FCD的度数；实践探究（3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是．2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围．（3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數；（2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由；（3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积．5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．6．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．7．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．8．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF 面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；（2）求证：BF+2EH＝CE．10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的关系是；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图2，连接AC，当△ACE为等腰三角形时，请你求出CE：CD的值．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；（2）解：如图①，过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠ABE＝90°，∴△EHF≌△ABE（SAS），∴FH＝EB，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE，∴CH＝FH，∴∠FCH＝45°，∴∠FCD＝45°；（3）解：过点F作FH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图②，由（2）知△EHF≌△ABE，∴EH＝AB，FH＝BE，∵AB＝BC＝4，CE＝2，∴BE＝FH＝6，CH＝CE+EH＝6，∴CF＝＝6．故答案为：6．2．解：（1）①∵E为CD的中点，∴DE＝1，∵动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，∴当x＝1时，AQ＝1，∴S△AQE＝×AQ×AD＝×1×2＝1，②∵AQ＝，∴点Q在AB上，∴S△AQE＝×AQ×AD＝；故答案为：①1；②．（2）根据题意，得，解得：．∴x的取值范围是．（3）①当点Q在AB上，∵S△AQE＝×x×2＝，∴x＝，②当点Q在BC上时，∵S△AQE＝S梯形ABCE﹣S△ABQ﹣S△CQE＝×2×（x﹣2）﹣×1×（4﹣x）＝．∴x＝，③当点Q在CD上时，∵S△AQE＝，∴x＝．综合以上可得x＝或或．3．证明：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）△BDG是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°，由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝＝＝26，∴DM＝BD＝13．4．解：（1）如图1中，过点E作EN⊥AB于N，过点B作BM⊥EA′于M．由翻折可知，∠ABF＝∠FEA′＝90°，FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠EBN＝∠BEM，∵∠ENB＝∠BME＝90°，BE＝EB，∴△ENB≌△BME（AAS），∴EN＝BM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NBC＝∠C＝∠A＝∠ENB＝90°，AB＝BC，∴AB＝BM＝BC，∵BH＝BH，BE＝BE，∴Rt△BAH≌Rt△BMH（HL），Rt△BME≌Rt△BCE，∴∠ABH＝∠MBH，∠EBM＝∠EBC，∴∠HBE＝∠MBH+∠EBM＝∠ABC＝45°．（2）结论：△BOE是等腰直角三角形．理由：如图2中，由翻折的旋转可知，FG垂直平分线段BE，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OB＝OE，∠BOE＝90°，∴△BOE是等腰直角三角形．（3）如图3中，过点O作OM⊥EQ于M，ON⊥AB于N，过点G作GJ⊥BC于J．∵∠A＝∠ABJ＝∠BJG＝90°，∴四边形ABJG是矩形，∴AG＝BJ＝2，AB＝GJ＝BC，∵FG⊥BE，∴∠EBC+∠BFG＝90°，∠BFG+∠JGF＝90°，∴∠CBE＝∠JGF，∵∠C＝∠GJF＝90°，BC＝GJ，∴△GJF≌△BCE（AAS），∴FJ＝CE＝3，∴BF＝EF＝5，CF＝＝4，∴BC＝BF+CF＝9，∴BE＝＝＝3，∴OB＝OE＝3，∵EQ⊥AB，∴∠ONB＝∠OME＝∠OMQ＝∠MQN＝90°，∴四边形MQNO是矩形，∴∠MON＝∠BOE＝90°，∴∠BON＝∠EOM，∴△ONB≌△OME（AAS），∴ON＝OM，∴四边形MQNO是正方形，设OM＝OM＝NQ＝MQ＝x，∵∠C＝∠CBQ＝∠BQE＝90°，∴四边形BCEQ是矩形，∴BQ＝EC＝3，EQ＝BC＝9，在Rt△BON中，则有x2+（x+3）2＝（3）2，解得x＝3或﹣6（舍弃），∴OM＝QM＝3，EM＝BN＝6，∵∠BQR＝∠OMR＝90°，∠BRQ＝∠ORM，BQ＝OM＝3，∴△BQR≌△OMR（AAS），∴QR＝MR＝∴S△OQR＝•QR•OM＝××3＝．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴DG＝AD cos∠A＝4×＝2，∴BD＝＝＝2．6．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．7．解：（1）∵点D坐标是（，6），B点的坐标是（4，6），四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝6，CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵将矩形沿直线DE折叠，∴DF＝CD＝，∴BF＝＝＝2，∴AF＝6﹣2＝4，∴点F（4，4）．（2）如图2中，连接PF交DE于J．当四边形EFDP是矩形时，△PDE≌△FED≌△CED，∵C（0，6），F（4，4），∴直线CF的解析式为y＝﹣x+6，∵DE垂直平分线段CF，∴直线DE的解析式为y＝2x+1，∴E（0，1），D（，6），∵DJ＝JE，∴J（，），∵PJ＝JF，∴P（﹣，3）．（3）如图3中，连接FN，以FN为对角线构造正方形NMFM′，连接MM′交FN于K．设N（m，2m+1），则K（，），M（，），M′（，），当点M落在x轴上时，＝0，解得m＝﹣，当点M′落在X轴上时，＝0，解得m＝﹣9，∴满足条件的点N的坐标为（﹣，）或（﹣9，﹣17）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．9．解：（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，∴BF＝，∵BF＝AF，∴AF＝5，∴AE＝3+5＝8，∴AB，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4；（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵点H为边AB的中点，∴EH＝AH＝BH＝MH，∴四边形AEBM是矩形，∴∠EAM＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAM，∵BF⊥CE，∴∠EGB＝90°，∴∠EBG+∠BEG＝90°，∵∠EBG+∠BFE＝90°，∴∠BEG＝∠BFE，∵矩形AEBM中，BE∥AM，∴∠BEG＝∠AMH，∴∠BFE＝∠AMH，∴∠AFB＝∠AMC，∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACM（AAS），∴BF＝CM，∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，∴BF+2EH＝CE．10．解：（1）结论：AE＝DF，AE⊥DF，理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADP+∠CDF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE＝DF，AE⊥DF．（2）成立．理由如下：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，由于∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴AE⊥DF．（3）有两种情况：①如图3﹣1中，当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CE＝＝a，则CE：CD＝a：a＝．②如图3﹣2中，当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AE＝＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE，∴DE＝CD＝a，∴CE：CD＝2a：a＝2，即CE：CD＝或2．。
中考四边形证明与计算(含答案)
中考四边形证明与计算一．解答题（共16小题）1．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．2．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF ∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．3．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）求证：BD=MN．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）7．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．8．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．10．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．11．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．12．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．13．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？14．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．15．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H 分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．16．在Rt△AEB中，∠AEB=90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）（1）求证：EO平分∠AEB．（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．。
中考数学 滚动小专题七 四边形的有关计算与证明
四边形的有关计算与证明四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.例(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积.【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE=∠DBE=∠DBC=30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积.【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM=AB，DN=DC，∠A=∠EMB，∠C=∠DNF，∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°，∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.∵AD∥BC,∴∠EDM=∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形.(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD=∠FBD.∵∠A BE=∠EBD,∠ABC=90°,∴∠ABE=13×90°=30°.在Rt△ABE中，∵AB=2，∴AE=233,BE=433,∴ED=433,∴AD=23.∴S△ABE＝12AB·AE=233.S矩形ABCD＝AB·AD=43，∴S菱形BFDE＝43-2×233＝833.方法归纳：证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明.1.(2013·新疆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH⊥AB 于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.2.(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.(1)求证：BF=DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).3.(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.4.(2014·舟山)已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE ，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF.(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由.5.如图，点O 是线段AB 上的一点，OA=OC ，OD 平分∠AOC 交AC 于点D ，OF 平分∠COB ，CF ⊥OF 于点F.(1)求证：四边形CDOF 是矩形；(2)当∠AOC 为多少度时，四边形CDOF 是正方形？并说明理由.6.(2014·成都)如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，DE=1nAD(n 为大于2的整数)，连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和EG.(1)试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由；(2)当AB=a(a 为常数)，n=3时，求FG 的长；(3)记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当12S S = 1730时，求n 的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)参考答案1.证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE=EH.在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理，得AC=AH.∴∠CAF=∠HAF.在△CAF和△HAF中，,, AC AHCAF HAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAF≌△HAF(SAS)，∴∠ACD=∠AHF.∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=∠AHF，∴FH∥CE.∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形.又∵CE=EH，∴四边形CFHE是菱形.2.证明：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°.∵BE=AB-AE，DG=AD-AG，∴BE=DG,∴△BEF≌△DGF，∴BF=DF.(2)BE∶CF=2 .3.证明：(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF=12∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°.∴∠AEF=∠BAC.又∵∠ACB=90°，∴∠EFA=∠ACB.∴△AEF≌△BAC(AAS),∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠DAC=60°.由(1)的结论得AC=EF.∴AD=EF.又∵∠BAC=30°，∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.又∵∠EFA=90°，∴EF∥AD.又∵EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形.4.(1)证明：∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO.∵∠EOD=∠BOF，∴△DOE≌△BOF(ASA).(2)当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形.理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF=DE.又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形.∵BO=DO ，∠EOD=90°，∴EB=DE.∴四边形BFDE 为菱形.5.(1)证明：∵OD 平分∠AOC ，OF 平分∠COB ，∴∠AOC=2∠COD ，∠COB=2∠COF.∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠COD+2∠COF=180°，∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°.∵OA=OC ，OD 平分∠AO C ，∴OD ⊥AC ，AD=DC.∴∠CDO=90°. ∵CF ⊥OF ，∴∠CFO=90°.∴四边形CDOF 是矩形.(2)当∠AOC=90°时，四边形CDOF 是正方形.理由：∵∠AOC=90°，AD=DC ，∴OD=DC.又由(1)知四边形CDOF 是矩形，∴四边形CDOF 是正方形.因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF 是正方形.6.(1)菱形.∵FG 为BE 的垂直平分线，∴FE ＝FB ，GB ＝GE ，∠FEB ＝∠FBO.又FE ∥BG ，∴∠FEB ＝∠GBO ，∴∠FBO ＝∠GBO.∵BO ＝BO ，∠BOF ＝∠BOG=90°，∴△BOF ≌△BOG ，∴BF ＝BG.∴BG ＝GE ＝EF ＝FB.∴四边形BFEG 为菱形.(2)AB ＝a ，AD ＝2a ，DE ＝23a ，AE ＝43a ，BE 22169a a +53a ，OE ＝56a.设菱形BFEG 的边长为x ，∵AB 2+AF 2＝BF 2，∴a 2+(43a-x)2=x 2，解得x ＝2524a.∴OF 222525()2436a a -1524a=58a.∴FG ＝54a.(3)n ＝6.。
2018年中考数学总复习专题8三角形四边形中的相关证明及计算
10此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性年选择、填空、解答均会出解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理． 2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B 卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE.【解析】(1)要证明AF ＝CG ，可以利用“ASA ”证明△ACF≌△CBG 来得到；(2)要证明CF ＝2DE ，由(1)得CF ＝BG ，则只要证明BG ＝2DE ，又利用△AED≌△CEG 可得DG ＝2DE ，再证明DG ＝BG 即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°， ∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN，∴△EDM ≌△FBN(ASA )，∴ED ＝BF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形； (2)∵四边形BFDE 是菱形， ∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°.在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433，∴ED ＝433，∴AD ＝2 3.∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE. ∵EG ∥CD ，∴∠EGF ＝∠AFD， ∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ， ∴四边形EFDG 是平行四边形． 又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形； (2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE.∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AFEF.即EF 2＝FH·AF，∴EG 2＝12AF ·GF ；(3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF)GF.∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10. ∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8.∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ， ∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝1255.【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．专题八 三角形、四边形中的相关证明及计算一、选择题1．(2017黔东南中考)如图，∠ACD ＝120°，∠B ＝20°，则∠A 的度数是( C )A ．120°B ．90°C ．100°D ．30°2．(2017庆阳中考) 已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a ＋b －c|－|c －a －b|的结果为( D )A ．2a ＋2b －2cB ．2a ＋2bC ．2cD ．03．(2017怀化中考)如图，在矩形ABCD 中， 对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AC ＝6 cm ，则AB 的长是( A )A ．3 cmB ．6 cmC ．10 cmD ．12 cm4．某平行四边形的对角线长为x ，y ，一边长为6，则x 与y 的值可能是( C )A ．4和7B ．5和7C ．5和8D ．4和175．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是( C )A ．AB ∥CD ，AB ＝CD B ．AB ＝CD ，AD ＝BC C ．AD ＝BC ，∠A ＝∠C D ．AB ∥CD ，∠B ＝∠D6．(2017黔东南中考)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE ⊥AB ，AF ＝2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为( A )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°(第6题图)(第7题图)7．(2017考试说明)如图，三角形被遮住的两个角不可能是( D )A ．一个锐角，一个钝角B ．两个锐角C ．一个锐角，一个直角D ．两个钝角8．(2017考试说明)下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．以下结论正确的是( C )A ．只有命题①正确B ．只有命题②正确C ．命题①②都正确D ．命题①②都不正确9．(2017呼和浩特中考)如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若AE ＝5，∠EAF ＝135°，则下列结论正确的是( C )A ．DE ＝1B ．tan ∠AFO ＝13C ．AF ＝102D ．四边形AFCE 的面积为9410．(2017贵港中考)如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点(点M 不与B ，C 重合)，CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN≌△OAD；④AN 2＋CM 2＝MN 2；⑤若AB ＝2，则S △OMN 的最小值是12，其中正确结论的个数是( D )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．(2017怀化中考)如图，AC ＝DC ，BC ＝EC ，请你添加一个适当的条件：__AB ＝DE(答案不唯一)__，使得△ABC≌△DEC.,(第11题图)) ,(第12题图))12．(2017怀化中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为__10__cm.13．(2017丽水中考)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是__100°__．14．(2017通辽中考)在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝__8或3__．15．(2017哈尔滨中考)四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为16．(2017安顺中考)如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为__6__．(第16题图)(第17题图)17．(2017考试说明)如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形)，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长__2，．18．(2017考试说明)如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A＝30°，AC＝10时，则此时两直角顶点C，C′间的距离是__5__．(第18题图)(第19题图)19．(2017沈阳中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是．520．(2017绍兴中考)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为__4__600__m.三、解答题21．(2017南充中考)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB＝∠AFC＝90°.∵AE＝BF，∴AF＝BE.在△DEB和△CFA中．∵DE＝CF，∠DEB＝∠AFC，AF＝BE，∴△DEB≌△CFA，∴∠A＝∠B，∴AC∥DB.22．(2017广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°.∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∵∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴BE＝AF.23．(2017衢州中考)问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比研究如图②，在正△ABC 的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点(D ，E ，F 三点不重合)．(1)△ABD，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； (2)△DEF 是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD ＝a ，AD ＝b ，AB ＝c ，请探索a ，b ，c 满足的等量关系．解： (1)△ABD≌△BCE≌△CAF； 选证△ABD≌△BCE，理由如下： ∵△ABC 是正三角形，∴∠CAB ＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB ＝BC ，∵∠ABD ＝∠ABC－∠2，∠BCE ＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3， ∴∠ABD ＝∠BCE， 在△ABD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE， ∴△ABD ≌△BCE(ASA )；(2)△DEF 是正三角形；理由如下： ∵△ABD ≌△BCE ≌△CAF ， ∴∠ADB ＝∠BEC＝∠CFA， ∴∠FDE ＝∠DEF＝∠EFD， ∴△DEF 是正三角形； (3)作AG⊥BD 于G ，如图所示．∵△DEF 是正三角形， ∴∠ADG ＝60°，在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b ，在Rt △ABG 中，c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32b 2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2.24．(2017绍兴中考)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边A D，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．解：(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝12＋12＝2；②如答图①，连接AC，BD.∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD；(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如答图②，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5；②当BF＝AB时，如答图③，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5.∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB，∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5，∴AE＝9－2.5＝6.5.综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.。
【中考数学】2018题型专项(六) 四边形的有关证明与计算
题型专项(六) 四边形的有关证明与计算四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题．【例】 (2017·昆明市官渡区二模)如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点E ，F 分别在边CD ，AB 上．(1)若DE ＝BF ，求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)若四边形AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长．【自主解答】 (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∵DE ＝BF ，∴AF ＝CE ，AF ∥CE.∴四边形AFCE 是平行四边形．(2)∵四边形AFCE 是菱形，∴AE ＝CE.设DE ＝x ，则AE ＝62＋x 2，CE ＝8－x. 则62＋x 2＝8－x ，解得x ＝74. 将x ＝74代入原方程检验可得等式两边相等， 即x ＝74为方程的解． 则菱形的边长为8－74＝254. 周长为4×254＝25. 故菱形AFCE 的周长为25.1．(2017·曲靖市罗平县二模)在▱ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE ＝CF.(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若DF ＝BF ，求证：四边形DEBF 为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C.∵在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF(SAS )．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵AE＝CF，∴DF＝EB.∴四边形DEBF是平行四边形．又∵DF＝FB，∴四边形DEBF为菱形．2．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.∴△EAF≌△EDC.∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴▱AFBD是矩形．3．(2017·曲靖市罗平县一模)如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝FM；(2)当AE＝2时，求EF的长．解：(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°.∴F，C，M三点共线．∴DE＝DM，∠EDM＝90°.∴∠EDF＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°.在△DEF 和△DMF 中，⎩⎨⎧DE ＝DM ，∠EDF ＝∠MDF ，DF ＝DF ，∴△DEF ≌△DMF(SAS )．∴EF ＝MF.(2)设EF ＝MF ＝x.∵AE ＝CM ＝2，且BC ＝6，∴BM ＝BC ＋CM ＝6＋2＝8.∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝8－x.∵EB ＝AB －AE ＝6－2＝4，在Rt △EBF 中，由勾股定理，得EB 2＋BF 2＝EF 2，即42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5.∴EF ＝5.4．(2017·云南模拟样卷)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF.(1)求证：AF ＝DC ；(2)若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE.∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE ＝DE ，BD ＝CD.在△AFE 和△DBE 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠DBE ，∠FEA ＝∠BED ，AE ＝DE ，∴△AFE ≌△DBE(AAS )．∴AF ＝BD.∴AF ＝DC.(2)四边形ADCF 是菱形．证明：AF ∥BC ，AF ＝DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD ＝12BC ＝DC. ∴平行四边形ADCF 是菱形．5．(2017·红河州蒙自市一模)如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC ，AE 分别交于点O ，E ，连接EC.(1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝90°时，求证：四边形ADCE 是菱形．证明：(1)∵DE ∥AB ，AE ∥BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴AE ∥BD ，且AE ＝BD.又∵AD 是BC 边的中线，∴BD ＝CD.∴AE ＝CD.∵AE ∥CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形．∴AD ＝EC.(2)∵∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD.又∵四边形ADCE 是平行四边形，∴四边形ADCE 是菱形．6．(2017·昆明市官渡区交际合作学校模拟)如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD.(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若∠ACB ＝30°，菱形OCED 的面积为103，求AC 的长．解：(1)证明：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠ADC ＝∠ABC ＝∠BAD ＝90°.∴OD ＝OC.∴四边形OCED 是菱形．(2)∵四边形OCED 是菱形，∴S 菱形OCED ＝2S △OCD ＝S △ACD ＝12AD·CD ＝10 3. ∵∠ACB ＝30°，∴∠DAC ＝30°.∴AC ＝2CD ，AD ＝3CD.∴12×3CD·CD ＝103，解得CD ＝2 5. ∴AC ＝2CD ＝4 5.7．(2017·云南考试说明)如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，BD 与AE ，AF 分别相交于G ，H 两点．(1)求证：△ABE ∽△ADF ；(2)若AG ＝AH ，求证：四边形ABCD 是菱形．证明：(1)∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE ＝∠ADF.∴△ABE ∽△ADF.(2)∵△ABE ∽△ADF ，∴∠BAG ＝∠DAH.∵AG ＝AH ，∴∠AGH ＝∠AHG .从而∠AGB ＝∠AHD.在△AGB 和△AHD 中，⎩⎨⎧∠BAG ＝∠DAH ，AG ＝AH ，∠AGB ＝∠AHD ，∴△ABG ≌△ADH(ASA )．∴AB ＝AD.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．8．(2017·昆明市五华区一模)(1)如图1所示，平行四边形纸片ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，沿AE 剪下△ABE ，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D ，则四边形AEE′D 是矩形；(2)如图2所示，在(1)中的四边形纸片AEE′D 中，在EE′上取一点F ，使EF ＝4，剪下△AEF ，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D 是菱形；②求四边形AFF′D 两条对角线的长．图1 图2解：(2)①证明：∵纸片▱ABCD 中，AD ＝5，S ▱ABCD ＝15，∴AE ＝3.∵△AEF 平移至△DE′F′，∴AF ∥DF ′，AF ＝DF′.∴四边形AFF′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5.∴AF ＝AD ＝5.∴四边形AFF′D 是菱形．②连接AF′，DF ，在Rt △DE ′F 中，E ′F ＝FF′－E′F′＝5－4＝1，DE ′＝3，∴DF ＝E′D 2＋E′F 2＝32＋12＝10.在Rt △AEF ′中，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，∴AF′＝AE2＋F′E2＝32＋92＝310.。
2018年最新中考数学压轴精选15题(2) 四边形动点和证明类(Word版含答案解析)
2018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类1.（2018·荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是、，则P、Q这两点间的距离为如，，则．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是______；若动点满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：若中的动点C的轨迹与直线交于E、F两点，分别过E、F 作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：是外接圆的切线；为定值．2.（2018·常州）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接求证：．如图2，在中，，P为MN的中点．用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得保留作图痕迹，不要求写作法；在的条件下，如果，那么Q是GN的中点吗？为什么？3.（2018·十堰）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，中结论是否仍然成立？请证明你的结论；将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若，，请画出图形，并直接写出MF的长．4.（2018·阜新）如图，在中，，，于点D．如图1，点E，F在AB，AC上，且求证：；点M，N分别在直线AD，AC上，且．如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：；当点M在点A，D之间，且时，已知，直接写出线段AM的长．5.（2018·乐山）已知中，，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设，，k为常数，试探究的度数：如图1，若，则的度数为______；如图2，若，试问中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出的度数．如图3，若，且D、E分别在CB、CA的延长线上，中的结论是否成立，请说明理由．6.（2018·大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，中，，点D在AB上，且，求证：．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分，与CD相交于点E．方法2：如图3，作，与AB相交于点F．根据阅读材料，任选一种方法，证明．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，中，点D在AB上，点E在BC上，且，点F在BD 上，且，延长DC、FE，相交于点G，且．在图中找出与相等的角，并加以证明；若，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．7.（2018·攀枝花）如图，在中，，，动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正、Q、M按逆时针排序，以QC为边在AC上方作正，设点P运动时间为t秒．求的值；当与的面积满足时，求t的值；当t为何值时，的某个顶点点除外落在的边上．8.（2018·沈阳）已知：是等腰三角形，，点M在边AC上，点N在边BC上点M、点N不与所在线段端点重合，，连接AN，BM，射线，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且．如图，当时求证：≌；求的度数；当，其它多件不变时，的度数是______用含的代数式表示若是等边三角形，，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．9.（2018·北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作．已知点，，．求点O，；记函数的图象为图形若，直接写出k的取值范围；的圆心为，半径为若，直接写出t的取值范围．10.（2018·衡阳）如图，在中，，，动点P从点C出发以的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？是否存在某一时刻t，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t 的函数关系式．11.（2018·常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作于H，设直线DH交AC于N．如图1，当M在线段BO上时，求证：；如图2，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：；在图3，当M在线段OD上，连接NE，当时，求证：．12.（2018·菏泽）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动如图1，将：矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到和并且量得，．操作发现：将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，则四边形的形状是______．创新小组将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接AF 并延长至点G，使，连接CG、，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，如图4所示，连接，试求的值．13.（2018·南充）如图，矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形，使点B的对应点落在AC上，交AD于点E，在上取点F，使．求证：．求的度数．已知，求BF的长．14.（2018·黄冈）如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，，边长点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．当时，求线段PQ的长；求t为何值时，点P与N重合；设的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．15.（2018·杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上不与点B，C重合，连结AG，作于点E，于点F，设．求证：．连结BE，DF，设，求证：．设线段AG与对角线BD交于点H，和四边形CDHG的面积分别为和，求的最大值．2018年最新中考数学压轴精选15题(2)四边形动点和证明类答案和解析【答案】1.2. 证明：如图1中，垂直平分线段BC，，，，．作点P关于GN的对称点，连接交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．结论：Q是GN的中点．理由：设交GN于K．，，，，，，，，，，，，，，是GN的中点．3. 解：结论：，．理由：如图1中，延长EM交AD于H．四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，，，，，，，≌，，，，，，．如图2中，结论不变，．理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，，，，，，，≌，，，，，，．如图3中，作于R．在中，，，，，，，在中，如图4中，作于R．在中，，故满足条件的MF的值为或．4. 解：，，，，，，，，，，≌，；如图1，过点M作，交AB的延长线于点P，，，，，，，，≌，，，在中，，，，；在中，，，，，在中，，．5.6. 解：方法一：如图2中，作AE平分，与CD相交于点E．，，，，，，，，≌，．方法二：如图3中，作，与AB相交于点F．，，，，，，，，，，．如图4中，结论：．理由：在中，，在中，，，，．结论：．理由：如图4中，如图延长AC到K，使得．，，，，∽，，，，，，≌，，7. 解：如图1中，作于E．，，在中，，．如图2中，作于H．，，，，，，，，整理得：，解得舍弃或．当时，满足．如图3中，当点M落在QN上时，作于H．易知：，，，，．如图4中，当点M在CQ上时，作于H．同法可得，，，综上所述，当或时，的某个顶点点除外落在的边上．8. 或9. 解：如图所示，点O到的距离的最小值为2，点O，；经过原点，在范围内，函数图象为线段，当经过时，，此时；当经过时，，此时；，，且；与的位置关系分三种情况：当在的左侧时，由知此时；当在内部时，当点T与原点重合时，，知此时；当点T位于位置时，由知，、，，则，，故此时；当在右边时，由知，，，；综上，或或．10. 解：如图1中，连接BP．在中，，，点B在线段PQ的垂直平分线上，，，，，，，解得或舍弃，时，点B在线段PQ的垂直平分线上．如图2中，当时，易知是等腰直角三角形，．则有，，解得．如图3中，当时，易知是等腰直角三角形，．则有：，，解得，综上所述：或2s时，是以PQ为腰的等腰三角形．如图4中，连接QC，作于E，作于则，，可得．．11. 解：正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，，，，，，，，，，≌，；连接MN，，，，，同的方法得，，，，，四边形DENM是平行四边形，，▱DENM是菱形，，，，，，，，，，，，；设，，，，，，设，，根据勾股定理得，，同的方法得，，，，，∽，，，已舍去不符合题意的，，，，．12. 菱形13. 证明：在中，，，，由旋转可得：，，，；解：由得到为等边三角形，，；解：由，得到，，过B作，在中，，即，则．14. 解：当时，，在中，，，在中，，，．由题意：，解得．当时，当时，当时．当时，．15. 解：四边形ABCD是正方形，，，，，，，，，≌，，由知，，，∽，，在中，，在中，，，；如图，四边形ABCD是正方形，，，，，，∽，，，设的边BG上的高为h，的边AD上的高为，，，，，，，．【解析】1. 解：设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为，，直线交y轴于点A，，点A关于x轴的对称点为点B，，，点D到点A的距离等于线段AB长度，，故答案为：；过点B作直线l平行于x轴，直线l的解析式为，，，，点C到直线l的距离为：，动点满足到直线l的距离等于线段CA的长度，，动点C轨迹的函数表达式，如图，设点点，动点C的轨迹与直线交于E、F两点，，，，，过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，，，，，，，是直角三角形，MN为斜边，取MN的中点Q，点Q是的外接圆的圆心，，，直线AQ的解析式为，直线EF的解析式为，，是外接圆的切线；证明：点点在直线上，，，，NF，EF是的外接圆的切线，，，，即：为定值，定值为2．利用两点间的距离公式即可得出结论；利用两点间的距离公式即可得出结论；先确定出，，再确定出，，进而判断出是直角三角形，再求出直线AQ的解析式为，即可得出结论；先确定出，，再求出，，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出，是解本题是关键．2. 只要证明即可解决问题；作点P关于GN的对称点，连接交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．结论：Q是GN的中点想办法证明，，可得，；本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3. 结论：，只要证明≌，推出，，推出，因为，可得，；结论不变，证明方法类似；分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．4. 先判断出，进而得出，再判断出，进而判断出≌，即可得出结论；先判断出，进而判断出，判断出≌，即可判断出，再判断出，即可得出结论；先求出BD，再求出，最后用三角函数求出DM，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出≌是解的关键，构造出全等三角形是解的关键．5. 解：如图1，过点A作，过点B作相交于F，连接EF，，，四边形ADBF是平行四边形，，，，，，，≌，，，，，，，，，故答案为：．中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作，过点B作相交于F，连接EF，，，四边形ADBF是平行四边形，，，，，，，，，∽，，，，，，，在中，，，中结论成立，如图3，作，，EH，DH相交于H，连接AH，，，四边形EBDH是平行四边形，，，，，，，∽，，，，，，在中，，，．先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出，，进而判断出≌，得出，再判断出，即可得出结论；先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出，，进而判断出∽，再判断出，即可得出结论；先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出，，进而判断出∽，再判断出，即可得出结论；此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6. 方法一：如图2中，作AE平分，与CD相交于点想办法证明≌即可；方法二：如图3中，作，与AB相交于点想办法证明即可；如图4中，结论：理由三角形内角和定理证明即可；结论：如图4中，如图延长AC到K，使得首先证明∽，推出，推出，再证明≌，可得；本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7. 如图1中，作于利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；如图2中，作于利用构建方程即可解决问题；分两种情形如图3中，当点M落在QN上时，作于如图4中，当点M在CQ上时，作于分别构建方程求解即可；本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。
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热点14 四边形的证明与计算
（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（ ）
A ．对角线互相平分的四边形是菱形；
B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A ．
12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（ ）
A ．任意三角形
B ．任意四边形
C ．正五边形
D ．正四边形
5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，•则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．75°
6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③
7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m•取值范围是（ ）
A ．1<m<11
B ．2<m<22
C ．10<m<12
D ．5<m<6
（1） (2) (3) (4) 8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
9．如图3，ABCD 中，P 是对角线BD 上的任意一点，过点P 作EF ∥BC ，HG ∥AB ，•则下列说法不正确的是（ ）
A ．S AEPG =S PHCF
B ．图中有3对全等三角形
≠S GHCD
C．图中共有9个平行四边形D．S
10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，•E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）
A．80° B．70° C．65° D．60°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________．
(5) (6) (7) (8)
12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．
13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2．
14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________c m2．
15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．
16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______c m2．
17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．
18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．
20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？
21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这六个圆心，得到六边形ABCDEF．
求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和．
22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，
积．
24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A•′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．
（1）四边形OECF的面积如何变化．
（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．
25．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P•从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，•问t 为何值时．
（1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．
答案:
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D 二、填空题
11．a-b 12．72 13．24 14．8 15．10 16．128 17．30°18．52
三、解答题
19．证明：（1）,90D BC BD CD
DE AB DF AC BED CFD B C ⇒=⎫⎪
⊥⊥⇒∠=∠=︒⎬⎪∠=∠⎭
是的中点⇒
△BDE ≌△CDF ．
（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：
AEDF BED CFE DE DF ⎫
⇒⎬∆≅∆⇒=⎭
四边形是矩形
矩形AEDF 是正方形．
20．解：四边形EBFD 是平行四边形．在ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，
则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形． 21．解：（1）由多边形内角和定理知：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°． （2）S 阴影=
720360
πr 2
=2π． 22．解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ．
∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．
而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ． ∴四边形AFCE 是菱形．
23．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：
△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=
1
2
BE=6． 过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD
24．解：（1）四边形OECF 的面积不变．
因为在旋转过程中，始终有△ODF≌△OCE，故S四边形OECF=S△OEC+S△OFC=S△OCD．
（2）由（1）知S四边形OECF=S△OCD=1
4
×4=1．
25．解：（1）∵PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形．而PD=24-t，CQ=3t，
∴24-t=3t，解得t=6．
当t=6时，四边形PQCD是平行四边形．
（2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC-AD=2cm．
当CQ-PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．
即3t-（24-t）=4．∴t=7．。