gailv第三章

+∞ +∞ −∞ −∞
∫
z(x, y) f (x, y)dxdy= ∫
EX =∫
+∞ x −∞
f ( x )dx
x
−x e +∞ e 0 dx = ∫−∞ ( − x ) dx + ∫0 x 2 2 =1
定理 3-2
设 ( X，Y 是二 二维 维随 随机 机向 向量 量， ， Y) )是
为( 函数 数， ，且 且g 连续 续, , g连 g( (X X， ，Y Y) )为 (X X， ，Y Y) )函 g （1）若 ( X，Y ) 为离散型 r ⋅ v ，其概率分布为 2， ） P{ X = xi , Y = y j } = pij （i, j = 1，
+∞ 2 x f ( x)dx −∞
事实上， EY = EX = ∫
=∫
1 2 x dx = 1/ 3 0
是随机变量X 的函数，记为 X 的函数，记为 定 理 3 - 1 设 Y 是随机变量 为连续函数， Y = g ( X ) ， g ( x ) 为连续函数，
（1）设离散型 r.v X 的概率分布为 P{ X = xk } = pk 如果级数 ∑ g ( x k ) pk 绝对收敛，则有 （k = 1， 2， ）
E( X + Y ) = ∫ ∫
+∞ +∞ (x −∞ −∞
+ y ) f ( x, y )dxdy
+∞ +∞ y −∞ −∞
=∫
+∞ +∞ x −∞ −∞
∫
f ( x, y )dydx + ∫
+∞ yf −∞ Y
∫
f ( x, y )dxdy
=∫
因此
+∞ xf X −∞
( x )dx + ∫
( y )dy = EX + EY
= λe
−λ
m =0
∑
∞
λ
m
m!
= λe
−λ
⋅e = λ
λ
例 3-3 设 r ⋅ v X 在[a，b]上服从均匀分布，求 EX 。 解：由定义 3-1 知， X 的数学期望 a+b +∞ 1 b EX = ∫−∞ xf ( x )dx = ∫a x ⋅ dx = 2 b−a 例 3-4 设 r ⋅ v X 服从指数分布，其概率密度为 ⎧ λe − λx， x > 0 ,其中 λ > 0 为常数， 求 X 的数 f ( x) = ⎨ x≤0 ⎩0， 学期望 EX 。
（4）由于 X、Y 独立，则 f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) ,
E ( XY ) = ∫ ∫
+∞ +∞ ( xy ) −∞ −∞
f ( x, y )dxdy
+∞ yf −∞ Y
=∫
+∞ xf X −∞
( x )dx ∫
( y )dy = EX ⋅ EY
数学期望
+∞ 否则，称 X 的数学期望不存在。 = xf ( x )dx EX
∫− ∞
（3-2）
否则，称 X 的数学期望不存在。
例 3-1 设 r ⋅ v X 服从（0-1）分布，求 X 的数学 期望 EX 。 解：由定义 3-1 知， X 的数学期望
EX = ∑ xk pk = 1 × p + 0 × (1 − p ) = p
解：甲：平均射中的环数为
乙：平均射中的环数为
3 1 6 8 × + 9 × + 10 × = 9.3 （环） 10 10 10
4 4 2 8× + 9× +10× = 9.2 (环） 10 10 10
1 X为离散型 ，其概率分布为 rr ⋅v P{ X = x k } = pk （k = 1， 2， ） 绝对收敛，则称其为 的数学期望，简 若级数 ∑ xkk p pkk 绝对收敛， 则称其为 XX 的数学期望， 简称 ∑x
如果级数 ∑ ∑ g ( x i , y j ) p ij 绝对收敛，则有
i =1 j =1
∞ ∞
Eg ( X，Y ) =
i =1 j =1
∑ ∑ g ( xi , y j ) pij
∞ ∞
（3-5）
（2）若 ( X，Y ) 为连续型 r ⋅ v ，其概率分布为 +∞ +∞ f ( x，y ) ，如果广义积分 ∫− ∞ ∫− ∞ g ( x, y ) f ( x, y )dxdy 绝对 收敛，则有 +∞ +∞ Eg ( X，Y ) = ∫− ∞ ∫− ∞ g ( x, y ) f ( x, y )dxdy （3-6）
⎩ 0， 其它
( y > 0)
⎧ 1 ， 0 y 1 < ≤ ⎪ f ( y ) = 1 此时 f X (− y ) = 0 , X ,即 fY ( y) = ⎨2 y ⎪ ⎩ 0， 其它
故 EY = ∫
+∞ yf ( y)dy −∞ Y
2
1 1 1 1 1 1 dy = ∫0 ydy = = ∫0 y ⋅ 2 2 3 y
分析： 依题意， 进货量 X 与需求量Y 都服从[10， 20]上的均匀分布，因此其概率密度为 1 ⎧ ⎪ ， 10 ≤ x ≤ 20 f ( x ) = ⎨10 ⎪ 它 ⎩ 0， 其 由 X 与 Y 相互独立知， X 与 Y 的联合概率密度为
⎧ 1 ⎪ 10 ≤ y ≤ 20 ， 10 ≤ x ≤ 20， f ( x，y ) = ⎨100 ⎪ 其 它 ⎩ 0，
∫∫
（3-4） （3-4）
例 3-7 设 X ~ B ( n, p ) ，Y = e
2X
，求 EY 。
解：由于 X ~ B(n, p) ，则
P{X
k k n −k = k} = Cn p q
（k = 0， 1， 2， ，n）
由定理 3-1 知
EY = Ee 2 X
= ∑e EY k = Eg ( X ) = ∑ g ( xk ) pk =0
解：由定义 3-1 知， X 的数学期望 1 +∞ +∞ − λx EX = ∫− ∞ xf ( x )dx = ∫0 xλe dx = （分部积分）
λ
例 3-5 设 r ⋅ v X 服从 cauchy 分布，其概率密 1 度为 f ( x ) = ( −∞ < x < +∞ ) ,求证 X 的数 2 π (1 + x ) 学期望不存在。 证明：由于
= 90 × 0.2 + 85 × 0.3 + 53 × 0.5 = 70.0
胜者 甲 甲 乙 甲
∑x p
i =1 i
3
i
[引例 2] 甲、乙两射手在相同的条件下进行射击， 其命中环数分别为 X 和 Y ，其分布列如下： 8 9 10 8 9 10 X Y pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.4 0.4 试问如何评价甲、乙两射手射击水平的优劣。
k = ∑ Cn ( pe ) q n
k =1 2 k n −k
n
2k
k Cn
k n −k p q∞
= ( q + pe )
k =0
2 n
例 3-8 设 X ~ f ( x ) ，求 X 的数学期望。其中
⎧ e x / 2， x ≤ 0 f ( x) = ⎨ − x ⎩e / 2， x > 0
解：由定理 3-1 知
例 3 - 2 设 r ⋅ v X 服从参数为 λ 的 Poisson 分布， 求 X 的数学期望 EX 。
k =1
∞
解：由定义 3-1 知， X 的数学期望 ∞ k −λ ∞ ∞ λk −1 e λ EX = ∑ xi pi = ∑ k ⋅ = λe − λ ∑ i =1 k! k =0 k =1( k − 1)!
考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有 关的某些数值，虽不能完整地描述随 机变量，但能清晰地描述随机变量在 某些方面的重要特征 , 这些数字特征 在理论和实践上都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离平均值的情况 —— 方差 描述两个 r.v.之间的某种关系的 数 —— 协方差与相关系数
本 章 内 容
§ 3.1 Mathematical Expectation
[引例1] 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 总 初 复 决 成 赛 赛 赛 绩 算术 平均 3:3:4 2:3:5 2:2:6
加权平均
甲 乙
90 85 53 228 76 73.7 70.0 66.8 88 80 57 225 75 73.2 70.1 67.8 甲 甲 乙 乙
k= = 1 1 k ∞ ∞
为期望，记作 ，即 EX EX ，即 称为期望，记作
EX = ∑ x k pk
k =1 ∞
Absolutely convergent
（3-1） （3-1）
否则，称 的数学期望不存在。 否则，称 X X 的数学期望不存在。 若 X 为连续型 r ⋅ v ,其概率分布为 f ( x ) ,如果广义积 若 X 为连续型 r ⋅ v ,其概率分布为 f ( x ) ,如果广义 +∞ 分 ∫− ∞ xf +(∞ x )dx 绝对收敛,则称其为 X 的数学期望,记作 积分 ∫− ∞ xf ( x )dx 绝对收敛,则称其为 X 的数学期望,记 +∞ （3-2） EX = ∫− ∞ xf ( x )dx 作
第三章 随机变量的数字特征 §3.1 数 学 期 望 §3.2 方 差 §3.3 相关系数与相关阵