2018届江苏省南京市、盐城市高考第二次模拟考试数学试题-含答案
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数 学 2018.01注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，其中S 柱体的底面积,h 为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡上的相应位置上．1．已知集合A ＝{x ∣x (x －4)＜0}，B ＝{0，1，5}，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．设复数z ＝a ＋i(a ∈R ，i 为虚数单位），若(1＋i)⋅z 为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80) (单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若x ＝0，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．7．设函数y ＝e x ＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知α，β均为锐角，且满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为 ▲ ． 9．若函数y ＝sin ωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若{a n }的前2017项中的奇数项和为2018，则S 2017的值为 ▲ ．(第4题)/分钟(第3题)0.0050.0100.020a 0.03511．设函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )，0≤x ≤3，－3x＋1，x ＞3．若函数y ＝f (x )－m 有四个不同的零点，则实数m12．在平面直角坐标系xOy 中，上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足→OP ＝3→OQ ，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则→AB ⋅→CD 的最大值为 ▲ ．14．若不等式k sin 2B ＋sin A sin C ＞19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点． （1）求证：BN ∥平面A 1MC ；（2）若A 1M ⊥AB 1，求证：AB 1⊥A 1C ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝52b ．（1）若C ＝2B ，求cos B 的值；（2）若→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，求cos(B＋π4)的值．(第13题) A BC A 1 B 1C 1 M N （第15题）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、∠EOF ＝120︒的扇形，且弧⌒EF ，⌒GH 分别与边BC ，AD 相切于点M ，N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的下顶点为B ，点M ．N是椭圆上异于点B 的动点，直线BM ，BN 分别与x 轴交于点P ，Q ，且点Q 是线段OP的中点．当点N 运动到点(3，32)处时，点Q 的坐标为(2 33，0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点M ，N 均在y 轴右侧，且→DN ＝2→NM 时，求直线BM的方程．(第18题)（第17题-甲） F（第17题-乙）设数列{a n}满足a n2＝a n＋1a n－1＋λ(a2－a1)2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m⋅a n≥n－r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立，求满足条件的所有数列{a n}中T的最小值．20．(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋bx－c(a，b，c∈R)．（1）当c＝0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，求a，b的值；（2）当b＝3－a时，若对任意x0∈(1，＋∞)和任意a∈(0，3)，总存在不相等的正实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求c的最小值；（3）当a＝1时，设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点．求证：x1x2－x2＜b＜x1x2－x1．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题2018.01 注意事项：1．附加题供选修物理考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A .（选修4-1：）A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若DE ＝4，求切点E 到直线AB 的距离．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2001，求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下所得的曲线方程．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，求r 的值．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足x 2＋3y 2＝1，求当x ＋y 取最大值时x 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，AC ＝4，BD ＝2，OP ＝4． （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值．AB ED O · （第21(A)）23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C rn ＋…＋n C n －1n C nn ．（1）求f (1)，f (2)，f (3)的值；（2）试猜想f (n )的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2018.01说明：MACDOP（第22题）1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.)1．{1} 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(－∞，2] 8．3π4 9．(0，14] 10．4034 11．[1，94) 12．－ 3 13．24 14．100 二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.)15．证明：（1）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1．又因为点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点， 所以MB ＝A 1N ，且MB ∥A 1N ， 所以四边形A 1NBM 是平行四边形，从而A 1M ∥BN ．……………………………… 4分 又BN ⊄平面A 1MC ，A 1M ⊂平面A 1MC ，所以BN ∥平面A 1MC ． ……………………………………………………………………………6分（2）因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以AA 1⊥平面ABC ，而CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM ．又CA ＝CB ，且M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ． 又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CM ⊥平面ABB 1A 1．………………………………………………………………………………8分又AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥AB 1．………………………………………………………………10分又AB 1⊥A 1M ，A 1M ，CM ⊂平面A 1MC ，A 1M ∩CM ＝M ， 所以AB 1⊥平面A 1MC ，…………………………………………………………………………………12分又A 1C ⊂平面A 1MC ，所以AB 1⊥A 1C ．…………………………………………………………………14分A BC A 1 B 1 C 1 MN（第15题）16．解：（1）因为c ＝52b ，则由正弦定理，得sin C ＝52sin B ．…………………………………………2分又因为C ＝2B ，所以sin2B ＝52sin B ，即2sin B cos B ＝52sin B . ………………………………………4分又B 是△ABC 的内角，所以sin B ＞0，故cos B ＝54． ………………………………………………6分 （2）因为→AB ⋅→AC ＝→CA ⋅→CB ，所以cb cos A ＝ba cos C ，则由余弦定理， 得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c ． …………………………………………………………………10分从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ c 2＋c 2－(2 5c )22c 2＝35．………………………………………………………12分 又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45．从而cos(B ＋π4)＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35⨯22－45⨯22＝－210． ……………………………………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE ＝OF ＝OM ＝R ，在Rt △OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60︒， 所以OT ＝12R ，则MT ＝OM －OT ＝R 2． 从而BE ＝MT ＝12R ，即R ＝2BE ＝2．…………………… 2分 故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF＝13πR 2－12R 2sin120︒＝4π3－3．………………………… 4分又所得柱体的高EG ＝4，所以V ＝S ⨯EG ＝16π3－43．答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为(16π3－43)立方分米. …………………………………………………………………………6分 （2）设BE ＝x ，则R ＝2x ，所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin120︒＝(4π3－3)x 2.又所得柱体的高EG ＝6－2x ，所以V ＝S ⨯EG ＝(8π3－23)(－x 3＋3x 2) ，其中0＜x ＜3. ……………………………………10分令f (x )＝－x 3＋3x 2，x ∈(0，3)，则由f '(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)＝0， 解得x ＝2． ………………………………………………………………………………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. ……………………………………14分18．解：（1）由N (3，32)，Q (2 33，0)，得直线NQ 的方程为y ＝32x －3．……………………2分令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－3)．所以椭圆的方程为x 2a 2＋y 23＝1 ．…………………………………………………………………… 4分将点N 的坐标(3，32)代入，得(3)2a 2＋(32)23＝1，解得a 2＝4．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………………………………………………………… 8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为k (k ＞0)，则直线BM 的方程为y ＝kx －3．在y ＝kx －3中，令y ＝0，得x P ＝3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q ＝32k ．所以直线BN 的斜率k BN ＝k BQ ＝0－(－3)32k－0＝2k ．………………………………………………10分联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3， x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－83kx ＝0，解得x M ＝8 3k 3＋4k 2 ． 用2k 代k ，得x N ＝16 3k3＋16k 2．……………………………………………………………………12分又→DN ＝2→NM ，所以x N ＝2(x M －x N )，得2x M ＝3x N ．…………………………………………… 14分故2⨯8 3k 3＋4k 2＝3⨯16 3k 3＋16k2，又k ＞0，解得k ＝62．所以直线BM 的方程为y ＝62x －3． …………………………………………………………16分方法二：设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由B (0，－3)，得直线BM 的方程为y ＝ y 1＋3x 1x －3，令y ＝0，得x P ＝3x 1y 1＋3．同理，得x Q ＝3x 2y 2＋3．而点Q 是线段OP 的中点，所以x P ＝2x Q ，故3x 1y 1＋3＝2⨯3x 2y 2＋3． …………………………10分又→DN ＝2→NM ，所以x 2＝2(x 1－x 2)，得x 2＝23x 1＞0，从而1y 1＋3＝43y 2＋3，解得y 2＝43y 1＋33．…………………………………………………………………………………12分 将⎩⎨⎧x 2＝23x 1，y 2＝43y 1＋33，代入到椭圆C 的方程中，得x 129＋(4y 1＋3)227＝1．又x 12＝4(1－y 123)，所以4(1－y 123)9＋(4y 1＋3)227＝1，………………………………………………14分即3y 12＋2y 1－3＝0，解得y 1＝－3（舍）或y 1＝33．又x 1＞0，所以点M 的坐标为M (4 23，33)．故直线BM 的方程为y ＝62x －3．……………………………………………………………… 16分 19．解：（1）由题意，可得a n 2＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1. …………………………………………………………4分（2）将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1⨯4＋λ，解得λ＝0，所以a n 2＝a n ＋1a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n－1. ………6分欲存在r ∈[3，7]，使得m ⋅2n －1≥n －r ，即r ≥n －m ⋅2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ⋅2n －1，所以m ≥n －72n －1 对任意n ∈N *都成立. …………………………………………8分令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n 2n ， 所以当n ＞8时，b n ＋1＜b n ；当n ＝8时，b 9＝b 8；当n ＜8时，b n ＋1＞b n ．所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.………………………………………10分 （3）因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2．①若T ＝2，则a n ＋1＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎨⎧a 22＝a 12＋λ(a 2－a 1)2，a 12＝a 22＋λ(a 2－a 1)2， 所以λ(a 2－a 1)2＝0，又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列，这与已知条件矛盾， 所以T ＝2不合题意. …………………………………………………………………………………12分②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k －2，2，n ＝3k －1，－3，n ＝3k ，(k ∈N *)（*），满足a n ＋3＝a n 恒成立．…………………… 14分由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2，可得此时λ＝7．则条件式变为a n 2＝a n ＋1a n －1＋7．由22＝1⨯3＋7，知a 3k －12＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2；由(－3)2＝2⨯1＋7，知a 3k 2＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)⨯2＋7，知a 3k ＋12＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2－a 1)2；所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. …………………………………………………………………………………16分（注：写一个数列{a n }时，需满足a 1＋a 2＋a 3＝0，且a 1≠a 2．）20．解：（1）由f (x )＝ln x ，得f (1)＝0，又f '(x )＝1x，所以f '(1)＝1． 当c ＝0时，g (x )＝ax ＋b x ，所以g '(x )＝a －b x 2 ，所以g '(1)＝a －b ．…………………………… 2分因为函数f (x )与g (x )的图象在x ＝1处有相同的切线，所以⎩⎨⎧f '(1)＝g '(1)，f (1)＝g (1)，即⎩⎨⎧a －b ＝1，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12． …………………………………………………4分 （2）方法一：当x 0＞1时，则f (x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f (x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－a x－c ＝t (t ＞0) 在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2， ……………6分即关于x 的方程ax 2－(c ＋t )x ＋(3－a )＝0(t ＞0)在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，△＝(c ＋t )2－4a (3－a )＞0，x 1＋x 2＝c ＋t a ＞0，x 1x 2＝3－a a＞0．得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，(c ＋t )2＞4a (3－a )，c ＋t ＞0． 所以c ＞2a (3－a )－t 对任意t ∈(0，＋∞)恒成立．…………………………………………… 8分因为0＜a ＜3，所以2a (3－a )≤2⨯a ＋3－a 2＝3(当且仅当a ＝32时取等号)． 又－t ＜0，所以2a (3－a )－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3．故c 的最小值为3. …………………………………………………………………………………10分方法二：由b ＝3－a ，且0 ＜a ＜3，得g '(x )＝a －3－a x 2＝ax 2－(3－a )x 2＝0，得 x ＝3－a a或x ＝－3－a a(舍)， 则函数g (x )在(0，3－a a )上递减；在(3－a a，＋∞)上递增． 又对任意x 0＞1，f (x 0)为(0，＋∞)上的任意一个值，若存在不相等的正实数x 1，x 2， 使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，则g (x )的最小值小于或等于0.即g (3－a a)＝2a (3－a )－c ≤0， ……………………………………………………………6分即c ≥2a (3－a )对任意 a ∈(0，3)恒成立．又2a (3－a )≤a ＋(3－a )＝3，所以c ≥3．…………………………………………………… 8分当c ＝3，对任意a ∈(0，3)，x 0∈(1，＋∞)，方程g (x )－f (x 0)＝0化为 ax ＋3－a x－3－f (x 0)＝0，即ax 2－[3＋f (x 0)]x ＋(3－a )＝0（*） 关于x 的方程（*）的△＝[3＋f (x 0)]2－4a (3－a )≥[3＋f (x 0)]2－4⎝⎛⎭⎫ a ＋3－a 22 ＝[3＋f (x 0)]2－9,因为x 0＞1，所以f (x 0)＝ln x 0＞0，所以△＞0，所以方程（*）有两个不相等的实数解x 1，x 2，又x 1＋x 2＝f (x 0)＋3a ＞0，x 1x 2＝3－a a＞0， 所以x 1，x 2为两个正实数解．所以c 的最小值为3. ……………………………………………………………………………10分（3）当a ＝1时，因为函数f (x )与g (x )的图象交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧ln x 1＝x 1＋b x 1－c ，ln x 2＝x 2＋b x 2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)．……………………………… 12分要证明x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2＜x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)＜x 1x 2－x 1， 即证1x 2＜ln x 2－ln x 1x 2－x 1＜1x 1，即证1－x 1x 2＜ln x 2x 1＜x 2x 1－1．…………………………………………… 14分令x 2x 1＝t ，则t ＞1，此时即证1－1t＜ln t ＜t －1． 令ϕ(x )＝ln t ＋1t －1，所以ϕ'(t )＝1t －1t 2＝t －1t 2＞0，所以当t ＞1时，函数ϕ(t )单调递增． 又ϕ(1)＝0，所以ϕ(t )＝ln t ＋1t －1＞0，即1－1t＜ln t 成立． 再令m (t )＝ln t －t －1，所以m '(t )＝1t －1＝1－t t＜0， 所以当t ＞1时，函数m (t )单调递减， 又m (1)＝0，所以m (t )＝ln t －t －1＜0，即ln t ＜t －1也成立．综上所述， 实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2＜b ＜x 1x 2－x 1． …………………………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 2018.0121．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4-1：几何证明选讲解：如图，连接AE ，OE ，过E 作EF ⊥AB ，交AB 于F ． 因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE ， 又因为AD 垂直DE 于D ，所以AD ∥OE ，所以∠DAE ＝∠OEA ①， 在⊙O 中OE ＝OA ，所以∠OEA ＝∠OAE ②，…………………………5分 由①②得∠DAE ＝∠OAE ，即∠DAE ＝∠F AE ，又∠ADE ＝∠AFE ，AE ＝AE ， 所以△ADE ≌△AFE ，所以DE ＝FE ，又DE ＝4，所以FE ＝4，即E 到直径AB 的距离为4. …………………………………………………………………………10分B ．选修4-2：矩阵与变换解：设P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，则x 02＋y 02＝1．设点P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0 ， 即⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x ，y 0＝y ，…………………………………………………………………………………5分 代入x 02＋y 02＝1，得x 24＋y 2＝1，即为所求的曲线方程. ……………………………………………10分C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，由ρcos(θ＋π3)＝1 ，得ρ(cos θcos π3－sin θsin π3)＝1， 得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0 ．………………………………………………………… 5分曲线ρ＝r 的直角坐标方程为圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝∣1⨯0－3⨯0－2∣ 12＋(－3)2＝1． 因为直线ρcos(θ＋π3)＝1与曲线ρ＝r (r ＞0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1. ……………………………10分D ．选修4-5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(3y )2][12＋(33)2]≥(x ⨯1＋3y ⨯33)2， 即43(x 2＋3y 2)≥(x ＋y )2 ． 而x 2＋3y 2＝1，所以(x ＋y )2≤43，所以－233≤x ＋y ≤23A B E D F O · （第21(A)）3，………………………………………… 5分由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 33，x ＋y ＝233，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝36，所以当且仅当x ＝32，y ＝36时，(x ＋y )max ＝23 3 ． 所以当x ＋y 取最大值时x 的值为x ＝32．…………………………………………………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．因为OP ⊥底面ABCD ，所以以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (2，0，0)，B (0，1，0)，P (0，0，4)，C (－2，0，0)，M (－1，0，2)，所以→AP ＝(－2，0，4)，→BM ＝(－1，－1，2)，→AP ⋅ →BM ＝10，∣→AP ∣＝25，∣→BM ∣＝6． 则cos ＜→AP ，→BM ＞＝→AP ⋅ →BM ∣→AP ∣∣→BM ∣＝102 5⨯ 6＝306．故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306………………5分 （2）→AB ＝(－2，1，0)，→BM ＝(－1，－1，2)． 设平面ABM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⋅ →AB ＝0，n ⋅ →BM ＝0，得⎩⎨⎧－2x ＋y ＝0，－x －y ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝4，z ＝3． 所以平面ABM 的一个法向量为n ＝(2，4，3)．又平面P AC 的一个法向量为→OB ＝(0，1，0)，所以n ⋅→OB ＝4，∣n ∣＝29，∣→OB ∣＝1．则cos ＜n ，→OB ＞＝n ⋅ →OB ∣n ∣∣→OB ∣＝4 2929 ． 故平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值为4 2929. …………………………………………10分23．解：（1）由条件，n ∈N *，nf (n )＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ①，在①中令n ＝1，得f (1)＝C01⋅C 11＝1．…………………………………………………………………… 1分在①中令n ＝2，得2f (2)＝C 02C12＋ 2 C 12C 22＝6，得f (2)＝3．…………………………………………… 2分在①中令n ＝3，得3f (3)＝C 03C 13＋2 C 13C 23＋3 C 23C 33＝30，得f (3)＝10． ………………………………3分C（第22题）（2）猜想f (n )＝C n 2n －1(或f (n )＝C n －1 2n －1)．………………………………………………………………… 5分 欲证猜想成立，只要证等式n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n 成立．方法一：当n ＝1时，等式显然成立．当n ≥2时，因为r C r n ＝r ⨯n !r !(n －r )!＝n !(r －1)!(n －r )!＝n ⨯(n －1)!(r －1)!(n －r )!＝n C r －1n －1，………………………7分故r C r －1n C r n ＝(r C r n ) C r －1n ＝n C r －1n －1C r －1n ．故只需证明n C n 2n －1＝n C 0 n －1C 0n ＋n C 1 n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1C r －1n ＋…＋n C n －1n －1C n －1n ． 即证 C n 2n －1＝C 0 n －1C 0n ＋ C 1 n －1C 1n ＋…＋ C r －1n －1C r －1n ＋…＋ C n －1n －1C n －1n ．而C r －1n ＝C n －r ＋1n ，故即证C n 2n －1＝C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ②．由等式(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 可得，左边x n 的系数为n2n －1． 而右边(1＋x )n －1(1＋x )n ＝(C 0 n －1＋C 1 n －1x ＋C 2 n －1x 2＋…＋C n －1n －1x n －1)( C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )所以x n 的系数为C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ．由(1＋x )2n －1＝(1＋x )n －1(1＋x )n 恒成立可得②成立.综上，f (n )＝C n 2n －1成立．……………………………………………………………………………… 10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有2n －1个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球．现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球(n －r 个白球）的n 个小球的组合的个数为C r n －1C n －r n ，0≤r ≤n －1，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为 C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ．另一方面，从袋中2n －1个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为C n 2n －1． 故C n 2n －1＝C 0 n －1C n n ＋ C 1 n －1C n －1n ＋…＋ C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋ C n －1n －1C 1n ，余下同方法一. …………………………………………………………………………………………10分方法三：由二项式定理，得(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ③．两边求导，得n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…r C r n x r －1 ＋…＋n C nn x n －1 ④．③×④， 得n (1＋x )2n －1＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )( C 1n ＋2C 2n x ＋…r C r n x r －1 ＋…＋n C nn x n －1) ⑤． 左边x n 的系数为n C n2n －1．右边x n 的系数为C 1n C n n ＋2 C 2n C n －1n ＋…＋r C r n C n －r ＋1n ＋…＋n C n n C 1n＝C 1n C 0n ＋2C 2n C 1n ＋…＋r C r n C r －1n ＋…＋n C n n C n －1n＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ．由⑤恒成立，可得n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2 C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C n n ． 故f (n )＝C n 2n －1成立． ……………………………………………………………………………………10分。
2018年江苏省盐城中考数学试卷含答案
2018年中考数学试卷<江苏盐城卷）<本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题<本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）b5E2RGbCAP1．－2、0、1、－3四个数中，最小的数是【】A． B．0 C．1 D．【答案】D。
2．如果收入50元记作＋50元，那么支出30元记作【】A．＋30元 B．－30元 C．＋80元 D．－80元【答案】B。
3．下面的几何体中，主视图不是矩形的是【】A．B． C． D．【答案】C。
4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是【】A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【答案】A。
5．下列运算中，正确的是【】A． B．C． D．【答案】D。
6．某公司10名职工的5月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是【】A．2400元、2400元 B．2400元、2300元 C．2200元、2200元 D．2200元、2300元p1EanqFDPw【答案】A。
7．如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于【】A．600 B．700 C．800 D．900DXDiTa9E3d【答案】C。
8．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】RTCrpUDGiTA．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】B。
二、填空题<本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）9．16的平方根是▲ .【答案】±4。
10．分解因式:＝▲ .【答案】。
11．2018年4月20日，四川省雅安市芦山县发生7.0级地震，我市爱心人士情系灾区，积极捐款，截止到5月6日，市红十字会共收到捐款约1400000元，这个数据用科学计数法可表示为▲ .5PCzVD7HxA【答案】1.4×106。
南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试题及答案
南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03 注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为 ▲ ．3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5．已知等差数列{an}的公差d 不为0，且a1，a3，a76．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x2＋y2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x2，当x ＞0时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．a (第7题图)若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ． 13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ．16．(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A(x1 ，y1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x2，y2)．（1）若x1＝35，求x2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S1，S2，且S1＝43S2，求tan α的值．17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．(第16题图) P NC PB C DE A (第15题图)18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F2三点的圆的方程； （3）若F1P →＝λQF1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax ＋bxex ，a ，b ∈R ，且a ＞0．（1）若a ＝2，b ＝1，求函数f(x)的极值； （2）设g(x)＝a(x －1)ex －f(x)．① 当a ＝1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b 的最大值；② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x ＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求ba 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n ∈N*，a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列， a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列． （1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）设a1＜a2，求证：对任意n ∈N*，且n ≥2，都有an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2014.03 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ． （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤21． （1）求矩阵A ；（2）若A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ab ，求x ，y 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A ，B ，C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分）设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n ∈N*，f(n)∈Z ；②任意m ，n ∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m ＋n －1)．A EBC F D第21题A 图（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值； （2）求f(n)的表达式．南京市2014届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题：15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ． 因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． …………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分16．解：（1）因为x1＝35，y1＞0，所以y1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． …………………………………………2分所以x2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………………6分（2）S1＝12sin αcos α＝－14sin2α．因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S2＝－12sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．…………………………………………8分因为S1＝43S2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (10)分所以2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝2或tan α＝－12．因为α∈(π4，π2)，所以t anα＝2． …………………………………………14分17．解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分 AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分 解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α． 在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos ∠MAN ， 即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x2＋4－y22×2×x ＝x2＋(x2－xy)4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM·PM·cos ∠AMP ，即AP2＝x2＋4－2×2×x×x －2y4＝x2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x2＋y2－xy ＝4，4＋xy ＝x2＋y2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分18．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a2c ＝2， 解得c ＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．所以椭圆的方程为x22＋y2＝1． …………………………………………2分（2）因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x22＋y2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为kPF 1·kPF 2＝－1，所以△PQF2为直角三角形． ……………………6分 因为QF2的中点为(－16，－16)，QF2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x2＋y2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则F1P →＝(x1＋1，y1)，QF1→＝(－1－x2，－y2)．因为F1P →＝λQF1→，所以⎩⎨⎧x1＋1＝λ(－1－x2)，y1＝－λy2，即⎩⎨⎧x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy 22＝－λ2x22－(1＋λ)x2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分19．解：（1）当a ＝2，b ＝1时，f (x)＝(2＋1x)ex ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以f ′(x)＝(x ＋1)(2x －1)x2ex ． …………………………………………2分令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝12，列表由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e －1，f (x)的极小值是f (12)＝4e ．……………………………………4分（2）① 因为g (x)＝(ax －a)ex －f (x)＝(ax －bx －2a)ex ，当a ＝1时，g (x)＝(x －bx－2)ex ．因为g (x)≥1在x ∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x －xex 在x ∈（0，＋∞）上恒成立． …………………………………………8分记h(x)＝x2－2x －xex （x ＞0），则h ′(x)＝(x －1)(2ex ＋1)ex．当0＜x ＜1时，h ′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；当x ＞1时，h ′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数． 所以h(x)min ＝h(1)＝－1－e －1．所以b 的最大值为－1－e －1． …………………………………………10分 ② 因为g (x)＝(ax －b x －2a)ex ，所以g ′(x)＝(b x2＋ax －bx －a)ex ．由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax －b x －2a)ex ＋(b x2＋ax －bx－a)ex ＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0．存在x ＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等价于存在x ＞1，2ax3－3ax2－2bx ＋b ＝0成立． …………………………………………12分 因为a ＞0，所以b a ＝2x3－3x22x －1．设u(x)＝2x3－3x22x －1（x ＞1），则u ′(x)＝8x[(x －34)2＋316](2x －1)2．因为x ＞1，u ′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，所以b a ＞－1，即ba 的取值范围为（－1，＋∞）． …………………………………………16分20．解：（1）因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d ，则a3＝3－2d ，a4＝3－d ．因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝a 23a4＝(3－2d)23－d ． …………………………………………3分因为a2＝1，所以(3－2d)2 3－d ＝1，解得d ＝2，或d ＝34．因为an ＞0，所以d ＝34．因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝12．…………………………………5分（2）证法一：因为a2n －1，a2n ，a2n ＋1成等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2成等比数列， 所以2a2n ＝a2n －1＋a2n ＋1，① a 2 2n ＋1＝a2na2n ＋2．② 所以a 2 2n －1＝a2n －2a2n ，n ≥2．③所以a2n －2a2n ＋a2na2n ＋2＝2a2n ．因为an ＞0，所以a2n －2 ＋a2n ＋2＝2a2n ． …………………………………………7分 即数列{a2n }是等差数列．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)．由a1，a2及a2n －1，a2n ，a2n ＋1是等差数列，a2n ，a2n ＋1，a2n ＋2是等比数列，可得a4＝(2a2－a1)2a2．所以a2n ＝a2 ＋(n －1)(a4－a2)＝(a2－a1)n ＋a1a2．所以a2n ＝[(a2－a1)n ＋a1]2a2．所以a2n ＋2＝[(a2－a1)(n ＋1)＋a1]2a2． (10)分从而a2n ＋1＝a2na2n ＋2＝[(a2－a1)n ＋a1][(a2－a1)(n ＋1)＋a1]a2．所以a2n －1＝[(a2－a1)(n －1)＋a1][(a2－a1)n ＋a1]a2．①当n ＝2m ，m ∈N*时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1][(a2－a1)(m ＋1)＋a1]a2[(a2－a1)m ＋a1]2a2－a2a1＝(a2－a1)(m ＋1)＋a1(a2－a1)m ＋a1－a2a1＝－m(a1－a2)2a1[(a2－a1)m ＋a1]＜0． …………………………………………14分②当n ＝2m －1，m ∈N*，m ≥2时，an ＋1an －a2a1＝[(a2－a1)m ＋a1]2a2[(a2－a1)(m －1)＋a1][(a2－a1)m ＋a1]a2－a2a1＝(a2－a1)m ＋a1(a2－a1)(m －1)＋a1－a2a1＝－(m －1)(a1－a2)2a1[(a2－a1)(m －1)＋a1]＜0．综上，对一切n ∈N*，n ≥2，有an ＋1an ＜a2a1． …………………………………………16分证法二：①若n 为奇数且n ≥3时，则an ，an ＋1，an ＋2成等差数列．因为an ＋2an ＋1－an ＋1an ＝an ＋2an －a2n ＋1an ＋1an ＝(2an ＋1－an)an －a2n ＋1an ＋1an ＝－(an ＋1－an)2an ＋1an ≤0，所以an ＋2an ＋1≤an ＋1an ．②若n 为偶数且n ≥2时，则an ，an ＋1，an ＋2成等比数列，所以an ＋2an ＋1＝an ＋1an ．由①②可知，对任意n ≥2，n ∈N*，an ＋2an ＋1≤an ＋1an ≤…≤a3a2．又因为a3a2－a2a1＝2a2－a1a2－a2a1＝2a2a1－a12－a22a2a1＝－(a1－a2)2a2a1，因为a1＜a2，所以－(a1－a2)2a2a1＜0，即a3a2＜a2a1．综上，an ＋1an ＜a2a1．南京市2014届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB ．因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．所以∠ABC ＝∠BAE ．所以AE ∥BC ．因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．…………………………………4分（2）因为AE 与圆相切于点A ，所以AE2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4． 根据（1）有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6．设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83．………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎡⎦⎤1 a －1 b ⎣⎡⎦⎤21＝2⎣⎡⎦⎤21，即⎩⎨⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4．所以A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4． ………………………………………5分 （2）解法一：A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，即⎣⎡⎦⎤1 2－1 4 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤24， 所以⎩⎨⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1．………………………………………10分 解法二：因为A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16． ………………………………………7分 因为A ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a b ，所以⎣⎡⎦⎤x y ＝A －1⎣⎡⎦⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13 16 16 ⎣⎡⎦⎤24＝⎣⎡⎦⎤01． 所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1． ………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解法一：以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为 (x －1)2＋y2＝1，且圆心C 为(1，0)．………………………4分直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ， 因为圆心C(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆心C 关于y ＝x 的对称曲线为x2＋(y －1)2＝1． ………………………………………8分所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρR)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 解法二：设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ． ………………………………………6分 将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos(π2－θ)，即ρ＝2sinθ． 所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ．…………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证： 因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|． ………………………………………5分 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1． 即|x ＋5y|≤1． ………………………………………10分22．（本小题满分10分）解（1）记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C42×2234＝2481＝827． 答：恰有2人申请A 大学的概率为827． ………………………………………4分 （2）X 的所有可能值为1，2，3．P(X ＝1)＝334＝127， P(X ＝2)＝C43×A32＋3×A3234＝4281＝1427， P(X ＝3)＝C42×A3334＝3681＝49． X所以X 的数学期望E(X)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527． ………………………………………10分 23．解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．……………………………………1分 因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．因为f(n)∈Z ，所以f(2)＝3，f(3)＝4． ………………………………………3分（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z ，所以f (n+1)≥f (n)+1．首先证明：f (n)≥n+1．因为f (1)＝2，所以n ＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．综上，f (n)≥n+1．………………………………………5分由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．下面证明：f (n)＝n+1．因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．即n＝k+1时，命题也成立．所以f (n)＝n+1 ………………………………………10分。
2014届江苏省南京市、盐城市、淮安市(淮安三模)高三第二次模拟考试数学试题解析版
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB⊥平面 ABCD，PA⊥PB， BP＝BC，E 为 PC 的中点． （1）求证：AP∥平面 BDE； （2）求证：BE⊥平面 PAC． 15．证： （1）设 AC∩BD＝O，连结 OE．
（2）因为平面 PAB⊥平面 ABCD，BC⊥AB，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB， 所以 BC⊥平面 PAB． 因为 AP平面 PAB，所以 BC⊥PA． 因为 PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面 PBC， 所以 PA⊥平面 PBC． „„„„„„„„„„12 分 „„„„„„„„„„8 分
B 第 2 页 共 18 页 (第 15 题图) C E A D P
因为 ABCD 为矩形，所以 O 是 AC 的中点． 因为 E 是 PC 中点，所以 OE∥AP． 因为 AP / 平面 BDE，OE平面 BDE， 所以 AP∥平面 BDE． „„„„„„„„„6 分 „„„„„„„„4 分
14．设函数 f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线 y＝f(x)在点 A，B 处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 1．(0，1] 8． 5 2．4 1 9．2 3．300 10．60° 5 4．9 7 11．1 或23 5．2 12．2 2－2 6．4 5 7 13．(3，3) 7．1 14．[－1，1]
y 2
▲
．
O π 6 －2
江苏省南京市、盐城市2019届高三数学下学期第二次模拟考试试题(含解析)
南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学一、选择题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1。
已知集合，，则=______.【答案】【解析】【分析】直接利用并集的定义求解.【详解】由题得=故答案为：【点睛】本题主要考查并集的运算，意在考查学生对该知识的理解能力掌握水平.2.若复数满足（为虚数单位），且实部和虚部相等,则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】由题得z=(a+2i）i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，即可求出a的值.【详解】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.故答案为：-2【点睛】本题主要考查复数的计算,考查复数实部与虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平。
3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13）,［13，14），[14，15)，［15，16），［16，17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组,……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人,则第三组中的人数为_________．【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数,求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0。
24，0.16，设总的人数为n，则所以第3小组的人数为人。
故答案为：18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.4.下图是某算法的伪代码,输出的结果的值为______。
【答案】【解析】【分析】直接按照算法的伪代码运行即得结果。
【详解】1＜6，i=3,S=4,3＜6,i=5，S=9,5＜6，i=7,S=16，7＞6，输出S=16。
南京市、盐城市届高三年级第一次模拟考试数学试题及标准答案
南京市、盐城市届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单频50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005 第3Read x If 0x > Then ln y x ← Else 第411．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c b =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，求cos()4B π+的值．A B第13ABCA B C M N第15有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点3(3,)2处时，点Q 的坐标为23(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u r u u u u r 时，求直线BM 的方程．xy O BNM P QD第18A DCB E GFOM N H 第17NEFGH 第17MN设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A BE DF O · 第[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===. （1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．MABCDOP第22南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．3- 13．24 14．100 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分 又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分 （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A I 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分 又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =I ，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B =． ……………2分 又2C B =，所以5sin 2sin 2B B =，即4sin cos 5sin B B B =． ……………4分 又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而22222222()35cos 225c c c a c b B ac c +-+-===， ……………12分又0B π<<，所以24sin 1cos 5B B =-=．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2R MT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分 故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin1203323R R ππ=-︒=-. ……………4分 又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=16433π-.答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积 为16433π-立方分米. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(3)323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(23)(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋－()f x 增 极大值 减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由32(3,),(3,0)23N Q ，得直线NQ 的方程为332y x =-． …………………2分 令0x =，得点B 的坐标为(0,3)-． 所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N 的坐标3(3,)2代入，得2223()(3)213a +=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为3y kx =-．在3y kx =-中，令0y =，得3P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以32Q x k =． 所以直线BN 的斜率0(3)2302BN BQk k k k--===-． ………………10分ADCB E G FO M N HT联立223143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)830k x kx +-=，解得28334M k x k =+． 用2k 代k ，得2163316N kx k =+． ………………12分又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故22831632334316k k k k ⨯=⨯++，又0k >，解得62k =． 所以直线BM 的方程为632y x =-． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,3)B -，得直线BN 的方程为1133y y x x +=-，令0y =，得1133P x x y =+． 同理，得2233Q x x y =+．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x =，故121232333x x y y =++． …………………10分 又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>，从而1241333y y =++，解得214333y y =+． …………………12分 将2121234333x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(43)1927x y ++=． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(43)31927y y -++=，即2113230y y +-=， 解得13y =-（舍）或133y =．又10x >，所以点M 的坐标为423(,)33M ．……………14分 故直线BM 的方程为632y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分 （2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分 令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩， 所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=． 则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分 即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以2(3)c a a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以2(3)2(3)2()32a a a a +--⨯=?（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以2(3)a a t ---的取值范围是(,3)-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. ………………10分 （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分 要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--， 即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分 （B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则2201x y +=，A B E D F O· 第设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分 （C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为320x y --=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为0302113d -⨯-==+．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D ）解：由柯西不等式，得2222233[(3)][1()](13)33x y x y ++≥⨯+⨯， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以223333x y -≤+≤， ………………5分 由3133233x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得3236x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当33,26x y ==时，max 2()33x y +=． 所以当x y +取最大值时x 的值为32x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-u u u r ，(1,1,2)BM =--u u u u r，10AP BM ⋅=u u u r u u u u r ， ||25AP =u u u r ，||6BM =u u u u r．则1030cos ,6||||256AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为306. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,2)BM =--u u u u r．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r，MAB C D OP第22x yz则0n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =u u u r ，所以n r 4OB ⋅=u u u r，||29n =r ，||1OB =u u u r ．则44cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ………………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分 在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分 在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+． 而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++L L ， 所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立. ………………10分 方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++L ． 另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++L ，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++L ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++L L ④．③×④， 得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++L L L ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立. ………………10分。
2018年高考全国二卷数学含答案
2018年高考全国二卷数学含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试二卷文科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）。
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P （B）。
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为：Pn(k)=C(n,k)Pk(1-P)^(n-k)。
球的表面积公式：2S=4πR，其中R表示球的半径。
球的体积公式：V=4/3πR^3，其中R表示球的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|x<4}，N={x|x-2x-3<0}，则集合M∩N=A。
{x|x3} C。
{x|-1<x<2} D。
{x|2<x<3}2.函数y=1/x(x≠-5)的反函数是A。
y=-5(x≠0) B。
y=x+5(x∈R) C。
y=5/x(x≠0) D。
y=x-5(x∈R)3.曲线y=x^2-3x+1在点(1,-1)处的切线方程为A。
y=3x-4 B。
y=-3x+2 C。
y=-4x+34.已知圆C与圆(x-1)^2+y^2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为A。
(x+1)^2+y^2=1 B。
x+y=1 C。
x+(y+1)^2=1 D。
x+(y-1)^2=15.已知函数y=tan(2x+θ)的图象过点(-π/12,)，则θ可以是A。
-π/12 B。
π/6 C。
π/12 D。
5π/126.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为A。
75° B。
60° C。
45° D。
30°7.函数y=-e^x的图象A。
与y=e^x的图象关于y轴对称 B。
专题基本不等式常见题型归纳(教师版)
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x－y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-y x y x -+22yx xyy x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(yx -433时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x y xy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43， 当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 yx y x -+22【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ． 解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .,x y 22x y +=8x yxy+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x=解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立． 5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，ax ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -= 则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a3-b b ab b a 23+b 3a2b a 6a b6a b b a 66⋅b a 6ab62练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx-，那么x2＋y2= x2＋222(1)4xx-=54x2+214x－12≥21 212，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
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1
2018届江苏省南京市、盐城市高考第二次模拟考试数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本
试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上，试题的答案写在答题纸上对应题目
的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1．函数f(x) =lg(2 -x)的定义域为 ▲ ．
2．已知复数z满足12zi =1，其中i为虚数单位，则复数z的模为 ▲ ．
3．执行如图所示的算法流程图，则输出口的值为▲ ．
4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为 ▲ ．
5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往
甲地的概率为__▲ ．
2
6．已知等差数列的前，l项和为品．若S15 =30，a7=1，则S9的值为▲ ．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bsinAsinB十acos2B - 2c，则ac
的值为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：2221yxb(b>0)的两条渐近线与圆O：x2+y2=2 的四个交
点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为 ▲ ．
9．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边
长为2的正四棱锥S-EFGH（如图2），则正四棱锥S-EFGH的体积为 ▲ ．
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2+x．若f(a)+f(-a)<4 ，则实数a
的取值范围为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=1mx（m>0）在x=l处的切线为l，则点（2，-1）到直线，
的距离的最大值为▲ ．
12．如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F.若2ABACuuuruuurg，5ADAFuuuruuurg，则AE长
为 ▲ ．
3
13.在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x+4)2+(y-a)2=16上两个动点，且 AB=211．若
直线l:y= 2x上存在唯一的一个点P，使得，则实数a 的值为 ▲ ．
14．已知函数f(x) , t∈R．若函数g(x)=f(f(x))-1）恰有4个不同的
零点，则t的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请
把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
已知函数的部
分图象如图所示，直线x=，x=是其相邻的两条对称轴．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若求cosa的值．
16.（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互
相垂直，AE-AB，M,N，H分别为DE，AB，BE的中点．
(1)求证：MN∥平面BEC;
(2)求证：AH⊥CE．
17．（本小题满分14分）
调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式m=k×（k
为常数）．如图，某投资者计划在与商场A相距10km的新区新建商场B，且商场B的面积与商场A
的面积之比为λ（0<λ<1）．记“每年居民到商场A购物的次数”、“每年
居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2，称满足ml
(1)已知P与A相距15km，且∠PAB=60°．当λ=时，居住在P点处的居
4
民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内？，请说明理由；
(2)若要使与商场B相距2km以内的区域（含边界）均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，求λ
的取值范围．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: （a>b>0)的离心率为，上顶点A到右焦点
的距离为2．过点D(0，m)（m≠0）作不垂直于x轴，y轴的直线，
交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥OC.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求实数m的取值范围；
(3)延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，
S2，若，求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)=x（ex-2），g(x)=x-lnx+k，k∈R，其中e为自然对数的底数．记函数F(x)=f(x)+g(x)．
(1)求函数y=f(x)+2x的极小值；
(2)若F(x)>0的解集为(0，+∞)，求k的取值范围；
(3)记F(x)的极值点为m，求证：函数G(x)= |F(x)|+ lnx在区间(0，m)上单调递增．（极值点是
指函数取极值时对应的自变量的值）
20．（本小题满分16分）
对于数列{}na，定义bn(k）=an+an+k，其中n，k∈N*．
(1)若bn(2)-bn(1)=1，n∈N*，求bn(4) - bn(l)的值；
(2)若al=2，且对任意的n，k∈N*，都有bn+1(k)=2bn(k)．
(i)求数列{an}的通项公式；
(ii)设k为给定的正整数，记集合A={bn(k)|n∈N*}，B={5bn(k+2)|n∈N*}，
求证：．
5
附加题
注意事项：
1．附加题供选考物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级写在答题卡上，试题的答案写在答题纸 上对应
题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答 题纸指
定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1:几何证明选讲
如图，AB是圆D的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆D于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点
E，求证：DE是圆D的切线．
B．选修4-2:矩阵与变换
已知a=为矩阵A=属于实数λ的一个特征向量，求λ和A2．
C．选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线，的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为
(a>0，θ为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线，距离的最大值为3，求a的值，
D．选修4-5：不等式选讲
对任意x，y∈R，求|x-l|+|x|+|y-1|+|y+1\的最小值，
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
甲，乙两人站在P点处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向兰个目标各射击一次，每人每次
射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为
6
(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．
23．（本小题满分10分）
已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，„，an中的每一项均在集合M={l，2，„，n}中，
且任意两项不相等．
(1)若n=7,且a2
的个数.
7
8
9
10
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12
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