高中数学人教A版必修四作业32两角和与差的正弦、余弦、正切公式含解析
最新-人教A版高中数学必修四课件：312 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一3 精品
2
3
cos 4，
5
5
s答in(案 ： ) sincos sin cos 1 sin 3 cos 1 3 3 ( 4)
3
33
2
2
25 2 5
34 3. 10
34 3. 10
4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________. 【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= . 答案：
【变式训练】设 cos( ) 1，
29
【 可sin解 知( 2题指)南 】32，由其已中知角 (
，)， 2
与(0，所 )求，角求cos
2
建 立. 关系，
2
，
22
2
( ) ( ).
2
22
【解析】因为 因为
(
，)， 2
(0， 2
)，所以
2
(
，)， 42
(
， 42
)，
所以
【题型探究】
类型一 给角求值
【典例】1.(2015·全国卷Ⅰ) sin 20cos 10 cos 160sin 10=( )
A. 3
2
B. 3
2
C1.
1 D.
2
2
2.求下列各式的值. (1) ((23))ssiinn(17x8+c2o7s°29)cosisn(91s8i°n 29-x.)-sin(63°-x)·sin(x-18°).
2.两角和的余弦公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，
如
中的“ ”相当于公式中的角α，“ ”
高中数学必修4-两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 重点、难点教学重点：以两角和与差的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 二、课堂教学首先回顾两角和与差的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-sin()sin cos sin cos αβαββα+=+ sin()sin cos sin cos αβαββα-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（把上述公式中β看成α即可），()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 变型： 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈。
三、例题讲解 例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯=⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例2、 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 解：在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得:sinA=.53)54(1cos 122=-=-A所以tanA=A A cos sin =53×45=43,tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-AA 又tanB=2, 所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 例3、求cos36°cos72°.的值．解：原式= 36sin 472cos 72sin 236sin 272cos 36cos 36sin 2=∙=41.例4.已知cos α=71,cos(α-β)=1413,且0<β<α<2π,(1)求tan2α的值; (2)求β.解:(1)由cos α=71,0<α<2π,得sin α=a 2cos 1-=.734)71(12=- ∴tan α=aa cos sin =17734⨯=43.于是tan2α=.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--a a a(2)由0<α<β<2π,得0<α-β<2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa 由β=α-(α-β),得 cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=71×1413+1433734⨯=21. ∴β=3π. 例5 化简x x sin cos 3- 解：原式=)3sin(2)sin 3cos cos 3(sin 2)sin 21cos 23(2x x x x x -=-=-πππ 或解：原式=)6cos(2)sin 6sin cos 6(cos 2x x x +=-πππ例6 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域 解： )3cos(2)125cos()12cos(x x x y -=+--=πππ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴336πππ≤-≤-x∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-1,21)3cos(x π ∴函数y 的值域是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡2,22例7 已知135)4sin(=-x π，40π<<x 求)4cos(2cos x x +π的值解：∵135)4sin(=-x π135)4sin()4(2cos =-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x πππ 即：135)4cos(=+x π∵40π<<x ∴244πππ<+<x从而1312)4(=+x si π而16912013513121351312)4cos()4(cos 2cos =⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x ππ∴1324135169120)4cos(2cos ==+x x π 例8已知0sin 2)2sin(=++ββα 求证tan α=3tan(α+β) 证：由题设：)](sin[2])sin[(βαααβα+-=++即)sin(cos 2)cos(sin 2sin )cos(cos )sin(βααβαααβααβα+-+=+++ ∴)cos(sin cos )sin(3βαααβα+=+ ∴tan α=3tan(α+β) 例9 已知432παβπ<<<，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求sin2α的值 解：∵01312)cos(>=-βα 432παβπ<<< ∴40πβα<-< ∴135)sin(=-βα ∴23πβαπ<+<又53)sin(-=+βα ∴54)cos(-=+βα∴sin2α=)sin()(0)cos()sin()]()sin[(βαβαβαβαβαβα-++-+=-++s c=655613554131253-=⨯-⨯-例10求证：tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°＝1选题意图：考查两角和与差的正切变形公式的应用证明：左端＝︒⋅︒+︒+︒20tan 40tan )40tan 20(tan 33右端==︒︒+︒︒-=︒︒+︒︒-︒=120tan 40tan 40tan 20tan 120tan 40tan )40tan 20tan 1(60tan 33说明：可在△ABC 中证明2tan2tan2tan2tan2tan2tan=++A C C B B A课时对点练一、选择题1．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50°＝( )A. 3B.33C ．－33D ．－ 33．若3sin x －3cos x ＝23sin(x －φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝ ( )A ．－π6B.π6C.5π6D ．－5π64．(2010·烟台调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.19255．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值是 ( )A.2＋33B ．－2＋33C.2－33D.－2＋33二、填空题6．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 7．(2010·汕头二模)若0＜α＜π2＜β＜π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.8．已知α、β为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则β的值为________．三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos2α1＋cos 2α的值．10．(2010·湖南卷)已知函数2()sin 22sin f x x x =-(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x 的集合．11．如图在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐 角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已 知A 、B 两点的横坐标分别为210、255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的大小．12．(2010·珠海质量检测)已知函数44cos 2cos 21()2cos 2x x f x x--=.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1112π的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x 的最大值和最小值．答案1 解析：y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ∴周期为π的奇函数．答案：A2 解析：tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50° ＝tan 120°(1－tan 70°·tan 50°)－3tan 70°·tan 50° ＝－ 3. 答案：D3 解析：23sin(x －φ)＝23(sin xcos φ－cos xsin φ) ＝3sin x －3cos x ，∴cos φ＝32，sin φ＝12. 又φ∈(－π，π)， ∴φ＝π6. 答案：B 4 解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725. 答案：A5 解析：sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α ＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2＋33.答案：A6 解析：y ＝(2cos 2x －1)＋sin 2x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1 ∴y 的最小值为1－ 2. 答案：1－ 27 解析：∵0＜α＜π2＜β＜π，∴π2＜α＋β＜3π2， ∴sin β＝223， cos(α＋β)＝－223， ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋13×223 ＝49 2. 答案：4298 解析：cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝17×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114＋437×5314＝12. ∴β＝π3. 答案：π39 解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12. 解得tan α＝－13.(2)sin 2α－cos2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos2α2cos2α ＝tan α－12＝－56.10 解：(1)因为f(x)＝sin 2x －(1－cos 2x) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1.所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，当2x ＋π4＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，f(x)取最大值2－1.因此函数f(x)取最大值时x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z.11、解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β ＝255.因为α为锐角，故sin α>0，从而sin α＝1－cos2α＝7210，同理可得sin β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1.又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.12解：f(x)＝－＋－2cos2xcos 2x＝＋－2cos 2xcos 2x＝2cos 2x ＋1－2＝2cos 2x －1＝cos 2x.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫－11π12＝cos 11π6＝cos π6＝32.(2)g(x)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由0≤x＜π4，故π4≤2x＋π4＜3π4，∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤ 2.即g(x)的最小值是1，最大值是 2.。
人教A版高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)3
【知识提炼】 1.两角和的正切公式 T(α +β )：tan(α +β )=______________. tan tan 2.两角差的正切公式 T(α -β )：tan(α -β )=______________ 1 tantan (注：α 和β 的取值应使分母不为0).
1 tan 75 tan 45 tan 75 1 tan 45tan 75
3 3
3 3
5.若tanα =3，则
=____________. tan( ) 4
【解析】因为tanα =3，所以 案：-2
3 1 4 tan( ) 2. 4 1 tantan 1 3 1 4 tan tan
1 tan tan( ) ； 4 1 tan 1 tan tan( ) . 4 1 tan
3.使用T(α ±β )的注意事项 (1)必须在定义域范围内使用上述公式.tanα ，tanβ ，tan(α ±β ) 只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式. (2)注意公式的结构，尤其是符号.
tan tan tan( ) ， 1 tantan
【解析】1.原式= tan60 tan15 =tan(60°-15°) 1 tan60tan15 =tan45°=1. 答案：1
11 tan tan( ) 12 12 4 6 3 tan tan 1 4 6 3 2 3. 3 1 tan tan 1 4 6 3 (2)因为 tan17 tan28 tan(17 28) ， 所以tan17°+tan28°=tan(17 ° +28 1 tan17 tan28 °)(1-tan17°tan28°) tan
高中数学人教A必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
题型二
题型三
题型三
M 目标导航
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
利用角的变换求值
【例 3】 已知 cos(α+β)=
π
2π,
2
Z 知识梳理
UBIAODAOHANG
4
, cos(
5
− ) =
4 3π
− ,
5 2
< + <
< − < π, 求 cos 2的值.
-13-
3.1.2 两角和与差的
正弦、余弦、正切公式
题型一
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
1
3
π
2
,
2
3
2.
解:∵cos α= , ∈ 0,
∴sin α=
Z 知识梳理
1-cos2
IANLI TOUXI
题型四
4 3π
,
5 2
∴sin(α+β)=− 1-
< + < 2π,
4 2
5
=
3
− .
5
4 π
∵cos(α-β)=− 5 , 2 < − < π,
∴sin(α-β)= 1-
4 2
5
3
5
= .
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
人教A版高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)PPT
解： sin 5 ,sin 10 ,且， （0， ）
5
10
2
cos 1 sin2 2 5 ,cos 1 sin2 3 10
5
10
cos( ) cos cos sin sin
2 5 3 10 5 10 2 5 10 5 10 2
又由已知可得 (0, ),
小试牛刀
1、设
cos
3 5
，
sin
4
5 ，且 13
,
0,
2
，则cos
4
56 ___6_5______;
2、设t tan tan tan tan ,且 5 ，
4
则t ____1______;
3、若 x ，求函数 y sin x 3 cos x
2
2
的最大值和最小值.
2
,
变式 : 在ABC中, A是锐角，且 sin A 5 , 5
sin B 10 , 求角C. 10
分析:由cosC cos (A B) cos( A B)
及例2.结果可得 cos C 2 , 2
又 C (0, ), C 3
4
例7、化简：(1)
3 sin
x
1 cos x
sin( x
f ( x)的周期及最大值;
2
x
6
2
x
3
2
解 : (1) f ( x)
2 2
1 2
sin(2
x
3
)
3 2
cos(2
x
3
)
2 2
sin(2 x
3
)
cos
3
cos(2
x
3
) sin
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
tan32°= ( )
A. 3 m C. 3 (m-1)
B. 3 (1-m) D. 3 (m+1)
【解析】选B.因为28°+32°=60°, 所以tan60°=tan(28°+32°)= tan28＋ tan32＝3，
1tan 28tan 32
因为tan28°·tan32°=m,
所以tan28°+tan32°= 3(1-m).
所以A+B= .
4
【补偿训练】已知tanα ,tanβ 是方程x2+3 3 x+4=0 的两根,且α ,β ∈ ( , ), 则α +β =________.
22
【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3 3x+4=0的两根,
所以
tantan3
30,
tantan40.
3
3
答案: 1
3
【方法技巧】公式T(α ±β )的逆用及变形应用的解题策
略
(1)“1”的代换:在T(α ±β )中,如果分子中出现“1” 常利用1=tan 来代换,以达到化简求值的目的,
4
如 1 1 － ＋ t ta a n n ＝ ta n ( 4 ) ； 3 1 t－ a n t a ＋ n 3 ＝ 3 ta n ( ＋ 4 ） .
【解析】1.选C.由cosα=- 4 且α∈ ( 得 , t a) , nα=
3,
5
所以
tan(
) 4
Байду номын сангаас
3 1 1(43)1
1. 7
2
4
4
2.选B.因为cosB=3 1 0 ,
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式, 化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行 约分,解题时要逆用或变用公式. 提醒:在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时,首先 要注意结构是否符合公式特点,其次注意角是否满足要 求.
【变式训练】若tanα=2tan
5
=( )
cos( 3 )
2( 22sin1522cos15)sin(30) 3.
2( 2sin15 2cos15) sin60 3
答案:
2
3
2
3
【方法技巧】解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着 先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形 式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
4
4 452521 0
2.选B.因为 s in (x 9 )c o s c o s (x 9 )s in 1 ,
1 4 7
1 4 73
所以 s in (x 9 ) s in (x ) c o sx 1 ,
1 47
2
3
所以cosx=-1 .
3
3.
c o s7 5 c o s1 5 sin1 5 c o s1 5 sin1 5 sin7 5 sin1 5 c o s1 5
【自我检测】
1.cos57°cos12°+sin57°sin12°的值为 ( )
A .0
B .1 2
C . 3 2
D . 2 2
【解析】选D.原式=cos(57°-12°)=cos45°=
2.
2
2.sin75°=________.
【解析】sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45° = 1 2 3 2 26.
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第32课时二倍角的正弦余弦正切公式1作
1 2
sin22θ，又cos2θ＝－34，∴sin22θ＝1－cos22θ＝176.
∴原式＝1－12sin22θ＝1－12×176＝2352.
π 11．函数f(x)＝sin22x－4π的最小正周期是 2 .
解析：f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin4x， ∴T＝24π＝2π.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．sin22°30′cos22°30′等于( A )
2 A. 4 C. 2
2 B. 2 D．1
2．已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝( A )
A．－2245
B．－1225
12
24
C.25
D.25
解析：∵sinα＝
3 5
且α为第二象限角，∴cosα＝－
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝116·ssiinn12600°°＝116.
13．(13分)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且0<β<α<2π.
(1)求tan2α的值．
(2)求β. 解：(1)由cosα＝17，0<α<π2，
得sinα＝ 1－cos2α＝
1－172＝4
7
3 .
1－sin2α ＝
－45.
∴sin2α＝2sinαcosα＝－2245，故选A.
3．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P cos2α等于( A )
12，y0
，则
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
D．1
解析：点P12，y0在单位圆上，∴x＝12，y＝y0，r＝1. ∴cosα＝12，cos2α＝2cos2α－1＝－12.
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课时作业(三十二)1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32答案 B解析 1－2sin 222.5°＝cos45°＝22. 2．求11－tan22.5°－11＋tan22.5°的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.22答案 B解析 原式＝2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1.3．若sin θ2＝35，cos θ2＝－45，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 cos θ＝2cos 2θ2－1＝2⎝⎛⎭⎫－452－1＝725>0，sin θ＝2sin θ2·cos θ2＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425<0， ∴θ在第四象限．4．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α等于( )A.179B ．±179C ．－179D.173答案 A解析 将cos α＋sin α＝－13平方整理得2sin α·cos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0，sin α>0.∴cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－1－2sin αcos α＝－173. ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(－13)×(－173)＝179.5.1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．2sin5° D ．－2sin5°答案 D 解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2(22cos50°－22sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin5°.6．已知等腰三角形底角的余弦为23，则顶角的正弦值是( )A.259B.459C ．－459D ．－259答案 B解析 ∵sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝2×1－（23）2×23＝459.7．若cos2αsin （α－π4）＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72答案 C解析 原式＝cos 2α－sin 2α－22（cos α－sin α）＝－22，化简得sin α＋cos α＝12.8．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sinA ＋cosA 的值为( )A.153B ．－153C.53 D ．－53答案 A解析 方法一 ∵sin2A ＝2sinAcosA ＝23，∴1＋2sinAcosA ＝53，即sin 2A ＋2sinAcosA ＋cos 2A ＝53.∴|sinA ＋cosA|＝153.又∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA ＝153，故选A. 方法二 ∵A 为锐角，∴sinA ＋cosA>0.∴B 、D 不合题意． 若sinA ＋cosA ＝153，则(sinA ＋cosA)2＝53＝1＋2sinAcosA ＝1＋sin2A. ∴sin2A ＝23，满足题意，故选A.9．若sinxtanx<0，则1＋cos2x 等于( ) A.2cosx B ．－2cosx C.2sinx D ．－2sinx答案 B解析 ∵sinx ·tanx<0，即sin 2xcosx <0，∴cosx<0.又1＋cos2x ＝1＋2cos 2x －1＝2cos 2x ＝－2cosx.10．函数f(x)＝sin 2x ＋3sinxcosx 在区间[π4，π2]上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32 D ．1＋ 3答案 C解析 f(x)＝sin 2x ＋3sinxcosx ＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin(2x －π6)＋12，x ∈[π4，π2]，∴2x －π6∈[π3，5π6]．∴f(x)的最大值为32. 11．(高考真题·江西卷)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A.15B.14C.13D.12答案 D解析 ∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.12．已知sin(π4－x)＝35，则sin2x 的值为________．答案725解析 sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝1－2sin 2(π4－x)＝725.13．若cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝26(0<θ<π2)，则sin2θ＝________．答案73解析 cos(π4－θ)cos(π4＋θ)＝cos[π2－(π4＋θ)]cos(π4＋θ)＝sin(π4＋θ)cos(π4＋θ)＝12sin[2(π4＋θ)]＝12sin(π2＋2θ)＝12cos2θ＝26，∴cos2θ＝23，∴sin2θ＝±1－cos 22θ＝±73. 又∵0<θ<π2，∴0<2θ<π，∴sin2θ＝73.14．在△ABC 中，cos(π4＋A)＝513，求cos2A 的值．解析 在△ABC 中，cos(π4＋A)＝513>0.∴sin(π4＋A)＝1－cos 2（π4＋A ）＝1213.∴cos2A ＝sin(π2＋2A)＝sin2(π4＋A)＝2sin (π4＋A)·cos(π4＋A)＝2×1213×513＝120169.15．已知tan(π4＋α)＝13，(1)求tan α的值； (2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解析 (1)方法一：∵tan(π4＋α)＝13，∴tan α＝tan[(π4＋α)－π4]＝tan （π4＋α）－tanπ41＋tan （π4＋α）·tanπ4＝13－11＋13＝－12.方法二：∵tan(π4＋α)＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)方法一：原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－12－12＝－1.方法二：sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.原式＝sin2α1＋cos2α－12＝2tan α1＋tan 2α1＋1－tan 2α1＋tan 2α－12＝tan α－12＝－12－12＝－1. ►重点班·选做题16．(高考真题·山东卷)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34，选D.17．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)．(1)求sinx 的值； (2)求sin(2x ＋π3)的值．解析 (1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)，于是sin(x －π4)＝1－cos 2（x －π4）＝7210，则sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x ∈(π2，3π4)故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－（45）2＝－35，sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.1．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值；(2)求β. 解析 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－（17）2＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－（43）2＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－（1314）2＝3314.则β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3. 2．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解析 (1)方法一 b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， ∴向量b ＋c 的长度的最大值为2.方法二 ∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2，0)，即|b ＋c |＝2，∴向量b ＋c 的长度的最大值为2. (2)方法一 由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.方法二 若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)，得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β.平方后化简得cos β(cos β－1)＝0.解得cos β＝0或cos β＝1经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 3．(2012·广东)已知函数f(x)＝Acos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f(π3)＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f(4α＋43π)＝－3017，f(4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．解析 (1)由f(π3)＝2，得Acos(π12＋π6)＝2，。