第五章 稳定性分析
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机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
条件, 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为 它不是充分条件。
9/88
5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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Logo
5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
2/88
5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
3/88
Logo
5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
14
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
15
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
27
5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
16
显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
第五章 控制系统的稳定性分析
arctan
b a
2
arctan
j
b a
jw
1
s1 tan1 b
b
a
a Re
22
若上式b为负值，则角增量为
2
2
arctan
b a
如图：
j
jw
a
2
Re
tan1 b
s2
a b
23
若根在右半平面，其角增量如图所示，
j jw
tan1 b
3
b
a
a
Re
为
2
2
arctan
b a
24
现考虑n次多项式 Ds，且在原点有q个零点，可表示为
代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增
大 ng
2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
Xi s
X0 s
27
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为
s
Gs 1Gs
DK
MK s s Mk
s
MK s Db s
令：F
s
1
G
s
1
MK DK
s s
arg1 G( j。w) 90o
列 系统的开环传递函数为
Go
(s)
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响
解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：
32
=0时，有
A(0) K
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
自动控制--第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
设系统 x f (x,t) xe f (xe ,t) 0
如果对每个实数 0都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) ，0 使得满足
x0 xe (,t0)
－向量范数(表示
空间距离)
的任意初始态 x0出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
为系统的平衡状态或平衡点。
注意：
系统能维持在某 状态不再变化
1）如果系统是线性定常的，即： x Ax ，则当
A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即
原点；
Axe 0 xe 0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
Axe 0 无穷多个 xe
2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
一、几个基本概念
1、自治系统：不受外部影响即没有输入作用的 一类动态系统。
其状态方程描述为： x f (x,t) x(t0 ) x0
其解表示为： x(t; x0 , t0 )
只需考虑自治系统（因为 稳定性是系统在自由运动
下的特性）：
表示始于初态x0的一个运 动或一条状态轨迹
些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在
x xe ）
如： x1 x1
x2 x1 x2 x23
x1 0
x2 0
第五章控制系统的稳定性分析
特征根的三种情况及所对应时域解： s a e at; s j sin t ,cos t ;
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括 外部稳定性 内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零，外部稳定性定义如下：定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即 102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt tt tt ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t ) ∞<≤1β)(t u ∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()(即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得 ∞=∫ττd t h t t 11),(构造有界输入 ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==0100011111),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
MIMO 情形：对输出的每一分量，有 pj q i dt t h ij ,,,;,,,,)(L L 21210==∞<≤∫∞β定理5.2 对零初始条件线性时不变系统，BIBO 稳定的充分必要条件是，传递函数矩阵G (s )所有极点均具负实部。
第五章稳定性分析
第五章稳定性分析第五章：控制系统的稳定性分析3.3.5 控制系统的稳定性分析稳定性的概念线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的必要条件代数判据（⼀般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）劳斯判据的应⽤（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数3.3.5.1 稳定性的概念分析⼩球平衡点的稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。
反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移⽽发散，则称该系统不稳定。
3.3.5.2线性系统稳定性的充要条件设系统的微分⽅程模型为：分析系统的稳定性是分析在扰动的作⽤下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在作⽤下的性能，亦与系统的输⼊信号⽆关，只与系统的内部结构有关。
对上述微分⽅程描述的系统亦只与等式的左端有关，⽽与右端⽆关，亦：系统的稳定性是由下列齐次⽅程所决定：其稳定性可转化为上述齐次⽅程的解c(t)若则系统稳定，则系统不稳定。
分析齐次⽅程的解的特征。
由微分⽅程解的知识，上述⽅程对应的特征多项式为：设该⽅程有k个实根（i＝1，2，…k）r对复根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n 且各根互异（具有相同的根时分析⽅法相同，推导稍繁琐）则上述齐次⽅程的⼀般解为：其中为常数，由式中的决定，分析可见：只有当时，否则。
注：只能是⼩于零，等于或⼤于均不⾏。
等于零的情况为临界稳定，属不稳定。
综:线性系统稳定的充要条件（iff）是：其特征⽅程式的所有根均为负实数或具有负的实部。
亦：特征⽅程的根均在根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
亦：系统的极点位于根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
从上⾯的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平⾯上的位置，勿需去计算齐次⽅程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。
3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件设系统特征⽅程式中所有系数均为实数，并设（若，对特征⽅程两端乘（－1）），可以证明上述特征⽅程中所有系数均⼤于零（即）是该特征⽅程所有根在s平⾯的左半平⾯的必要条件。
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Gk ( s )
s s2
2
s s s s3
4 3 2
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：系统的闭环传递函数为：
GB ( s )
G( s) 1 Gk ( s )
s s2
2
s s 2s 2s 5
4 3 2
系统的闭环特征方程为：
s s 2s 2s 5 0
A3 B3
A4 B4
D1
D2
s
s
2
1
E1 F1
s
0
一直进行到其余的Ai 值全部为零时止。
同理，第四行各元素由下式计算：
B1
A1an 3 an 1 A2 A1 B3
B2
A1an 5 an 1 A3 A1
A1an 7 an 1 A4 A1
一直进行到其余的Bi 值全部为零为止。 依此类推，可递推计算以后各行，这一计算过程一 直进行到第n行为止。第n+1行仅有一项，等于特征方程 常数项a0。
引例
稳定的摆
不稳定的摆
系统稳定的定义：
如果系统瞬间受到某一外部扰动作用而偏离了原 来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准 确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则， 系统不稳定。
系统稳定的数学描述
单位脉冲信号δ(t)可看作一种典型的扰动信号，根 据系统稳定的定义，若系统脉冲响应xoδ(t)收敛，即
如果ε上下各元素符号不变，且劳斯表中第一列各元素 的符号均为正，则系统特征方程有共轭纯虚根，相应的系 统为临界稳定。
s
s
4
3
1 1
2 5
2 2
5
0
结论：当ε → 0时，(2 ε-5)/ ε < 0，所以劳斯表第一列中元素 的符号变化两次，系统有两个 特征根具有正实部，故系统不 稳定。
s
s s
说明： 根据必要条件，在判别系统稳定性时，可事先检 查系统闭环特征方程的系数是否都大于零，若有任何 系数是负数或等于零，则系统是不稳定的。
二、劳斯稳定判据（重点） 第一、二行由方程的
1.劳斯表
按下面 的格式将系 统闭环特征 方程的系数 排成劳斯表：
an s an 1s
n
n 1
a1s a0 0
控制工程基础
主讲教师：韩锟
Tel：82655345（O） Email:hkun@
第五章
系统的稳定性
系 统 的 稳 定 性
一、稳定的概念和条件 二、劳斯稳定判据 三、Nyquist稳定判据 四、系统的相对稳定性
重点
重点、难点 重点
一、稳定的概念和条件
1.稳定的基本概念
4 2 4 2
s
s s
2
1
2 0 8 6
8/3 16
12 0 24 16
0
F ( s) 2s 12s 16s 2( s 6s 8) 2( s 2)( s 4) 0
2 2
0
sj 2
s j2
②系统具有两对共轭纯虚根。
该系统临界稳定
解：列劳斯表，如下图所示：
S S S S
3
1
改变 一次 改变 一次
517 2.3 10
4
0 0
2
41.5 38.5 2.3 10
4
1
0
劳斯表第一列中的元素不全为正值，故系统不稳定；
劳斯表第一列中元素的符号变化了两次，所以系统特 征方程有两个根分布在复平面的右半平面。
例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为
s s
i
j
)s
(1)
n
s
i 1
n
i
比较左右两边s的各次幂的系数，可知
各根之和
an 1 / an (1) ( s1 s2 sn )
1
an 2 / an (1) ( s1s2 s1s3 s2 s3 s2 s4 sn 1sn )
lim x0 (t ) 0
t
则系统稳定。
系统稳定的充要条件：
系统闭环特征方程的根全部具有负实部，即：系 统闭环传递函数的极点全部在S平面左半平面。
系统稳定的必要条件：
推导 设n阶线性定常系统的闭环特征方程为
an s an 1s
n
n 1
a1s a0 0
设系统的特征根为si（i =1,2，…，n)
系数直接列出
s
s s s
n
an
an 2
an 4
an 5
an 6 an 7
n 1 n2 n 3
an 1 an 3
A1 B1
A2 B2
A3 B3
A4 B4
D1
D2
s
s
2
1
E1 F1
s
0
第三行各元素由下式计算：
an A1 an 1
an 2 an 3 an 1an 2 an an 3 an 1
an 1
A2
an 1an 4 an an 5 an 1
A3
an 1an 6 an an 7 an 1
s
s s s
n
an
an 2
an 4
an 5
an 6 an 7
n 1 n2 n 3
an 1 an 3
A1 B1
A2 B2
2
n
每次取两根乘积之和 各根之积
a0 / an (1) s1s2 sn
由上式可以看出，系统稳定，即全部特征根均具有负 实部，则方程的系数必满足：
特征方程的各项系数ai（i=1,2,…）均不能为零； ai（i=1,2,…）的符号均要相同。
结论： 控制系统稳定的必要条件为：系统特征方程的各 项系数均为非零的正实数。
2
1
0 (ε ) 5
5
0
劳斯表中出现全零行
引例：一个控制系统的闭环特征方程为
S 2S 8S 12S 20S 16S 16 0
6 5 4 3 2
s s
6 5
1
பைடு நூலகம்
8
20
16
2
2
12
12
16
16
0
s
s
4
3
0
0
0
s
2
1
s 0 s
解决办法：
用该全零行上一行的各元素为系数构成辅助多项式， 并以该辅助多项式的导数的系数来代替表中全零的行， 完成劳斯表的排列。
将特征方程两边同时除以an，并将方程左边写成 n 个 一阶因子乘积的形式，有
s
n
an 1 an
s
n 1
n 1
a1 an
s
n
a0 a1
( s s1 )( s s2 ) ( s sn )
n 1
s ( si ) s
n i 1
n
(
i j i 1, j 2
2.劳斯判据
系统稳定的充要条件是：劳斯表中第一列各元素均为 正值；
若劳斯表中第一列各元素符号发生了改变，则改变的 次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。
例：已知一调速系统的闭环特征方程式为
S 41.5S 517 S 2.3 10 0
3 2 4
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
s s
6 5
1
8
20
16
2
2 8 0
12
12
16
0
4 2
s
s
4
16 F ( s) 2s 12s 16
3
24 0
16
0
0
dF ( s ) ds
s
2
1
8s 24 s
3
6
s 8/3 0 s 16
判定规则：
此时，系统已经不稳定。可按下列规则进一步判断 系统不稳定的具体状况： 劳斯表中第一列各元素符号变化的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数，系统不稳定；
4 3 2
列劳斯表，如下图所示：
s
s
4
3
1 1
0
2 2
5
5
0
s
s s
2
1
0
劳斯表某一行中的第一项等于零，怎么办？
3.劳斯判据的特殊情况
劳斯表某一行中的第一项等于零
解决办法：
以一个很小的正数ε来代替为零的项，据此算出其余 的各项，完成劳斯表的排列。
判定规则： 此时，系统已经不稳定。可按下列规则进一步判断 系统不稳定的具体状况： 劳斯表中第一列各元素符号变化的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数，系统不稳定；
劳斯表中第一列各元素的符号均为正，则系统特征 方程有共轭纯虚根，相应的系统为临界稳定；
辅助方程的根是原方程根的一部分，它们成对出现， 大小相等、径向位置相反。
s 5 s 4 s
s
3
6
1 2
8 12
20 16 16 0
16 0
结论：①第一列各元素的符号 没有改变，说明系统没有具有 正实部的特征根。