授课题目章节

条件极值
拉格朗日乘子的物理意义
，即：
例：用拉格朗日乘子法求解最优化问题
2.不等式约束问题的Khun-Tucker条件：
考虑问题minf(x)
s.t.gi(x)≤0i=1,2,…,m
设x*∈S={x|gi(x)≤0i=1,2,…,m}。令I={i| gi(x*)=0i=1,2,…,m},称I为x*点处的起作用集（紧约束集）。
罚函数法求解非线性规划问题的思想是，利用问题中的约束函数作出适当的罚函数，由此构造出带参数的增广目标函数，把问题转化为无约束非线性规划问题。主要有两种形式，一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法，下面介绍外罚函数法。
考虑如下问题：
s.t.
取一个充分大的数 ，构造函数
（或
这里 ， ， ， 为适当的行向量，Matlab中可以直接利用 和 函数。）则以增广目标函数 为目标函数的无约束极值问题 的最优解 也是原问题的最优解。
例:求下列非线性规划
解( )编写M文件test.m
function g=test(x);
M=50000;f=x(1)^2+x(2)^2+8;g=f-M*min(x(1),0)-M*min(x(2),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)...
+M*abs(-x(1)-x(2)^2+2);%在min处，可以加平方也可以不加
Lagrangian is the special case of kuhn-tucker;库恩—塔克条件的拉格朗日乘数的要求.
例：用库恩－塔克条件求解下面问题
例：写出下面问题的库恩－塔克条件
下面介绍约束最优化问题迭代算法
3.罚函数法
利用罚函数法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，因而也称这种方法为序列无约束最小化技术，简记为SUMT (Sequential Unconstrained Minimization Technique)。
理论性强，学生不容易掌握。
2、用MATLAB求解约束优化问题。
实际运用需要上机经验的积累。
教学难点分析：
库恩－塔克条件求解最优化问题。理论性强，学生不容易掌握，多演示练习可以克服。
基本内容：
一、最优化问题：
1．求函数 的梯度向量和二阶海塞矩阵
2．求函数 的极大值
二、非线性规划问题
如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
( )在Matlab命令窗口输入:[x,y]=fminunc('test',rand(2,1))
即可求得问题的解。
I.罚函数法（外点法）
基本思想：利用目标函数和约束函数构造辅助函数： ，要求构造的函数 具有这样的性质：当点x位于可行域以外时， 取值很大，而离可行域越远则越大；当点在可行域内时，函数 。因此可以将前面的有约束规划问题转换为下列无约束规划模型：
定理（最优性必要条件）：（一般情形的K-T条件）
Kuhn-Tucker is used to be a nessary condition in inequality constrain problem.
Lagrange is a method to find the solution in equality constrain problem.
定义3对于问题(1),设 ,对任意的 ,都有 ,则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点（严格全局最优解）．
本节介绍将约束问题化为无约束问题；将非线性规划问题化为线性规划问题，以及能将复杂问题变换为较简单问题的方法。
库恩—塔克条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，是确定某点为最优点的必要条件，但一般说它并不是充分条件（对于凸规划，它既是最优点存在的必要条件，同时也是充分条件）。
如果x*是最优解. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约束时，才产生影响。
定理（最优性必要条件）：（K-T条件）
设S={x|gi(x)≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i∈I在x*点可微，gi(x) ,i I在x*点连续。向量组{▽gi(x*), i∈I}线性无关。如果x*是最优解.那么， u*i≥0,i∈I使 。
一般形式:
（1）
其中 , 是定义在En上的实值函数，简记:
定义1把满足问题（1）中条件的解 称为可行解（或可行点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
问题(1)可简记为 ．
定义2对于问题(1)，设 ，若存在 ,使得对一切 ，且 ，都有 ，则称X*是f(X)在D上的局部极小值点（局部最优解）．特别地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）．
1.拉格朗日乘子法the method of Lagrange multipliers
等式约束性问题的最优性条件：
考虑minf(x)
s.t.h(x)=0
回顾高等数学中所学的条件极值：
问题：求z=f(x,y)在ф(x,y)=0的条件下的极值
minf(x,y)
S.t.ф(x,y)=0
引入Lagrange乘子：λ，Lagrange函数L(x,y;λ)= f(x,y)+λф(x,y)
授课题目（章、节）
第6章非线性规划教材：
赵静等编.《数学建模与数学实验》（第2版）．北京：高等教育出版社.2004.90－98.
参考书：
1.施泉生.运筹学,中国电力出版社, 2004
2.温斯顿.运筹学应用范例与解法(第4版),清华大学出版社,2006.
目的与要求：
1、了解约束最优化基本算法。
其中称为 罚项， 称为罚因子， 称为罚函数。 的定义一般如下：
其中 是满足如下条件的连续函数：
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
函数 一般定义如下： ， ， ，a,b为常数，通常取a=b=2。罚项函数： ,无约束规划目标函数： .
2、掌握用数学软件包求解约束最优化问题。
教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：
1、约束优化基本思想及基本算法。（2）
2、MATLAB优化工具箱简介。（0.5）
3、用MATLAB求解约束优化问题。（0.5）
教学方法、教学手段：
以讲授法为主，兼顾多媒体演示
教学重点分析：
1、拉格朗日乘子法和库恩－塔克条件求解最优化问题。