第5章多维数组与广义表

一个m×n的二维数组可以看成是m行的一维数 组，或者n列的一维数组。
• 一个m行n列的二维数组的顺序存储结构
– 次序约定
a00 a 00 按列序为主序存放 a10 • 以行序为主序 a 按行序为主序存放 01 ……. • 以列序为主序 ……. am-10 a n-1 0n-1 m-1 m a01 a n 10 a01 …….. a0n-1 00 a11 aa a …….. a a 11 00 01 0n-1 a a11…….. ……..a a1n-1 …….. …….. 10 a a10 11 1n-1 am-11 a 1n-1 …………………. …………………. ………. ………. am-10 am-11 …….. am-1n-1 a0n-1 a am-10 am-11 …….. am-1n-1 m-10 a1n-1 a m-11 Loc(aij)=Loc( aa )+[j*m+i]*L 00 Loc( aij)=Loc( …….. …….. 00)+[i*n+j]*L m*n-1 m*n-1 a am-1n-1 m-1n-1
稀疏矩阵和对应的三元组线性表
列号 1 行号 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7
0 0 0 19 0 0
0 11 0 17 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 37 0 0 0 0 0 0 0 0 50
数组符合线性结构的定义。数组和线性表相比， 相同之处是它们都是若干个相同数据类型的数据元素 a0,a1,a2,...,a0-1构成的有限序列。 不同之处是： （1）数组要求其元素占用一块地址连续的内存单元空间，而 线性表无此要求； （2）线性表的元素是逻辑意义上不可再分的元素，而数组中 的每个元素还可以是一个数组； （3）数组的操作主要是向某个下标的数组元素中存数据和取 某个下标的数组元素，这和线性表的插入、删除操作不同。 线性结构（包括线性表、堆栈、队列、串）的顺序存储结 构实际就是使用数组来存储。可见，数组是其他数据结构实现 顺序存储结构的基础，是软件设计中最基础的数据结构。
0 1 1
5.2 特殊矩阵 特殊矩阵:指有许多值相同的元素或有许多零元素、且值 相同的元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。
1.几种特殊矩阵的压缩存储:
(1)n阶对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： aij=aji （1≤i,j≤n）
a11 a12 …. … ….. a1n
a21 a22 …….. ……. a2n
va
按行序为主序：
a11 a21 a22 a31 a32 …... k=0 1 2 3 4
an1 …... ann n(n-1)/2 n(n+1)/2-1
(2)n阶三角矩阵 以主对角线划分， n阶三角矩阵有n阶上三角矩阵和n 阶下三角矩阵两种。
n阶上三角矩阵如下图 (a)所示，它的下三角（不包括 主对角线）中的元素均为0（或常数）。n阶下三角矩阵正好 相反，它的主对角线上方均为0（或常数），如下图 (b)所 示。
2.数组的实现机制 (１)、一维数组（n个元素）中任一元素ai的内存单元 地址 Loc(ai)=LOC(a０)+i*L (0≤i <n)
a０的内存单元地址
每个元素所需的字节个数
a0,0 a0,1 … a0,n-1 a1,0 a1,1 … a1,n-1 … … Amn= … … am-1,0 am-1,1 … am-1,n-1
………………….
an1 an2 ……..
ann
则称A为n阶对称矩阵。如下图是一个5阶对称矩阵。 1 5 1 3 7 5 0 8 0 0 1 8 9 2 6 3 0 2 5 1 a11 a21 a22 a31 a32 a33 ………………..
7 0 6 1 3
an1 an2 an3 …ann
n阶对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中 上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储 空间，这样，能节约近一半的存储空间。
本章学习另外两种特殊的线性表，数组和 广义表。 数组是一个数据元素的集合，元素之间具 有线性关系，但是，元素可以参与多个线性关 系（前面讲的都是参与一个）； 广义表是一个数据元素的集合，元素之间 具有线性关系，但其前驱后继可以是一般元素 ，也可以是一个表。
5.1 数组的基本概念
1.数组的定义
数组是n(n＞1)个相同数据类型的数据元素 a0,a1,a2,...,an-1构成的占用一块地址连续的内存单元的 有限序列。 数组中任意一个元素可以用该元素在数组中的位置来表示， 数组元素的位置通常称作数组的下标。
例:求下列广义表的长度和深度. depth(B)=max{0} +1 A=() 长度0 深度1 B=(e) 长度1 深度1 C=(a,(b,c,d)) 长度2 深度2 D=(A,B,C) 长度3 深度3
depth(C)=max{0,1}+1
depth(D)=max{1,1,2}+1
从结构上看一个广义表对应了一棵树。例如，设有如下广义表：
(a)
{{1,3,11},{1,5,17},{2,2,25}, {4,1,19},{5,4,37},{6,7,50}}
(b)
5.4 广义表
1 什么是广义表
广义表也称为列表，是线性表的一Fra bibliotek扩展，也是数据元 素的有限序列。 记作：LS= (α1, α2。。αn)。其中αi其可 以是单个元素，也可以是广义表。
注：在大多数情况下， n阶三角矩阵常数为零。
a11 a12 … a 1n c c a22 … a 2n c … a nn ……………….
a11 c
…
c c an n
a21 a22 … an1 an2 …
………………
(a)上三角矩阵
(b)下三角矩阵
假设以一维数组sa作为n阶下三角矩阵A的压缩存储单元， k为一维数组va的下标序号，aij为n阶下三角矩阵A中i行j列的 数据元素(其中1≤i,j≤n ），其数学映射关系为：
k=
i(i-1)/2+j-1
当 i ≥j
当i<j
n(n+1)/2 （或空）
注：此时一维数组sa的数据元素个数为(n(n+1)/2)+1个， 其中数组sa的最后一个位置存储A中数值不为0的那个常数。
5.3 稀疏矩阵
1.概念
(1)、稀疏矩阵 矩阵中非零元素的个数远远小于矩阵元素个数。 (2) 、稀疏矩阵压缩存储方法 只存储稀疏矩阵中的非零元素，实现方法是:将每个非 零元素用一个三元组（i，j，aij）来表示，则每个稀疏矩 阵可用一个三元组线性表来表示。
5）广义表的术语： 长度：元素个数n （注意子表是一个数据元素）; 单元素：一般用小写字母表示； 子表:一般用大写字母表示； 表头:当广义表LS 非空时，称第一个元素为L的表头， 其余元素组成的表称为LS的表尾；
取广义表的表头head和表尾tail操作： 例如: B = (e) head(B)=e tail(B )=() C = (a,(b,c,d)) head(C)=a tail(C)= ((b,c,d)) D = (A,B,C) head(D)=A tail(D)= (B,C)
说明:
1）广义表的定义是一个递归定义，因为在描述广义表时又用到 了广义表； 2）在线性表中数据元素是单个元素，而在广义表中， 元素可是 以单个元素称为原子，也可以是广义表，称为广义表的子表； 3）n 是广义表长度；
4）下面是一些广义表的例子:
A = ( ) 空表，表长为0； B = (e) B中只有一个元素e，表长为1； C = (a,(b,c,d)) C的表长为2，两个元素分别为 a 和子表 （b,c,d)； D = (A,B,C) D 的表长为3，它的三个元素 A，B，C 广义表；
在这个下三角矩阵中，第i行恰有i个元素，元素总数为 n(n+1)/2，这样就可将n2个数据元素压缩存储在n(n+1)/2个存 储单元中。 假设以一维数组va作为n阶对称矩阵A的压缩存储单元， k为一维数组va的下标序号，aij为n阶对称矩阵A中i行j列的数 据元素(其中1≤i,j≤n ），其数学映射关系为： k= i(i-1)/2+j-1 当i≥j j(j-1)/2+i-1 当i<j
若广义表不空，则可分成表头和表尾， 反之，一对表头和表尾可唯一确定广义表
深度:简单说就是表的嵌套层次，定义为： LS = ( dl , d2 ，… ，dn ) depth ( LS ) = max{depth(dl), depth(d2)，… ，depth(dn) } + l 0 di 是单元素 depth ( di ) = l di 是空表
B = (a, b, c) C = (d) D = (B, C) = ((a, b, c), (d)) E = (D, e) = (((a, b, c), (d)), e)。
广义表E的图形表示
E D B C c d e
a
b
小结
1 广义表是数据元素的有限序列。其数据元素可以单个元素， 也可以是广义表； 2 若广义表不空，则可分成表头和表尾，反之，一对表头和 表尾可唯一确定广义表；