第五章 数组和广义表
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数据结构第五章 数组与广义表
an-1,n-1
压缩存储方法：只需要存储下三角 （含对角线）上的元素。可节省一 半空间。
可以使用一维数组Sa[n(n+1)/2]作为n阶对称矩阵A的存 储结构，且约定以行序为主序存储各个元素，则在Sa[k]和矩
阵元素aij之间存在一一对应关系： （下标变换公式）
i(i+1)/2 + j 当i≥j k = j(j+1)/2 + i 当i<j
q = cpot[col];
T.data[q].i = M.data[p].j; T.data[q].j = M.data[p].i; T.data[q].e = M.data[p].e; ++cpot[col]; }
分析算法FastTransposeSMatrix的时间 复杂度：
for (col=1; col<=M.nu; ++col) … … for (t=1; t<=M.tu; ++t) … … for (col=2; col<=M.nu; ++col) … … for (p=1; p<=M.tu; ++p) … …
//对当前行中每一个非零元
处
brow=M.data[p].j;
理
if (brow < N.nu ) t = N.rpos[brow+1];
M
else { t = N.tu+1 }
的
for (q=N.rpos[brow]; q< t; ++q) { ccol = N.data[q].j; // 乘积元素在Q中列号
一、三元组顺序表
对于稀疏矩阵，非零元可以用三元组表示， 整个稀疏矩阵可以表示为所有非零元的三元组所 构成的线性表。例如：
压缩存储方法：只需要存储下三角 （含对角线）上的元素。可节省一 半空间。
可以使用一维数组Sa[n(n+1)/2]作为n阶对称矩阵A的存 储结构，且约定以行序为主序存储各个元素，则在Sa[k]和矩
阵元素aij之间存在一一对应关系： （下标变换公式）
i(i+1)/2 + j 当i≥j k = j(j+1)/2 + i 当i<j
q = cpot[col];
T.data[q].i = M.data[p].j; T.data[q].j = M.data[p].i; T.data[q].e = M.data[p].e; ++cpot[col]; }
分析算法FastTransposeSMatrix的时间 复杂度：
for (col=1; col<=M.nu; ++col) … … for (t=1; t<=M.tu; ++t) … … for (col=2; col<=M.nu; ++col) … … for (p=1; p<=M.tu; ++p) … …
//对当前行中每一个非零元
处
brow=M.data[p].j;
理
if (brow < N.nu ) t = N.rpos[brow+1];
M
else { t = N.tu+1 }
的
for (q=N.rpos[brow]; q< t; ++q) { ccol = N.data[q].j; // 乘积元素在Q中列号
一、三元组顺序表
对于稀疏矩阵，非零元可以用三元组表示， 整个稀疏矩阵可以表示为所有非零元的三元组所 构成的线性表。例如：
第五章数组和广义表
ai,1 ai,2 … ai,j … ai,n an,1 an,2… an,j … an,n
i(i-1)/2+j-1 (i≥j) k= 第五章数j组(j和-1广)义/2表+i-1 (i＜j)
第五章数组和广义表
5.1 数组的类型定义 5.2 数组的顺序存储和实现 5.3 特殊矩阵的压缩存储 5.4 广义表
第五章数组和广义表
5.1 数组的定义和运算
数组是一种数据类型。从逻辑结构上看，数 组可以看成是一般线性表的扩充。二维数组可 以看成是线性表的线性表。例如：
Am×n=
a11 a12 … a1j ……
LO(0C ,0,..0.) , ci ji (Cn=L,ci-1=bi*ci,1<i≤n) i1
数组元素的存储位置是其下标的线性函数，由于计算各 个元素存储位置的时间相等，所以存储数组中任一元素的 时间也相等，称具有这一第五特章数点组和的广义存表 储结构为随机存储结构。
N维数组数据元素存储地址计算
i= （ai1，ai2， …，aij ，…，ain）。
B
‖
a11 a12 … a1j … a1n
1
……
…
Am×n= ai1 ai2 … aij … ain
i
……
…
am1 am2 … amj … amn
m
第五章数组和广义表
看一个二维数组的简单情况。
D={aij|0≤i≤b1-1,0≤j≤b2-1, aij∈ ElemType}
}
第五章数组和广义表
5.3 矩阵的压缩存储
• 压缩存储：为多个值相同的元素只分配一个存 储空间，对零元素不分配空间。
• 目的：节省存储空间 • 任务：压缩存储矩阵并使矩阵的运算有效进行。 • 矩阵的存储：二维数组 • 可压缩存储的矩阵有两类:
i(i-1)/2+j-1 (i≥j) k= 第五章数j组(j和-1广)义/2表+i-1 (i＜j)
第五章数组和广义表
5.1 数组的类型定义 5.2 数组的顺序存储和实现 5.3 特殊矩阵的压缩存储 5.4 广义表
第五章数组和广义表
5.1 数组的定义和运算
数组是一种数据类型。从逻辑结构上看，数 组可以看成是一般线性表的扩充。二维数组可 以看成是线性表的线性表。例如：
Am×n=
a11 a12 … a1j ……
LO(0C ,0,..0.) , ci ji (Cn=L,ci-1=bi*ci,1<i≤n) i1
数组元素的存储位置是其下标的线性函数，由于计算各 个元素存储位置的时间相等，所以存储数组中任一元素的 时间也相等，称具有这一第五特章数点组和的广义存表 储结构为随机存储结构。
N维数组数据元素存储地址计算
i= （ai1，ai2， …，aij ，…，ain）。
B
‖
a11 a12 … a1j … a1n
1
……
…
Am×n= ai1 ai2 … aij … ain
i
……
…
am1 am2 … amj … amn
m
第五章数组和广义表
看一个二维数组的简单情况。
D={aij|0≤i≤b1-1,0≤j≤b2-1, aij∈ ElemType}
}
第五章数组和广义表
5.3 矩阵的压缩存储
• 压缩存储：为多个值相同的元素只分配一个存 储空间，对零元素不分配空间。
• 目的：节省存储空间 • 任务：压缩存储矩阵并使矩阵的运算有效进行。 • 矩阵的存储：二维数组 • 可压缩存储的矩阵有两类:
数据结构第5章数组和广义表数组ppt课件
if (!A.base) return ERROR;
数组基址指针
free(A.base); A.base = NULL; if !(A.bounds) return ERROR;
free(A.bounds); A.bounds=NULL;
各维长度保 存区指针 映保像存函区数指针ci
if !(A.constants) return ERROR; free(A.constants); A.constants=NULL; }
…
………………….
a2n
…
am1 am2 …….. amn
am1
am2
…
amn
§5.2 数组的顺序表示和实现
❖按列优先顺序存放
a11 a21
…
a11 a12 …….. a1n
am1 a12
a21 a22 …….. a2n
a22
…
………………….
am2
am1 am2 …….. amn
… a1n
a2n
一个n维数组可以看成是由若干个n－1维数组组成 的线性表。
§5.1 数组的定义
❖数组的抽象数据类型定义
ADT Array { 数据对象：D＝{aj1j2…jn | ji=0,…,bi-1, i=1,2,…,n，n（>0）称为数组
的维数，bi是数组第i维的长度，ji是数组元素的第i维下标， aj1…jn∈ElemSet } 数据关系：R＝{R1, R2,…, Rn} Ri＝{ < aj1…ji…jn , aj1…ji+1…jn > | 0≤jk≤bk-1, 1≤k≤n 且k≠i, 0≤ji≤bi-2, aj1…ji…jn , aj1…ji+1…jn∈D, i=1,2,…,n 基本操作：
第5章数组广义表
am-1,n-1
Loc(aij) = b+( aij前元素个数)•L= b+[i×n+j]×L（ 存储器）
例5-1 设二维数组A[7][8]，起始地址b=1000，每个元素所占单元量L=3， 则Loc(a5,6)=1000+(5•8+6)3 = 1138。
数组元素的地址计算
3．三维数组： aijk ai00 aij0
数组元素的地址计算
4．n 维数组 从以上的地址公式推导中得出这样一条规律： 任意维数组中任一元素的地址= 起址b+ 该元素前的个数×元素单元量L。 故n维数组A[u1][u2]…..[un]，其中任一元素ai1....in的地址为：
Loc(ai1i2……in)=b+(i1•u2•u3• … •un+i2•u3•u4• …un+…+in-1•un+in)•L =b+(
…
A[i]
A(2) = A[m][n] =
ai0 ai1 …… aij ….… ain-1
………………………….
…
A[m-1]
am-10 am-11 …am-1j … am-1n-1
= (A[0]……A[i]……A[m-1] )-----线性表形式
2.数组的基本运算
多维数组是线性表的推广，而线性表是多维数组的特例。 在算法语言中，数组一旦生成，其元素的存储空间就固定下来，故数组 的运算一般不包括插入和删除这样的操作。对数组运算有： (1) 构造一个n维数组：Setarray(A,n,d1d2,......dn)，即生成： A[d1][d2].....[dn]（C语言中，1≤n≤8）。 (2) 撤消一个数组：Dearray(A)，释放数组A的存储空间。 (3) 取值：Aget(A,i1,...,in,x)，将A[i1][i2],...,[in]的值传给变量 x。 (4) 赋值：Assign(A,i1,...,in,x)，将变量 x的值传给A[i1][i2].....[in]。
第5 章数组和广义表
Loc[i,j,k]=Loc[1,1,1]+(i-1)*m*n+(j-1)*n+(k-1) 其中1≤i≤ｒ，1≤j≤ｍ，1≤k≤ｎ。
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如果将三维数组推广到一般情况，即：用j1，j2， j3代替数组下标i，j，k；并且j1，j2，j3的下限为c1， c2，c3，上限分别为d1，d2，d3，每个元素占一个 存储单元。则三维数组中任意元素 a(j1，j2，j3)的地址为：
………
……
特点:
i=1, j=1,2; 当 1<i<n，j=i-1, i, i+1
i=n, j=n-1, n;
时，aij非零，其他元素均为零。
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三对角带状矩阵的压缩存储，以行序为主序进行存储， 并且只存储非零元素。其方法为：
1. 确定存储该矩阵所需的一维向量空间的大小
从三对角带状矩阵中可看出：除第一行和最后一行只有两 个元素外，其余各行均有3个非零元素。由此可得到一维向量
i(i-1)/2+j-1 当i>=j k=
j(j-1)/2+i-1 当i<j
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5.3.2 带状矩阵
带状矩阵：在矩阵A中，所有的非零元素都集中在以主对角 线为中心的带状区域中。最常见的是三对角带状矩阵。
a11 a12
a21 a22 a23
An×n =
a32 a33 a34 a43 a44 a45
Loc[i,j]=Loc[1,1]+n ×(i-1)+(j-1)
其中n为第2维的长度
如果每个元素占size个存储单元 ，则任意元 素aij的地址计算公式为：
Loc[i,j]=Loc[1,1] + (n×(i-1)+j-1)×size
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如果将三维数组推广到一般情况，即：用j1，j2， j3代替数组下标i，j，k；并且j1，j2，j3的下限为c1， c2，c3，上限分别为d1，d2，d3，每个元素占一个 存储单元。则三维数组中任意元素 a(j1，j2，j3)的地址为：
………
……
特点:
i=1, j=1,2; 当 1<i<n，j=i-1, i, i+1
i=n, j=n-1, n;
时，aij非零，其他元素均为零。
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三对角带状矩阵的压缩存储，以行序为主序进行存储， 并且只存储非零元素。其方法为：
1. 确定存储该矩阵所需的一维向量空间的大小
从三对角带状矩阵中可看出：除第一行和最后一行只有两 个元素外，其余各行均有3个非零元素。由此可得到一维向量
i(i-1)/2+j-1 当i>=j k=
j(j-1)/2+i-1 当i<j
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5.3.2 带状矩阵
带状矩阵：在矩阵A中，所有的非零元素都集中在以主对角 线为中心的带状区域中。最常见的是三对角带状矩阵。
a11 a12
a21 a22 a23
An×n =
a32 a33 a34 a43 a44 a45
Loc[i,j]=Loc[1,1]+n ×(i-1)+(j-1)
其中n为第2维的长度
如果每个元素占size个存储单元 ，则任意元 素aij的地址计算公式为：
Loc[i,j]=Loc[1,1] + (n×(i-1)+j-1)×size
数组和广义表 数据结构
3.建立广义表的存储结构 假定广义表中的元素类型ElemType为chai类型，每个原子的值被限 定为英文字母。并假定广义表是一个表达式，其格式为：元素之间用一 个逗号分隔，表元素的起止符号分别为左、右圆括号，空表在其圆括号 内不包含任何字符。例如“(a，(b, c, d))”就是一个符合上述规定的广 义表格式。 建立广义表存储结构的算法同样是一个递归算法。该算法使用一个 具有广义表格式的字符串参数s,返回由它生成的广义表存储结构的头结 点指针h。在算法的执行过程中，需要从头到尾扫描s的每一个字符。当 碰到左括号时，表明它是一个表元素的开始，则应建立一个由h指向的表 结点，并用它的sublist域作为子表的表头指针进行递归调用，来建立子 表的存储结构；当碰到一个英文字母时，表明它是一个原子，则应建立 一个由h指向的原子结点；当碰到一个“）”字符时，表明它是一个空表， 则应置h为空。当建立了一个由h指向的结点后，接着碰到逗号字符时， 表明存在后继结点，需要建立当前结点(即由h指向的结点）的后继表； 当碰到右括号或分号字符时，表明当前所处理的表已结束，应该置当前 结点的link域为空。 4.输出广义表 5.广义表的复制
广义表的转换过程
为了使子表和原子两类结点既能在形式上保持一致，又能进
行区别，可采用如下结构形式：
其中，tag域为标志字段，用于区分两类结点。sublist或data
域由tag决定。若tag=0，表示该结点为原子结点，则第二个 域为data，存放相应原子元素的信息；若tag=l，表示该结点 为表结点，则第二个域为sublist，存放相应子表第一个元素 对应结点的地址。link域存放与本元素同一层的下一个元素所 在结点的地址，当本元素是所在层的最后一个元素时，link域 为NULL。 例：前面的广义表C的存储结构如下图所示(很多《数据结构 公教科书上称之为带表头结点的广义表的链表存储结构
大学数据结构课件--第5章 数组和广义表
a 32 a 33 a 34 0 0
a 43 a 44 a 45 0
a 54 a 55 a 56 a 65 a 66
5.3.2 稀疏矩阵
稀疏矩阵的存储：如何表示非零元素的位置信息 1. 三元组表：每个元素用一个三元组（i，j，v）来表示。 i j v
0 1 6 1 1 6 2 3 8 12 9
2
3 4 5 6 7 8
2
5.2 数组的顺序表示和实现
a00 a00 a10 a01 存储单元是一维结构，而数组是个多维结构 , …… …… 则用一组连续存储单元存放数组的数据元素就有 am-1,0 a0,n-1 个次序约定问题。 a01 a10
a11
……
a11
……
二维数组可有两种存储方式： am-1,1 a1,n-1
……
K=
i*n-i(i-1)/2+j-i n(n+1)/2
当 i≤j 当i>j
0 a11 ... a1n-1 ... ... ... ... 0 0 0 an-1n-1
当i ≤ j时,a[i][j]是非零元素, a[i][j]前面有i行,共有n+(n-1)+(n-2)+…(n-(i-1))
=i(n+[n-(i-1)])/2=i*n-i(i-1)/2个元素，a[i][j]前面有j列，共j-i个非零元素，
A m× n
( a10 a11 … a1,n-1 )
=
注：
( … … …… ) ( am-1,0 am-1,2 … am-1,n-1 ) ( ( ( (
① 数组中的元素都具有统一的类型; ② 数组元素的下标一般都具有固定的上界和下界，即数组一旦 被定义，它的维数和维界就不再发生改变； ③ 数组的基本操作简单：初始化、销毁、存取元素和修改元素值
数据结构第5章数组与广义表
0 0 3 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 2 0
一个稀疏矩阵里存在大量的零元素，若 以常规方法，即以二维数组来存储稀疏矩 阵时产生如下问题: 1) 零值元素占了很多空间; 2) 如果进行计算，则会进行很多和零值 的运算，如是除法，还需判别除数是否为 零。
2 三角矩阵 以主对角线划分，三角矩阵有上三角 和下三角两种。如图所示。其中(a)图为下 三角矩阵：主对角线以上均为同一个常 数；(b)图为上三角矩阵，主对角线以下均 为同一个常数。
(1) 下三角矩阵 三角矩阵中的重复元素c可共享一个 存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2 个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量 SA[0…n(n+1)/2]中，其中c存放在向量的 最后1个分量SA[n(n+1)/2]中。 该存储方式可节约n*(n-1)/2-1个存储 单元。
传统矩阵的转置算法为： for(col=1; col<=n ;++col) for(row=0 ; row<=m ;++row) b[col][row]=a[row][col] ;
时间复杂度为O(n×m) 当非零元素的个数tn和m×n同数量级时，算法 TransMatrix的时间复杂度为O(m×n2)。
以“行优先顺序”存储: (1) 第1行中的每个元素对应的(首)地址是： LOC[a1j]=LOC[a11]+(j-1) ×L (2) 第2行中的每个元素对应的(首)地址是： LOC[a2j]=LOC[a11]+n×L +(j-1) ×L (3) 第m行中的每个元素对应的(首)地址是： LOC[amj]=LOC[a11]+(m-1) n×L +(j-1) ×L
一个稀疏矩阵里存在大量的零元素，若 以常规方法，即以二维数组来存储稀疏矩 阵时产生如下问题: 1) 零值元素占了很多空间; 2) 如果进行计算，则会进行很多和零值 的运算，如是除法，还需判别除数是否为 零。
2 三角矩阵 以主对角线划分，三角矩阵有上三角 和下三角两种。如图所示。其中(a)图为下 三角矩阵：主对角线以上均为同一个常 数；(b)图为上三角矩阵，主对角线以下均 为同一个常数。
(1) 下三角矩阵 三角矩阵中的重复元素c可共享一个 存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2 个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量 SA[0…n(n+1)/2]中，其中c存放在向量的 最后1个分量SA[n(n+1)/2]中。 该存储方式可节约n*(n-1)/2-1个存储 单元。
传统矩阵的转置算法为： for(col=1; col<=n ;++col) for(row=0 ; row<=m ;++row) b[col][row]=a[row][col] ;
时间复杂度为O(n×m) 当非零元素的个数tn和m×n同数量级时，算法 TransMatrix的时间复杂度为O(m×n2)。
以“行优先顺序”存储: (1) 第1行中的每个元素对应的(首)地址是： LOC[a1j]=LOC[a11]+(j-1) ×L (2) 第2行中的每个元素对应的(首)地址是： LOC[a2j]=LOC[a11]+n×L +(j-1) ×L (3) 第m行中的每个元素对应的(首)地址是： LOC[amj]=LOC[a11]+(m-1) n×L +(j-1) ×L
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第5章数组和广义表习题
一、选择题
1.设有一个10阶的对称矩阵A，采用压缩存储方式，以行序为主存储，a11为第一元素，其存储地址为1，每个元素占一个地址空间，则a85的地址为（B）。
i×（i-1）/2+j-1~~~~（i>=j）
8×7÷2+5=33因为a11从1开始所以要加1
A. 13
B. 33
C. 18
D. 40
2. 数组A[0..5,0..6]的每个元素占五个字节，将其按列优先次序存储在起始地址为1000的内存单元中，则元素A[5，5]的地址是( A)。
所求=a+(j*n+j)*l
A. 1175
B. 1180
C. 1205
D. 1210
3. 若对n阶对称矩阵A以行序为主序方式将其下三角形的元素(包括主对角线上所有元素)依次存放于一维数组B［1..(n(n+1))/2］中，则在B中确定aij（i<j）的位置k的关系为(B)。
A. i*(i-1)/2+j
B. j*(j-1)/2+i
C. i*(i+1)/2+j
D. j*(j+1)/2+i
4. A[N，N]是对称矩阵，将下面三角（包括对角线）以行序存储到一维数组T[N（N+1）/2]中，则对任一上三角元素a[i][j]对应T[k]的下标k是（B）。
A. i（i-1）/2+j
B. j（j-1）/2+i
C. i（j-i）/2+1
D. j（i-1）/2+1
二、填空题
1. 已知数组A[0..9,0..9]的每个元素占5个存储单元，将其按行优先次序存储在起始地址为1000的连续的内存单元中，则元素A[6，8]的地址为_______。
2．设n行n列的下三角矩阵A已压缩到一维数组B[1..n*（n+1）/2]中，若按行为主序存储，则A[i,j]对应的B中存储位置为_______。
3．己知三对角矩阵A【1..9,1..9】的每个元素占2个单元，现将其三条对角线上的元素逐行存储在起始地址为1000的连续的内存单元中，则元素A[7,8]的地址为______。
三、应用题
设对角线矩阵A=（行列下标i ,j 满足：1≤i,j≤5）
（1）若将矩阵A压缩存储到数组S 中：
试求出A中已存储之元素的行列下标（i，j）与S中元素的下标K之间的关系
（2）若将A视为稀疏矩阵时,画出其三元组表形式压缩存储表。
（3）若将A视为稀疏距阵时，请画出其行逻辑链接顺序表。