电磁学与电磁波 冯恩信

分界面上电场的行为： 分界面上电场的行为：
媒质1 媒质
E1 E2
点的电场——边界上这一点的电场，即静电场的边界条件。 点的电场 边界上这一点的电场，即静电场的边界条件。 边界上这一点的电场
类似于高等数学中该点的左右极限， E1 E2 类似于高等数学中该点的左右极限，实际上是同一
媒质2 媒质
由于在媒质分界面上出现束缚和感应面电荷， 由于在媒质分界面上出现束缚和感应面电荷，界面两边电场就 不连续，不连续则不可导， 不连续，不连续则不可导，不能使用已有的真空或者介质中静电场 方程的微分形式。 方程的微分形式。
在静电场中的导体具有的性质： 在静电场中的导体具有的性质： 导体内部电场处处为零，内部各点电位为零；导体是等位体， 导体内部电场处处为零，内部各点电位为零；导体是等位体，表面是等 位面，表面上的电场与表面垂直。 位面，表面上的电场与表面垂直。 推论：导体内无电荷，导体内表面上也无电荷。 推论：导体内无电荷，导体内表面上也无电荷。 若导体内有一空腔，空腔中电场强度一定为零， 若导体内有一空腔，空腔中电场强度一定为零，内空腔表面上无面电 荷分布——静电屏蔽。 静电屏蔽。 荷分布 静电屏蔽
s
∫∫ (ε
s
0
E + P )i d s = q
式中 q, ρ 均为自由电荷
引入： 引入：
D = ε0 E + P
D = ε 0 E + ε 0 χ e E = ε 0 (1 + χ e ) E
P = ε 0 χe E
D =εE
极化率 ε = ε0ε r 介质的介电常数
χe
注意： 注意： （1）空间中有多种截至和导体时，不能用以上方法计算； ）空间中有多种截至和导体时，不能用以上方法计算； （2）介质中，只有介质不均匀处才有束缚电荷； ）介质中，只有介质不均匀处才有束缚电荷； （3）介质中的高斯定理也有适用条件。 ）介质中的高斯定理也有适用条件。
真空中静电场的基本方程
∫∫ E id s = ε
s
q
0
∫ E id l ≡ 0
l
∇i E = ρ
ε0
∇ × E = 0
三：静电场中高斯定理的适用条件
电荷分布具有某种特殊对称性 电荷分布具有某种特殊对称性
2.3 电
位
由
称为静电场的标量位函数， ∇× E = 0 ⇒ E =直 −∇ϕ ，ϕ 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
p
表示极化的程度， 表示极化的程度，即
P = lim
∆v → 0
∑P
n
n
∆v
C/m 2
(库仑 平方米)
是函数，各个点不同。但对于各向同性介质，是常矢量。 P 是函数，各个点不同。但对于各向同性介质，是常矢量。
极化面电荷。 极化面电荷。 极化体电荷 极化面电荷
P = ε 0 χe E
由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷， ◇ 由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现
D = ε0 E
∫∫ Did s = q
s
电荷是电场的通量源
（2）静电场环量 ）
∫ Eidl ≡ 0
l
（2） ）
），（2）式为真空中静电场的积分表示形式， （1），（ ）式为真空中静电场的积分表示形式，描述了在空间区域 ），（ 中静电场的性质以及其与源的关系： 中静电场的性质以及其与源的关系： 静电场对封闭曲面的电通量等于该面所包围的电荷量， ① 静电场对封闭曲面的电通量等于该面所包围的电荷量，即电 荷是静电场的通量源； 荷是静电场的通量源； 电荷产生的静电场的闭合回路线积分为0， ② 电荷产生的静电场的闭合回路线积分为 ，静电场的线积分与 积分路径无关。静电场是保守场。 积分路径无关。静电场是保守场。
∫ E ⋅ dl = 0
l
∇× E = 0
无旋场
∫∫ Did s = q
s
介质中电位移矢量的源是自由电荷 介质中静电场是有散无旋场，电位移矢量 介质中静电场是有散无旋场， 的散度是自由电荷体密度。 的散度是自由电荷体密度。
∇i D = ρ
∫∫ E id s =
s
q + q′
ε0
=
1
ε0
(q −
∫∫ Pid s)
由 E = −∇ϕ
⇒ D = ε0 E = −ε0∇ϕ
∇⋅ D = ρ ⇒ ∇⋅ ( −ε0∇ϕ ) = ρ ⇒ ∇⋅ ( ∇ϕ ) = −
2 若空间电荷分布为零， 若空间电荷分布为零，则有 ∇ ϕ = 0
ρ ρ ⇒ ∇2ϕ = − ε0 ε0
电位满足的拉普拉斯方程
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ 在直角坐标系中 ∇ ϕ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
角 坐
∂ϕ Ex = − ∂x ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ E = −ex − ey − ez Ey = − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂ϕ Ez = − ∂z
系
标
1 P qeR q P dR ◇ 对于点 ϕ= ∫ R2 idl = 4πε0 ∫ R 电荷的电场， 电荷的电场， 4πε0 R R 其电位为 q 1 1 q = +C − = 4πε0 R Rp 4πε0 R
极性分子（正负电荷中心不重合） 极性分子（正负电荷中心不重合） 微观条件下： 微观条件下： 介质 无极性分子（正负电荷中心重合） 无极性分子（正负电荷中心重合）
当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象（ 当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象（位移极化或取向极 化）。 介质中因极化出现许多电偶极矩且为有向取向，电偶极矩又要产生电场，叠加于原 介质中因极化出现许多电偶极矩且为有向取向，电偶极矩又要产生电场， 来电场之上，使电场发生变化。极化电场与原电场相互作用，达到静电平衡。 来电场之上，使电场发生变化。极化电场与原电场相互作用，达到静电平衡。 极化强度： ◇ 极化强度：用
s
()
电荷线密度
∆q ρl r = lim ∆l → ∆ 0 l
( )
q = ∫ ρl r dl
l
( )
点电荷
ρ (r ) = qδ (r − r ′ )
2.2 2.2
库仑定律
库仑定律
P
R
qQ F = eR 2 4πε 0 R
产生的电场强度 定义点电荷 q 在周围空间P点产生的电场强度
r
E
q
r '
2.6
静电场的边界条件
当静电场中有媒质存在，媒质与电场相互作用， 当静电场中有媒质存在，媒质与电场相互作用，在介质的不均匀处出现束 缚电荷，导体表面出现感应电荷。这些束缚电荷及感应电荷又产生电场， 缚电荷，导体表面出现感应电荷。这些束缚电荷及感应电荷又产生电场，从而 改变原有电场的分布。 改变原有电场的分布。 特别的：在两种不同媒质分界面上出现束缚和感应面电荷， 特别的：在两种不同媒质分界面上出现束缚和感应面电荷，界面两边电 场就不连续，微分形式的静电场方程不能在分界面处使用（电场不连续， 场就不连续，微分形式的静电场方程不能在分界面处使用（电场不连续，导 数不存在） 数不存在） 。 建立不同媒质分界面两边电场的关系—边界条件
第 2 章
什么是静电场？ 什么是静电场？ 2.1 电场强度
电荷密度： 电荷密度：
电荷体密度
静电场
∆q ρ r = lim ∆v→ ∆ 0 v
( )
C / m3
q = ∫∫∫ ρ r dv
v
( )
电荷面密度
ρs (
∆q r = lim ∆S → ∆ 0 S
)
C / m2
C/ m
q = ∫∫ ρ s r dS
二：真空中静电场方程的微分形式
由高斯定 理推出： 理推出：
∇i E = ρ
ε0
（3） ）
由斯拖克斯 定理推出： 定理推出：
∇× E = 0
（4） ）
），（4）给出空间每一点上静电场和源的关系： （3），（ ）给出空间每一点上静电场和源的关系： ），（ 真空中的静电场是有散无旋场，静电场的散度源是电荷体密度。 真空中的静电场是有散无旋场，静电场的散度源是电荷体密度。
（真空中静电场的高斯定理） 真空中静电场的高斯定理）
∫∫ E id s = ε
s
q
0
（1－a） － ）
∫∫ E id s = ε ∫∫∫ ρ (r ′)d
v s 0 v
1
v
（1－b） － ）
净电荷
电场强度穿过封闭曲面的通量与封闭曲面内所包围的电荷量成正 比例系数为真空介电常数的倒数。 比，比例系数为真空介电常数的倒数。
∆S2
D1n − D2n = ρs
矢量表
n ⋅ D1 − D2 = ρs
∫
于
s
D ⋅ d S = q( 自由电荷，不包括极化电荷） ρs为分界面上的
(
)
h
电
面
作的圆柱形表面。 作的圆柱形表面。
ε 1 E1n − ε 2 E 2 n = ρ s
的边界条件（切向分量） 二、电场强度E 的边界条件（切向分量） 无论真空中还是介质中都有： 无论真空中还是介质中都有：
∫ E ⋅ dl = 0
l
取闭合回路，在回路上作线积分。 取闭合回路，在回路上作线积分。
在分界面上作一小的矩形回路， 分居于分界面两侧， 在分界面上作一小的矩形回路，其两边∆l 分居于分界面两侧，而高h → 0 。 矩形回路 将方程 E ⋅ dl = 0 用于此回路
(r ) =
q 4πε 0R
2
eR
式中 R = r − r '
O
N个点电荷产生的电场强度 个点电荷产生的电场强度